02 - EquacoesNaoLineares

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1COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
L+−+−+= 2).(!2
)(")).((')()( ooooo xxxfxxxfxfxf
)('
)(
)('
)(0)()( 111
n
n
nn
n
n
nnn xf
xfxx
xf
xfxxfxf −≅−⇒−≅⇒== +++ ε
nnnnnn xxxxfxxf Δ+=⇒−=Δ +1)().('
( ) ijijijinikiikn
j
i
j
j
i
n
i
k
ii
k xxxnkxxxxfx
x
xxxxf Δ+=⇒=−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Δ∂
∂ +
=
∑ 121
1
21 ,,2,1),,,,,,(.),,,,,( LLLLL
0.),,,,,(.),,,,,(),,,,,(),,,,,( 02
2
000
2
0
10
1
1
000
2
0
1000
2
0
1
111
2
1
1 =+Δ∂
∂+Δ∂
∂+= LLLLLLLLL x
x
xxxxfx
x
xxxxfxxxxfxxxxf nkknkknkknkk
Sistema de equações não lineares
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Método de Newton-Raphson
Zero de funções
Método de Newton
( )nkx
x
xxxxfxxxxfxxxxf
n
j
j
j
nkk
nkknkk ,,2,1,0.
),,,,,(),,,,,(),,,,,(
1
0
000
2
0
1000
2
0
1
111
2
1
1 LL
LLLLLL ==+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Δ∂
∂+= ∑
=
Análogos
2COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
),,,,,( 1112
1
1 nkk xxxxf LL
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Sistema de equações
k = 1
k = 2
k = n
•
•
•
•
•
•
),,,,,( 0002
0
1 nkk xxxxf LL
1
000
2
0
1 ),,,,,(
x
xxxxf nkk
∂
∂ LL 0
1xΔ
2
000
2
0
1 ),,,,,(
x
xxxxf nkk
∂
∂ LL 0
2xΔ+ L=0= + +× ×
),,,,,( 1112
1
11 nk xxxxf LL ),,,,,( 0002011 nk xxxxf LL
1
000
2
0
11 ),,,,,(
x
xxxxf nk
∂
∂ LL 0
1xΔ
2
000
2
0
11 ),,,,,(
x
xxxxf nk
∂
∂ LL 0
2xΔ+ L=0= + +× ×
),,,,,( 1112
1
12 nk xxxxf LL ),,,,,( 0002012 nk xxxxf LL
1
000
2
0
12 ),,,,,(
x
xxxxf nk
∂
∂ LL 0
1xΔ
2
000
2
0
12 ),,,,,(
x
xxxxf nk
∂
∂ LL 0
2xΔ+ L=0= + +× ×
),,,,,( 1112
1
1 nkn xxxxf LL ),,,,,( 000201 nkn xxxxf LL
1
000
2
0
1 ),,,,,(
x
xxxxf nkn
∂
∂ LL 0
1xΔ
2
000
2
0
1 ),,,,,(
x
xxxxf nkn
∂
∂ LL 0
2xΔ+ L=0= + +× ×
),,,,,( 1112
1
1 nkk xxxxf LL ),,,,,( 000201 nkk xxxxf LL
1
000
2
0
1 ),,,,,(
x
xxxxf nkk
∂
∂ LL 0
1xΔ
2
000
2
0
1 ),,,,,(
x
xxxxf nkk
∂
∂ LL 0
2xΔ+ L=0= + +× ×
i = 0
k = k
3COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
Convergência (Máx(|Δxi1|, |Δxi2|, …, |Δxin|) < εx ou Máx(|fi1|, |fi2|, …, |fin|) < εf) e i ≤ imáx
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Sistema de equações
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
n
i
n
i
n
i
n
n
iii
n
iii
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
L
MMMM
L
L
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
×
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
Δ
Δ
i
n
i
i
x
x
x
M
2
1
= −
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
i
n
i
i
f
f
f
M
2
1
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
Δ
Δ
i
i
i
x
x
x
2
2
1
M
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
1
2
1
2
1
1
i
i
i
x
x
x
M
−
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
i
i
i
x
x
x
2
2
1
M
⇒
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
1
2
1
2
1
1
i
i
i
x
x
x
M
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
i
i
i
x
x
x
2
2
1
M +
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
Δ
Δ
i
i
i
x
x
x
2
2
1
M
)().(' nnn xfxxf −=Δ
nnn xxx Δ+=+1
4COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES 
Exercício 1
1. Achar o zero da função f(x) = x2 - 4.x + 13
Solução
Raízes complexas e conjugadas, então:
x = p + q.i⇒ f(p + q.i) = (p + q.i)2 - 4.(p + q.i) + 13 = (p2 - q2 - 4.p + 13) + (2.p.q - 4.q).i⇒
⇒ g(p, q) + h(p, q).i = (p2 - q2 - 4.p + 13) + (2.p.q - 4.q).i ⇒
( )
⎩⎨
⎧ +−−=⇒ 13.4,
22 pqpqpg( )
( )⎩⎨
⎧
−=
+−−=⇒
qqpqph
pqpqpg
.4..2,
13.4, 22
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
4.2 −=∂
∂ ii p
p
g iiii q
q
gp
p
g .24.2 −=∂
∂−=∂
∂
× ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Δ
Δ
i
i
q
p −= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ( ) ( ) 13.422 +−−= iiii pqpg
i
i
i
i
i
i
q
p
h
q
q
gp
p
g
.2
.24.2
=∂
∂
−=∂
∂−=∂
∂
4.2.2
.24.2
−=∂
∂=∂
∂
−=∂
∂−=∂
∂
i
i
i
i
i
i
i
i
p
q
hq
p
h
q
q
gp
p
g ( ) ( )
iiii
iiii
qqph
pqpg
.4..2
13.422
−=
+−−=
5COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES 
Solução
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
4.2.2
.24.2
−=∂
∂=∂
∂
−=∂
∂−=∂
∂
k
k
k
k
k
k
k
k
p
q
hq
p
h
q
q
gp
p
g
× ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Δ
Δ
k
k
q
p −= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ( ) ( )
kkkk
kkkk
qqph
pqpg
.4..2
13.422
−=
+−−=
Valores iniciais:k = 0,p0 = 1,q0 = 1
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ 24.2 −=−kp 2.224.2 −=−−=− kk qp × ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Δ
Δ
k
k
q
p −= ( ) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ =+−− 913.422 kkk pqp
2.2
2.224.2
=
−=−−=−
k
kk
q
qp
24.22.2
2.224.2
−=−=
−=−−=−
kk
kk
pq
qp ( ) ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=−
=+−−
2.4..2
913.422
kkk
kkk
qqp
pqp
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−−
22
22 × ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Δ
Δ
0
0
q
p −= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
− 2
9 =Δ 0p
22
22
−
−−
22
22
−
−−
75,2= =Δ 0q 22
22
−
−−
22
22
−
−− 75,1=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Δ
Δ
0
0
q
p = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
75,1
75,2 ⇒ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
1
1
q
p = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
75,2
75,3 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
0
0
h
g = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
− 2
9
2
9
−
2
9−
2
9−
6COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES 
Solução
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Δ
Δ
0
0
q
p = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
75,1
75,2 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
0
0
h
g = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
− 2
9 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
1
1
q
p = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
75,2
75,3
Convergência:
Máx(⏐Δp0⏐, ⏐Δq0⏐) = Máx(⏐2,75⏐, ⏐1,75⏐) = 2,75
Máx(⏐g0⏐, ⏐h0⏐) = Máx(⏐9⏐, ⏐-2⏐) = 9
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75
k = 1, p1 = 3,75, q1 = 2,75
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
5,35,5
5,55,3 × ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Δ
Δ
1
1
q
p −= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
625,9
5,4 ⇒ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Δ
Δ
1
1
q
p = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
2103,0
6162,1 ⇒ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
2
q
p = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
5397,2
1338,2
Convergência:
Máx(⏐Δp1⏐, ⏐Δq1⏐) = 1,6162
Máx(⏐g1⏐, ⏐h1⏐) = 9,625
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75 4,5 9,625 -1,6161765 -0,2102941 9,625 1,616176471
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75 4,5 9,625 -1,6161765 -0,2102941 9,625 1,616176471
2 2,133823529 2,539705882
7COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES 
Solução
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75 4,5 9,625 -1,6161765 -0,2102941 9,625 1,616176471
k = 2, p2 = 2,1338, q2 = 2,5397
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75 4,5 9,625 -1,6161765 -0,21029419,625 1,616176471
2 2,133823529 2,539705882
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
2676,00794,5
0794,52676,0 × ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Δ
Δ
2
2
q
p −= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
6797,0
5878,2 ⇒ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Δ
Δ
2
2
q
p = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
4971,0
1600,0 ⇒ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
3
3
q
p = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
0368,3
9738,1
Convergência: Máx(⏐Δp
2⏐, ⏐Δq2⏐) = 0,4971
Máx(⏐g2⏐, ⏐h2⏐) = 2,5878
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75 4,5 9,625 -1,6161765 -0,2102941 9,625 1,616176471
2 2,133823529 2,539705882 2,56780277 0,67974481 -0,160017 0,49709982 2,567802768 0,497099824
•
•
•
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75 4,5 9,625 -1,6161765 -0,2102941 9,625 1,616176471
2 2,133823529 2,539705882 2,56780277 0,67974481 -0,160017 0,49709982 2,567802768 0,497099824
3 1,973806552 3,036805706
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75 4,5 9,625 -1,6161765 -0,2102941 9,625 1,616176471
2 2,133823529 2,539705882 2,56780277 0,67974481 -0,160017 0,49709982 2,567802768 0,497099824
3 1,973806552 3,036805706 -0,2215028 -0,1590888 0,02587696 -0,0366929 0,221502802 0,0366929
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75 4,5 9,625 -1,6161765 -0,2102941 9,625 1,616176471
2 2,133823529 2,539705882 2,56780277 0,67974481 -0,160017 0,49709982 2,567802768 0,497099824
3 1,973806552 3,036805706 -0,2215028 -0,1590888 0,02587696 -0,0366929 0,221502802 0,0366929
4 1,999683512 3,000112807 -0,0006768 -0,001899 0,00031648 -0,0001128 0,001899001 0,000316476
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75 4,5 9,625 -1,6161765 -0,2102941 9,625 1,616176471
2 2,133823529 2,539705882 2,56780277 0,67974481 -0,160017 0,49709982 2,567802768 0,497099824
3 1,973806552 3,036805706 -0,2215028 -0,1590888 0,02587696 -0,0366929 0,221502802 0,0366929
4 1,999683512 3,000112807
k = 5, p5 = 1,9999, q5 = 2,9999
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75 4,5 9,625 -1,6161765 -0,2102941 9,625 1,616176471
2 2,133823529 2,539705882 2,56780277 0,67974481 -0,160017 0,49709982 2,567802768 0,497099824
3 1,973806552 3,036805706 -0,2215028 -0,1590888 0,02587696 -0,0366929 0,221502802 0,0366929
4 1,999683512 3,000112807 -0,0006768 -0,001899 0,00031648 -0,0001128 0,001899001 0,000316476
5 1,999999988 2,999999985
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−−−
838,26
6838,2
E
E × ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Δ
Δ
5
5
q
p −= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−
814,7
874,8
E
E ⇒ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Δ
Δ
5
5
q
p = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
848,1
819,1
E
E ⇒ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
6
6
q
p = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
000,3
000,2
Convergência: Máx(⏐Δp
5⏐, ⏐Δq5⏐) = 1,48E-8
Máx(⏐g5⏐, ⏐h5⏐) = 8,74E-8
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75 4,5 9,625 -1,6161765 -0,2102941 9,625 1,616176471
2 2,133823529 2,539705882 2,56780277 0,67974481 -0,160017 0,49709982 2,567802768 0,497099824
3 1,973806552 3,036805706 -0,2215028 -0,1590888 0,02587696 -0,0366929 0,221502802 0,0366929
4 1,999683512 3,000112807 -0,0006768 -0,001899 0,00031648 -0,0001128 0,001899001 0,000316476
5 1,999999988 2,999999985 8,7429E-08 -7,141E-08 1,1902E-08 1,4571E-08 8,74287E-08 1,45715E-08
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75 4,5 9,625 -1,6161765 -0,2102941 9,625 1,616176471
2 2,133823529 2,539705882 2,56780277 0,67974481 -0,160017 0,49709982 2,567802768 0,497099824
3 1,973806552 3,036805706 -0,2215028 -0,1590888 0,02587696 -0,0366929 0,221502802 0,0366929
4 1,999683512 3,000112807 -0,0006768 -0,001899 0,00031648 -0,0001128 0,001899001 0,000316476
5 1,999999988 2,999999985 8,7429E-08 -7,141E-08 1,1902E-08 1,4571E-08 8,74287E-08 1,45715E-08
6 2 3
k pk qk gk hk Δpk Δqk Máx(⏐gk⏐, ⏐hk⏐) Máx(⏐Δpk⏐, ⏐Δqk⏐)
0 1 1 9 -2 2,75 1,75 9 2,75
1 3,75 2,75 4,5 9,625 -1,6161765 -0,2102941 9,625 1,616176471
2 2,133823529 2,539705882 2,56780277 0,67974481 -0,160017 0,49709982 2,567802768 0,497099824
3 1,973806552 3,036805706 -0,2215028 -0,1590888 0,02587696 -0,0366929 0,221502802 0,0366929
4 1,999683512 3,000112807 -0,0006768 -0,001899 0,00031648 -0,0001128 0,001899001 0,000316476
5 1,999999988 2,999999985 8,7429E-08 -7,141E-08 1,1902E-08 1,4571E-08 8,74287E-08 1,45715E-08
6 2 3 0 0
8COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
2. Resolver o sistema de equações abaixo, calcular os valores de (ε1, ε2, ε3, ε4) 
sabendo-se que:
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Exercício 2
g2(x1,x2,x3,x4)
g4(x1,x2,x3,x4)
g1(x1,x2,x3,x4)
g3(x1,x2,x3,x4)
Então:
f1(x1,x2,x3,x4)
f4(x1,x2,x3,x4)
f2(x1,x2,x3,x4)
f3(x1,x2,x3,x4)
x13 + 3.x22= -5=
2.x1 + x23 + 3.x32= 0=
2.x3 + x43
2.x2 + x33 + 3.x42
=
=
-7
0=
=
=
=
=
=
x13 + 3.x22 + 5
2.x3 + x43 + 7
2.x1 + x23 + 3.x32
2.x2 + x33 + 3.x42
g1(ε1,ε2,ε3,ε4)
g2(ε1,ε2,ε3,ε4)
g3(ε1,ε2,ε3,ε4)
g4(ε1,ε2,ε3,ε4)
=
=
=
=
9COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
Solução
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Exercício 2
( )
( )
( )
( ) ⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=∂
∂=∂
∂=∂
∂=∂
∂
=∂
∂=∂
∂=∂
∂=∂
∂
=∂
∂=∂
∂=∂
∂=∂
∂
=∂
∂=∂
∂=∂
∂=∂
∂
−
2
4
4
4
3
4
2
4
1
4
4
4
32
3
3
3
2
3
1
3
4
2
3
3
22
2
2
1
2
1
2
4
1
3
1
2
2
12
1
1
1
.3200
.6.320
0.6.32
00.6.3
i
iiii
i
i
i
iii
i
i
i
i
ii
ii
i
i
i
i
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
fx
x
f
x
f
x
f
x
fx
x
fx
x
f
x
f
x
f
x
fx
x
fx
x
f
×
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=Δ
−=Δ
−=Δ
−=Δ
+
+
+
+
iii
iii
iii
iii
xxx
xxx
xxx
xxx
4
1
44
3
1
33
2
1
22
1
1
11
= −
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++=
++=
++=
++=
7.2
.3.2
.3.2
.35
3
434
2
4
3
323
2
3
3
212
2
2
3
11
iii
iiii
iiii
iii
xxf
xxxf
xxxf
xxf
f1(x1,x2,x3,x4)
f4(x1,x2,x3,x4)
f2(x1,x2,x3,x4)
f3(x1,x2,x3,x4)
=
=
=
=
x13 + 3.x22 + 5
2.x3 + x43 + 7
2.x1 + x23 + 3.x32
2.x2 + x33 + 3.x42
10COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
Solução
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Exercício 2
x10 = -1 x30 = -1x20 = -1 x40 = -1
Valores iniciais:
k x1k x2k x3k x4k f1k f2k f3k f4k Δx1k Δx2k Δx3k Δx4k 
0 -1,00000 -1,00000 -1,00000 -1,00000 
 
k = 0
( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
2
4
4
2
3
3
2
2
2
2
1
.3200
.6.320
0.6.32
00.6.3
k
kk
kk
kk
x
xx
xx
xx
×
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
Δ
Δ
k
k
k
k
x
x
x
x
4
3
2
1
= −
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++=
++=
++=
++=
7.2
.3.2
.3.2
.35
3
434
2
4
3
323
2
3
3
212
2
2
3
11
kkk
kkkk
kkkk
kkk
xxf
xxxf
xxxf
xxf
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
1
4
1
3
1
2
1
1
k
k
k
k
x
x
x
x
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
k
k
k
k
x
x
x
x
4
3
2
1
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
Δ
Δ
k
k
k
k
x
x
x
x
4
3
2
1
= +
11COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
Solução
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Exercício 2
Convergência pelo critério máx(⏐fn1⏐, ⏐fn2⏐, ⏐fn3⏐, ⏐fn4⏐) ≤ ε = 0
f1(x1,x2,x3,x4)
f4(x1,x2,x3,x4)
f2(x1,x2,x3,x4)f3(x1,x2,x3,x4)
=
=
=
=
x13 + 3.x22 + 5
2.x3 + x43 + 7
2.x1 + x23 + 3.x32
2.x2 + x33 + 3.x42