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 CAMPUS UBERLÂNDIA 
 
CURSOS DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA 
LISTA DE APLICAÇÃO 
COMPONENTE: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 02 
 
PROFESSOR NEIO LUCIO S FERREIRA 
Eng. Ambiental Eng. Civil Eng. da Computação Eng. Elétrica Eng. de Produção 
Aluno (a): ______________________________RA: _______________ 
 
 
1. Se a temperatura T depende do tempo t e da altitude h, de acordo com a regra: 
  10
1003
10
36
5,
2



htthtT , então calcule: 
(a) Como varia a temperatura em relação ao tempo, no instante 120 t horas, num ponto 
de altitude 0h 100 metros? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 0 
(b) Como varia a temperatura em relação à altitude, no instante 120 t horas, num ponto 
de altitude 0h 100 metros? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
100
1
 
2. De acordo com a lei do gás ideal para um gás confinado, se P Newton por unidade 
quadrada é a pressão, V unidades cúbicas é o volume, e T graus a temperatura, temos a 
fórmula: P V  k T [equação (1)] onde k é uma constante de proporcionalidade. Suponha 
que o volume de gás em um certo recipiente seja 100 3cm e a temperatura seja 900 e k 8. 
(a) Encontre a taxa de variação instantânea de P por unidade de variação em T , se V 
permanecer fixo em 100. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Logo, quando T 90 e V 100, 
T
P


0,08 é a resposta desejada. 
 (b) Use o resultado de (a) para aproximar a variação de pressão se a temperatura aumentar 
para 920 C. 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 0,16 N / 2m 
(c) Encontre a taxa de variação instantânea de V por unidade de variação em P se T 
permanecer fixo em 900. 
 
Resposta: 
P
V

 = 
9
125 
(d) Suponha que a temperatura permaneça constante. Use o resultado de (c) para encontrar 
a variação aproximada no volume para produzir a mesma variação na pressão, obtida em (b). 
 
 
3. O volume V de um cone circular é dado por V 
24
 2y 224 ys  , onde s é o 
comprimento da geratriz e y o diâmetro da base. 
(a) Encontre a taxa de variação instantânea do volume em relação à geratriz se o valor 
y 16, enquanto a geratriz s varia. Calcule essa taxa de variação no instante em que 
s 10 cm . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
s
V



9
320 3cm / cm 
(b) Suponha que o comprimento da geratriz permaneça constante com o valor de 
s 10 cm . Considerando que o valor do diâmetro varia, encontre a taxa de variação do volume 
em relação ao diâmetro quando y 16cm . 
 
 
Resposta: 
y
V



9
16 3cm / cm 
 
4. Seja w  f ( x , y )  2x  y . Graficamente, o grad f (2,4) é dado por (desenhe o grafico): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gradiente é um vetor que indica o sentido de mais rápido crescimento de uma 
função em um ponto. 
 5.
(a) z = 3x2 + xy − 2y3 em (2, 1, 12);
(b) f(x, y) = xy em (1, 1, 1)
Encontre o vetor gradiente das funções dadas, no ponto dado
Observação:
6. Calcule a diferencial de f ( x , y )  x  xy no ponto (1,1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: df (1,1) 
2
3 dx +
2
1 dy . 
7. Dada a função w 2x + 2y  xy . 
 a) Determine uma aproximação para o acréscimo da variável dependente quando ( x , y ) 
passa de (1,1) para (1,001;1,02). 
 
 
 
 
 Resposta: w 0,021. 
 b) Calcular w quando as variáveis independentes sofrem a variação em a). 
 
 Resposta: w0,021381 
 c) Calcular o erro obtido da aproximação de dw como w . 
 
 
Resposta: 0,000381 
8. Calcule a diferencial total da função: w  2x  2y  xyze . 
 
 
 
 
Resposta: dw (2 x  yz xyze ) dx(2 y  xz xyze ) dy  xy xyze dz 
9. Calcule a diferencial total da função: w 1x 2x  2x 3x  3x 4x . 
 
 
 
Resposta: dw 2x 1dx ( 1x  3x ) 2dx ( 4x  2x ) 3dx  3x 4dx . 
10. Nos itens a) e b), calcule o valor aproximado para a variação da área na figura quando os 
lados são modificados de: 
 a) 4cm e 2cm para 4,01cm e 2,001cm, num retângulo; 
 
2
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 0,024cm2. 
 b) 2cm e 1cm para 2,01cm e 0,5cm, num triângulo retângulo. 
 
1
2
 
 
 
Resposta: 0,495cm2. 
 
11. Calcular o valor aproximado de (1,001)3,02. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: (1,001)3,02  1,003. 
12. O diâmetro e a altura de um cilindro circular reto medem, com um erro provável de 
0,2 pol em cada medida, respectivamente, 12 pol e 8 pol . Qual é, aproximadamente, o 
máximo erro possível no cálculo do volume? 
H
D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: dV 16,8 3pol 
13. Dada a superfície z 
yx
yx


, se no ponto x 4, y 2, x e y são acrescidos de 
10
1 , qual é 
a variação aproximada de z ? 
 
 
 Determine as derivadas parciais indicadas, usando a regra da cadeia 
s
u
r
u
srzsryrsxyzxzxyud
s
u
r
u
srysrxyxyxyxuc
s
u
r
u
sryrsxyxub
s
u
r
u
srysrxyxua




















,,)(,,,)
,,,32,323)
,,23;5;43)
,;2;3,)
222
22
22
22
 
 
Determine a derivada total 
dt
du
, usando a regra de cadeia 
 
 
 
 
 ttsenztyttgxzyxuc
eyexyxyub
tsenytxxeyeua
tt
yx




0,,cos,,)
,,)(ln)
,cos,)
2
222
2

14.
15.