Relatório SISTEMAS LINEARES

Prévia do material em texto

Data: 15/11/2020 
CÁLCULO NUMÉRICO PLE 2020 
RELATÓRIO TÉCNICO II (TEMA: SISTEMA DE 
EQUAÇÕES LINEARES) 
TURMA: ENGENHARIA CIVIL – TURMA A 
ALUNO: SAMIRA NASCIMENTO DOS SANTOS 
1. INTRODUÇÃO 
A. Apresentação/Justificativa 
Sistema de equações lineares é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas 
variáveis. A teoria de sistemas lineares é um ramo da álgebra linear fundamental para a 
matemática moderna. Parte importante da Álgebra Linear são os algoritmos 
computacionais na solução de problemas de Engenharia. 
 Com a evolução da informática e o desenvolvimento de programas sofisticados, os 
sistemas lineares possibilitam aplicações de conteúdos da Álgebra na modelage 
matemática de problemas e situações em engenharia como: 
 Equação linear em decisões gerenciais; 
 Álgebra matricial em computação gráfica; 
 Determinantes em cálculo de áreas de volumes de sólidos poliédricos; 
 Espaços vetoriais em sistemas de controle; 
 Autovalores e autovetores em sistemas dinâmicos, entre outros. 
B. Objetivo 
Calcular sistemas de equações lineares através de Métodos Diretos e Métodos 
Iterativos. 
2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA 
Um sistema linear é formado por um conjunto de equações lineares e apresenta 
a seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Uma n-upla de números reais ( , ) é dita solução de um Sistema Linear 
se satisfaz todas as equações do conjunto simultaneamente. 
2 
3. MÉTODOS NUMÉRICOS 
Será apresentado dois tipos de métodos: 
 Métodos Diretos: Método de Eliminação de Gauss; 
 Métodos Iterativos: Método de Gauss-Jacobi e Método de Gauss Seidel. 
A. MÉTODOS DIRETOS 
3.A.1 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS 
 
O Método de Eliminação de Gauss ou escalonamento é um método que resolve 
sistemas lineares manipulando o sistema através de determinadas operações 
elementares, transformando a matriz estendida do sistema em uma matriz 
triangular (matriz escalonada do sistema). Com o sistema escalonado, a solução 
pode ser obtida via substituição regressiva. As operações elementares devem 
preservar a solução do sistema e consistem em: 
a) multiplicação de um linha por uma constante não nula; 
b) substituição de uma linha por ela mesma somada a um múltiplo de outra 
linha; 
c) permutação de duas linhas. 
 
B. MÉTODOS ITERATIVOS 
 
3.B.1 MÉTODO DE GAUSS-JACOBI 
O método de Gauss-Jacobi pode ser alcançado a partir de um sistema linear 
 
 
 
 
 
 
Isolando o elemento da primeira equação, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizaremos os elementos 
 
da iteração para calcular o elemento da próxima 
iteração. 
Do mesmo modo, isolando o elemento de cada equação , para todo 
temos a iteração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.B.2 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 
 
Bem como no método de Gauss-Jacobi, o da equação é isolado. Entretantp, a 
equação para 
 
 depende de 
 
 na iteração . Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O método de Gauss-Seidel pode ser construído como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. APLICAÇÕES 
 
Considere o sistema de equações lineares abaixo para determinar as 
concentrações c1, c2 e c3 em uma série de 3 reatores em função de suas quantidades 
de massa. Nesses reatores, as concentrações são medidas em g/m3 e as quantidades 
de massa (termos independentes) em g: 
 
 
 
 
 Adote valores positivos e não nulos para as quantidades de massa 
 , e 
 Verifique as condições de suficiência de convergência dos métodos iterativos 
quando aplicado ao sistema; 
 Resolva o problema usando os métodos de Eliminação de Gauss, Gauss-
Jacobi e Gauss Seidel. Quando necessário, adote valores para a estimativa 
4 
inicial. Assumir também um valor para a precisão mínima desejada. 
Considere no máximo 5 iterações. 
 
MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS 
 
Tome , e 
Temos que: 
 
 [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 
Temos que a matriz estendida do sistema é: 
[
 
 
 
 
 
 
 
] 
 
Pivô: a11=17 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
] 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
] 
Pivô: a22=347 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
] 
 
 
 
 
5 
Temos então: 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO: a solução desejada é 
 {
 
 
 
} 
 
 
MÉTODO DE GAUSS-JACOBI 
Temos que: 
 [
 
 
 
] [ 
 
 
 
 ] [ 
 
 
 
] 
Tomando { } {
 
 
 
} e precisão de 0.001, assim 
1ª ITERAÇÃO 
 
 
 [ ]
 
 
 
 
 
 
 
 [ ]
 
 
 
 
 
 
 
 [ ]
 
 
 
 
 
{ } 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 }
 
 
 
 
 
TESTE DE CONVERGÊNCIA: | |
|
 
 
 
 
 
 
|
| 
 
6 
2ª ITERAÇÃO 
 
 
 *( 
 
 
 
 
 
)+
 
 
 
 
 *( 
 
 
 
 
 
)+
 
 
 
 
 *( 
 
 
 
 
 
)+
 
 
{ } {
 
 
 
} 
TESTE DE CONVERGÊNCIA: | |
 
 
 
| 
 
3ª ITERAÇÃO 
 
 
 [ ]
 
 
 
 
 [ ]
 
 
 
 
 [ ]
 
 
{ } {
 
 
 
} 
TESTE DE CONVERGÊNCIA: | |
 
 
 
| 
 
4ª ITERAÇÃO 
 
 
 [ ]
 
 
 
 
 [ ]
 
 
 
 
 [ ]
 
 
{ } {
 
 
 
} 
TESTE DE CONVERGÊNCIA: | |
 
 
 
| 
 
7 
5ª ITERAÇÃO 
 
 
 [ ]
 
 
 
 
 [ ]
 
 
 
 
 [ ]
 
 
{ } {
 
 
 
} 
TESTE DE CONVERGÊNCIA: | |
 
 
 
| 
 
CONCLUSÃO: Após 5 iterações não foi possível atingir a solução do sistema com a 
precisão desejada. 
 
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 
Temos que: 
 [
 
 
 
] [ 
 
 
 
 ] [ 
 
 
 
] 
Tomando { } {
 
 
 
} e precisão de 0.001, assim 
1ª ITERAÇÃO 
 
 
 [ ]
 
 
 
 
 
 
 
 *( 
 
 )+
 
 
 
 
 *( 
 
 )+
 
 
{ } {
 
 
 
 
} 
TESTE DE CONVERGÊNCIA: | |
 
 
 
 
| 
 
 
8 
2ª ITERAÇÃO 
 
 
 [ ]
 
 
 
 
 [ ]
 
 
 
 
 [ ]
 
 
{ } {
 
 
 
} 
TESTE DE CONVERGÊNCIA: | |
 
 
 
| 
 
3ª ITERAÇÃO 
 
 
 [ ]
 
 
 
 
 [ ]
 
 
 
 
 [ ]
 
 
{ } {
 
 
 
} 
TESTE DE CONVERGÊNCIA: | |
 
 
 
| 
 
CONCLUSÃO: Precisão alcançada com 3 iterações, logo a solução desejada é 
 {
 
 
 
} 
 
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Através das informações obtidas no presente relatório, fica clara a importância 
dos métodos de soluções de sistemas de equação linear no âmbito da Engenharia 
Civil. Acerca dos métodos apresentados, pôde-se observar que foi alcançado 
resultado satisfatório nos três métodos, apesar de não ser possível obter o resultado 
no Método de Gauss-Seidel com 5 iterações, o resultado foi bem próximo. 
9 
6. BIBLIOGRAFIALIRA, W. W. M. Apostila de Cálculo Numérico. Centro de Tecnologia – Universidade 
Federal de Alagoas, 2009. 
Métodos Iterativos para Sistemas Lineares. UFRGS, 2020. Disponível em: 
<https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-sci/sdsl-
metodos_iterativos_para_sistemas_lineares.html> Acesso em: 14 de nov. de 2020. 
PESCADOR, A; POSSAMAI, J.P; POSSAMAI, C.R. Aplicação da Álgebra Linear na 
Engenharia. Cobenge, 2011. 
VALIENTE, E.S.P. Aplicações de Sistemas Lineares e Determinante na 
Engenharia Civil. (Dissertação) Instituto de Matemática – Universidade Federal de 
Mato Grosso do Sul), 2015.