Matemática I Lista 3

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS 
- CAMPUS NEPOMUCENO 
 
Lista 3 – Cálculo I 
Derivadas 
Profa. Msa. Camila Libanori Bernardino 
 
1. Qual é o sentido geométrico da derivada? Que outra interpretação a derivada pode ter? 
 
2. Qual é a definição de derivada de uma função 𝑓(𝑥) no ponto 𝑥 = 𝑎? Quando dizemos que uma 
função é diferenciável? Qual é a relação existente entre diferenciabilidade e continuidade de 
função? Dê um exemplo de função contínua, mas não diferenciável. 
 
3. No gráfico de 𝑓(𝑥) abaixo, marque 𝑓(2), 𝑓(2 + ℎ), 𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2) e ℎ (escolha ℎ > 0). O que 
significa 
𝑓(2+ℎ)−𝑓(2)
ℎ
? 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Se 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 5𝑥, encontre 𝑓′(2) e use este valor encontrado para escrever a equação da reta 
tangente a 𝑓(𝑥) no ponto (2,2). 
 
5. Se 𝐹(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥 + 1, encontre 𝐹′(1) e a use para encontrar a equação da reta tangente à curva 
𝐹(𝑥) no ponto (1, −3). Esboce os gráficos de 𝐹(𝑥) e da reta tangente encontrada. 
 
6. Calcule, usando a definição, a derivada das seguintes funções no ponto 𝑥 = 𝑎. 
 
a. 𝑓(𝑥) = 3 − 2𝑥 + 4𝑥2 
 
b. 𝑓(𝑥) =
2𝑥+1
𝑥+3
 
 
c. 𝑓(𝑥) =
1
√𝑥+2
7. Cada limite abaixo representa a derivada de uma função num determinado ponto. Identifique 
qual é a função e qual é o ponto em questão. 
 
a. limℎ→0
(1+ℎ)10−1
ℎ
 
 
b. lim𝑥→5
2𝑥−32
𝑥−5
 
 
c. limℎ→0
cos(𝜋+ℎ)+1
ℎ
8. Encontre as derivadas das funções abaixo usando a definição de derivada. Determine o domínio 
das funções 𝑓(𝑥) e 𝑓′(𝑥). 
 
a. 𝑓(𝑥) = 37 
 
b. 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥2 
 
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 5 
 
 
 
d. 𝑔(𝑥) = √1 + 2𝑥 
 
e. 𝐺(𝑡) =
4𝑡
𝑡+1
 
 
f. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 
 
 
 
 
 
9. O gráfico de 𝑓(𝑥) é dado abaixo. Identifique quais são os pontos onde a função não é derivável. 
 
 
 
10. Se 𝑓(𝑥) = (𝑥 −
2
𝑥
) encontre 𝑓′(𝑥). 
 
11. Mostre que a função 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 6| não é diferenciável em x=6. 
 
12. Calcule as derivadas das funções abaixo: 
 
a. 𝑓(𝑥) = 186,5 
 
b. 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 1 
 
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 − 4 
 
d. 𝑓(𝑡) =
1
4
(𝑡4 + 8) 
 
e. 𝑦 = 𝑥−2/5 
 
 
 
f. 𝑉(𝑟) =
4
3
𝜋𝑟3 
 
g. 𝑌(𝑡) = 6𝑡−9 
 
h. 𝐺(𝑥) = √𝑥 − 2𝑒𝑥 
 
i. 𝐹(𝑥) = (
1
2
𝑥)
5
 
 
j. 𝑔(𝑥) = 𝑥2 +
1
𝑥2
 
 
k. 𝑦 =
𝑥2+4𝑥+3
√𝑥
 
 
l. 𝑦 = 4𝜋2 
 
m. 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 
n. 𝑣 = 𝑡2 −
1
√𝑡3
4 
 
o. 𝑧 =
𝐴
𝑦10
+ 𝐵𝑒𝑦 
13. Encontre a equação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑥4 + 2𝑒𝑥 , no ponto (0, 2). 
 
14. Encontre a equação da reta tangente à curva 𝑦 = 3𝑥2 − 𝑥3, no ponto (1, 2). Feito isso, esboce os 
gráficos de 𝑦 e 𝑦′.
 
15. Encontre os pontos onde 𝑦 = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 12𝑥 + 1 possui tangente horizontal. 
 
16. Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 sen 𝑥 
 
b. 𝑦 = sen 𝑥 + 10 tg 𝑥 
 
c. 𝑔(𝑡) = 𝑡3 cos 𝑡 
 
d. ℎ(𝜃) = cossec 𝜃 + cot 𝜃 
 
e. 𝑦 =
𝑥
cos 𝑥
 
 
f. 𝑓(𝜃) =
sec 𝜃
1+sec 𝜃
 
 
g. 𝑦 =
sen 𝑥
𝑥2
 
 
h. 𝑦 = sec 𝜃 tg 𝜃 
 
17. Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado: 
 
a. 𝑦 = tg 𝑥, (𝜋/4,1) b. 𝑦 = 𝑥 + cos 𝑥, (0, 1) 
 
18. Para que valores de 𝑥 o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 sen 𝑥 tem uma tangente horizontal?
 
19. Escreva a função composta na forma 𝑦 = 𝑔(𝑓(𝑥)). Depois disso encontre a derivada 𝑦′.
 
a. 𝑦 = sen(4𝑥) b. 𝑦 = (1 − 𝑥2)10 c. 𝑦 = 𝑒√𝑥 
 
20. Encontre a derivada das funções abaixo: 
a. 𝐹(𝑥) = (𝑥3 + 4𝑥)7 
 
b. 𝐹(𝑥) = √1 + 2𝑥 + 𝑥3
4
 
 
c. 𝑔(𝑡) =
1
(𝑡4+1)3
 
 
d. 𝑦 = cos(𝑎3 + 𝑥3) 
 
e. 𝑦 = 𝑒−𝑚𝑥 
 
f. 𝑔(𝑥) = (1 + 4𝑥)5(3 + 𝑥 − 𝑥2)8 
 
g. 𝑦 = (2𝑥 − 5)4(8𝑥2 − 5)−3 
 
h. 𝑦 = 𝑥𝑒−𝑥
2
 
 
i. 𝑦 = 𝑒𝑥 cos 𝑥 
 
j. 𝐹(𝑧) = √
𝑧−1
𝑧+1
 
 
k. 𝑦 =
𝑟
√𝑟2+1
 
 
l. 𝑦 = tg(cos 𝑥) 
 
m. 𝑦 = 2sen(𝜋𝑥) 
 
n. 𝑦 = (1 + cos2 𝑥)6 
 
o. 𝑦 = sec2 𝑥 + tg2 𝑥 
 
p. 𝑦 = cot2(sen 𝜃) 
 
q. 𝑦 = √𝑥 + √𝑥 
 
r. 𝑦 = sen(tg √sen 𝑥) 
21. Para as funções abaixo: (i) Determine 𝑦′ através da diferenciação implícita; (ii) Resolva a 
equação, explicitamente, para 𝑦 e depois diferencie o resultado para encontrar 𝑦′; (iii) Compare 
os resultados obtidos e depois diga se houve diferença entre eles. 
 
a. 𝑥𝑦 + 2𝑥 + 3𝑥2 = 4 b. 
1
𝑥
+
1
𝑦
= 1
22. Encontre a derivada abaixo através da diferenciação implícita: 
a. 𝑥2 + 𝑦2 = 1 
 
b. 𝑥3 + 𝑥2𝑦 + 4𝑦2 = 6 
 
c. 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 = 3𝑥 
 
d. 𝑥2𝑦2 + 𝑥 sen 𝑦 = 4 
 
e. 4 cos 𝑥 sen 𝑦 = 1 
 
f. 𝑒𝑥
2𝑦 = 𝑥 + 𝑦 
 
g. √𝑥𝑦 = 1 + 𝑥2𝑦 
 
h. 𝑥𝑦 = cot(𝑥𝑦)
 
23. Use a diferenciação implícita para determinar a equação da reta tangente à curva no ponto dado: 
 
a. 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3 (1, 1) 
 
b. 𝑥2 + 𝑦2 = (2𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥)2 (0,
1
2
) 
 
c. 𝑦2 = 5𝑥4 − 𝑥2 (1, 2)
 
24. Diferencie as funções abaixo: 
 
a. 𝑓(𝜃) = ln(cos 𝜃) 
 
b. 𝑓(𝑥) = log2(1 − 3𝑥) 
 
c. 𝑓(𝑥) = √ln 𝑥
5
 
 
d. 𝑓(𝑥) = √𝑥 ln 𝑥 
 
e. 𝐹(𝑡) = ln
(2𝑡+1)3
(3𝑡−1)4
 
 
f. 𝑔(𝑥) = ln (
𝑎−𝑥
𝑎+𝑥
) 
 
g. 𝑓(𝑢) =
ln 𝑢
1+ln(2𝑢)
 
25. Encontre 𝑦′ e 𝑦′′. 
 
a. 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 b. 𝑦 = log10 𝑥 
 
26. Diferencie 𝑓 e encontre o domínio de 𝑓 e 𝑓′. 
 
a. 𝑓(𝑥) =
𝑥
1−ln(𝑥−1)
 b. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ln(1 − 𝑥2) c. 𝑓(𝑥) =
𝑥
ln 𝑥
 
 
27. Determine os limites abaixo. Use a Regra de L’Hopital quando for apropriado. 
 
a. lim𝑥→−1
𝑥2−1
𝑥+1
 
 
b. lim𝑥→1
𝑥9−1
𝑥5−1
 
 
c. lim𝑥→(𝜋/2)+
cos 𝑥
1−sen 𝑥
 
 
d. lim𝑡→0
𝑒𝑡−1
𝑡3
 
 
e. lim𝑥→0
tg(𝑝𝑥)
tg(𝑞𝑥)
 
 
f. lim𝑥→∞
ln 𝑥
𝑥
 
 
g. lim𝑡→0
5𝑡−3𝑡
𝑡
 
 
h. lim𝑥→0
𝑒𝑥−1−𝑥
𝑥2
 
 
i. lim𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥3
 
 
j. lim𝑥→0
1−cos 𝑥
𝑥2
 
 
k. lim𝑥→0
𝑥+sen 𝑥
𝑥+cos 𝑥
 
 
l. lim𝑥→∞
𝑥
ln(1+2𝑒𝑥)
 
 
m. lim𝑥→1
1−𝑥+ln 𝑥
1+cos(𝜋𝑥)
 
 
n. lim𝑥→1
𝑥𝑎−𝑎𝑥+𝑎−1
(𝑥−1)2
 
 
o. lim𝑥→0+ √𝑥 ln 𝑥
 
28. Nos itens abaixo: 
(i) Encontre os intervalos nos quais 𝑓 é crescente ou decrescente. 
(ii) Encontre os valores de máximo e mínimo locais de 𝑓. 
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. 
 
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 12𝑥 + 1 
 
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 + 3 
 
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 sen 𝑥, 0 < 𝑥 < 3𝜋 
 
d. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 
 
e. 𝑓(𝑥) =
ln 𝑥
√𝑥
 
 
 
29. Nos itens abaixo: 
(i) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente. 
(ii) Encontre os valores de máximo e mínimo locais. 
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. 
(iv) Use as informações das partes (i), (ii) e (iii) para esboçar o gráfico. 
 
a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 12𝑥 
 
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 6𝑥2 
 
c. ℎ(𝑥) = 3𝑥5 − 5𝑥3 + 3 
 
d. 𝐴(𝑥) = 𝑥√𝑥 + 3 
 
e. 𝐶(𝑥) = 𝑥1/3(𝑥 + 4) 
 
f. 𝑓(𝜃) = 2 cos 𝜃 − cos 2𝜃, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
30. Nos itens abaixo: 
(i) Encontre as assíntotas vertical e horizontal. 
(ii) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente. 
(iii) Encontre os valores de máximo e mínimo locais. 
(iv) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. 
(v) Use as informações das partes (i), (ii), (iii) e (iv) para esboçar o gráfico. 
 
a. 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥2−1
 
 
b. 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1 − 𝑥 
c. 𝑓(𝑥) = ln(1 − ln 𝑥) 
 
d. 𝑓(𝑥) = 𝑒−1/(𝑥+1) 
 
31. Um fabricante de DVD determina
que, quando 𝑥 centenas de unidades são produzidas, o lucro é 
𝑃(𝑥) = 4000(15 − 𝑥)(𝑥 − 2) reais. 
a. Calcule 𝑃′(𝑥). 
b. Determine o valor de 𝑥 para o qual 𝑃′(𝑥) = 0. Qual o significado do nível de produção 𝑥 para 
o qual isto acontece? 
 
32. Um gerente determina que o custo para produzir 𝑥 unidades de certo produto é 𝐶 milhares de 
reais, onde 𝐶(𝑥) = 0,04𝑥2 + 5,1𝑥 + 40. 
a. Determine o custo médio quando o nível de produção varia de 𝑥 = 10 para 𝑥 = 11 unidades. 
b. Use os métodos do cálculo para determinar a taxa instantânea de variação do custo com o 
nível de produção para 𝑥 = 10 unidades e compare o resultado com o do item (a). O custo 
está aumentando ou diminuindo quando a produção é de 10 unidades? 
 
33. Após 𝑥 semanas o número de pessoas que usavam uma nova linha de ônibus era 
aproximadamente 𝑁(𝑥) = 6𝑥3 + 500𝑥 + 8000. 
a. Com que taxa o número de usuários da linha estava variando com o tempo após 8 semanas? 
b. Qual foi a variação do número de usuários da linha durante a oitava semana? 
 
34. Um estudo demográfico modela a população 𝑝 de uma comunidade (em milhares de habitantes) 
pela função 𝑝(𝑄) = 3𝑄2 + 4𝑄 + 200 onde 𝑄 é um índice de qualidade de vida que varia de 𝑄 = 0 
(qualidade extremamente baixa) a 𝑄 = 10 (qualidade excelente). Suponha que o índice varia 
com o tempo de tal forma que daqui a 𝑡 anos, 𝑄(𝑡) =
𝑡2+2𝑡+3
2𝑡+1
 para 0 ≤ 𝑡 ≤ 10. 
a. Qual será o valor do índice de qualidade de vida daqui a 4 anos? Qual será a população nessa 
ocasião? 
b. Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 4 anos? A população estará 
aumentando ou diminuindo nessa ocasião?