GEX106 CÁLCULO II S1 2017 Aulas 11 a 14 i

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Lista 2.1 Para 10/05/2017 
Exercícios 6.1 (pg. 419) ímpares de 1 a 17 
Lista 2.2 Para 17/05/2017 
Exercícios 6.2 (pg. 428...) Exercícios 1, 3, 5, 7, 11, 13 e 15. 
 Exercícios 6.3 (pg. 436...) Exercícios ímpares de 1 a 15 
 
Cap 12 FUNÇÕES VETORIAIS (pag. 841) 
12.1 INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES VETORIAIS 
CURVAS PARAMÉTRICAS EM 2 OU EM 3 
 
 Considere  f t ,  g t e  h t funções “bem comportadas” da variável t. Cada 
ponto em 2 é definido por um par ordenado  ,x y . Se  x f t e  y g t , então, 
conforme o valor de t varia, o conjunto de pontos      ,x t y t define uma curva em 
2 . De maneira semelhante, o conjunto de pontos        , ,x t y t z t define uma curva 
em 3 . A variável t é denominada “parâmetro da curva” e as igualdades   ,x f t 
 y g t e  z h t são denominadas “equações paramétricas” da curva. Valores 
crescentes de t determinam a “orientação da curva” ou “sentido de crescimento da 
curva”. 
 
Exemplo 1 (pg. 842):   1x f t t     3y g t t    2z h t t  
 Trata-se de uma reta que, para 0t  passa pelo ponto    , , 1,0,0x y z  
e, em 1t  , passa pelo ponto    , , 0,3,2x y z  . 
 
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Exemplo 2:  cosx a t  siny a t z ct  0; 0a c  
 Trata-se de uma curva chamada “hélice circular” 
 
 
FUNÇÕES VETORIAIS (pg. 843) 
 Suponha, em 3 , uma curva paramétrica dada pelas funções  x t ,  y t e  z t . 
Defina os vetores unitários i na direção x, j

 na direção y e k na direção z. Com isto, 
a cada ponto       , ,x t y t z t descrito pela curva, pode-se associar um vetor ancorado 
na origem  0,0,0 e extremo dado por      x t i y t j z t k    , com notação: 
             , ,x t i y t j z t k x t y t z t r t r        
 
 No caso de um espaço bidimensional: 
         ,r r t x t y t x t i y t j      
 
 Define-se o domínio da função vetorial,   dom r t , pela interseção dos 
domínios das funções  x t ,  y t e  z t . Caso esses domínios não sejam especificados, 
define-se o domínio natural de  r t como a interseção dos domínios naturais das funções 
componentes. 
 
 
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Exemplo 4 (pg. 844) Determinar o domínio natural da função vetorial 
  r t      , ,x t y t z t  ln 1 , e ,tt t  
  ln 1 ett i j tk      
 Os domínios naturais das funções componentes: 
  x t  ln 1t     dom x t    ,1 1,    
  y t te    dom y t  ,   
  z t  ln 1t     dom z t  0,  
    dom r t            ,1 1, , 0, 0,1 1,              
 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO VETORIAL 
 Define-se o “gráfico de uma função vetorial”        , ,r t x t y t z t , como 
a curva paramétrica gerada pelas funções paramétricas  x t ,  y t e  z t . Fixando o ponto 
inicial de  r t na origem, essa curva é a curva descrita pelo extremo final de  r t . 
 
Exemplo 6 (pg. 844) Esboçar o gráfico e um vetor posição de: 
 a      cos sinr t t i t j    0 2t   
 b      cos sin 2r t t i t j k      0 2t   
 
 a  b 
 
 
 
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FORMA VETORIAL DE UM SEGMENTO DE RETA (pg. 845) 
Recordando: 
 a Define-se a “norma” (tamanho) de um vetor , ,r x y z como 2 2 2r x y z   . 
 b O resultado do produto de um vetor , ,r x y z por uma constante C é o vetor 
, ,C r C x C y C z com norma 
2 2 2 2 2 2 2 2 2C r C x C y C z C x y z C r        , 
mesma direção (reta suporte) que r e, caso 0C  , mesmo sentido que r; caso 
0C  , sentido oposto ao de r. 
 c Um vetor unitário com mesma direção e mesmo sentido que r é dado por 
u r r   
 Fim da recordação. 
 
 Se 0r
 é um vetor com ponto inicial na origem, a expressão paramétrica para a 
reta r que passa pelo seu ponto final e é paralela a um vetor v é dada por: 
0r r tv     ,t   
 Se 0r
 e 1r
 são vetores com ponto inicial na origem, a expressão paramétrica para 
a reta r que passa pelos seus pontos finais é dada por: 
 0 1 0r r t r r      
 Caso 0 1t  , a expressão    0 1 0 01r r t r r t r t r           representa o 
segmento de reta traçado do ponto final de 0r
 ao ponto final de 1r
. 
 
Lista 2.3 Para 24/05/2017 
Exercícios 12.1 (pg. 845...) Exercícios 1, 3, 17, 19, 21 e 23. 
Exercícios 12.2 (pg. 856...) Ímpares de 19 a 39 (cuidado em 31 
e 33) 
 
 
 
 
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12.2 CÁLCULO DE FUNÇÕES VETORIAIS (pg. 848) 
LIMITES E CONTINUIDADE 
12.2.1 Definição 
 Seja  r t uma função vetorial definida em algum intervalo aberto que contenha 
o real a (  r t não precisa estar definida em t a ). Diz-se que  lim
t a
r t L 
 se, e 
somente se,  lim 0
t a
r t L  
 
 
12.2.2 Teorema 
 Se              , ,r t x t y t z t x t i y t j z t k      , então: 
  lim
t a
r t
      lim , lim , lim
t a t a t a
x t y t z t   
      lim lim lim
t a t a t a
x t i y t j z t k  
                 
  , 
 caso existam os limites das funções componentes. 
 
Exemplo 1 (pg. 849):    2 2 costr t t i e j t k        . 
  0limt r t  ? # 
 
 Diz-se que uma função  r t é contínua em t a se    limt a r t r a   . Diz-se 
que  r t é contínua em um intervalo se é contínua em todos os pontos do intervalo. 
 
DERIVADAS DE FUNÇÕES VETORIAIS (pg. 849) 
12.2.3 Definição 
 Se  r t é uma função vetorial, define-se a sua derivada em relação a t como a 
função vetorial  'r t dada por: 
     0' limh r t h r tr t h
 
  
 O domínio de  'r t é dado por todos os pontos no domínio de  r t para os 
quais o limite existe. 
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 Geometricamente, o vetor  'r t é tangente à curva descrita por  r t e aponta 
no sentido do parâmetro crescente. 
 
 
12.2.5 Teorema 
 Se        r t x t i y t j z t k     , então a derivada  'r t é dada por: 
  'r t    0limh r t h r th
 
 
 
            0limh
x t h i y t h j z t h k x t i y t j z t k
h
         
    
 
            0limh
x t h x t i y t h y t j z t h z t k
h
                 
 
 
 
            
0 0 0lim lim limh h h
x t h x t y t h y t z t h z t
i j k
h h h  
                      
  
      ' ' 'x t i y t j z t k     
 
Exemplo 2 (pg. 850)    2 2 costr t t i e j t k        . 
  'r t ? # 
 
 
 
 
 
 
 
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12.2.6 Teorema Regras de Derivação (pg. 851) 
 Sejam  r t ,  1r t e  2r t funções vetoriais;  f t uma função real; k um número 
real e c um vetor constante. Então valem as seguintes regras de derivação: 
 1R  d c
dt
 0  
 2R  d k r t
dt
    dk r tdt   
 
 3R    1 2d r t r tdt        1 2d dr t r tdt dt         
 4R    d f t r t
dt
          d df t r t f tr tdt dt       
  
 
RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO VETORIAL (pg. 851) 
12.2.7 Definição 
Seja P o ponto definido por  0 0r t r  no gráfico de uma função vetorial  r t . 
Então,  0 0'r t v  é o vetor tangente a esse gráfico pelo ponto P, caso a derivada exista. 
A função vetorial da reta tangente ao gráfico de  r t pelo ponto P é dada por: 
  0 0T t r t v    
 
 
 
 
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Exemplo 3 Obter a função vetorial da reta tangente à hélice circular 
   cos ,sin ,t t t , pelo ponto 0t  . 
 
 
 
DERIVADAS DE PRODUTOS ESCALARES OU VETORIAIS (pg. 852) 
Recordando: Se 1 1 1 1r x i y j z k  
  , com 1 0r  , e 2 2 2 2r x i y j z k  
  , com 
2 0,r  definem-se: 
 a O produto escalar 1 2r r   1 2 1 2 1 2 1 2cosr r x x y y z z     
 b O produto vetorial 1 2r r  1 1 1
2 2 2
det
i j k
x y z
x y z
      
 
 
      1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1y z y z i x z x z j x y x y k        
 1 2r r   1 2 sinr r    
 c Se 1 2r r  1 1r r  2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3r r r x x y y z z x x x          
 1 2r r  1 1 1
1 1 1
det 0
i j k
x y z
x y z
      
 
 
 d Se 1 2r r  1 2r r   1 2 cos 2 0r r    
Fim da recordação 
 
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As derivadas:    1 2d r t r tdt   
         1 2 1 2d dr t r t r t r tdt dt         
    
    1 2d r t r tdt   
         1 2 1 2d dr t r t r t r tdt dt         
    
 
12.2.8 Teorema (pg. 853) 
 Se        r t x t i y t j z t k     é uma função vetorial com norma  r t constante 
para todo t, então    ' 0r t r t   , isto é,  r t e  'r t são vetores ortogonais. 
Prova: 
    d r t r t
dt
               ' ' 2 'r t r t r t r t r t r t           
         22 2 2 0d dx t y t z t r t
dt dt
         
 # 
 
INTEGRAL DEFINIDA DE FUNÇÃO VETORIAL 
 Se        r t x t i y t j z t k     é contínua no intervalo a t b  , então: 
       b b b b
a a a a
r t dt x t dt i y t dt j z t dt k
                         
  
 
Exemplo 6:    2 2costr t t i e j t k      1
0
?r t dt   
 
 
 
 
 
REGRAS DE INTEGRAÇÃO (pg. 854) 
Se  r t ,  1r t e  1r t são todas contínuas no intervalo a t b  e k uma constante: 
 a  b
a
k r t dt   b
a
k r t dt   
 b     1 2b
a
r t r t dt      1 2
b b
a a
r t dt r t dt    
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ANTIDERIVADAS DE FUNÇÕES VETORIAIS (pg. 854) 
 Diz-se que uma função vetorial  R t é uma antiderivada da função vetorial 
 r t se    ' .R t r t  Nesse caso, usando notação de integral, escreve-se: 
   r t dt R t C   
 Aplicam-se regras semelhantes àqueles das integrais de funções reais: 
 a  d r t dt
dt
     r t  
 b  'r t dt   r t C   
 c        b ba
a
r t dt R t R b R a        
Exemplo 8:  2 2
0
2 3 ?t i t j dt   