Variaveis_Aleatorias

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1
1
� Introdução e conceito
� Variáveis aleatórias discretas
� Variáveis aleatórias contínuas
Variáveis aleatórias
2
Experimento aleatExperimento aleatóório:rio: Lançamento de uma moeda honesta 
três vezes e observação das faces que ocorrem.
#S = 2 x 2 x 2 = 23 = 8
c
k
c
k
c
k
c
k
c
k
c
k
c
k
→ ccc
→ cck
→ ckc
→ ckk
→ kcc
→ kck
→ kkc
→ kkk
Variáveis aleatórias
S = {ccc , cck , ckc , kcc , kkc , kck , ckk , kkk}
�� Ferramental matemático se amplia consideravelmente se
o espaço amostral for numérico
Diagrama Diagrama 
em em áárvorervore
3
Experimento aleatExperimento aleatóório:rio: Lançamento de uma moeda honesta 
três vezes e observação das faces que ocorrem.
X = nnúúmero de carasmero de caras ocorrido nos três lançamentos
X = {0, 1, 2, 3}
ccc
cck
ckc
kcc
kkc
kck
ckk
kkk
0
1
2
3
X(ccc) = 3
X(cck) = 2
Conjunto não numérico
Conjunto numérico
XX éé a a 
varivariáável que vel que 
transforma transforma 
um conjunto um conjunto 
não numnão numéérico rico 
num conjunto num conjunto 
numnumééricorico
X(kkc) = 1
X(ckk) = 1
X(ckc) = 2
X(kcc) = 2
X(kck) = 1
X(kkk) = 0
Quais são os possíveis valores de X?
S = {ccc , cck , ckc , kcc , kkc , kck , ckk , kkk}
4
S
Espaço 
amostral básico
SX
Espaço amostral 
da variável X
• s •X(s)
X é a função que 
transforma
DomDomíínionio ContradomContradomíínionio
(espaço onde X assume valores)
DefiniDefiniçção:ão: É uma função (ou regra) que transforma um espaço 
amostral qualquer em um espaespaçço amostral numo amostral numééricorico, que será
sempre um subconjunto do conjunto dos números reais.
Variável aleatória
2
5
VariVariááveis aleatveis aleatóóriasrias
DiscretasDiscretas
ContContíínuasnuas
Variáveis aleatórias discretas
DefiniDefiniçção:ão: São discretas todas as variáveis cujo espaço 
amostral SSXX é enumerenumeráável finitovel finito ou infinitoinfinito.
Se X é uma variável aleatória discreta, então SSXX é um 
subconjunto dos inteirossubconjunto dos inteiros.
6
X(kc) = 1
Exemplo: Lançamento de uma moeda honesta até que 
ocorra a face cara e observação das faces que ocorrem.
S = {c , kc , kkc , kkkc , kkkkc , kkkkkc, ...}
Y = número de lanlanççamentos amentos até que ocorra cara
SY = {1, 2 , 3 , 5, 4 , 6, ...}
XSXS →
Y(kc) = 2
Y(c) = 1
YSYS →
X = número de coroascoroas até que ocorra cara
SX = {0 , 1 , 2, 3 , 4 , 5, ...} X(c) = 0
7
1. Função de probabilidade
1.1. p(x) ≥≥≥≥ 0, ∀∀∀∀ x∈∈∈∈SX
DefiniDefiniçção:ão: Seja X uma variável aleatória discreta e SX o 
seu espaço amostral. A função de probabilidade P(X=x)P(X=x), 
ou simplesmente p(x)p(x), será a funfunçção que associa a cada ão que associa a cada 
valor de valor de XX a sua probabilidade de ocorrênciaa sua probabilidade de ocorrência, desde que 
atenda duas condições:
1p(x)
XSx
=∑
∈
2.2.
8
Exemplo:Exemplo: Lançamento de uma moeda honesta três vezes 
e observação das faces que ocorrem.
c
k
c
k
c
k
c
k
c
k
c
k
c
k
→ ccc
→ cck
→ ckc
→ ckk
→ kcc
→ kck
→ kkc
→ kkk
Diagrama Diagrama 
em em áárvorervore
p(0) =1/8
p(1) =3/8
p(2) =3/8
p(3) =1/8
1
8
1
=+
8
3
+
8
1
8
3
+
1SX = {0, , 2, 3}
Primeira 
condição
Segunda 
condição
X = número de caras nos três lançamentos
S = {ccc , cck , ckc , kcc , kkc , kck , ckk , kkk}
3
9
Existem três formas de representar uma função:
�������� RepresentaRepresentaçção tabular:ão tabular: consiste em relacionar em
uma tabela os valores da função de probabilidade.
�������� RepresentaRepresentaçção grão grááfica:fica: consiste em representar
graficamente a relação entre os valores da variável
e suas probabilidades
�������� RepresentaRepresentaçção analão analíítica:tica: estabelece uma expressão
geral para representar o valor da função de probabilidade
num ponto genérico da variável
10
S = {B1B2, P1B1, P1B2, P2B1, P2B2, P3B1, P3B2, P1P2, P1P3, P2P3}
SX = {0, 1, 2}
P(X = 0)
P(X = 1) 
P(X = 2) 
10
1
C
CC
2
5
2
2
0
3
==
10
6
C
CC
2
5
1
2
1
3
==
Exemplo:Exemplo: De uma urna com três bolas pretas e duas brancas, 
retiram-se duas bolas juntas. Se X é o número de bolas pretas
retiradas, determine a função de probabilidade P(X=x).
10
3
C
CC
2
5
0
2
2
3
==
# S = C52 = 10
11
X=x 0 1 2 Σ 
P(X=x) 
10
1
 
10
6
 
10
3
 1 
 
�������� RepresentaRepresentaçção tabularão tabular
�������� RepresentaRepresentaçção grão grááficafica
0 1 2
0,2
0,4
0,6
p(x)
x
12
2
5
x2
2
x
3
C
CC
 x) P(X
−
==
, para SX = {0, 1, 2}
P(X = 0) =
P(X = 1) =
P(X = 2) =
2
5
2
2
0
3
C
CC
2
5
1
2
1
3
C
CC
2
5
0
2
2
3
C
CC
�������� RepresentaRepresentaçção analão analííticatica
4
13
2. Função de distribuição ou probabilidade 
acumulada
DefiniDefiniçção:ão: Seja X uma variável aleatória discreta e SX o seu 
espaço amostral. A função de distribuição, denotada por F(x)F(x)
ou P(XP(X ≤≤≤≤≤≤≤≤ x)x), é a funa funçção que associa a cada valor de ão que associa a cada valor de XX a a 
probabilidadeprobabilidade P(XP(X ≤≤≤≤≤≤≤≤ x)x). Desta forma, temos
F(x) = P(X≤≤≤≤x) = ∑ =
≤xX
x)P(X
14
F(0) = P(X ≤≤≤≤ 0) =
F(1) = P(X ≤≤≤≤ 1) =
F(2) = P(X ≤≤≤≤ 2) =
∑ =
≤0x
x)P(X
∑ =
≤1x
x)P(X
∑ =
≤2x
x)P(X
= P(X = 0) =
= P(X = 0) + P(X = 1) 
= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) 
No exemplo:
F(x) = P(X ≤≤≤≤ x) = P(X x)
X x≤
=∑
10
1
10
7
10
6
10
1
=+=
1
10
3
10
6
10
1
=++=
X=x 0 1 2 Σ 
P(X=x) 
10
1
 
10
6
 
10
3
 1 
 
15
X=x 0 1 2 Σ 
P(X=x) 
10
1
 
10
6
 
10
3
 1 
F(x) 
10
1
 
10
7
 1 - 
 
�������� RepresentaRepresentaçção tabularão tabular
�������� RepresentaRepresentaçção grão grááficafica
0 1 2
0,2
0,4
0,6
0,8
F(x)
1,0
x
16
P(X x)
X x≤
=∑F(x) = P(X ≤≤≤≤ x) =
, para SX = {0, 1, 2}
x 2 x
3 2
2
5
C C
CX x
−
≤
∑F(x) = P(X ≤≤≤≤ x) =
2
5
x2
2
x
3
C
CC
x)P(X
−
==
No exemplo: 
F(1) = P(X ≤≤≤≤ 1) 2
5
1
2
1
3
2
5
2
2
0
3
1x
2
5
x2
2
x
3
C
CC
C
CC
C
CC
+=∑=
≤
−
�������� RepresentaRepresentaçção analão analííticatica
5
17
3. Medidas descritivas
S = {B1B2, P1B1, P1B2, P2B1, P2B2, P3B1, P3B2, P1P2, P1P3, P2P3}
Conjunto 
numérico
XSXS →
Conjunto
não
numérico
X
SX = {0, 1, 2}
No exemplo:
X = número de bolas pretas
em duas retiradas
Possibilita o cPossibilita o cáálculo lculo 
de medidas de medidas 
descritivas: mdescritivas: méédia, dia, 
variância, etc.variância, etc.
18
DefiniDefiniçção:ão: Seja XX uma variável aleatória discreta e SSXX o seu 
espaço amostral. O valor médio de XX, denotado por E(X)E(X), ou 
µµXX, ou simplesmente µµ, é a média dos valores de XX
ponderada pelas suas respectivas probabilidades de 
ocorrência. Deste modo, tem-se
SX = {0, 1, 2}
∑
∑
∈
∈
X
X
Sx
Sx
p(x)
p(x)x
∑
∈
=
XSx
p(x)x
1=
E(X) = µ=
�������� MMéédia ou valor esperadodia ou valor esperado
X=x 0 1 2 Σ 
P(X=x) 
10
1
 
10
6
 
10
3
 1 
 
19
1,2
10
12
10
32
10
61
10
10 ==×+×+×=
No exemplo:
E(X) = µ ∑
∈
=
XSx
p(x)x
bolas pretas
Significado do valor esperado:Significado do valor esperado: se o experimento fosse 
repetido um grande número de vezes, esperaríamos que o 
número médio de bolas pretas escolhidas fosse 1,2.
X=x 0 1 2 Σ 
P(X=x) 
10
1
 
10
6
 
10
3
 1 
 
20
�� Não confundir µx com .x
Importante!!!Importante!!!é a média de alguns valores de X (usualmente uma 
amostra de valores)
x
µx é a média de todos os valores de X (para os quais a 
probabilidade é conhecida)
6
21
Exercício proposto: O tempo (em minutos) para que um 
operário processe certa peça é uma variável com distribuição 
dada na tabela abaixo. 
(a) Calcule o tempo médio de processamento. 
(b) Para cada peça processada o operário ganha um fixo de R$ 
1,00, mas se processa a peça em menos de 6 minutos, ganha R$ 
0,50 por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a 
peça em 5 minutos, recebe a quantia de R$ 0,50. Encontre a 
média de G = quantia ganha por peça. 
x 2 3 4 5 6 7 
p(x) 0,10 0,10 0,30 0,20 0,20 0,10 
 
(R: µµµµ = 4,60)
(R: µµµµ = 1,75)
22
11aa propriedade:propriedade: A média de uma constante cc é a própria 
constante.
E(c)=cE(c)=c
Propriedades da mPropriedades da méédia ou valor esperadodia ou valor esperado
22aa propriedade:propriedade: Se XX é uma variável aleatória e cc uma 
constante, ao somarmos a constante aos valores da variável, 
a média da variável também fica somada da constante.
E(c+X)=c+E(X)E(c+X)=c+E(X)
33aa propriedade:propriedade: Se XX é uma variável aleatória e cc uma 
constante, ao multiplicarmos a variável pela constante, a 
média da variável também fica multiplicada pela constante.
E(cX)=E(cX)=cEcE(X)(X)
23
44aa propriedade:propriedade: A média dos desvios é igual a zero. 
E(XE(X--µµµµµµµµ)=0)=0
55aa propriedade:propriedade: A média dos desvios quadráticos é mínima 
E(XE(X--µµµµµµµµ))2 2 < E(X< E(X--cc))22
77aa propriedade:propriedade: Se XX e YY são duas variáveis aleatórias 
independentes, a média do produto das duas variáveis é
igual ao produto de suas médias.
E(XY) = E(X)E(XY) = E(X) E(Y)E(Y), se XX e YY são independentes
66aa propriedade:propriedade: Se XX e YY são duas variáveis aleatórias, a 
média da soma (ou diferença) das duas variáveis é igual à
soma (ou diferença) de suas médias.
E(XE(X ±±±±±±±±Y) = E(X)Y) = E(X) ±±±±±±±±E(Y)E(Y)
24
2
µ)E(X−=V(X) = σ2
22
µ)E(X −=
DefiniDefiniçção:ão: Seja XX uma variável aleatória discreta e SSXX o 
seu espaço amostral. A variância de XX, denotada por V(X)V(X), 
ou , ou simplesmente σσ22, é o grau médio de dispersão 
dos valores de XX em relação à sua média. Esta medida é
definida como a média ou valor esperado dos quadrados 
dos desvios em relação à média. Deste modo, temos
σσσσσσσσXX
22
�������� VariânciaVariância
∑
∈
−=
XSx
2p(x)µ)(x
OU
∑
∈
=
XSx
22 p(x)x)E(X
onde:
[ ] [ ]222 p(x)x E(X)µ ∑==
7
25
No exemplo:
V(X) = σ2
     
= − × + − × + − × =     
     
2 2 2
12 1 12 6 12 3 36
0 1 2
10 10 10 10 10 10 100
E(X) = µ
V(X) = σ2 22 µ)E(X −=  = − = = 
 
2
18 12 36
0,36
10 10 100
∑= p(x)x)E(X 22
10
18
10
32
10
61
10
10 222 =×+×+×=
1,2
10
12
==
2
µ)E(X −=
∑
∈
−=
XSx
2p(x)µ)(x
bolas pretas 2
X=x 0 1 2 Σ 
P(X=x) 
10
1
 
10
6
 
10
3
 1 
 
26
11aa propriedade:propriedade: Se cc é uma constante, sua variância é nula.
V(c)=0V(c)=0
Propriedades da variânciaPropriedades da variância
22a a propriedade:propriedade: Se XX é uma variável aleatória e cc uma constante, 
ao somarmos a constante aos valores da variável a variância da 
variável não se altera.
V(X+c)=V(X)V(X+c)=V(X)
33a a propriedade:propriedade: Se XX é uma variável aleatória e cc uma constante, 
ao multiplicarmos a variável pela constante a variância da 
variável fica multiplicada pelo quadrado da constante.
V(cX)=cV(cX)=c22 V(X)V(X)
44aa propriedade:propriedade: Se XX e YY são duas variáveis aleatórias 
independentes, a variância da soma (ou diferença) das duas 
variáveis é igual à soma das variâncias de cada uma.
V(XV(X ±±±±±±±±Y)Y) =V(X)=V(X) ++++++++V(Y)V(Y), se XX e YY são independentes
27
V(X)σ =
DefiniDefiniçção:ão: Raiz quadrada positiva da variância.
�������� Desvio padrãoDesvio padrão
No exemplo:
0,60,36V(X)σ ===
Significado do desvio padrão:Significado do desvio padrão: se o experimento fosse 
repetido um grande número de vezes, a variação média do 
número de bolas pretas escolhidas em torno do valor 
esperado seria 0,6.
bolas pretas
28
�� Não confundir σ2 com s2.
Importante!!!Importante!!!
s2 é a variância de algunsalguns valores de X (usualmente 
uma amostra de valores)
σ2 é a variância de todostodos os valores de X (para os quais 
a probabilidade é conhecida)
�� Da mesma forma, não confundir σ com s.
8
29
Exercício proposto: 
Um vendedor recebe uma comissão de R$ 100,00 por uma 
venda. Baseado em suas experiências anteriores ele 
calculou a distribuição de probabilidades das vendas 
semanais: 
(a) Qual é o valor esperado de comissão por semana? 
(b) Qual é a probabilidade de ganhar pelo menos R$ 300,00 
por semana? 
(c) Qual o desvio padrão das vendas semanais?
x 0 1 2 3 4 
p(x) 0,10 0,20 0,40 0,20 0,10 
 
R$ 200,00
0,30
1,10
30
(a) E(X) = 0.0,10 + 1.0,20 + 2.0,40 + 3.0,20 + 4.0,10 = 2 vendas 
por semana. Logo, como ele recebe R$ 100,00 por venda a renda 
esperada semanal é: R$ 200,00.
(b) Para ganhar pelo menos R$ 300,00 por semana ele deve 
realizar 3 ou 4 vendas por semana. Esta probabilidade é:
P(X ≥ 3) = 0,20 + 0,10 = 0,30 = 30% 
(c) Deve-se inicialmente avaliar o valor da variância e para tanto 
calcula-se antes a média dos quadrados:
E(X2) = 02.0,10 + 12.0,20 + 22.0,40 + 32.0,20 + 42.0,10 = 5,20. 
V(X) = E(X2) - µ2 = 5,20 - 22 = 5,20 - 4 = 1,20 
O desvio padrão será: σ = = 1,10120,
31
VariVariááveis aleatveis aleatóórias contrias contíínuasnuas
DefiniDefiniçção:ão: São contínuas todas as variáveis cujo espaço 
amostral SSXX é não enumernão enumeráávelvel.
�������� Se X é uma variável aleatória contínua, X pode assumir 
qualquer valor num intervalo [a; b][a; b] ou no intervalo ((--∞∞∞∞∞∞∞∞;+;+∞∞∞∞∞∞∞∞)).
�������� O espaço SSXX será sempre definido como um intervalo do 
conjunto dos reaisreais, sendo, portanto, um conjunto infinito.
Exemplos:Exemplos:
�������� tempo de vida de um animal
�������� vida útil de um componente eletrônico 
�������� peso de uma pessoa
�������� produção de leite de uma vaca
�������� quantidade de chuva que ocorre numa região
32
1. Fun1. Funçção densidade de probabilidadeão densidade de probabilidade
1.1. f(x) ≥≥≥≥ 0, ∀∀∀∀ x∈∈∈∈SX
DefiniDefiniçção:ão: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o 
seu espaço amostral. Uma função ff associada a variável X
é denominada funfunçção densidade de probabilidadeão densidade de probabilidade ((fdpfdp))
se satisfizer duas condições:
2.2. 1 f(x)dx
XS
∫ = = P(X∈∈∈∈SX)
Esta Esta áárea corresponde rea corresponde 
àà probabilidade de a probabilidade de a 
varivariáável vel XX pertencer ao pertencer ao 
espaespaçço amostral o amostral SSXX
ÉÉ toda a funtoda a funçção que não assuma valores negativos, ou cujo grão que não assuma valores negativos, ou cujo grááfico fico 
esteja acima do eixo das abscissas, e cuja esteja acima do eixo das abscissas, e cuja áárea compreendida entre a rea compreendida entre a 
funfunçção e o eixo das abscissas seja igual a 1 (um).ão e o eixo das abscissas seja igual a 1 (um).
9
33
área = 1
área = 1
SX
x
f (x)
0
SX
f (x)
x0
34
Exemplo:
Seja a função f (x) = 2x, no intervalo SX = [0,1]. Verifique se f (x) 
é uma função densidade de probabilidade.
Primeira condiPrimeira condiçção:ão: f (x) ≥≥≥≥ 0, ∀∀∀∀ x∈∈∈∈SX
f (x=0) = 2××××0 = 0 
f (x) = 2x
f (x=1) = 2××××1 = 2 
x0 1
2
1
f (x)
Todos os valores da funTodos os valores da funçção ão f (x) f (x) são são 
não negativos no intervalo de 0 a 1.não negativos no intervalo de 0 a 1.
SX
Como a função é linear, são necessários 
dois pontos para traçar a reta. 
Por conveniênciaesses pontos são os 
limites do intervalo SX.
•
•
35
1 f(x)dx
XS
∫ =Segunda condiSegunda condiçção:ão:
1
2
21
2
hb
=
×
=
×
A A áárea sob a funrea sob a funçção ão f (x) f (x) no no 
intervalointervalo SSXX, que equivale a , que equivale a 
P(XP(X∈∈∈∈∈∈∈∈SSXX)), , éé igual a 1.igual a 1.
Área:
A funA funçção ão ff (x) = 2x(x) = 2x, no intervalo , no intervalo 
SSXX =[0, 1] =[0, 1] éé uma funuma funçção ão 
densidade de probabilidade!!densidade de probabilidade!!
36
Seja A=[0, 1/2]. Qual é a probabilidade de ocorrer o evento A?
Área: 4
1
2
11/2
2
hb
=
×
=
×
A
Probabilidade = área
P(0 ≤ X ≤ 1/2) = 1/4
10
37
Importante!!!Importante!!!
No caso de variáveis contínuas, as representações aa≤≤xx≤≤bb, 
aa≤≤xx<<bb, aa<<xx≤≤bb e aa<<xx<<bb são todas equivalentes, pois a 
probabilidade num ponto, por definição, é nula.
∫ ∫ =−===
A
a
a
0F(a)F(a)xf(x)d f(x)dx P(A)
Seja o evento A={x; x=a}A={x; x=a}. Então, 
A
38
∫
∞−
x
f(t)dt
2. Função de distribuição ou probabilidade 
acumulada
DefiniDefiniçção:ão: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o 
seu espaço amostral. A função de distribuição, denotada por
F(x)F(x) ou P(XP(X≤≤≤≤≤≤≤≤x)x), é a funfunçção que associa a cada ponto ão que associa a cada ponto xx∈∈∈∈∈∈∈∈SSXX
a probabilidadea probabilidade P(XP(X≤≤≤≤≤≤≤≤x)x). Desta forma, tem-se
F(x) = P(X ≤≤≤≤ x) = 
Se SX =[a, b], então 
F(a) = P(X ≤ a) = 0
F(b) = P(X ≤ b) = 1
, para SX = (-∞;+∞).
39
x
F(x) f(t) dt 
−∞
= ∫
Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1]
2xF(x) =
x
0
2t dt = ∫
x2
0
t2
2
 
=  
 
40
2xF(x) =
Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1]
A=[0, 1/2]
B=[1/2, 1]
111)P(XF(1) 2 ==≤=
( ) ( ) ( ) 1/41/21/2XP1/2F 2 ==≤=
P(A) = F(1/2)=1/4
P(B) = F(1)-F(1/2) =1-1/4=3/4
11
41
∫
XS
f(x)dxx 
∫ −=−==
XS
222 f(x)dxµ)(xµ)E(XσV(X)
Medidas descritivasMedidas descritivas
DefiniDefiniçção:ão: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o seu espaço 
amostral. O valor esperado de X, denotado por E(X)E(X) ou µµµµµµµµ , será dado 
por
E(X) = µ =
(Fórmula de definição)
DefiniDefiniçção:ão: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o seu espaço 
amostral. A variância de X, denotada por V(X)V(X) ou σσσσσσσσ22, será dada por
2
S
2222
µf(x)dxxµ)E(XσV(X)
X
−








=−== ∫ (Fórmula prática)
�������� MMéédia ou valor esperadodia ou valor esperado
�������� VariânciaVariância
42
= µ = ∫
xS
E(X) xf(x) dx 
= σ = −µ2 2 2V(X) E(X )
Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1]
= ∫
1
0
x2x dx 
= ∫
1
2
0
 2x dx = ∫
1
2
0
2 x dx
 
=  
 
13
0
x
2
3
=
2
3
 
= −µ 
 
∫
1
2 2
0
x 2x dx
   
= −   
  
∫
21
3
0
2
2x dx
3
   
= −  
   
14
0
x 4
2
4 9
= −
1 4
2 9
−
= =
9 8 1
18 18
43
Exercício proposto:
Determinar a média e a variância da vac cuja fdp é dada 
por: 
f(x) = 3x2 se -1 ≤ x ≤ 0
Solução: 
µ = E(X) 
σ2 = V(X)
0
1
x f(x) dx
−
= ∫
0 2
1
x (3x ) dx
−
= ∫
0 3
1
(3x ) dx
−
= ∫
04
1
3
4
x
−
 
=  
 
0 2 2
1
x f(x) dx µ
−
= −∫ ( )20 2 21 3x (3x ) dx 4−= − −∫
( )0 41 93x dx 16−= −∫ ( )
05
1
x 93 165
−
 
= − 
 
µ = -3/4 e σ2 = 3/80
3
4= −
3 9
5 16
= −
3
80
=