Relação de equivalência IFCE

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Relação de equivalência 
 
1 
 
Relação de equivalência 
este capítulo, vamos definir o que vem a ser uma relação de equivalência em 
A
, 
onde 
A
 é um conjunto qualquer. A definição de relação de equivalência em um 
conjunto 
A
 é extremamente importante, e desempenha hoje um papel em quase 
toda parte da matemática. Uma relação de equivalência serve para classificar os objetos 
de um conjunto e são elas que produzem as partições de um conjunto. Podemos ver 
diariamente muitos exemplos de relações de equivalência. Em uma farmácia podemos 
classificar como equivalentes os remédios que têm o mesmo princípio ativo; em uma 
biblioteca podemos classificar como equivalentes os livros que tratam do mesmo tema 
etc. 
 
Objetivos 
• Identificar se uma dada relação é uma relação de equivalência. 
• Determinar as classes de equivalência de uma relação de equivalência. 
• Determinar a partição de um conjunto por uma relação de equivalência. 
 
TÓPICO 1: Relação de equivalência 
Objetivos 
• Identificar o algoritmo que permite calcular o ângulo entre duas retas não 
verticais quaisquer do plano cartesiano. 
• Compreender a fórmula que fornece a distância entre ponto e reta no plano 
cartesiano. 
 
 As relações de equivalência são de extrema importância. Elas permitem classificar ou 
agrupar elementos de um conjunto 
A
 em subconjuntos contendo elementos equivalentes 
ou relacionados entre eles. Na prática, as relações de equivalência são aquilo que 
definimos como igualdade de objetos. 
 Começaremos diretamente ao conceito (definição) de relação binária. 
 
 Por exemplo, se 
 3,2,1A
, então 
        1,3,3,3,1,2,1,1
 é uma relação binária, 
dado que é um subconjunto de 
                   3,3,2,3,1,3,3,2,2,2,1,2,3,1,2,1,1,1  AA
 
 Ao invés de falar de 
AA
 podemos falar de uma relação binária 

 (relação entre 
dois elementos de 
A
) sobre o próprio 
A
, definindo que 
x
 está relacionado com 
y
. 
N 
Definição 1.1 Uma relação binária 

 num conjunto 
A
 é qualquer subconjunto do 
produto cartesiano 
AA
, isto é, 
AA
. 
 
Capítulo 1 
Relação de equivalência 
 
2 
 
 
 Noutras palavras, dizemos que uma relação 

 sobre um conjunto 
A
 é uma relação de 
equivalência se 

 for: reflexiva, simétrica e transitiva. 
 Por uma questão de conveniência, usaremos a notação 
yx
 para indicar que o par 
ordenado 
 ,x y
 pertence à relação 

, ou seja, 
   yxyx ,
 
Com essa nova notação, as condições acima ganham o seguinte aspecto: 
a) 
x x
, para todo 
Ax
 (reflexiva), 
b) Se 
yx
, então 
y x
, para todo 
Ayx ,
 (simétrica), 
c) Se 
yx
 e 
y z
, então 
x z
 (transitiva). 
 É costume adotar a notação ‘‘ ~ ’’ para uma relação de equivalência em um conjunto 
A
. Sempre que mencionarmos uma relação de equivalência em um conjunto 
A
, 
estaremos assumindo que 
A Φ
. Por outro lado, a notação 
x
¿
y
quer dizer que “
x
 não 
está relacionado com 
y
”. 
Exemplo 1.1 Seja 
 3,2,1A
. Mostre que a relação 
AA
 dada por: 
          1,2,2,1,3,3,2,2,1,1
 
é de equivalência em 
A
. 
Solução. Para este caso temos: 
Como 
      3,3,2,2,1,1
 isto garante que 
  xx,
, para todo 
Ax
, ou seja 
xx
, 
para todo 
Ax
. 
Como 
   1,11,1 
, 
   2,22,2 
, 
   3,33,3 
, 
   1,22,1 
 e 
   2,11,2 
 isto garante 
que para todo 
Ayx ,
, 
     xyyx ,,
, ou seja, se 
yx
, então 
xy
, para todo 
Ayx ,
. 
Como 
     1,11,1 e 1,1 
, 
     2,22,2 e 2,2 
, 
     3,33,3 e 3,3 
, 
     2,12,2 e 2,1 
, 
     2,12,1 e 1,1 
, 
     1,21,1 e 1,2 
, 
     1,21,2 e 2,2 
, isto 
garante que para todo 
Azyx ,,
, 
  yx,
 e 
  zy,    zy,
. 
Exemplo 1.2 Seja 
A
 o conjunto de todas as retas de um dado plano. A relação ~ em 
A
 
definida por 
x
~
)a paralela é reta (a yxyxy 
 
Mostre que ~ é uma relação de equivalência em 
A
. 
Solução. Como 
xx
, para todo 
Ax
, tem-se 
x
~
x
 e portanto, a relação ~ é reflexiva. 
Se 
x
~
y
, então 
yx
. Consequentemente 
xy
 ou seja, 
y
~
x
. Logo, ~ é uma relação 
simétrica. 
Se 
x
~
y
 e 
y
~
z
, então 
yx
 e 
zy
. Portanto, 
zx
, ou seja, 
x
~
z
. Logo, ∼ é uma 
relação transitiva. Como ∼ é reflexiva, simétrica e transitiva, então ∼ é uma relação de 
equivalência em 
A
. 
Definição 1.2 Seja 
A
 um conjunto. Uma relação 
AA
 é chamada relação de 
equivalência em 
A
 se satisfaz as seguintes condições: 
a) 
 ,x x 
, para todo 
Ax
 (propriedade reflexiva), 
b) Se 
 ,x y 
, então 
 ,y x 
, para todo 
Ayx ,
 (propriedade simétrica), 
c) Se 
 ,x y 
 e 
 ,y z 
, então 
 ,x z 
 (propriedade transitiva). 
 
Relação de equivalência 
 
3 
 
 
Exemplo 1.3 Seja 
A
 um conjunto. Mostre que a relação 
AA
 dada por: 
  Ayxyx  ,:,
 
é de equivalência em 
A
. 
Solução. Seja 
Ax
, claramente 
  xx,
, ou seja 
xx
, para todo 
Ax
. Logo, a 
relação 

 é reflexiva. 
Sejam 
Ayx ,
 e 
yx
, ou seja, 
  yx,
. Como 
Ayx ,
, é imediato que 
  xy,
, 
ou seja, se 
yx
, então 
xy
, para todo 
Ayx ,
. Logo, a relação 

 é simétrica. 
Sejam 
Azyx ,,
, 
yx
 e 
zy
, ou seja, 
  yx,
 e 
  zy,
, como 
Azx ,
, 
  zx,
, ou seja, 
zx
, para todo 
Azyx ,,
. Logo, a relação 

 é transitiva. Como 

 
é reflexiva, simétrica e transitiva, então 

 é uma relação de equivalência em 
A
. 
 
Exemplo 1.4 Seja 
A
 um conjunto. Mostre que a relação 
AAS 
 dada por: 
  yxyxS  :,
 
é de equivalência em 
A
. 
Solução. Seja 
Ax
qualquer. Como 
xx 
 temos que 
  Sxx ,
, ou seja 
xSx
, para todo 
Ax
. Logo, a relação 
S
 é reflexiva. 
Sejam 
Ayx ,
 e 
xSy
, ou seja, 
  Syx ,
. Como 
yx 
, é imediato que 
xy 
, ou seja, 
  Sxy ,
. Assim, se 
xSy
, então 
ySx
, para todo 
Ayx ,
. Logo, a relação 
S
 é simétrica. 
Sejam 
Azyx ,,
, 
xSy
 e 
ySz
, ou seja, 
  Syx ,
 e 
  Szy ,
, como 
, e zyyx 
então 
zx 
, ou seja, 
  Szx ,
. Isto garante que 
xSz
, para todo 
Azyx ,,
. Logo, a relação 
S
 
é transitiva. Como 
S
 é reflexiva, simétrica e transitiva, então 
S
 é uma relação de 
equivalência em 
A
. 
 
Exemplo 1.5 Fixado um número inteiro 
1n
, seja 
 
 a relação de congruência 
módulo 
n
, ou seja, dois números inteiros 
a
 e 
b
 são ditos congruentes módulo 
n
 se 
 ban  
 (
n
 divide 
ba 
). Usamos para a congruência a notação 
)(mod nba 
 (lê-se: 
a
 é congruente a 
b
 módulo 
n
). Mostre que a relação de congruência é uma relação de 
equivalência em Z. 
Solução. Como 
0 aa
 e 
0 n
, temos que 
)(mod naa 
, para todo 
a
Z. Isto mostra 

 é reflexiva. Se 
)(mod nba 
, então 
 ban  
, ou seja, 
nkba 
, com 
k
Z. Logo, 
 knkb 
, com 
 k
Z, o que implica que 
)(mod nab 
 e portanto, 

 é simétrica. 
Finalmente, se 
)(mod nba 
 e 
)(mod ncb 
, então 
 ban  
 e 
 cbn  
, o que significankba 
 e 
nqcb 
, com 
qk,
Z. Assim, 
     qkncbbaca 
 
com 
 qk
Z. Isso nos diz que 
 can  
, isto é, 
)(mod nca 
 e a relação 

 é transitiva. 
 
 Existe uma forma alternativa de se pensar relações de equivalências. Para isto, 
precisamos de duas definições. A definição de partição de um conjunto não vazio e a 
definição de classes de equivalência. Em geral, visualizamos um conjunto pelos seus 
elementos. Uma relação de equivalência em um conjunto permite visualizar o conjunto 
por meio dos seus subconjuntos chamados classes de equivalência. 
Relação de equivalência 
 
4 
 
 
 
Exemplo 1.6 Seja 
 5,4,3,2,1A
 e a relação de equivalência 
AA
 dada por: 
                      2,3,3,2,3,5,5,3,2,5,5,2,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1
 
Determine as classes de equivalência 
1
,
2
,
3
,
4
.e 
5
. 
Solução. Por definição, 
• 
     11,:1:1  xAxxAx
 
• 
      5,3,22,:2:2  xAxxAx
 
• 
      5,3,23,:3:3  xAxxAx
 
• 
      44,:4:4  xAxxAx
 
• 
      5,3,25,:5:5  xAxxAx
 
 
Exemplo 1.7 Sejam 
A
C e ~ uma relação definida em C por: 
z
~
wzw 
 
Mostre que, ∼ é uma relação de equivalência sobre C e descreva a classe de equivalência 
i1
. 
Solução. Como 
zz 
, para todo 
x
C, tem-se 
z
~
z
 e portanto, a relação ~ é reflexiva. 
Se 
z
~
w
, então 
wz 
. Consequentemente 
zw 
 ou seja, 
w
~
z
. Logo, ~ é uma 
relação simétrica. 
Se 
z
~
w
 e 
w
~
t
, então 
wz 
 e 
tw 
. Portanto, 
tz 
, ou seja, 
z
~
t
. Logo, ∼ é 
uma relação transitiva. Como ∼ é reflexiva, simétrica e transitiva, então ∼ é uma relação 
de equivalência em C. 
 Por definição, 
      iiyxCiyxiiyxCiyxi  1:1~:1
 
ou seja, 
 2:1 22  yxCiyxi
 
Isto significa que, a classe de equivalência 
i1
 é um círculo centrado na origem de raio 
2. Veja a Figura 1. 
Figura 1: Círculo centrado na origem de raio 2. 
Definição 1.3 Sejam 
A
 um conjunto não vazio, 
AA
 uma relação de 
equivalência em 
A
 e 
Aa
. Definimos a classe de equivalência do elemento 
Aa
, denotada 
a
, por: 
 axAxa  :
 
Relação de equivalência 
 
5 
 
 
Fonte: autor (2017) 
 Seja 

 uma relação de equivalência em um conjunto 
A
. O teorema a seguir nos 
mostra que as classes de equivalência de dois elementos de 
A
 ou são idênticas ou são 
disjuntas. 
Demonstração. 1. (

) suponhamos que 
yx 
 para todo 
Ayx ,
. Como 
yxx 
, 
então 
yx
. Isto 
yx
, para todo 
Ayx ,
. 
(

) suponhamos que 
yx
 para todo 
Ayx ,
. Para todo 
xz
, temos 
xz
. Da hipótese 
yx
. Daí, temos: 
xz
 e 
yx
. Como 

 é uma relação de equivalência, vale a 
propriedade transitiva e temos: 
xz
 e 
yzyx 
 
Como 
yz
, da definição de classe de equivalência temos: 
yz
. Da definição de contido 
temos 
yx 
. Do mesmo modo, podemos mostrar que 
xy 
. Da igualdade de conjuntos 
temos 
yx 
. 
2. Suponhamos por absurdo que 
Φ yx
. Seja 
 yxz 
. Então 
xz
 e 
yz
 e 
usando a simetria temos 
zx
 e 
yz
 e pela transitividade 
yx
 e pelo item 1. temos que 
yx 
, o que é uma contradição. 
3. Como 
Ax 
, para todo 
Ax
, então 
(1.1) Ax
Ax


U
 
Reciprocamente, seja 
Ax
. Como 
xx
, então 
(1.2) U
Ax
xA


 
Segue-se, de (1.1) e (1.2) que 
.Ax
Ax


U
 
 
Teorema 1.1 Seja 

 uma relação de equivalência em 
A
. Então: 
1. 
yx 
 se, e somente se, 
yx
, para todo 
Ayx ,
. 
2. Se 
yx 
, então 
Φ yx
. 
3. 
.Ax
Ax


U
 
 
Relação de equivalência 
 
6 
 
 O teorema 1.1 nos fornece propriedades muito importantes. Ele nos fornece a ideia de 
que todo elemento de uma classe de equivalência 
x
 tem a mesma classe de equivalência 
que 
x
, ou seja, 
x
 pode ser representado por 
y
, para todo 
yx
. Ele nos garante também 
que duas classes de equivalência distintas são disjuntas. Além disso, as classes de 
equivalência distintas de uma relação de equivalência de um conjunto 
A
 dão uma 
subdivisão de 
A
 em subconjuntos disjuntos e não-vazios, isto é, definem uma partição 
de 
A
. 
 
 Note que a definição 1.4 é equivalente a: cada elemento de 
A
 pertence a um e somente 
um elemento (ou bloco) de 
P
. Note, também, que todo conjunto não vazio 
A
 admite as 
partições triviais: 
    APAxxP  21 e :
 
Seja 
A
 um conjunto não-vazio com um número finito de elementos. Com essa nova 
hipótese, as condições da definição de partição ganham o seguinte aspecto. Um conjunto 
   1 2, , , ,nP A A A A 
 
é uma partição de 
A
 se as seguintes condições são satisfeitas: 
1. 
, 1,2, , ;iA i nΦ 
 
2. 
 , se para , 1,2, , ;i jA A i j i j nΦ   
 
3. 
1 2 .nA A A A   
 
Exemplo 1.8 Seja 
 7,6,5,4,3,2,1A
. Mostre que 
    6,4,7,2,5,3,1P
 é uma partição 
de 
.A
 Mas o conjunto 
    7,6,5,5,4,3,2,3,2,1Q
 não é uma partição de 
.A
 
Solução. Sejam 
     6,4 e 7,2, 5,3,1 321  AAA
. Temos que 
Φ ji AA
 para 
ji 
onde 
 3,2,1, ji
. Além disso, 
AAAA  321
 
Isto mostra que 
    6,4,7,2,5,3,1P
 é uma partição de 
.A
 Veja a Figura 2. 
Figura 2: Partição de 
.A
 
 
Definição 1.4 Seja 
A
 um conjunto não-vazio. Dizemos que um conjunto 
 AP 
 
é uma partição de 
A
 se as seguintes condições são satisfeitas: 
1. 
PΦ
 (isto é todo elemento de 
P
 é não vazio); 
2. Quaisquer dois elementos distintos de 
P
 são disjuntos (isto é 
,X Y P 
, se 
X Y
, então 
 X Y Φ 
); 
3. A união de todos os elementos de 
P
 “reproduz” o conjunto original 
X P
X A


 
 
 
Relação de equivalência 
 
7 
 
Fonte: autor (2017) 
Sejam 
     7,6,5 e 5,4,3,2 ,3,2,1 321  AAA
. Temos que 
 3,221  AA
. Isto mostra 
que 
    7,6,5,5,4,3,2,3,2,1Q
 não é uma partição de 
.A
 
Exemplo 1.9 Uma partição 
   1 2, , , ,nP A A A A 
 é dita uma partição de ordem 
k
 
se 
  , 1,2, ,in A k i n 
. Supondo que 
  8n A 
, determine: 
a) As ordens possíveis para uma partição de 
.A
 
b) O número de partições de 
A
 que têm ordem 2. 
Solução. a) Como 
A
 tem 8 elementos, então, as possíveis ordens para uma partição 
de 
A
 são os divisores naturais de 8: 1, 2, 4 e 8. 
a) Uma partição de ordem 2 terá 4 subconjuntos de 
A
, cada qual com dois 
elementos. O número de partições possíveis é: 
8,2 6,2 4,2 8! 6! 4! 1 105
4! 6!2! 2!4! 2!2! 4!
C C C
n
 
     
 
 Intuitivamente, utilizamos relações de equivalência no nosso cotidiano. Por exemplo, 
seja 
A
 um cesto de frutas e peguemos sacolas plásticas e separemos as frutas na sacola 
segundo a relação de equivalência: duas frutas são equivalentes se são da mesma espécie. 
Cada sacola, neste caso, comportará apenas frutas de mesma espécie. Cada sacola 
representa uma classe de equivalência. Definimos o conjunto quociente por: 
 
 Observe que uma relação de equivalência 

 em 
A
 origina um único conjunto 
quociente 
A
. Além disso, o conjunto 
A
e 
A
 não está contido um no outro, nem 
vice-versa, pois oselementos são distintos. Veja a Figura 3. 
Figura 3: Conjunto 
A
 e conjunto quociente 
A
. 
 
Fonte: autor (2017) 
Exemplo 1.10 Seja 
 3,2,1A
 e a relação de equivalência 
AA
 dada por: 
          1,2,2,1,3,3,2,2,1,1
 
Determine 
A
. 
Solução. Para calcular 
A
, basta calcular as classes de equivalência de 
A
. Por 
definição, 
• 
      2,11,:1:1  xAxxAx
 
• 
      2,12,:2:2  xAxxAx
 
Definição 1.5 Sejam 
A
 um conjunto não vazio e 
AA
 uma relação de 
equivalência em 
A
. Definimos o conjunto quociente de 
A
 por 

, denotado 
A
, 
por: 
 AxxA  : 
 
 
 
Relação de equivalência 
 
8 
 
• 
      33,:3:3  xAxxAx
 
Assim, 
 3 ,1 A
 ou seja, 
    3 ,1,2 A
 
Exemplo 1.11 Determine todas as relações de equivalência 

 sobre o conjunto 
 1,2,3A 
 e os respectivos conjuntos quocientes 
A 
. 
Solução. Para 
 1A 
 temos que 
  1,1
 é a única relação de equivalência em 
A
, e 
portanto, 
   1 : 1 1b A b   
. Assim, 
  1A 
. 
Para 
 1,2A 
 temos as seguintes relações de equivalência em 
A
: 
    1 1,1 , 2,2 
 e 
        2 1,1 , 2,2 , 1,2 , 2,1 
. 
Análise para 
1
 
Neste caso, temos as classes de equivalências, 
   11 : 1 1b A b   
 e 
   12 : 2 2b A b   
. Assim, 
    1 1 , 2A  
. 
Análise para 
2
 
Neste caso, temos as classes de equivalências, 
   21 : 1 1,2b A b   
 e 
   22 : 2 1,2b A b   
. Assim, 
  2 1,2A  
. 
 
Para 
 1,2,3A 
 temos as seguintes relações de equivalência em 
A
: 
      
          
          
          
1
2
3
4
5
1,1 , 2,2 , 3,3 
1,1 , 2,2 , 3,3 , 1,2 , 2,1
1,1 , 2,2 , 3,3 , 1,3 , 3,1
1,1 , 2,2 , 3,3 , 2,3 , 3,2
 A A
 
 
 
 
  
 
Análise para 
1
 
Neste caso, temos as classes de equivalências, 
 1 1
, 
 2 2
 e 
 3 3
. Assim, 
      1 1 , 2 , 3A  
. 
Análise para 
2
 
Neste caso, temos as classes de equivalências, 
 1 1,2 2 
 e 
 3 3
. Assim, 
    2 1,2 , 3A  
. 
Análise para 
3
 
Neste caso, temos as classes de equivalências, 
 2 2
 e 
 1 3 1,3 
. Assim, 
    3 2 , 1,3A  
. 
Análise para 
4
 
Relação de equivalência 
 
9 
 
Neste caso, temos as classes de equivalências, 
 1 1
 e 
 2 3 2,3 
. Assim, 
    4 1 , 2,3A  
. 
Análise para 
5
 
Neste caso, temos as classes de equivalências, 
 1 2 3 1,2,3  
. Assim, 
 5A A 
. 
Exemplo 1.12 Usando a relação congruência 
(mod )x y n
 (lê-se: 
x
 é congruente a 
y
 
módulo 
n
). Determine, o conjunto quociente de pela congruência módulo 
n
. 
Solução. Dado 
x
, por definição de classe de equivalência, temos 
 : (mod )x y y x n  
 
Logo, 
x
 e 
y
 deixam o mesmo resto 
0 r n 
 na divisão por 
n
. Portanto, se 
y x
, 
então 
y nq r 
 para algum 
q
, assim, 
  (mod )y r nq n y r r y n     
 
ou seja, 
y r
. Isto mostra que 
x r
, ou seja, 
 0,1,2, , 1x n 
 
 Analogamente, podemos mostrar que 
 0,1,2, , 1n x 
. Logo, 
 0,1,2, , 1x n 
 
Assim, 
 0,1,2, , 1n  
. Usaremos a notação 
n
 para simbolizar o conjunto 
quociente de pela relação 
(mod )n
. 
Exemplo 1.13 Dê exemplo de relações de equivalência 

 em um conjunto 
A
 tais que: 
1. 
 AA 
 (onde 
 AA 
 representa a partição de 
A
 pela relação de 
equivalência 

); 
2. 
 xx 
, para todo 
Ax
; 
3. 
A
 seja um conjunto infinito e o conjunto 
A
 contenha exatamente 11 
elementos; 
4. A seja um conjunto infinito e 
A
 também o seja um conjunto infinito. 
Solução. 1. Considere 
 1,2A 
 e a relação de equivalência em 
A
: 
        1,1 , 2,2 , 1,2 , 2,1
 
Neste caso, temos as classes de equivalências, 
   1 : 1 1,2b A b   
 e 
   2 : 2 1,2b A b   
. Assim, 
  1,2A 
, ou seja, 
 A A
. 
2. Seja 

a relação de equivalência definida em 
A 
 pôr: 
a b a b  
 
Assim, para 
x
, temos 
     : : :x y y x y y x x x       
 
isto mostra que 
 xx 
, para todo 
x
. 
 
3. Considere 
A 
 (conjunto infinito) e a relação de equivalência em 
A
: 
 (mod11) 11x y x y  
 
Relação de equivalência 
 
10 
 
Neste caso, 
 11 0,1,2, ,10
 e que tem 11 elementos. 
4. Seja 

a relação de equivalência definida em 
A 
 (conjunto infinito) por: 
a b a b  
 
Para todo 
x
, temos que 
 xx 
, para todo 
x
. Assim, 
             : : 0 , 1 , 2 , , ,A x x A x x x    
 
 
Exemplo 1.14 Mostre que a relação 
* 
 definida por 
    bcaddcba  ,,
 
para todo 
ca,
Z e 
*,b d
, define uma relação de equivalência em *A  , onde 
 * 0 
. Compare o conjunto 
A
 com Q, o conjunto dos números racionais. 
Solução. Como 
ab ba
, para todo 
* e a b 
, tem-se 
   , ,a b a b
 e portanto, a 
relação 

 é reflexiva. 
Se 
   , ,a b c d
, então 
ad bc
. Consequentemente 
cb da
 ou seja, 
   , ,c d a b
. 
Logo, 

 é uma relação simétrica. 
Se 
   , ,a b c d
 e 
   , ,c d e f
, então 
ad bc
 e 
cf de
, onde 
, ,a c e
 e 
*, ,b d e
. Portanto, 
adf bcf
 e 
bcf bde
 
dessa forma 
adf bde
, como 
0d 
, então 
af be
 e isto mostra que 
   , ,a b e f
 
que é uma relação transitiva. Como 

 é reflexiva, simétrica e transitiva, então 

 é uma 
relação de equivalência em *A  . 
 Dado 
 ,a b  
, denotamos por 
a
b
 (
a
 sobre 
b
) a classe de equivalência do par 
 ,a b
 pela relação 

. Assim, 
      , : , ,
a
x y x y a b
b
   
 
e pelo item 1. do teorema 1.1 
   , ,
a c
a b c d ad bc
b d
    
 
 Pela definição de conjunto quociente, 
  : e 
a
a b
b
        
 
 
 
 Veremos agora, que uma relação de equivalência determina uma partição sobre um 
conjunto. 
Demonstração. Seja 
a A 
. Como 

 é uma relação de equivalência sobre 
A
, então 
a a
 e portanto, 
a a
, isto mostra que 
0a 
 para todo 
a A
. 
Teorema 1.2 Sejam 
A
 um conjunto e 
AA
 uma relação de equivalência sobre 
A
 então, 
A
 é uma partição de 
A
. 
 
Relação de equivalência 
 
11 
 
 Mostraremos agora que, se 
,a b A 
 e 
a b
, então 
a b Φ 
. Suponha por absurdo 
que 
a b Φ 
. Daí, existe 
c A
 tal que 
c a b 
. Da definição de classe de 
equivalência, 
 e c a c b 
 
 Como 

 é uma relação de equivalência tem propriedade simétrica e, portanto, 
a c
 e 
temos: 
 e a c c b 
 
 Como 

 é uma relação de equivalência tem propriedade transitiva, então 
a b
. Pelo 
Teorema 1.1, 
a b
, o que é uma contradição. 
 Pelo item 3. do Teorema 1.1, 
a A
a A


. Logo, 
A
 é uma partição de 
A
. 
Exemplo 1.15 Seja 

 a seguinte relação de equivalência no conjunto 
 1,2,3,4,5A 
 
                  1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4, 5,5 , 2,3 , 3,2 , 1,5 , 5,1
 
Determine uma partição de 
A
. 
Solução. Neste caso, basta calcular classes de equivalências, 
 1 1,5
, 
 2 2,3
, 
 3 2,3
, 
 4 4
 e 
 5 1,5
. Assim, 
      1,5 , 2,3 , 4P A 
 é uma partição de 
A
 
 No teorema a seguir veremos que uma partição de um conjunto podemos associar uma 
relação de equivalência. 
Demonstração. Seja 
AA
 a relação definida por: 
existe tal que e x y X P x X y X    
 
Daí, temos: para todo 
x A
, como 
P
 é uma partição de 
A
, então 
X P
 tal que 
x X
. Logo, 
x x
 e portanto, a relação 

 é reflexiva. 
 Para todo 
,x y A
. Da definição da relação 

 temos: 
existe tal que e x y X P x X y X    
 
Como 
 e x X y X 
 é o mesmo que 
 e xy X X 
. Neste, temos: 
existe tal que e x y X P y X x X    
 
 Da definição da relação 

 temos: 
existe tal que e X P y X x X y x    
 
Portanto: 
x y y x  
 e portanto, a relação 

 é reflexiva. 
 Para todo 
, ,x y z A
. Suponha que 
x y
 e 
y z
. Da definição da relação 

 temos: 
1 1 1existe tal que e x y X P x X y X    
 
e 
2 2 2existe tal que e y z X P y X z X    
 
Como 
1 2 e y X y X 
 temos que 
1 2 X X Φ 
. Como 
1 2,X X P
 e 
P
 é uma partição 
de 
A
, então 
1 2 1 2 X X X XΦ   
 
 
Portanto: 
1 1 e x X z X 
. Daí, temos: 
Teorema 1.3 Sejam 
A
 um conjunto e 
 AP 
 uma partição de 
A
, então existe uma 
relação 
AA
 de equivalência em 
A
 tal que 
A P
. 
 
Relação de equivalência 
 
12 
 
1 1 1existe tal que e X P x X z X  
 
Da definição da relação 

 temos: 
1 1 1existe tal que e X P x X z X x z    
 
e isto mostra que 

 é uma relação transitiva. Como 

 é reflexiva, simétrica e transitiva, 
então 

 é uma relação de equivalência em 
A
. 
 Agora, vamos mostrar que 
A P
. Se 
X P
, então existe 
x A
 tal que 
x X
, 
pois 
X Φ
; assim, 
y X y x y x    
 
isto é, 
X x
. Logo, 
P A 
. 
 Reciprocamente, sejam 
x A 
 e 
X
 o elemento de 
P
 tal que 
x X
. Então 
y x y x y X    
 
isto é, 
x X
. Logo, 
A P
. 
Exemplo 1.16 Sejam 
 1,2,3,4,5,6A 
 e 
        1 , 2 , 3,5 , 4,6P 
 uma partição de 
A
. 
Encontre a relação de equivalência 

 em 
A
, explicitamente como conjunto de pares 
ordenados. 
Solução. Sejam 
 1 1X 
,
 2 2X 
, 
 3 3,5X 
 e 
 4 4,6X 
. Seja 
AA
 a relação 
definida por: 
 
existe tal que , para 1,2,3,4 i ix y X P x y X i    
 
Isto significa que basta construir todos os pares ordenados com os elementos dos 
subconjuntos da partição. Veja a Figura 4. 
Figura 4: Partição do conjunto 
A
. 
 
Fonte: autor (2017) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Com isso, encerramos este tópico, onde vimos uma fórmula que permite calcular o 
ângulo entre duas retas não verticais quaisquer do plano cartesiano. No próximo tópico, 
Relação de equivalência 
 
13 
 
deduzimos uma maneira prática para calcular a área de um triângulo conhecendo-se as 
coordenadas de seus vértices. 
 
 
1. Teste a validade das propriedades reflexiva, simétrica e transitiva para as relações 

 
em 
 1,2,3A 
 dadas abaixo. Descreva a partição associada a cada relação de 
equivalência: 
a) 
          1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,3
; 
b) 
          1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2 , 2,3
; 
c) 
            1,1 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 1,3 , 3,1
; 
d) 
A A 
. 
2. Teste a validade das propriedades reflexiva, simétrica e transitiva para as relações 
binárias através dos seguintes subconjuntos 2Ω   (plano real): 
a) 
  2, : 0 e 0x y x yΩ    
; 
b) 
  2, : 0x y xyΩ   
; 
c) 
  2 2 2, : 1x y x yΩ    
; 
3. Seja 
A B
 fixado. Para 
 ,X Y B
, definimos 
X Y A X A Y    
 
Mostre que, 

 é uma relação de equivalência em 
 B
. 
4. Sejam 
 , nA B M
, onde 
 nM
 é o conjunto de matrizes 
2 2
 com entradas reais. 
Definimos neste conjunto a relação dada por: 
1existe uma matriz invertível tal que B A B P PAP  
 
Mostre, que 

 é uma relação de equivalência em 
 nM
. 
5. Seja 
:f A B
 uma função. Então definimos a seguinte relação em 
:A
 
1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x A x x f x f x   
 
Prove que, 

 define uma relação de equivalência no conjunto 
A
. 
6. Seja 
( )D
 o conjunto das funções diferenciáveis em . Definimos a seguinte 
relação em 
( )D
 
' ', ( ), f g D f g f g  
 
Prove que, define uma relação de equivalência no conjunto 
( )D
. Determine 
três elementos de 
g
, onde 
3( )g x x
. 
7. Mostre que a interseção 
S
 de duas relações de equivalências 
 e S
 em um 
conjunto 
A
 é também uma relação de equivalência em 
.A
 
Relação de equivalência 
 
14 
 
8. Seja 
 2 : , , 2 0A a b a b a b    
. Definimos a seguinte relação em 
:A
 
x
x y
y
  
. Prove que, 

 define uma relação de equivalência no conjunto 
A
. 
9. Defina a relação 

 em por: 
2 2 é parx y x y  
. Prove que, 

 é uma relação 
de equivalência em . 
10. Sejam 
 : 4A x x  
 e 

 uma relação de equivalência em 
A
 definida por 
2 22 2x y x x y y    
 
Determine o conjunto quociente 
/A 
. 
11. Sejam 
A
 um conjunto não vazio e 
1
 e 
2
 duas relações de equivalências em 
A
. 
Prove que, se 
1 2/ /A A  
, então 
1 2 
. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
 
 
 
 
Para cada 
a
, seja 
  2 2, :aA x y y a x   
. Mostre que 
 :aP A a 
 é 
uma partição de 

.