Lista 3 Funcoes

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Lista 3 - Func¸o˜es
Prof.a Aline Lea˜o
A - Relac¸o˜es
1. Esboce no plano cartesiano os pontos A(1,−3), B(2,−4), C(7
2
, 3
8
), D(−1
2
, 1
2
), E(0, 1) e F (− 1
10
, 0).
2. Dados os conjuntos A = {1, 2, 4}, B = {0, 1, 2} e C = {−1, 0} represente pelos elementos e
pelo gra´fico cartesiano os seguintes produtos cartesianos:
(a) A×B
(b) A× C
(c) B × C
(d) C ×B
(e) B2
(f) C2
3. Dados os conjuntos A = {x ∈ R : 1 ≤ x < 2}, B = {x ∈ R : −1 < x ≤ 2} e C = {x ∈ R :
√
3 < x ≤ 4}, represente graficamente os seguintes conjuntos:
(a) A×B
(b) A× C
(c) B × C
(d) C ×B
(e) B2
(f) C2
(g) (A×B) ∪ (B × C)
4. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 4} represente graficamente os
seguintes conjuntos:
(a) A×B
(b) B × A
(c) (A×B) ∪ (B × A)
5. Para cada uma das relac¸o˜es bina´rias em R, determine o domı´nio, a imagem e esboce a figura
que represente sua regia˜o no plano.
(a) xRy ⇐⇒ y ≤ 2
(b) xRy ⇐⇒ x = y − 1
(c) xRy ⇐⇒ x2 + y2 ≤ 25
(d) xRy ⇐⇒ x ≥ y
(e) xRy ⇐⇒ y ≥ −x
(f) xRy ⇐⇒ x2
9
+ y2 < 1
(g) xRy ⇐⇒ x2 + y2 6= 4
(h) xRy ⇐⇒ x ≥ 2 e y > 4
(i) xRy ⇐⇒ x ≥ 0 e y ≥ 0
(j) xRy ⇐⇒ −3 ≤ x ≤ 4 e 0 < y < 4
(k) xRy ⇐⇒ |x| = |y|
6. Para cada uma das figuras abaixo, fornec¸a a relac¸a˜o bina´ria em R que descreve a a´rea
sombreada.
(a)
−2. −1. 1. 2. 3.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
0
(b)
−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3.
x
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3. y
0
(c)
−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4.
x
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
y
0
(d)
−2. −1. 1. 2. 3.
x
−2.
−1.
1.
2.
y
0
(e)
−2. −1. 1. 2. 3.
x
−2.
−1.
1.
2.
y
0
(f)
−2. −1. 1. 2. 3.
x
−2.
−1.
1.
2.
y
0
7. Sejam os conjuntos A ⊂ B ⊂ C. Estabelecer as relac¸o˜es de inclusa˜o entre os conjuntos
A× A, A×B, A× C, B × A, B ×B, B × C, C × A, C ×B, C × C
8. Se {(1,−2), (3, 0)} ⊂ A e |A| = 16 (cardinalidade de A igual a 16), enta˜o representeA2 pelos
seus elementos.
9. Considerando A ⊂ B, {(0, 5), (−1, 2), (2,−1)} ⊂ A × B e |A × B| = 12, represente A × B
pelos seus elementos.
10. Classifique cada relac¸a˜o S × T , com S = T = N como um-para-um, um-para-va´rios, va´rios-
para-um ou va´rios-para-va´rios.
(a) R = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 3), (4, 3)}
(b) R = {(9, 7), (6, 5), (3, 6), (8, 5)}
(c) R = {(12, 5), (8, 4), (6, 3), (7, 12)}
(d) R = {(2, 7), (8, 4), (2, 5), (7, 6), (10, 1)}
11. Sejam R1 e R2 relac¸o˜es bina´rias em N definidas por xR1y ⇐⇒ y divide x, xR2y ⇐⇒ 5x ≤
y. Determine quais dos pares ordenados satisfazem as relac¸o˜es dadas:
(a) R1 ∪R2; {(2, 6), (3, 17), (2, 1), (0, 0)}
(b) R1 ∩R2; {(3, 6), (1, 2), (2, 12)}
(c) R′1; {(1, 5), (2, 8), (3, 15)}
(d) R′2; {(1, 1), (2, 10), (4, 8)}
12. Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Enumerar os pares ordenados e construir o gra´fico da relac¸a˜o R
em A definida por xRy ⇐⇒ x e y sa˜o primos entre si.
13. Seja R e´ a relac¸a˜o bina´ria de A = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 6} em B = {y ∈ R : 1 ≤ y ≤ 4} definida
por xRy ⇐⇒ x = 2y.
(a) Represente A×B no plano cartesiano.
(b) Represente R no plano cartesiano.
(c) Determine o domı´nio e a imagem R.
14. Se R1 e R2 sa˜o as relac¸o˜es bina´rias de A = {x ∈ Z : −2 ≤ x ≤ 5} em B = {y ∈ Z : −2 ≤
y ≤ 3} definidas por:
xR1y ⇐⇒ 2 divide (x− y)
xR2y ⇐⇒ (x− 1)2 = (y − 2)2
(a) Represente R1 e R2 no plano cartesiano.
(b) Determine R1 ∩R2
(c) Determine o domı´nio e a imagem R1 e R2.
15. Dados os conjuntos A = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 6}, B = {y ∈ R : 2 ≤ y ≤ 10} e as seguintes
relac¸o˜es bina´rias:
(a) R = {(x, y) ∈ A×B : x = y}
(b) R = {(x, y) ∈ A×B : y = 2x}
(c) R = {(x, y) ∈ A×B : y = x + 2}
(d) R = {(x, y) ∈ A×B : x + y = 7}
pede-se o gra´fico cartesiano dessas relac¸o˜es e das respectivas relac¸o˜es inversas.
B - Func¸o˜es: definic¸a˜o, domı´nio e imagem
16. Estabelecer se cada uma das relac¸o˜es abaixo define ou na˜o uma func¸a˜o de A = {−1, 0, 1, 2}
em B = {−2,−1, 0, 1, 2, 3}. Justificar.
17. Quais dos esquemas abaixo definem uma func¸a˜o de A = {0, 1, 2} em B = {−1, 0, 1, 2}?
18. Quais das relac¸o˜es de R em R cujos gra´ficos dados abaixo sa˜o func¸o˜es? Justificar.
(a)
x
y
(b)
x
y
(c)
x
y
c
(d)
x
y
(e)
x
y
(f)
x
y
19. Seja f(x) =
3x− 1
x− 7 , determine:
(a)
5f(−1)− 2f(0) + 3f(5)
7
(b) f(3x− 2)
(c)
[
f
(
1
2
)]2
(d) f(t) + f
(
4
t
)
(e)
f(h)− f(0)
h
20. Seja f a func¸a˜o de R em R definida por: f(x) =
 1 se x ∈ Qx + 1 se x /∈ Q , calcule:
(a) f(3)
(b) f(
√
4)
(c) f(−3
7
)
(d) f(
√
3− 1)
(e) f(0, 75)
21. Dado o gra´fico de uma func¸a˜o:
(a) Obtenha o valor de f(−1).
(b) Estime o valor de f(2).
(c) f(x) = 2 para quais valores de x?
(d) Estime os valores de x para os quais f(x) = 0.
(e) Obtenha o domı´nio e a imagem de f .
(f) Em qual intervalo f e´ crescente?
22. Dados os gra´ficos de f e g:
(a) Obtenha os valores de f(−4) e g(3).
(b) f(x) = g(x) para quais valores de x?
(c) Estime a soluc¸a˜o da equac¸a˜o f(x) = −1.
(d) Em qual intervalo f e´ decrescente?.
(e) Deˆ o domı´nio e a imagem de f .
(f) Obtenha o domı´nio e a imagem de g.
23. Determine a imagem das func¸o˜es representadas abaixo.
24. Quais sa˜o os valores do domı´nio da func¸a˜o real definida por f(x) = x2−5x+9 que produzem
imagem igual a 3?
25. Seja f uma func¸a˜o real dada por f(x) = 3x+2
x−1 . Determine seu domı´nio. Qual elemento do
domı´nio que tem imagem 2?
26. Determine o domı´nio das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = 1
x−3
(b) y =
√
x2 − 2
(c) f(x) = x|x|
(d) f(x) =
√
x− 3x2
(e) h(x) = 1
3+
√
x
(f) f(x) = sen2
√
x
(g) f(x) =
√
x2 − 4x + 3
(h) h(t) =
√
(t2 − 3t + 2)(1− t)
(i) y = 1|x2−4|
(j) h(s) =
√
s2 + 1
(k) g(x) =
√
x2−4
x−4
(l) f(x) = x
3x−1
(m) f(t) =
√
t + 3
√
t
(n) h(x) = 14√x2−5x
(o) f(x) = 5
(p) f(t) = t2 − 6t
(q) g(x) =
√
x− 5
(r) G(x) = 3x+|x|
x
(s) f(x) =
 x + 2, se x < 01 + x, se x ≥ 0
(t) f(x) =
 x + 2, se x ≤ −1x2, se x > −1
(u) f(x) =
√
x
x+1
(v) f(x) = 1
1−√x
(w) f(x) = 1√
x+1
27. As func¸o˜es f, g : R→ R definidas por f(x) = √x2 e g(x) = x sa˜o iguais? Justificar.
28. As func¸o˜es f, g : R→ R cujas leis de correspondeˆncia sa˜o f(x) =
√
x− 1
x + 1
e g(x) =
√
x− 1√
x + 1
podem ser iguais? Justificar.
29. As func¸o˜es f e g de A = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 0 ou x > 1} em R, definidas por f(x) =√
x + 1
x2 − x e g(x) =
√
x + 1√
x2 − x sa˜o iguais? Justificar.
30. As func¸o˜es f : R→ R, f(x) = x+ 1 e g : R−{1} → R, g(x) = x
2 − 1
x− 1 sa˜o iguais? Justificar.
C - Func¸o˜es de primeiro grau
31. Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es.
(a) f(x) = 2
(b) f(x) =
√
2
(c) f(x) = −1
(d) f(x) = 0
(e) f(x) =
x
3
(f) f(x) = 2x
(g) f(x) = −x
2
(h) f(x) = 2x + 1
(i) f(x) = −x
2
+ 1
(j) f(x) = −3x + 2
(k) f(x) =
2x− 3
4
(l) f(x) =
4− 3x
2
32. Resolva anal´ıtica e graficamente os sistemas de equac¸o˜es:
(a)
 x + y = 5x− y = 1
(b)
 2x− 5y = 97x + 4y = 10
(c)
 x + 2y = 12x + 4y = 3
(d)
 3x− 2y = −142x + 3y = 8
(e)
 2x + 5y = 03x− 2y = 0
(f)

1
x− y +
1
x + y
=
3
4
1
x− y −
1
x + y
= −1
4
(g)

3
x + y + 1
− 2
2x− y + 3 =
5
12
2
x + y + 1
+
3
2x− y + 3 = 1
33. Obter a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos:
(a) (1,−3) e (5, 7)
(b) (2, 3) e (3, 5)
(c) (3,−2) e (2,−3)
(d) (1, 2) e (2, 2)
(e) (1,−1) e (−1, 2)
34. Obter a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto e tem o coeficiente angular dados, respecti-
vamente, por:
(a) (1,3) e 2
(b) (-2,4) e -3
(c) (-3, 1) e −1
2
(d) (1,5) e 1
35. Obter a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto e tem o coeficiente lineardados, respectiva-
mente, por.
(a) (-2, 1) e 4
(b) (-3, -2) e -3
(c) (1,1) e 3
(d) (3,2) e -1
36. Classifique as func¸o˜es como crescentes, decrescentes e estude o sinal das func¸o˜es.
(a) f(x) = 2x + 3
(b) f(x) = 4− x
(c) f(x) = 3− x
2
(d) f(x) = 5 + x
(e) f(x) = −x
3
+ 3
2
(f) f(x) = −x
37. Estudar segundo os valores do paraˆmetro m, a variac¸a˜o (crescente, decrescente ou constante)
das func¸o˜es:
(a) f(x) = (m + 2)x− 3
(b) f(x) = 4− (m + 3)x
(c) f(x) = (4−m)x + 2
(d) f(x) = m(x− 1) + 3− x
38. Resolva as inequac¸o˜es.
(a) −2 < 3x− 1 < 4
(b) −4 < 4− 2x ≤ 3
(c) −3 < 3x− 2 < x
(d) x + 1 ≤ 7x− 3x < x
2
− 1
(e) 2− x < 3x + 2 < 4x + 1
39. Resolva o sistema de inequac¸o˜es.
(a)
 3x− 2 > 4x + 15x + 1 ≤ 2x− 5
(b)

5− 2x < 0
3x + 1 ≥ 4x− 5
x− 3 ≥ 0
(c)

3x + 2 ≥ 5x− 2
4x− 1 > 3x− 4
3− 2x < x− 6
(d)

2x− 5
1− x ≤ −2
x2 + x + 3
x + 1
> x
D - Func¸o˜es de segundo grau
40. Determine as ra´ızes, o valor do ponto de mı´nimo ou ma´ximo, a imagem, intervalo que a
func¸a˜o e´ crescente e decrescente, estude o sinal da func¸a˜o e esboce o gra´fico das func¸o˜es.
(a) f(x) = x2
(b) f(x) = x2 + 1
(c) f(x) = x2 − 1
(d) f(x) = (x− 1)2
(e) f(x) = (x + 1)2
(f) f(x) = −x2
(g) f(x) = −x2 + 1
2
x + 1
2
(h) f(x) = x2 − 3x + 9
4
(i) f(x) = 3x2 − 9x + 6
(j) f(x) = 1
2
x2 + x + 1
(k) f(x) = −3x2 + 12x
(l) (x) = −x2 + 5x− 1
(m) f(x) = −1
3
x2 + 1
2
x− 1
4
(n) f(x) = x2 − 2x + 2
(o) y = −(x− 2)2
(p) y = 1
2
(x2 + 8x)
41. Determinar uma func¸a˜o quadra´tica f tal que f(−1) = −4, f(1) = 2 e f(2) = −1.
42. Determine m de modo que:
(a) f(x) = mx2 + (2m− 1)x + (m− 2) tenha dois zeros reais e distintos.
(b) f(x) = (m− 1)x2 + (2m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos.
(c) f(x) = (m + 2)x2 + (3− 2m)x + (m− 1) tenha ra´ızes reais.
(d) f(x) = mx2 + (m + 1)x + (m− 1) tenha um zero real duplo.
(e) f(x) = (m + 1)x2 + (2m + 3)x + (m− 1) na˜o tenha zero reais.
43. Obter uma equac¸a˜o de segundo grau de ra´ızes
(a) 2 e -2
(b) 1
2
e −3
2
(c) 0, 4 e 5
(d) 1 +
√
3 e 1−√3
44. Determinar o valor de m na func¸a˜o real f(x) = 3x2 − 2x + m para que o valor mı´nimo seja
5
3
.
45. Determine o valor de m na func¸a˜o real f(x) = −3x2 + 2(m− 1)x+ (m+ 1) para que o valor
de ma´ximo seja 2.
46. Determinar m na func¸a˜o real de modo que f(x) = 3x2 − 4x + m tenha imagem Im = {y ∈
R : y ≥ 2}
47. Determinar m na func¸a˜o real f(x) = −x
2
3
+mx− 1
2
para que a imagem seja Im = {y ∈ R :
y ≤ 7}
48. Resolva as inequac¸o˜es
(a) x2 − 2x + 2 > 0
(b) x2 − 2x + 1 ≤ 0
(c) −2x2 + 3x + 2 ≥ 0
(d) −1
3
x2 +
1
2
x− 1
4
> 0
(e) (x2 − x− 2)(−x2 + 4x− 3) > 0
(f) (x2 + x− 6)(−x2 − 2x + 3) ≥ 0
(g)
2x2 + x− 1
2x− x2 ≤ 0
(h) 4 < x2 − 12 ≤ 4x
(i)
4x2 + x− 5
2x2 − 3x− 2 > 0
E - Func¸o˜es modulares e func¸o˜es por partes
49. Determine o domı´nio, a imagem e esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es.
(a) f(x) = |x|
(b) f(x) = |x| − 1
(c) f(x) = |x + 1|
(d) f(x) = |x + 2| − 3
(e) f(x) = |x|
x
(f) f(x) = |x+1|
x+1
(g) f(x) = |2x− 1| − 2
(h) f(x) = |x + 2|+ x− 1
(i) f(x) = x · |x|
(j) f(x) = | − x2 + 1
2
x + 1
2
|
(k) f(x) = |x2 + 20x− 9|
(l) g(x) = −1 + |2x + 2|
(m) f(x) = ||x| − 2|
(n) f(x) = ||2x + 3| − 1|
(o) f(x) = ||x2 − 1| − 3|
(p) f(x) = ||3x− 3| − |2x + 1||
(q) f(x) =
 |x|+ 1, x < 1−x + 1, x ≥ 1
(r) f(x) =

2x + 3, x ≤ 0
x2, 0 < x < 2
1, x ≥ 2
(s) f(x) = |x− 1|+ |x− 2|
50. Encontre uma expressa˜o para a func¸a˜o cujo gra´fico e´ a curva dada por:
F - Func¸o˜es poteˆncia, raiz, racionais e impl´ıcitas
51. Determine o domı´nio, a imagem e esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es.
(a) f(x) = x3
(b) f(x) = x3 + 1
(c) f(x) = −x3
(d) f(x) = 2− x3
(e) f(x) = |x3|
(f) f(x) = (x− 1)3
(g) f(x) = −x3
(h) f(x) =
√
x + 3
(i) f(x) =
√
x− 1
(j) f(x) =
√
x + 1
(k) f(x) =
√
x− 1 + 1
(l) f(x) =
√−x
(m) f(x) = −√x
(n) f(x) = 3
√
x− 1
(o) f(x) = − 1
x
(p) f(x) = − 1
2x
(q) f(x) = 1|x|
(r) f(x) = 1
x+1
(s) f(x) = 2
x+1
(t) f(x) = 1|x+2|
(u) f(x) = 1
x−1
(v) f(x) = 1
x2
(w) f(x) = x
x−1
52. Encontre uma expressa˜o para a func¸a˜o cujo gra´fico e´ a curva dada:
(a) A metade inferior da para´bola x + (y − 1)2 = 0
(b)
53. Esboce o gra´fico da func¸a˜o y = f(x) dada implicitamente pela equac¸a˜o.
(a) y+1
y
= x, x 6= 1
(b) x2 + y2 = 1, y ≤ 0
(c) x− y2 = 0, y ≥ 0
(d) (x− 1)2 + y2 = 4, y ≥ 0
54. Associe cada func¸a˜o abaixo a uma das curvas no gra´fico
(a) f(x) = −2
3
x4
(b) f(x) = 1
2
x−5
(c) f(x) = 2x1/4
(d) f(x) = −x5/3
(e) f(x) = −2x−2
(f) f(x) = 1, 7x2/3
G - Operac¸o˜es com func¸o˜es, func¸o˜es compostas, func¸o˜es pares, ı´mpares,
simetria, reflexa˜o, deslocamentos
55. O gra´fico de y =
√
3x− x2 e´ dado.
Use transformac¸o˜es para criar a func¸a˜o cujo gra´fico e´ mostrado.
(a)
(b)
56. Suponha que seja dado o gra´fico de f . Escreva as equac¸o˜es para os gra´ficos obtidos do gra´fico
de f , da seguinte forma:
(a) Desloque 3 unidades para cima.
(b) Desloque 3 unidades para baixo.
(c) Desloque 3 unidades para a direita.
(d) Desloque 3 unidades para esquerda.
(e) Fac¸a uma reflexa˜o em torno do eixo x.
(f) Fac¸a uma reflexa˜o em torno do eixo y.
(g) Expanda verticalmente por um fator de 3.
(h) Comprima verticalmente por um fator de 3.
57. O gra´fico de uma func¸a˜o f encontra-se abaixo.
Esboce os gra´ficos das seguintes equac¸o˜es.
(a) y = f(x)− 2
(b) y = f(−x)
(c) y = f(2− x)
(d) y = f(x− 1)
(e) y = 1
2
f(x)
(f) y = |f(x)|
(g) y = f(|x|)
(h) y = f(2x)
58. Os gra´ficos de f e g sa˜o mostrados a seguir. Verifique se cada func¸a˜o e´ par, ı´mpar, ou nem
par nem ı´mpar. Explique seu racioc´ınio.
(a) (b)
59. (a) Se o ponto (5, 3) estiver no gra´fico de uma func¸a˜o par, que outro ponto tambe´m devera´
estar no gra´fico?
(b) Se o ponto (5, 3) estiver no gra´fico de uma f unc¸a˜o ı´mpar que outro ponto tambe´m
devera´ estar no gra´fico?
60. Uma func¸a˜o f tem o domı´nio [−5, 5] e e´ mostrada uma parte do seu gra´fico
(a) Complete o gra´fico de f sabendo que ela e´ uma func¸a˜o par.
(b) Completo o gra´fico de f sabendo que ela e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
61. Verifique se a func¸a˜o e´ par, ı´mpar ou nenhum dos casos.
(a) f(x) = 2x4
(b) f(x) = x3
(c) f(x) =
√
x2 + 2
(d) f(x) = 3
1+x2
(e) f(x) = −x2 + 0, 03x + 5
(f) f(x) = x3 + 0, 04x2 + 3
(g) f(x) = 2x3 − 3x
(h) f(x) = 1
x
(i) f(x) = |x|
(j) f(x) = x
5−x
1+x2
62. Esboce o gra´fico das func¸o˜es abaixo e determine se tem simetrias em relac¸a˜o ao eixo x, ao
eixo y, ou a origem.
(a) f(x) = x
3+x2
(b) f(x) = 1
1+x2
(c) f(x) = |x|
(d) f(x) = x
63. Determine o domı´nio e esboce o gra´fico das func¸o˜es.
(a) f(x) = x
2+1
x
(b) f(x) =
√
x + 1
x
(c) f(x) = x + 1√
x
(d) f(x) = −x + 1
x
(e) f(x) = |x|+ 1
x
64. Verifique que Imf ⊂ Dg e determine a composta h(x) = g(f(x))
(a) g(x) =
√
x e f(x) = x2
(b) g(x) = 3x + 1 e f(x) = x + 2
(c) g(x) = x+1
x−1 e f(x) =
x
x+1
(d) g(x) = x+1
x−2 e f(x) = x
2 + 3
(e) g(x) = 3
√
x e f(x) =
√
2 + x2
(f) g(x) =
√
x e f(x) = x2 − x, x ≤ 0 ou
x ≥ 1
(g) g(x) = −x2 + 3x + 1 e f(x) = 2x− 3
H - Func¸o˜es sobrejetoras, injetoras, bijetoras e inversas
65. (a) O que e´ uma func¸a˜o injetora?
(b) A partir do gra´fico, como dizer se uma func¸a˜o e´ injetora?
66. (a) Seja f uma func¸a˜o injetora com domı´nio A e imagem b. Como e´ definida a func¸a˜o
inversa f−1? Qual o domı´nio de f−1? Qual e´ a imagem de f−1?
(b) Se for dada uma fo´rmula para f , como voceˆ podera´ encontrar uma fo´rmula para f−1?
(c) Se for dadoo gra´fico de f , como voceˆ encontrara´ o gra´fico de f−1?
67. A func¸a˜o f e´ dada pelo gra´fico. Determine se f e´ injetora
(a)
(b)
(c)
(d)
68. Determine se f e´ injetora, sobrejetora, bijetora, ou na˜o e´ sobrejetora e nem injetora.
(a) f : R→ R tal que f(x) = 1
2
(x + 5)
(b) f : R→ R tal que f(x) = 1 + 4x− x2
(c) f : R→ R tal que f(x) = |x|
(d) f : R+ → R tal que f(x) =
√
x
(e) f : R→ R tal que f(x) = 2x + 1
(f) f : R→ R tal que f(x) = |x|(x− 1)
(g) f : R→ R tal que f(x) =
 x2, x ≥ 0x, x < 0
(h) f : R→ R tal que f(x) =
 3x− 2, x ≥ 2x− 2, x < 2
(i) f : R→ R tal que f(x) =
 4− x2, x ≥ 1x2 − 6x + 8, x < 1
(j) f : R→ R tal que f(t) e´ a altura de uma bola t segundos apo´s ser chutada.
(k) f : R→ R tal que f(t) e´ sua altura com t anos de idade.
69. Determine o valor de b em B = {y ∈ R : y ≥ b} de modo que a func¸a˜o f de R em B definida
por f(x) = x2 − 4x + 6 seja sobrejetora.
70. Determine o maior valor de a em A = {x ∈ R : x ≤ a} de modo que a func¸a˜o f de A em R
definida por f(x) = 2x2 − 3x + 4 seja injetora.
71. Quantas sa˜o as injec¸o˜es de A = {a, b} em B = {c, d, e, f}?
72. Quantas sa˜o as sobrejec¸o˜es de A = {a, b, c} em B = {d, e}?
73. Quantas sa˜o as bijec¸o˜es de A = {a, b, c, d} em B = {p, q, r, s}?
74. Liste todas as func¸o˜es sobrejetoras de a = {a, b, c} em B = {p, q}.
75. Liste todas as func¸o˜es injetoras de A = {a, b} em B = {p, q, r}.
76. Se f for uma func¸a˜o injetora tal que f(2) = 9, quanto e´ f−1(9)?
77. E´ dado o gra´fico de f .
(a) Por que f e´ injetora?
(b) Determine o domı´nio e a imagem de f−1.
(c) Qual o valor de f−1(2)?
(d) Obtenha uma estimativa para o valor de f−1(0).
78. Encontre uma fo´rmula para a func¸a˜o inversa.
(a) f(x) = 2x + 3
(b) f(x) = 4x−1
3
(c) f(x) = x3 + 2
(d) f(x) = (x− 1)3 + 2
(e) f(x) = 3
√
x + 2
(f) f(x) = 3
√
1− x3
(g) f(x) =
√
10− 3x
(h) f(x) = 2x3 + 3
79. f : R→ R tal que f(x) = x2 admite func¸a˜o inversa?
80. Seja f : R− → R+ tal que f(x) = x2. Qual a func¸a˜o inversa de f?
81. Use o gra´fico dado de f para esboc¸ar o de f−1.
(a)
(b)
I - Resoluc¸a˜o de problemas
82. Uma bola e´ atirada verticalmente para cima em t = 0 com uma velocidade inicial de 192cm/s.
A velocidade da bola em func¸a˜o do tempo e´ v = 192− 96t.
(a) Qual e´ a direc¸a˜o da bola apo´s 3s de seu lanc¸amento?
(b) Em que instante a bola atinge a sua altura ma´xima acima do solo? Explique o seu
racioc´ınio.
(c) O que pode ser dito acerca da acelerac¸a˜o da bola?
83. Ha´ dois sistemas para medir a temperatura, Celsius e Fahrenheit. A a´gua congela a 0o
Celsius (0oC) e a 32o Fahrenheit (32oF ), e ferve a 100oC e 212oF .
(a) Supondo que a relac¸a˜o entre as temperaturas Celsius TC e Fahrenheit TF e´ uma equac¸a˜o
linear, encontre-a.
(b) Qual e´ a temperatura na qual a leitura em Celsius e Fahrenheit e´ a mesma?
(c) A temperatura normal do corpo e´ de 98, 6oF . Quanto e´ em oC?
84. A resisteˆncia ele´trica R em Ohms (Ω) para um fio de metal puro esta´ relacionada com a sua
temperatura T em oC pela fo´rmula R = R0(1 +kT ) no qual R0 e k sa˜o constantes positivas.
(a) Fac¸a um esboc¸o a` ma˜o do gra´fico de R versus T e explique o significado geome´trico de
R0 e k para o seu gra´fico.
(b) Em teoria, a resisteˆncia R de um fio cai para zero quando a temperatura atinge o zero
absoluto (T = −273oC). Que informac¸a˜o isto da´ sobre k?
(c) Uma laˆmpada com filamento de tungsteˆnio tem uma resisteˆncia de 1, 1 a uma tempe-
ratura de 20oC. Que informac¸a˜o isto da´ sobre R0 do filamento?
(d) A` qual temperatura o filamento de tungsteˆnio tem uma resisteˆncia de 1, 5?
85. A lei de Boyle estabelece que, a uma temperatura constante, a pressa˜o exercida por um ga´s
esta´ relacionado ao volume V pela equac¸a˜o P = k
V
.
(a) Ache as unidades apropriadas para a constante k se a pressa˜o (que e´ a forc¸a por unidade
de a´rea) for em newtons por metro quadrado (N/m2) e o volume em metros cu´bicos
(m3).
(b) Ache k se o ga´s exercer uma pressa˜o de 20.000N/m2 quando o volume e´ 1litro(0, 001m3).
(c) Fac¸a uma tabela que mostre as presso˜es para o volume de 0, 25; 0, 5; 1, 0; 1, 5 e 2, 0 litros.
(d) Fac¸a um gra´fico de P versus V .
86. Dentre todos os nu´meros reais x e y tais que 2x + z = 8, determine aqueles cujo produto e´
ma´ximo.
87. Entre os retaˆngulos de per´ımetro 2p dado, qual e´ o de a´rea ma´xima?
88. Um arame de 10 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedac¸os, um dos quais sera´
torcido de modo a formar um quadrado e outro, a formar uma circunfereˆncia. De que modo
devera´ ser cortado para que a soma das a´reas das regio˜es limitadas pelas figuras obtidas seja
mı´nima.
89. E´ dado uma folha de cartolina como na figura abaixo. Cortando a folha na linha pontilhada
resultara´ um retaˆngulo. Determinar esse retaˆngulo sabendo que a a´rea e´ ma´xima.
90. Dentre todos os nu´meros de soma 6 determine aqueles cuja soma dos quadrados e´ mı´nima.