Geometria 1

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APRENDIZAJES ESPERADOS
UNIDAD 1
A lo largo del estudio de las matemáticas y en especial de la Geometría, has podido observar la frecuencia con la que se presentan los triángulos. Su importancia es tal que permite el estudio y desarrollo de otras figuras. Es más, en el quehacer diario y en la vida profesional, procuramos hacernos entender a través de su uso. Por ejemplo, el especialista Doug Copp, jefe del grupo 
de rescate y director de desastres del Grupo Internacional de Rescate Norteamericano (ARTI), el equipo 
de mayor experiencia en rescates del mundo, manifiesta que: "En cualquier derrumbe hay un 100% de 
sobrevivencia para las personas usando lo que se denomina "el triángulo de vida". 
¿El triángulo es solo un concepto teórico?
EL POLIGONO MÁS SENCILLO
UNIDAD 1
Comunicación matemática
•	 Identificar	los	tipos	de	triángulos	y	las	líneas	que	se	asocian	a	ella.
•	 Interpretar	los	postulados	de	congruencia.
•	 Reconocer	y	representar	los	teoremas	en	los	triángulos.
Resolución de problemas
• Analizar	los	datos	disponibles	y	relacionarlos	con	los	teoremas	respectivos.
• Formular	estrategias	de	resolución	en	diferentes	tipos	de	problemas	relacionados	a	triángulos.
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Triángulos
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	los	triángulos,	reconociendo	sus	elementos	y	características	principales.
•	 A	 utilizar	 con	exactitud	 los	 teoremas	que	permitan	obtener	 características	 de	 los	 triángulos	 y	 que	
permitan	la	resolución	de	problemas	matemáticos.
El	estudio	de	 los	 triángulos	es	una	de	 las	partes	medulares	del	curso	de	Geometría,	que	 tiene	muchas	
aplicaciones	prácticas	y	que	 también	 sirve	para	el	desarrollo	mismo	de	 la	matemática	en	 su	conjunto.	
Hemos	escogido	esta	lectura	para	graficar	lo	anterior.
El	gran	matemático	Diofanto	(275	d.C.)	construyó	un	triángulo	con	una	cuerda	en	la	que	había	realizado	12	nudos	(equidistantes).	Los	lados	medían	3;	4	y	5	unidades.
Evidentemente	el	triángulo	es	rectángulo	y	cumple	el	teorema	de	
Pitágoras:
32	+	42	=	52
Al	ser	un	triángulo	rectángulo,	es	fácil	comprobar	que	
el	área	es	6	unidades.	
Con	la	misma	cuerda	 trató	de	construir	otro	
triángulo	rectángulo	de	forma	que	su	área	
fuese	7	unidades.
Su	planteamiento	fue	el	siguiente:
		•		Un	cateto	mediría	"x".
		•		Como	el	área	debía	ser	7,	el	otro	cateto	será	14/x.
		•		La	hipotenusa	debe	cumplir	el	teorema	de	Pitágoras.
14
x
x2+									=h2
2
Pero	por	otra	parte	la	suma	de	sus	lados	
debe	ser	12.
14
x
x+					+h=12
Por	 lo	 tanto	 se	 debe	 cumplir	 la	 ecua-
ción:
x2+							=	12	 	x	 	14
x
196
x2
2
				
De	donde	se	llega	fácilmente	a:
6x2	 	43x	+	84	=	0
Cuya	solución,	Diofanto	expresó	como:
43+ 167 	 -1
12
Pero	 no	 conocía	 ningún	 número	 que	 elevado	 al	 cuadrado	 fuese	 igual	 a	 -1,	 por	 tanto,	
el	 problema	 no	 tenía	 solución.	 Este	 problema	 planteado	 por	Diofanto	 tardaría	 siglos	 en	
resolverse.	
En	el	siglo	XVI,	Rafaello	Bombelli	fue	uno	de	los	primeros	en	admitir	que	era	útil	que	los	
números	negativos	tuviesen	raíces	cuadradas.D
io
fa
n
to
 (
2
7
5 
d
.C
.)
Razonamiento Matemático
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1
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Triángulos
Saberes previos
 Importante:
	 El	ángulo	exterior	de	un	triángulo	se	consigue	prolongando	cualquiera	de	los	dos	lados	
	 del	ángulo	interior.
•	 En	un	cuadrilátero,	la	suma	de	sus	ángulos	internos	es	de	360°.
a°
b°
q°
l°
•	 Dadas	las	rectas	paralelas,	los	ángulos	cuya	medida	son	"b°"	y	"a°",	son	iguales.
a°
b°
L1
L2
•	 En	la	figura,	la	suma	de	los	ángulos	es	de	180°	y	no	son	suplementarios.
a°
b° q°
l°
•	 Dos	ángulos	son	complementarios,	cuando	la	suma	de	sus	medidas	es	de	90°.
a° +
b°
=	90°
•	 Dos	ángulos	son	suplementarios,	cuando	la	suma	de	sus	medidas	es	de	180°.
a° +
b°
=	180°
Antes de entrar al tema, recordemos que:
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Geometría
Unidad I
1
Conceptos básicos
Según sus ángulos
Clasificación de los triángulos
•	Observación
Se	denomina	 región	 triangular	a	 la	
reunión	de	los	puntos	del	triángulo	
y	los	puntos	interiores.
Elementos:
Vértices:		A,	B,	C
Lados:					AB,	BC,	AC
Ángulos
Perímetro:	2p	=	a	+	b	+	c
Notación:	∆	ABC
Internos:
a°, b°, q°
Externos:
x°,	y°,	z°
A
B
C
c
y°
x°
a° q°
b°
z°
a
b
Región
interior
Puntos	interiores
Puntos	exteriores	relativos	al	lado	AC
B
A C
Según sus lados
b°
a° q°
0°<a°, b°, q°<90°
Acutángulo Rectángulo
b°
a°
a
b
c
a2+b2=c2
Obtusángulo
90°<a°<180°
a°
Escaleno
Lados	diferentes
Isósceles
Dos	lados	iguales
a° a°
Tres	lados	iguales
Equilátero
60°
60° 60°
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Triángulos
Propiedades
•		Suma	de	ángulos	internos
a°+b°+q°=180°
b°
a° q°
•		Propiedad	del	ángulo	exterior
x°=b°+q°
y°=a°+q°
z°=a°+b°
b°
a° q°x°
y°
z°
•		Suma	de	ángulos	externos
x°+y°+z°=360°
x°
y°
z°
•		Propiedad	de	la	existencia	triangular
Si:	a>b>c
b	 	c	<	a	<	b	+	c
a	 	c	<	b	<	a	+	c
a	 	b	<	c	<	a	+	b
AB
C
a b
c
•		Cuadrilátero	no	convexo
x°=a°+b°+q°
xº
b°
a° q°
•		Se	denomina	triángulo	oblicuángulo	a	aquel	que	es	acutángulo	u	obtusángulo.
Triángulo	curvilíneo Triángulo	mixtilíneo
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Geometría
Unidad I
1
Caso particular:
•	 Si:		a		//		b
a°
b°
a
x°
b
x°=a°+b°
Este	caso	es	el	más	usado
			a°+b°+q°+g°=x°+y°+z° 
a°
b°
q°
g°
L1
x°
y°
z°
L2
Ángulos entre rectas paralelas
a°=q°
	alternos	internos
a°
q°
L1
L2
a°=b°
	correspondientes
a°
b°
L1
L2
•	 Si:		L1	//		L2
•	 Si:		L1	//		L2
•	 Si:		L1	//		L2
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Triángulos
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
Sintesis teórica
TRIÁNGULOS
Pueden	 ser	 de	 varios	 tipos,	
dependiendo	de	sus	lados	o	de	sus	
ángulos.
El	ángulo	exterior	es	igual	a	la	suma	
de	los	otros	dos	ángulos	interiores.
La	suma	de	sus	ángulos	internos	es	de	
180°	y	de	los	externos	es	de	360°.
Tres	 rectas	 al	 cortarse	 dos	 a	 dos,	
forman	un	triángulo.
La	 existencia	 de	 los	 triángulos	 se	
analiza,	de	preferencia,	escogiendo	
el	mayor	de	los	lados.
1.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC,	 de	 modo	 que:														
m A=47°,	m B=53°	y	m C=2x°.	Calcular	
el	valor	de	"x°".
2.		 Dado	un	 triángulo,	 se	 sabe	que	 la	medida	de	
uno	 de	 sus	 ángulos	 interiores	 es	 el	 doble	 de	
la	medida	del	otro	ángulo	 interior.	Calcular	 la	
medida	 del	 menor	 ángulo	 interior,	 si	 se	 sabe	
que	el	triángulo	es	rectángulo.
3.		 En	un	triángulo	ABC,	la	medida	del	ángulo	exterior	
en	"C"	es	de	140°.	Si	las	medidas	de	los	ángulos	
interiores	en	"A"	y	en	"B"	están	en	la	relación	de	2	
a	3	respectivamente,	calcular	la	m B.
4.		 En	un	triángulo	isósceles,	la	medida	de	uno	de	
sus	 ángulos	 interiores	 es	 de	140°.	Calcular	 la	
medida	del	ángulo	exterior	situado	en	el	vértice	
del	ángulo	interior	agudo.
5.		 Dado	un	 triángulo,	 dos	de	 sus	 lados	miden	8	
y	5	cm.	Calcular	 la	suma	de	 todos	 los	valores	
enteros	que	asume	el	tercer	lado.
6.	 En	 un	 triángulo,	 dos	 de	 sus	 lados	 miden	 7	 y	
13	 cm.	Calcular	 la	 suma	de	 todos	 los	 valores	
impares	que	adopta	el	tercer	lado.
7.		 Grafique	 al	 triángulo	 rectángulo	 ABC	 de	
hipotenusa	 AC	 y	 ubiqueun	 punto	 interior	
"Q".	Si	las	medidas	de	los	ángulos	BAQ	y	BCQ	
miden	27°	y	32°	 respectivamente,	calcular	 la	
m AQC.
8.	 ABC	 es	 un	 triángulo	 equilátero	 y	 "Q"	 un	
punto	 interior,	 tal	 que:	 m BAQ=34°	 y																																								
m BCQ=22°.	Calcular	la	medida	del	ángulo	
AQC.
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Geometría
Unidad I
1
Conceptos básicos Aprende más...
Comunicación matemática
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 La	 suma	 de	 las	 medidas	 de	 los	 ángulos	
exteriores	de	un	triángulo	es	de	270°.
	 •	 En	 un	 triángulo	 obtusángulo,	 dos	 de	 sus	
ángulos	interiores	siempre	serán	agudos.
	 •	 En	algún	triángulo	rectángulo,	sus	tres	lados	
podrían	ser	iguales.
2.	 Relacionar	correctamente:
	
	 A.	 Triángulo	rectángulo.
	 B.	 Triángulo	acutángulo.
	 C.		 Triángulo	obtusángulo.
	 I.					Uno	de	sus	ángulos	internos	es	obtuso.
	 II.				Hipotenusa.
	 III.			Ángulos	internos	cuya	medida	es	menor	a	90°.
3.	 Completar	en	cada	gráfico:
x°
a° q°
x°=
a b
c
<c<
4.	 Realice	 un	 breve	 comentario	 sobre	 la	 lectura	
proporcionada,	al	inicio	del	capítulo.
Resolución de problemas
5.	 Grafique	 el	 triángulo	 ABC,	 de	 modo	 que	
la	 medida	 del	 ángulo	 exterior	 en	 "C"	 mida	
"7b°".	Si	los	ángulos	interiores	en	"A"	y	en	"B"	
miden	"2b°"	y	50°	respectivamente,	calcular	el	
complemento	de	"b°".
6.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC,	 marque	 "Q"	 en	
BC	y	"P"	en	la	prolongación	de AC,	de	modo	
que:	 QC	=	 PC,	 m QPC=20°	 y	 m B=60°.	
Calcular	la	medida	del	ángulo	"A".
7.	 ABC	es	un	triángulo	escaleno	donde	se	sabe	que:	
m A=x°+20°,	 m C=x°+40°	 y	 m B=80°.	
Calcular	el	suplemento	de	"x°".
8.	 ABC	es	un	triángulo	equilátero	y	"R"	es	un	punto	
interior	tal	que:	m RAC=20°	y	m RCB=32°.	
Calcular	la	m ARC.
9.	 ABC	 es	 un	 triángulo	 equilátero	 y	 AQC	 es	 un	
triángulo	 rectángulo	 interior	 de	 hipotenusa	
AC.	 Si	 la	medida	 del	 ángulo	BAQ	es	 de	 20°,	
calcule	la	m QCR,	siendo	"R"	un	punto	de	la	
prolongación	de	AC.
10.	Dos	 lados	 de	 un	 triángulo	miden	 9	 y	 12	 cm.	
Calcular	 la	 suma	 de	 los	 valores	 impares	 que	
adopta	el	tercer	lado.
11.	Dos	lados	de	un	triángulo	escaleno	miden	5	y	
8	cm.	Indicar	cuántos	valores	enteros	adopta	el	
tercer	lado.
12.	 En	 un	 triángulo	 obtusángulo,	 sus	 lados	 me-
nores	miden	6	y	8	cm.	Calcular	el	producto	del	
menor	y	mayor	valor	entero	que	puede	adoptar	
el	tercer	lado.
13.	 La	gráfica	muestra	dos	rayos	paralelos	("a"	y	"b")	
y	a	un	triángulo	rectángulo.	La	hipotenusa	y	el	
cateto	 menor	 forman	 con	 los	 rayos	 paralelos	
ángulos	agudos	que	miden	22°	y	43°.	Calcular	
la	 medida	 de	 los	 ángulos	 agudos	 de	 dicho	
triángulo.
							
a
b
14.	 En	la	figura,	si:	m // n	y	a // b,	calcular	"x°".
					
m
x°
100°
a
b
n
2a°
3a°
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Triángulos
Conceptos básicos¡Tú puedes!
1.	 En	 un	 triángulo	 ABC,	 se	 toma	 un	 punto	 "Q"	
sobre	 AB	 tal	 que:	 AQ=QC	 y	 BQ=BC.	 Si:											
m ABC=84°,	hallar:	m ACB.
2.	 Dado	un	triángulo	ABC,	en	AC	se	toma	un	punto	
"P"	de	manera	que:	m BPC=m A+m B
2
.	
	 Si:	BC=8	cm,	hallar	"PC".
3.	 En	 la	 figura:	 x°+y°+z°>270°.	 Calcular	 el	
máximo	valor	entero	de	"q°".
	
6q° q° 3q°
2q°
z°
y°
x°
4.	 En	un	triángulo	ABC	(AB=AC),	en	AC	se	toma	
un	punto	"M"	de	manera	que:	AM=MB=BC.	
	 Calcular	la	m MBC.
5.	 En	un	triángulo	acutángulo	ABC:	m ABC=4x°	
y	 m BAC=x°+70°.	 Calcular:	 m BCA,	
cuando	 "x°"	 toma	 su	 máximo	 valor	 entero	 e	
indicar	el	lado	de	mayor	longitud.
15.	 En	la	figura,	si:	L1 // L2,	calcular	"x°".
							
L1
145°
x2
x°
x2+30°
L2
16.	 En	 un	 triángulo	 acutángulo,	 dos	 de	 sus	 lados	
suman	24	cm.	Calcular	el	máximo	valor	entero	
que	 adopta	 la	 longitud	 de	 la	 altura	 relativa	 al	
tercer	lado.
17.	Grafique	 al	 triángulo	ABC	y	ubique	un	punto	
interior	"D",	de	modo	que	las	líneas	DA	y	DC	
sean	perpendiculares	y	la	m B=45°.	Calcular	
la	medida	del	ángulo	BAD,	sabiendo	que	es	el	
doble	de	la	medida	del	ángulo	BCD.
18.	 En	la	figura,	calcular	el	valor	de	"x°".
				
a°a
°
q°
q°
b°
b°
x°
f°
f°
Aplicación cotidiana
19.	Alberto,	Bruno	y	Carlos	están	 situados	en	 tres	puntos	diferentes	y	no	alineados.	
Alberto	visita	a	Bruno	y	a	Carlos	en	diferentes	momentos	y	se	da	cuenta	que	el	
ángulo	que	forman	estos	recorridos	es	de	72°.	Cuando	Carlos	visita	a	estos	amigos	
se	da	cuenta	que	los	recorridos	efectuados	forman	un	ángulo	que	mide	60°.	Calcular	la	
medida	del	ángulo	obtuso	que	forman	los	recorridos	de	Bruno	al	visitar	a	sus	dos	amigos	
mencionados.
20.	"A"	y	"C"	son	dos	puntos	situados	en	uno	de	los	bordes	de	una	piscina	
rectangular.	"B"	es	un	punto	situado	en	el	borde	paralelo	al	anterior.	Si	la	
distancia	de	"B"	hacia	"A"	y	"C"	es	de	30	y	22	metros	respectivamente,	
¿cuál	es	 la	máxima	distancia	que	 recorrerá	un	nadador	para	 ir	de	 "A"	
hacia	"C"?
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13Central: 619-8100
Geometría
Unidad I
1
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta:
	 •	 La	 suma	 de	 las	 medidas	 de	 los	 ángulos	
exteriores	 de	 un	 triángulo	 es	 de	 cuatro	
ángulos	rectos.
	 •	 Dado	un	triángulo	obtusángulo,	dos	de	sus	
ángulos	exteriores	siempre	serán	agudos.
	 •	 En	 el	 triángulo	 rectángulo,	 sus	 tres	 lados	
podrían	ser	iguales.
2.	 Relacionar	correctamente:
	 A.	 Triángulo	isósceles
	 B.	 Triángulo	acutángulo
	 C.	 Triángulo	equilátero
	 I.	 La	medida	de	su	ángulo	exterior	es	de	120°.
	 II.	 Dos	lados	iguales	entre	sí.
	 III.	 Ángulos	internos	cuya	medida	es	menor	
a	90°.
3.	 Dos	 lados	 de	 un	 triángulo	 miden	 9	 y	 7	 cm.	
Calcular	la	suma	de	los	valores	pares	que	adopta	
el	tercer	lado.
4.	 Dado	un	triángulo	obtusángulo,	sus	 lados	me-
nores	miden	5	y	12	 cm.	Calcular	 el	 producto	
del	 menor	 y	 mayor	 valor	 entero	 que	 puede	
adoptar	el	tercer	lado.
5.	 Alberto,	Bruno	y	Carlos	están	 situados	en	 tres	
puntos	diferentes	y	no	alineados.	Alberto	visita	
a	Bruno	y	 a	Carlos	 en	diferentes	momentos	 y	
se	 da	 cuenta	 que	 el	 ángulo	 que	 forman	 estos	
recorridos	 es	 de	 66°.	 Cuando	 Carlos	 visita	 a	
estos	 amigos,	 se	 da	 cuenta	 que	 los	 recorridos	
efectuados	 forman	 un	 ángulo	 que	 mide	 58°.	
Calcular	 la	 medida	 del	 ángulo	 obtuso	 que	
forman	los	recorridos	de	Bruno	al	visitar	a	sus	
dos	amigos	mencionados.
6.	 En	la	figura,	L1 // L2.	Calcular	"x°".
4x°
L1
L25x°
7.	 En	la	figura,	calcular	"x°".
							
2x°
2x°
2x°
2x°x°
8.	 Dos	 de	 los	 lados	 de	 un	 triángulo	 escaleno	
miden	7	y	4	cm.	Calcular	la	suma	de	los	valores	
enteros	que	toma	el	tercer	lado.
9.	 Si:	L1 // L2	y	AB=BC,	calcular	"q°".
							
A
B
C
L1
L2
30°
8q°
q°
10.	ABC	es	un	triángulo	isósceles	(AB=BC)	y	AF	es	
una	bisectriz	interior,	tal	que:	AF=FB.	Calcular	
la	m C.
11.	 En	un	triángulo	ABC,	el	mayor	ángulo	es	"B".	Si:	
AB=5	dm	y	BC=10	dm,	calcular	el	número	de	
valores	enteros	que	adopta	el	lado	AC.
12.	Calcular	la	diferencia	entre	"xº"	e	"y°",	si:
	 m // n	 	y/x=2/7.
							
m
n
x°
y°
13.		Se	tiene	el	triángulo	obtusángulo	ABC,	obtuso	en	
"B",	de	tal	modo	que:	AB=8	cm	y	BC=15'cm.	
Calcular	 el	 mínimo	 valor	 entero	 que	 toma	 la	
longitud	del	lado	AC.
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Geometría
15Central: 619-810014
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Triángulos
14.	 En	la	figura,	L1.//.L2.	Calcular	"x°".
							
L1L2
2f°
x°
3f°
4f°
3f°
15.	 En	un	triángulo	rectángulo	ABC	(B=90°),	en	la	
hipotenusa	AC	y	en	el	cateto	AB,	se	toman	los	
puntos	 "E"	 y	 "F"	 respectivamente,	 de	manera	
que:	CB=BE=EF=FA.	Hallar	la	m CAB.
16.	 Las	longitudes	de	los	lados	de	un	triángulo	están	
en	progresión	aritmética	de	razón	9.	Calcular	el	
mínimo	valor	entero	que	asume	el	perímetro.
17.	 En	la	figura,	L1.//.L2,	calcular	la	diferencia	entre	
los	valores	de	"x°"	y	"f°".
							
L1
L2
6f°
2f°
x°
f°
18.	 En	la	figura,	calcular	el	complemento	de	"x°".
				
10x°
6x°9x°
w°
w°
q°
q°
19.	 En	la	figura,	calcular	el	complemento	de	"x°".
							
2x°
a°
a° b°
b°w° w°
x°
q° q°
	
20.	 En	la	figura,	se	muestra	a	dos	triángulos	rectán-
gulos.	Calcular	el	complemento	de	"f°".
3f°
80°
f°
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Geometría
15Central: 619-8100
2
Líneas notables
Desde	grados	anteriores	hemos	 trabajado	 con	líneas	que	se	asocian	
al	 triángulo.	 Todas	 ellas	
tienen	aplicaciones	directas	
y	prácticas.	Pero	hay	una	en	
especial	 que	 se	 presenta	
con	 mucha	 frecuencia	
a	 lo	 largo	 del	 curso	 y	
la	 vamos	 a	 descubrir	 a	
través	de	este	poema:
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	diferenciar	las	líneas	notables	asociadas	al	triángulo.
•	 A	ordenar	y	seleccionar	los	teoremas	asociados	a	las	líneas	notables,	que	permitan	la	resolución	de	
problemas	matemáticos.
A
BC
H
Ortocentro
Geometría 4to - I Bim.indd 15 31/10/2014 11:13:15 a.m.
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GeometríaLíneas notables
Saberes previos
Antes de entrar al tema, recordemos que:
•	 La	distancia	de	un	punto	hacia	una	recta,	es	la	perpendicular	trazada	desde	dicho	punto	
hacia	la	recta.
A
L
																									A
L
•		 Dos	líneas	rectas	son	perpendiculares	cuando	forman	un	ángulo	recto.
b
a
																									
L
m
•		 La	bisectriz	de	un	ángulo	es	el	rayo	que	partiendo	del	vértice,	biseca	a	dicho	ángulo.
A
B
O Fq°q°
																													
O
C
B
Ea°
a°
•		 En	 el	 gráfico,	 se	 une	 "A"	 con	 el	 punto	medio	 "M"	 de	 BC	 y	 no	 son	 necesariamente	
perpendiculares.
								 A
B
M
C
																
A
B
M
C
•		 En	un	triángulo	rectángulo,	los	ángulos	agudos	son	complementarios.
a°
q°
a°+	q°=90°
Geometría 4to - I Bim.indd 16 31/10/2014 11:13:15 a.m.
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Geometría
Unidad I
2
Conceptos básicos
El	uso	de	ciertas	 líneas	en	el	 triángulo,	son	 tan	 frecuentes	e	 importantes,	que	es	necesario	detallarlas	y	
mostrar	las	relaciones	angulares	que	ellas	determinan.
 • Ceviana
	 La	ceviana	puede	ser	interior	o	exterior.	Debe	tenerse	en	cuenta	que	desde	un	vértice	se	pueden	
trazar	infinitas	cevianas.
• Mediana
• Bisectriz
• Altura
• Mediatriz
mediana	BM
A M
B
C= =
baricentro
A M
G
N2a
a
B
C= =
incentro
A F
I
E
B
C
q°
q°
a°a°
=
=
A = =
B
C
mediatriz
del	lado	AC
A B
mediatriz
de	AB
= =
bisectriz
				exterior
A E
B q°
q°
C
A
B
C
mediatriz
del	lado	BC
A
B
CF
ceviana	BF
ceviana				
exterior	BE
E
B
A C
bisectriz
			interior	BF
A F
B
C
a°
a°
altura	BH
A H
B
C
altura	AH
A
H B C
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GeometríaLíneas notables
Relaciones angulares
•
A
B
C
I
x°
q°
a°
a°
b°
b°
I incentro
2
x°=90°+ q°
•
E excentro
2
x°= q°
A
B E
C
x°q°
a°
a° b°
b°
•
2
x°=90°	 	 q°
E excentro
A
B
C
E
x°
q°
a°
a°
b°
b°
BH
BD
altura
bisectriz
2
x°= A°	 	C°
•	 Altura	y	bisectriz
A
B
CH D
x°
Congruencia de triángulos (~=)
Dos	triángulos	se	llaman	congruentes,	si	tienen	sus	lados	y	ángulos	congruentes.
“A	lados	congruentes,	uno	en	cada	triángulo,	se	oponen	ángulos	congruentes	y	viceversa”
Para	que	dos	triángulos	sean	congruentes,	deben	cumplir	con	alguno	de	los	casos	de	congruencia.	En	ellos	
se	menciona	como	requisito	que	presenten	tres	pares	de	elementos	congruentes,	siendo	por	lo	menos	uno	
de	ellos	un	lado.
•	 1er caso:
	 (Postulado	A	-	L	-	A)	Un	par	de	lados	y	los	ángulos	adyacentes	a	ellos.
q° q°a° a°
~=
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Geometría
Unidad I
2
Síntesis teórica
•	 2do caso:
	 (Postulado	L	-	A	-	L)	Dos	pares	de	lados	y	el	ángulo	comprendido	entre	ellos.
a°a°
~=
=
l l
=
•	 3er caso:
	 (Postulado	L	-	L	-	L)	Los	tres	pares	de	lados.
~=
=
l l
=
•	 4to caso:
	 (Postulado	L	-	L	-	A)	Dos	pares	de	lados	y	congruentes	los	ángulos	que	se	oponen	a	los	
mayores	lados.
~=a° a°
La	 altura	 es	 un	 concepto	 de	
perpendicularidad.
La	mediatriz	 asocia	 la	 perpendicularidad	
con	un	lado	y	su	punto	medio.
La	 mediana	 está	 asociada	 al	 punto	
medio	del	lado	opuesto.
La	bisectriz	puede	ser	interior	o	exterior,	
pero	siempre	biseca	al	ángulo	respectivo.
La	ceviana	puede	ser	interior	o	exterior	
y	une	un	vértice	con	cualquier	punto	
de	la	recta	opuesta.
LÍNEAS NOTABLES
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GeometríaLíneas notables
Conceptos básicosAprende más...
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
1.	 En	 un	 triángulo	 acutángulo	 ABC,	 se	 traza	 la	
altura	BH	y	se	sabe	que	los	ángulos	BAC	y	BCA	
miden	52°	 y	 40°	 respectivamente.	Calcular	 la	
diferencia	de	las	medidas	de	los	ángulos	HBC	y	
HBA.
2.	 Grafique	 el	 triángulo	ABC	 y	 trace	 la	mediana	
AM.	Si	los	segmentos	MB	y	MC	miden	"2x 1"	
y	"x+6",	calcular	el	valor	de	"x".
3.	 En	un	triángulo	PQR,	se	trazan	las	medianas	PN	
y	QM.	Calcular	la	suma	de	los	lados	RQ	y	RP,	
sabiendo	que:	QN=6	cm	y	MP=5	cm.
4.	 Grafique	 el	 triángulo	 ABC	 y	 trace	 la	 bisectriz	
interior	 BI.	 Calcule	 la	 m BIA,	 sabiendo	
que	 los	 ángulos	 ABI	 y	 ACB	miden	 36°	 y	 40°	
respectivamente.
5.	 En	 un	 triángulo	 rectángulo	 ABC	 (B=90º),	 se	
traza	 la	 altura	 BH	 relativa	 a	 la	 hipotenusa.	
Calcular	 la	m ABH,	 sabiendo	 que	 el	 ángulo	
"C"	mide	47°.
6.	 Grafique	al	triángulo	obtusángulo	ABC,	obtuso	
en	"B"	y	trace	la	altura	AH .	Si	la	m HAB	es	de	
42°,	calcular	la	medida	del	ángulo	ABC.
7.	 En	un	triángulo	ABC,	la	m ABC=74°.	Calcular	
la	 medida	 del	 menor	 ángulo	 que	 forman	 las	
bisectrices	exteriores	de	los	ángulos	"A"	y	"C".
8.	 Grafique	el	triángulo	obtusángulo	ABC,	obtuso	
en	"B"	y	trace	la	altura	CH.	Si	los	ángulos	HBC	y	
BCA	miden	80°	y	21°	respectivamente,	calcular	
la	m HCA.
Comunicación matemática
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 La	 mediatriz	 de	 un	 triángulo,	 siempre	
contiene	a	uno	de	sus	vértices.
	 •	 La	mediana	de	un	triángulo	biseca	al	lado	
opuesto.
	 •	 La	altura	de	todo	triángulo	divide	al	ángulo	
interior	en	partes	iguales.
2.	 Completar:
	 La	 bisectriz	 ...............................	 divide	 al	
ángulo	 interior	 respectivo,	 en	 dos	 ángulos	
.............................
3.	 Expresar	 gráficamente	 lo	 que	 se	 le	 solicita	 en	
cada	caso:
	 •	 Un	 triángulo	 y	 dos	 bisectrices	 interiores	
que	se	interceptan	en	"I".
	 •	 Un	triángulo	acutángulo	ABC,	la	altura	BH	
y	la	bisectriz	CF,	que	se	interceptan	en	"Q".
	 •	 Un	 triángulo	 obtusángulo	 y	 las	 alturas	
relativas	a	los	lados	menores.
4.	 Teniendo	 en	 cuentael	 poema	 mostrado	 al	
comienzo	 del	 capítulo	 y	 la	 teoría	 efectuada,	
indique	 a	 qué	 línea	 notable	 se	 refiere	 y	 qué	
propiedades	le	hace	recordar.
Resolución de problemas
5.	 Grafique	 el	 triángulo	 acutángulo	 ABC	 y	 trace	
las	alturas	AH	y	CF	que	se	intersectan	en	"Q".	
Si	el	ángulo	"B"	mide	72°,	calcular	la	m AQC.
6.	 Sea	 ABC	 un	 triángulo	 donde	 las	 bisectrices	
interiores	de	los	ángulos	"A"	y	"C"	se	cortan	en	
"I".	Calcular	la	m AIC,	sabiendo	que	el	ángulo	
ABC	mide	70°.
7.	 En	 un	 triángulo	 ABC,	 sea	 "M"	 punto	 medio	
de	 BC	 y	 sea	 "R"	 punto	 de	 intersección	 de	 la	
bisectriz	interior	del	ángulo	"B"	con	la	mediatriz	
del	lado	BC.	Calcular	la	m ABC,	sabiendo	que	
el	ángulo	BRM	mide	52°.
8.	 Grafique	el	triángulo	ABC	de	modo	que	el	ángulo	
"B"	mida	48°	y	las	bisectrices	exteriores	de	"A"	
y	"C",	se	corten	en	"Q".	Calcule	la	m AQC.
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Geometría
Unidad I
2
9.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 de	 modo	 que	
el	 ángulo	 "B"	 mida	 "a°"	 y	 las	 bisectrices	
exteriores	de	"A"	y	"C",	se	corten	en	"Q".	Si	la																																			
m AQC=a°,	calcule	el	valor	de	"a°".
10.	Grafique	al	triángulo	equilátero	ABC	y	trace	la	
ceviana	AE 	de	modo	que	la	m EAC=15°.	En	
el	 triángulo	 obtusángulo	 AEC	 trace	 la	 altura	
CH.	Calcular	la	medida	del	ángulo	formado	por	
las	prolongaciones	de	CH	y	AB.
11.	 Los	ángulos	"A",	"B"	y	"C"	de	un	triángulo	ABC,	
son	 entre	 sí	 como	 3;	 4	 y	 5	 respectivamente.	
Calcular	 el	 valor	 del	 ángulo	 formado	 por	 la	
altura	 y	 la	 bisectriz	 interior	 relativas	 al	 lado	
mayor.
12.	 Sea	 ABC	 un	 triángulo	 obtusángulo,	 donde	
las	alturas	AE	y	CF	se	interceptan	en	"H".	Si:	
m B=128°,	calcular	la	m AHC.
13.	Del	 gráfico,	 calcular	 la	 relación	 entre	 "x°"	 e	
"y°".
a°
a°
q°q°
x°
y°
14.	 En	 un	 triángulo	 rectángulo	 ABC	 (B=90°),	 se	
traza	la	altura	BH	y	la	bisectriz	interior	AE,	que	
corta	a	la	altura	 BH	en	"F".	Calcular	 "BE",	
si:	BF=5 2cm.
15.	 En	un	triángulo	ABC	se	trazan	las	bisectrices	exte-
riores	de	los	ángulos	"B"	y	"C"	que	se	interceptan	
en	"E",	de	tal	manera	que:	2m BEC=5m A.	
Calcular:	m A.
16.	ABC	y	PQR	son	dos	triángulos	congruentes,	de	
modo	que:	AC	 	QR;	m A=m Q;	m C=m R;	
AB=x 1;	PQ=7 x;	PR=6	y	BC=2y.	Calcular	
el	valor	de	"x+y".
17.	 PQRS	es	un	cuadrilátero	donde:	PQ=SR,	
m QPR=m PRS;	 QR= 20	 y	 SP=x 5.	
Calcular	"x".
18.	Grafique	 el	 triángulo	 rectángulo	 ABC,	 recto	
en	"B"	y	trace	la	altura	BH,	de	tal	manera	que:		
AH>HC.	 Calcular	 la	medida	 del	 ángulo	 que	
forman	 las	 bisectrices	 de	 los	 ángulos	 BAH	 y	
HBC.
Aplicación cotidiana
19.	 En	uno	de	los	extremos	(banda)	de	una	mesa	de	billar,	se	
encuentran	tres	bolas	en	línea	recta	en	"A",	en	"B"	y	en	
"C"	respectivamente	y	en	el	otro	extremo	paralelo	(banda	
opuesta)	se	encuentra	el	jugador	y	la	bola	blanca	(punto	
"J").	Esta	disposición	es	tal	que	JB	es	la	mínima	distancia	
entre	las	bandas	opuestas,	AJ=2,5	m	y	JC=1,5 2	m.	Si	además	JB	mide	1,5	m,	calcular:
	 •	 La	medida	del	ángulo	que	formarían	los	recorridos	de	la	bola	blanca,	que	partiendo	de	"J"	 iría	
hacia	"A"	y	"C".
	 •	 Si	en	AB	se	ubica	un	punto	"N"	tal	que	AN=1,75	m,	indicar	qué	línea	sería	JN	para	el	triángulo	AJC.
20.	 En	 el	 gráfico,	 se	 muestra	 una	 parte	 del	 área	 en	
conflicto	 entre	 Perú	 y	 Chile,	 que	 tiene	 un	 área	
de	 37	 610	 m2	 terrestres.	 ¿Cuál	 es	 la	 distancia	
aproximada	 del	 Punto	 Concordia	 hacia	 la	 línea	
que	 une	 el	 paralelo	 geográfico	 con	 el	 Hito	 1,	
considerando	que	 la	porción	de	 línea	costera	es	
línea	recta?
Paralelo
geográfico
PERÚ
CHILEOcéano
Pacífico
10	km	del	
puente	Lluta
264
.5	m
37	610	m2
323.54	m
Hito	1
Orilla	
del	Mar
Punto	Concordia
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GeometríaLíneas notables
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos¡Tú puedes!
1.	 ABC	 es	 un	 triángulo	 equilátero	 y	 CQR	 otro	
triángulo	equilátero	exterior	(ambos	coplanares).	
Calcular	el	valor	del	mayor	ángulo	que	forman	
BR	y	AQ.
2.	 Sea	 ABC	 un	 triángulo	 rectángulo	 (B=90°),	
ABEF	y	BCPQ	son	dos	cuadrados	exteriores	 a	
dicho	triángulo.	Si	las	distancias	de	"F"	y	"P"	a	la	
recta	AC	miden	3 2	y	6 2m	respectivamente,	
calcule	el	valor	de	"AC".
3.	 En	la	figura,	BI	es	bisectriz	interior.	
bº fºaº
wº
B
I
									
Luego,	podemos	afirmar:
	 a)		w°	=	b° a°	 	 b)		w°	=	a°+b°	
	 c)		f°	=	
b° a°
2 	 	 d)		w°	=3f°		
	 e)		2w°	=f°
4.	 Grafique	 al	 cuadrado	 ABCD	 y	 a	 una	 recta	
exterior	 L 	que	pasa	por	 "A".	 Si	 las	distancias	
de	"B"	y	"D"	a		 L 	miden	10	y	8	dm,	calcular	la	
distancia	entre	los	pies	de	estas	perpendiculares.
5.	 En	un	triángulo	obtusángulo	ABC,	obtuso	en	"B",	se	
trazan	la	altura	BH	y	la	bisectriz	interior	BM,	de	tal	
manera	que:	m A	+	3m HBM=90°	+	m C.	
Calcular	m HBM,	si:	BC>AB	.
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 La	bisectriz	de	un	 triángulo,	 siempre	con-
tiene	al	punto	medio	del	lado	opuesto.
	 •	 La	 mediana	 de	 un	 triángulo	 no	 biseca	 al	
lado	opuesto.
	 •	 La	altura	de	todo	triángulo	es	siempre	una	
línea	que	pertenece	a	su	región	interior.
2.	 Expresar	 gráficamente	 lo	 que	 se	 le	 solicita	 en	
cada	caso:
	 •	 Un	 triángulo	 ABC	 y	 dos	 bisectrices	
exteriores	que	se	interceptan	en	"F".
	 •	 Un	triángulo	acutángulo	ABC,	la	mediana	BM	
y	la	bisectriz	CF,	que	se	interceptan	en	"Q".
	 •	 Un	 triángulo	 obtusángulo	 y	 dos	 alturas	
relativas	al	lado	menor	y	al	lado	mayor.
3.	 Sea	ABC	un	triángulo	de	incentro	"I".	Calcular	
la	m AIC,	sabiendo	que	el	ángulo	ABC	mide	
118°.
4.	 En	 un	 triángulo	 ABC,	 sea	 "M"	 punto	 medio	
de	 BC	 y	 sea	 "R"	 punto	 de	 intersección	 de	 la	
bisectriz	interior	del	ángulo	"B"	con	la	mediatriz	
del	lado	BC.	Calcular	la	m BRM,	sabiendo	que	
el	ángulo	ABC	mide	82°.
5.	 En	la	figura,	AB=BC	y	AP=PC.	Calcular	"a°".
A
B
C
P
2a°
3a°
6.	 En	 el	 triángulo	 ABC,	 las	 bisectrices	 de	 los	
ángulos	"A"	y	"C"	se	cortan	en	"F".	Si	el	ángulo	
ABC	mide	72°,	calcular	la	m AFC.
7.	 En	 la	 figura,	 AM=MD,	 CD=8	 y	 AB=11.	
Calcular	"BC".
A
B C
D
M
8.	 Calcular	la	medida	del	ángulo	exterior	"C"	de	un	
triángulo	ABC,	si:	m A=40°	y	3m B=4m C.
9.	 Sea	ABC	un	triángulo	rectángulo	(B=90°)	y	sea	
"Q"	la	intersección	de	las	bisectrices	exteriores	
de	"A"	y	"C".	Calcular	la	m AQC.
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Geometría
Unidad I
2
10.	Grafique	al	 triángulo	 rectángulo	ABC	(B=90°)	
y	 trace	 la	altura	BH,	 luego,	 la	bisectriz	BF	del	
ángulo	HBC.	Si:	AB=BF,	calcular	la	m BAC.
11.	Grafique	 al	 triángulo	 rectángulo	 ABC	 (B=90°)
y	 trace	 la	 bisectriz	 interior	 AF.	 La	 mediatriz	
de	 la	hipotenusa	AC,	corta	a	 BC	en	"E"	y	a	 la	
prolongación	de	AF	en	"Q".	Calcular:	EF/QE.
12.	Dos	 lados	 de	 un	 triángulo	 acutángulo	 suman	
16	dm.	Calcular	 la	 longitud	del	máximo	valor	
entero	de	la	altura	relativa	al	tercer	lado.
13.	 Se	 tiene	 el	 triángulo	ABC.	 Si:	m A=2m C	y	
AB=5,	calcular	el	máximo	valor	entero	de	BC.
14.	ABCD	 es	 un	 cuadrilátero,	 tal	 que:	 AB=CD,		
m BAC=m ACD,	BC=2 a 	y	AD=a 2.	Cal-
cular	el	valor	de	"a".
15.	Dibuje	 el	 triángulo	 rectángulo	 isósceles	 ABC	
(B=90º)	y	a	la	recta	L exterior	al	triángulo	pero	
que	contenga	a	"B".	Sean	AH 	y	CE	las	distancias	
a		L .	Si:	AH=13	y	CE=7,	calcule	"HE".
16.	Dado	 el	 triángulo	 rectángulo	 PQR	 (Q=90º),	
dibuje	 exteriormente	 los	 cuadrados	 PQEF	 y	
QRST.	Si	las	distanciasde	"F"	y	"S"	a	PR	miden	
4,5	y	8,5	dm,	calcule	"PR".
17.	 En	la	región	interior	y	exterior	relativa	al	lado		
AB	de	un	triángulo	equilátero	ABC,	se	ubican	
los	 puntos	 "P"	 y	 "E"	 respectivamente,	 de	 tal	
manera	 que	 el	 triángulo	 PBE	 sea	 equilátero.	
Calcular	m PEA,	si:	m CPB=90°.
18.	 En	el	gráfico,	el	triángulo	ABC	es	obtusángulo.	
Calcular	el	mínimo	valor	entero	de	"a°+q°".
A
B
Ca° q°
19.	Grafique	al	triángulo	acutángulo	ABC	en	el	que	
se	 trazan	 las	 alturas	AH	 y	 CJ.	 Se	 unen	 "H"	 y	
"J"	 con	 "M"	punto	medio	de	 AC.	Si	 el	menor	
ángulo	que	 forman	 las	 bisectrices	 del	 ángulo	
ABC	y	del	ángulo	HMJ	mide	"x°"	y	el	ángulo	
JCA	mide	"y°",	calcular	 la	medida	del	ángulo	
HAC	en	términos	de	"x°"	e	"y°".
20.	 En	el	gráfico,	el	valor	de	AB	es	de	2	cm.	¿Entre	
qué	valores	está	CD?
A
2a°
3a°
B
CD
a°
Geometría 4to - I Bim.indd 23 31/10/2014 11:13:18 a.m.
2524
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3
Congruencia
La	congruencia	de	las	figuras	(léase	en	términos	prácticos	 como	 igualdad),	 aparece	 en	 la	naturaleza,	 en	 la	 vida	 cotidiana,	 en	 nuestro	
quehacer	escolar	y	también	en	nuestros	juegos.	Una	
forma	 interesante	de	manifestarse	 es	 en	el	 famoso	
"tangram".	Este	es	un	rompecabezas	de	origen	chino	
que	 probablemente	 apareció	 hace	 tan	 solo	 200	 ó	
300	años.	Los	chinos	lo	llamaron	"tabla	de	sabiduría"	
y	 "tabla	 de	 sagacidad",	 haciendo	 referencia	 a	 las	
cualidades	que	el	juego	requiere.
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	a	los	triángulos	congruentes,	haciendo	uso	de	los	postulados.
•	 A	demostrar	que	dos	triángulos	son	congruentes	y	aplicarlo	en	la	resolución	de	problemas	a	través	
de	ello	y	los	teoremas	respectivos.
Ya	que	estamos	en	el	terreno	lúdico,	también	cabe	
recordar	 cómo	 en	 nuestra	 niñez	 hacíamos	 uso	 de	
la	 congruencia	 de	 triángulos.	 Que	 agradable	 es	
recordar	 cuando	 construíamos	 la	 imagen	 de	 un	
chinito,	compuesto	por	triángulos	de	diversos	tipos.	
Probablemente	no	nos	indicaban	ni	la	naturaleza	de	
los	triángulos,	ni	de	la	congruencia	de	los	mismos.	
Sin	embargo	hacíamos	buen	uso	de	ellos.
¿Podrías	indicarnos	cuántos	triángulos	congruentes	
aparecen	en	esta	 imagen	y	 también	 indicarnos	 los	
tipos	de	triángulos?
3
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Unidad I 2524
TRILCE
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Geometría
Saberes previos
•	 La	distancia	de	un	punto	hacia	una	recta,	es	la	perpendicular	trazada	desde	dicho	punto	hacia	
la	recta.
										
L
A
															 L
A
•	 La	bisectriz	de	un	ángulo	es	el	rayo	que	partiendo	del	vértice,	biseca	a	dicho	ángulo.
q°
q°O F
B
A
																												
a°
a°
O
E
C
B
•	 La	 mediatriz	 de	 un	 segmento	 es	 la	 línea	 perpendicular	 en	 el	 punto	 medio	 de	 dicho	
segmento.
A B
											
A
B
C
Mediatriz	de	BC
•	 En	un	triángulo	se	cumple	que	a	mayor	ángulo	se	le	opone	mayor	lado	y	a	menor	ángulo	se	
le	opone	menor	lado	y	viceversa.
a
c
ba°
q°
											
Si	"a°"	es	el	mayor	ángulo,	entonces	"c"	es	
el	mayor	lado	y	si	"q°"	es	el	menor	ángulo	
entonces	"a"	es	el	menor	lado.
Antes de entrar al tema, recordemos que:
Geometría 4to - I Bim.indd 25 31/10/2014 11:13:19 a.m.
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GeometríaCongruencia
Conceptos básicos
En	el	capítulo	anterior,	se	 trabajó	con	las	 líneas	notables	en	el	 triángulo	y	los	casos	de	congruencia	de	
triángulos.	Ahora	trataremos	sobre	las	propiedades	que	se	deducen	de	la	congruencia	de	triángulos,	como	
también	de	algunos	triángulos	rectángulos	notables.
• Propiedad de la bisectriz
	 Todo	punto	situado	sobre	la	bisectriz	de	un	ángulo,	equidista	de	sus	lados.
• Propiedad de la mediatriz
	 Todo	punto	situado	en	la	mediatriz	de	un	segmento,	equidista	de	sus	extremos.
a°
a°
Q
P
R
A M
Si	"P"	∈	a	la	bisectriz	AM
AQ
PQ
AR
PR	 	
	 	
a° a°
P
M
L
A B= =
∆APB
P	∈ L
PA
isósceles
PB
L → mediatriz	de	AB
	 	
En el triángulo isósceles
•	 La	 altura	 relativa	 a	 la	 base,	 es	 también	
mediana,	bisectriz	y	mediatriz.
Si:	AB=BC
Altura
Mediana
Bisectriz
Mediatriz
BH
a° a°
q° q°
B
HA C
\ \
Si:	AB=BC "E"→	Punto	cualquiera	
	 			de	la	base	AC
EP+EQ=AH
•	 La	suma	de	las	distancias	EP	y	EQ,	nos	da	
la	altura	AH .
B
E
P
Q
H
A C
⇒
⇒
Geometría 4to - I Bim.indd 26 31/10/2014 11:13:20 a.m.
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Geometría
Unidad I
3
• Teorema de los puntos medios
	 En	un	triángulo,	la	paralela	a	un	lado,	trazada	por	el	punto	medio	de	otro,	corta	al	tercero	en	su	
punto	medio.	El	segmento	determinado	se	llama	base	media	o	paralela	media	y	mide	la	mitad	
de	la	longitud	del	lado	al	cual	es	paralelo.
B
M N
A C
Si:	AM	 	MB	y	MN	//	AC
MN= AC
2
y MN	se	denomina	base	media
"N"	es	punto	medio	de	BC⇒
• Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa
	 En	todo	triángulo	rectángulo,	la	mediana	relativa	a	la	hipotenusa	mide	la	mitad	de	ella.
Si	BM	es	mediana
y AM=BM=MC
BM= AC
2⇒
q° a°
a°q°
B
M
=
= =A C
Triángulos rectángulos notables
a
a
a 2
45°
45°
n
2n
n 3
60°
30°
2a
a 2
a 2
45°
45°
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GeometríaCongruencia
Síntesis teórica
4a
5a
3a
37°
53°
k
3k
k 10
37°
2
b
2b
b 5
53°
2
En	este	caso,	 la	altura	
menor	es	la	cuarta	parte	
de	la	hipotenusa.
B
15°75°
H
4a
a
A C
a( 6 	-	 2 ) a( 6+ 2 )
CONGRUENCIA
Para	 efectos	 prácticos	 puede	
entenderse	 a	 la	 congruencia	 (≈)	
como	sinónimo	de	igualdad.
La	 propiedad	 de	 la	 bisectriz	 es	
respecto	 de	 la	 equidistancia	 de	
lados.
La	 propiedad	 de	 la	 mediatriz	 es	
respecto	 de	 la	 equidistancia	 de	
vértices.
El	 teorema	 de	 la	 base	 media	 es	
para	todo	tipo	de	triángulo	y	el	de	
la	mediana	 relativa	al	 lado	mayor	
es	 aplicable	 solo	 en	 el	 triángulo	
rectángulo.
Recordar	los	triángulos	rectángulos	
notables.
Geometría 4to - I Bim.indd 28 31/10/2014 11:13:21 a.m.
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Geometría
Unidad I
3
Conceptos básicos Aprende más...
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
1.	 Se	tienen	dos	triángulos	congruentes,	donde	los	
lados	menores	 (uno	 en	 cada	 triángulo)	miden	
(3x+2)	cm	y	(14+x)	cm.	Calcular	la	longitud	de	
uno	de	estos	lados.
2.	 Se	 tienen	 dos	 triángulos	 rectángulos	
congruentes.	 Si	 las	 hipotenusas	miden	 "3x"	 y	
"4x	 	5",	calcular	la	suma	de	los	cuadrados	de	
los	catetos	de	uno	de	estos	triángulos.
3.	 La	hipotenusa	de	un	triángulo	rectángulo	mide	
24	cm.	Si	la	mediana	relativa	a	dicha	hipotenusa	
mide	"5y+2",	calcular	el	valor	de:	2y.
4.	 En	un	triángulo,	una	base	media	mide	(6x	 	2)	cm.	Si	
el	lado	al	cual	es	paralelo	mide	32	cm,	calcular	
el	valor	de	"x".
5.	 Si	 los	 lados	 de	 un	 triángulo	 miden	 14;	 16	 y	
18	cm,	calcular	el	perímetro	del	triángulo	que	
resulta	al	unir	los	puntos	medios	de	sus	lados.
6.	 Los	 catetos	 de	 un	 triángulo	 rectángulo	miden	
12	y	16	cm.	Calcular	la	longitud	de	la	mediana	
relativa	a	la	hipotenusa.
7.	 Grafique	al	ángulo	ABC	y	en	su	bisectriz	marque	
el	punto	"Q",	de	modo	que	las	distancias	de	"Q"	
hacia	los	lados	midan	(2x	 	1)	cm	y	(x+4)	cm.	
Calcular	la	longitud	de	una	de	estas	distancias.
8.	 Grafique	al	triángulo	rectángulo	ABC	(B=90°)	
y	trace	la	bisectriz	interior	AF .	Si:	FB=2 3 	cm,	
calcular	la	distancia	de	"F"	a	la	hipotenusa	AC.
Comunicación matemática
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifiquesu	respuesta.
	 •	 Cualquier	 punto	de	 la	mediatriz	 equidista	
de	los	extremos	de	su	segmento.
	 •	 Si	 dos	 triángulos	 tienen	 sus	 tres	 ángulos	
congruentes,	entonces	se	afirma	que	dichos	
triángulos	también	serán	congruentes.
	 •	 La	altura	de	todo	triángulo	mide	la	mitad	de	
su	base.
2.	 Completar:
	 En	 un	 triángulo,	 la	 base	 media	 es	
...............................	al	 lado	opuesto	y	mide	la
..................................	de	dicho	lado.
3.	 Completar:
A
B
CQ
P
= =
PQ=
	PH	
	PN	
=
H
a°
a°
N
P
BM=
A
B C
M
=
=
4.	 Realice	 un	 breve	 comentario	 sobre	 la	 lectura	
proporcionada	al	comienzo	del	capítulo.
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GeometríaCongruencia
Resolución de problemas
5.	 Grafique	al	triángulo	rectángulo	ABC	(B=90°)	y	
trace	la	altura	 BH	y	la	mediana	BM	relativas	a	
la	hipotenusa	AC .	Si	la	m ACB=42°,	calcular	
la	m HBM.
6.	 Grafique	al	 triángulo	rectángulo	ABC	de	hipo-
tenusa	 AC	 igual	 a	 24	 cm	 y	 cuyo	 ángulo	 "C"	
mida	36°.	Trace	la	ceviana	BF	de	modo	que	el	
ángulo	ABF	mida	18°.	Calcular	el	valor	de	"BF".
7.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 de	 modo	 que	 los	
ángulos	"B"	y	"C"	midan	84°	y	42°	respectiva-
mente.	 Trace	 la	mediatriz	 de	AC	que	 corta	 al	
lado	 BC	 en	 "R".	 Calcular	 la	 longitud	 de	 AB,	
sabiendo	que:	CR=2 5 	cm.
8.	 Sea	ABC	un	triángulo	rectángulo	de	hipotenusa	
AC.	La	mediatriz	de	AC	corta	a	 BC	en	"Q"	de	
modo	que:	QC=12	cm.	Calcular	la	distancia	de	
"B"	al	punto	medio	de	AQ.
9.	 Grafique	al	triángulo	ABC,	cuyo	lado	AC	mida	
12	cm.	Sean	"M"	y	"N"	puntos	medios	de	 los	
lados	 AB	 y	 BC	 respectivamente.	 Grafique	 al	
rectángulo	MNPQ	 (PQ	 sobre	 la	 base	 AC)	 de	
modo	que	NP=8	cm.	Calcule	el	valor	de	"MP"	
y	la	m MPN.
10.	Grafique	 al	 cuadrilátero	 ABCD	 de	 modo	 que	
los	 ángulos	 ABC	 y	 ADC	 sean	 rectos,	 el	 ángulo	
ACD	 mida	 53°,	 AB	 y	 BC	 midan	 7	 y	 24	 cm	
respectivamente.	 Luego,	 exteriormente,	
grafique	al	 triángulo	rectángulo	AFD	de	modo	
que	sea	recto	en	"F"	y	el	ángulo	FAD	mida	45°.	
Calcule	el	valor	de	"FD".
11.	 En	el	gráfico,	AE	y	BF	son	paralelos,	OE	y	OF	
son	bisectrices	de	los	ángulos	AEF	y	BFE.	Si	la	
distancia	de	"O"	hacia	EF	es	de	5 3 	cm,	calcular	
la	distancia	entre	las	paralelas
							
A E
B F
O
12.	Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 de	 modo	 que	 los	
lados	AB	y	AC	midan	7	y	13	cm	respectivamente	
y	trace	BH	perpendicular	a	la	bisectriz	interior	
del	ángulo	"A".	Calcule	 la	distancia	de	"H"	al	
punto	medio	del	lado	BC	.
13.	Grafique	al	triángulo	ABC	y	a	su	mediana	BM.	
Si	la	distancia	de	"A"	hacia	BM	es	de	6	cm	y	BC	
mide	10	cm,	calcular	la	m CBM.
14.	Grafique	al	 triángulo	rectángulo	ABC	de	hipo-
tenusa	 AC	 y	 trace	 la	 ceviana	 AF,	 de	 modo	
que:	m FAC=2m BAF.	 En	 AC	marque	 "Q"	
de	 forma	que:	m AFQ=m ACB.	Calcular	el	
valor	de	"QF",	si	el	valor	de	FB	es	de	10	cm.
15.	 Sea	 EFG	 un	 triángulo	 rectángulo	 tal	 que:	
m E=58°,	m G=32°	y	EG=10	cm.	Trace	la	
ceviana	FH ,	de	modo	que	el	ángulo	EFH	mida	
6°.	Calcule	el	valor	de	"FH".
16.	ABC	es	un	triángulo	acutángulo	donde	AC	mide	
24	cm	y	el	ángulo	"A"	mide	45°.	Exteriormente	
y	relativo	a	 BC	marque	el	punto	"Q"	de	modo	
que:	 BC=CQ	 y	 m A=m BCQ.	 Calcular	 la	
distancia	de	"Q"	hacia	CA.
17.	Grafique	 al	 triángulo	ABC	y	ubique	un	punto	
interior	"P"	de	modo	que:	m PAC=30°,	
m PCA=15°	 y	m APB=90°.	Calcule	 la	
m PCB,	 si	 además	 las	 longitudes	 AC,	 BP 	 y	
PC 	miden	4;	2	y	2 2 	cm	respectivamente.
Aplicación cotidiana
18.	 Julio	desea	realizar	un	experimento	de	distancias.	Para	ello	se	sitúa	en	
el	punto	"P"	que	está	a	10 3 	m	al	frente	de	su	casa.	Coloca	una	cuerda	
desde	 "P"	 hacia	 la	 parte	más	 alta	 de	 su	 casa	 y	 la	 tensa	 firmemente.	
Julio	se	da	cuenta	que	la	cuerda	forma	un	ángulo	de	30°	con	el	piso.	
Calcular:
	 •	 La	altura	de	la	casa.
	 •	 La	distancia	respecto	del	piso,	a	la	que	se	encuentra	el	punto	medio	
de	la	cuerda.
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Geometría
Unidad I
3
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos¡Tú puedes!
19.	Alberto	y	Carlos	se	encuentran	ubicados	de	modo	que	la	distancia	entre	ellos	es	de	10	m	y	entre	ellos	
se	encuentra	un	árbol	tal	que	el	pie	del	árbol	dista	7	m	de	Carlos.	El	ángulo	de	elevación	de	Alberto	
para	mirar	la	copa	del	árbol	es	el	doble	del	ángulo	de	elevación	que	usaría	Carlos	para	mirar	la	copa	
de	dicho	árbol.	Calcular:
	 •	 La	distancia	del	pie	del	árbol	hacia	Alberto.
	 •	 La	altura	del	árbol.
20.	 La	 figura	 nos	 muestra	 el	 cuerpo	 de	 un	 telescopio	 diseñado	 por	 el	
inventor	John	Lowry	Dobson.	Él	montó	el	telescopio	sobre	una	base	de	
madera	y	utilizó	una	serie	de	varillas	de	150	cm	de	longitud,	para	fijar	
la	posición	de	los	dos	espejos	(el	principal	y	el	secundario).	La	base	
de	madera	la	colocó	sobre	un	carro	para	mover	el	telescopio	de	un	
lado	a	otro	y	acercarlo	a	la	gente	para	que	disfrutasen	del	espectáculo	
nocturno.	El	sistema	que	utilizó	para	la	fabricación	de	este	telescopio	
fue	tan	sencillo,	que	hoy	son	muchos	los	aficionados	que	optan	por	
seguirlo	y	fabricarse	su	propio	telescopio,	variando	las	medidas	a	sus	
necesidades.	Si	el	ángulo	que	forman	dos	varillas	es	de	53°,	¿cuál	sería	
la	longitud	de	la	base	que	se	opone	a	dicho	ángulo?
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1.	 Grafique	al	triángulo	obtusángulo	ABC,	obtuso	
en	"B".	Trace	una	perpendicular	a	BC,	por	"B"	
y	que	corta	a	CA	en	"Q".	Si	 la	m BAC	es	el	
doble	 de	 la	m ACB	 y	AB=9	 cm,	 calcular	 el	
valor	de	"QC".
2.	 Los	 lados	 AB,	 BC	 y	 AC	de	un	 triángulo	ABC	
miden	12;	16	y	20	cm	respectivamente.	Calcular	
la	 longitud	del	 segmento	que	une	 los	 pies	 de	
las	perpendiculares	trazadas	desde	"B"	hacia	las	
bisectrices	interiores	de	los	ángulos	en	"A"	y	en	
"C".
3.	 El	 perímetro	de	un	 triángulo	 rectángulo	 es	 de	
96	cm	y	uno	de	sus	ángulos	agudos	mide	37°.	
Trace	la	altura	relativa	a	la	hipotenusa	y	calcule	
la	 distancia	 del	 pie	 de	 dicha	 altura	 al	 punto	
medio	del	cateto	mayor.
4.	 Dos	lados	de	un	triángulo	miden	5	y	6	cm.	Si	el	
ángulo	que	forman	es	de	7°,	calcular	la	medida	
del	mayor	ángulo	interior.
5.	 Los	 ángulos	 "A"	 y	 "C"	 de	 un	 triángulo	 ABC	
miden	 45°	 y	 30°	 respectivamente.	 Calcular	
la	m AMB,	 sabiendo	que	AM	es	 la	mediana	
relativa	a	BC.
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 Cualquier	 punto	 de	 la	 bisectriz	 de	 un	
ángulo	equidista	de	sus	lados.
	 •	 Si	 dos	 triángulos	 rectángulos	 tienen	 dos	
ángulos	 agudos	 congruentes,	 entonces	 se	
afirma	que	dichos	triángulos	también	serán	
congruentes.
	 •	 La	bisectriz	relativa	a	la	hipotenusa	mide	la	
mitad	de	dicha	hipotenusa.
2.	 Alberto	y	Julio	se	encuentran	ubicados	de	modo	
que	la	distancia	entre	ellos	es	de	13	m	y	entre	
ellos	 se	 encuentra	 un	 árbol	 tal	 que	 el	 pie	 del	
árbol	dista	9	m	de	Julio.	El	ángulo	de	elevación	
de	 Alberto	 para	mirar	 la	 copa	 del	 árbol	 es	 el	
doble	del	ángulo	de	elevación	que	usaría	Julio	
para	mirar	la	copa	de	dicho	árbol.	Calcular:
	 •	 La	distancia	del	pie	del	árbol	hacia	Alberto.
	 •	 La	altura	del	árbol.
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GeometríaCongruencia
3.	 Grafique	al	triángulo	rectángulo	ABC	(B=90°)	y	
trace	la	altura	BH	y	la	mediana	BM	relativas	a	la	
hipotenusa	AC.	Si	la	m ACB=33°,	calcular	la	
m HBM.
4.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC,	 de	 modo	 que	 los	
ángulos	 "B"	 y	 "C"	 midan	 76°	 y	 38°	 respecti-
vamente.	 Trace	 la	mediatriz	 de	 AC	 que	 corta	
al	lado	BCen	"R".	Calcular	la	longitud	de	AB,	
sabiendo	que	CR=2 7 	cm.
5.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 de	 modo	 que	 los	
lados	AB	y	AC	midan	9	y	16	cm	respectivamente	
y	trace	BH	perpendicular	a	la	bisectriz	interior	
del	ángulo	"A".	Calcule	 la	distancia	de	"H"	al	
punto	medio	del	lado	BC.
6.	 Sea	 ABC	 un	 triángulo,	 tal	 que:	 AB=18	 cm,	
BC=20	cm	y	AC=24	cm.	Trace	la	altura	BH	y	
calcule	el	perímetro	del	triángulo	que	se	forma	
al	unir	"H"	con	los	puntos	medios	de	AB	y	BC.
7.	 Grafique	al	cuadrilátero	ABCD,	de	modo	que:	
	 m B=m D=90°,m ACB=30° ym CAD=37°.	
Calcular	el	valor	de	"DA",	sabiendo	que	AB	y	
CA	suman	30	cm.
8.	 Grafique	al	triángulo	rectángulo	ABC	(B=90°)	
y	 trace	 la	mediatriz	 de	 la	 hipotenusa	 AC	que	
intercepta	 a	 BC	 en	 "Q".	 Si	 QC	mide	 10	 cm,	
calcular	la	suma	de	cuadrados	de	AB	y	BQ.
9.	 Grafique	 a	 los	 triángulos	 rectángulos	 ABC	 y	
CEF,	de	modo	que	"B",	"C"	y	"E"	sean	puntos	
colineales	 y	 además:	 AC=CF,	 m ACF=90°,	
AB=5'cm	 y	 FE=12'cm.	 Calcular	 el	 valor	 de	
"BE".
10.	 En	el	gráfico	mostrado,	calcular	"PS",	si:	PQ=9	cm	
y	RH=14	cm.
P
Q
R
H S
11.	Grafique	al	triángulo	rectángulo	ABC	de	hipo-
	 tenusa	 AC	y	cuyo	ángulo	"C"	mida	30°.	Exte-
riormente	construya	el	triángulo	rectángulo	AFC	
(F=90°)	de	modo	que	 la	m ACF	sea	de	37º.	
Calcular	la	diferencia	entre	FC	y	AC,	sabiendo	
que:	AB=12,5	cm.
12.	Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 y	 trace	 la	 mediana	
BM.	Si	la	distancia	de	"A"	hacia	BM	es	de	6.cm,	
calcule	la	distancia	de	"C"	hacia	dicha	mediana.
13.	 Sea	ABC	un	 triángulo	 donde:	m A=30°	 y	
m C=15°.	Trace	la	mediana	BM	y	calcule	
la	m MBC.
14.	Grafique	 al	 triángulo	ABC	 y	 trace	 la	mediana	
BM.	Si	la	distancia	de	"A"	hacia	BM	es	de	8	cm	
y	el	lado	BC	mide	10	cm,	calcule	la	m MBC.
15.	 En	un	triángulo	rectángulo,	la	hipotenusa	mide	
24	cm	y	uno	de	sus	ángulos	mide	15°.	Calcular	
la	longitud	de	la	altura	relativa	a	la	hipotenusa.
16.	 En	 el	 gráfico,	 si	 PH	 mide	 12	 cm,	 calcular	 el	
valor	de	"AB".
P
CB
A
H
aº
aº
17.	Grafique	al	triángulo	rectángulo	ABC	(B=90°)
y	trace	la	mediana	AM	de	modo	que:	AB=5.cm	
y	 MA= 61	 cm.	 Calcular	 la	 longitud	 de	 la	
mediana	relativa	a	la	hipotenusa.
18.	Dado	 un	 triángulo	 rectángulo	 ABC	 (recto	 en	
"A"),	se	trazan	la	altura	AH	y	la	bisectriz	interior	
BN	 ("N"	∈ AC)	 las	 cuales	 se	 cortan	 en	 "O".	
Calcular	 la	 distancia	 desde	 "O"	 hasta AC,	 si:	
AB=18	cm	y	BH=6	cm.
19.	 En	 el	 gráfico	mostrado:	 FC=2AP;	AF=FP=PE	
y	el	ángulo	"C"	es	de	30°.	Calcular	el	valor	de	
"f°".
						 CFA
E
P
B
30°
f°
20.	Grafique	 al	 triángulo	 acutángulo	 ABC	 y	 trace	
BH	 altura	 y	 AM	mediana,	 que	 se	 interceptan	
en	"O".	Si:	BH	=6	cm,	AH=4	cm	y	AO=MO,	
calcular	el	valor	de	"BC".
Geometría 4to - I Bim.indd 32 31/10/2014 11:13:23 a.m.
Razonamiento Matemático
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Geometría 4
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 La	 menor	 mediana	 de	 un	 triángulo	
rectángulo	mide	la	mitad	de	la	hipotenusa.
	 •	 Si	dos	triángulos	tienen	sus	ángulos	iguales,	
entonces	serán	congruentes.
	 •	 La	 base	 media	 de	 un	 triángulo	 mide	 el	
doble	de	su	lado	opuesto.
2.	 En	un	 triángulo,	 las	mediatrices	de	dos	de	sus	
lados	se	interceptan	en	un	mismo	punto	situado	
en	el	tercer	lado.	Calcular	la	medida	del	ángulo	
interior	opuesto	a	dicho	lado.
3.	 Las	 medidas	 de	 dos	 ángulos	 exteriores	 de	
un	 triángulo	 rectángulo	 son	 "4b°"	 y	 "5b°"	
respectivamente.	Calcular	el	valor	del	menor	de	
los	ángulos	interiores	agudos.
4.	 En	un	triángulo	ABC,	la	medida	del	ángulo	exte-
rior	en	"B"	es	de	140°	y	su	bisectriz	exterior	es	
paralela	al	lado	AC.	Calcular	la	m BAC.
5.	 En	un	 triángulo	ABC,	 los	ángulos	en	"A"	y	en	
"C"	miden	58°	y	42°	respectivamente.	Calcular	
la	medida	del	ángulo	que	forman	la	altura	y	la	
bisectriz	relativas	al	lado	AC.
6.	 Los	lados	menores	de	un	triángulo	obtusángulo	
miden	8	y	15	cm.	Calcular	la	suma	del	mínimo	
y	máximo	 valor	 entero	 que	 puede	 adoptar	 el	
tercer	lado.
7.	 Los	lados	menores	AB	y	BC	de	un	triángulo	ABC	
miden	3	y	5	cm	respectivamente.	Exteriormente	
se	construye	el	triángulo	equilátero	ACQ.	Cal-
cular	 el	 máximo	 valor	 entero	 que	 adopta	 el	
perímetro	del	triángulo	ACQ.
8.	 Grafique	al	 triángulo	 rectángulo	ABC	(B=90°)	
cuyo	 cateto	 AB	 mida	 8	 cm	 y	 el	 ángulo	 "C"	
mida	30°.	Exteriormente	construya	el	triángulo	
isósceles	 AQC	 cuyo	 lado	 diferente	 es	 QC.	
Calcular	la	longitud	del	segmento	que	une	los	
puntos	medios	de	AC	y	QC.
9.	 En	un	triángulo	rectángulo,	uno	de	sus	ángulos	
mide	15°	y	la	hipotenusa	mide	48	cm.	Calcular	
la	longitud	de	la	altura	relativa	a	la	hipotenusa.
10.	Completar:
	
x°
a° q°
x°=
	
PQ=
A
B
C
P
Q= =
	
<c<ba
c
11.	 El	triple	de	un	ángulo	excede	a	otro	en	40°.	Si	
estos	ángulos	son	conjugados	internos	compren-
didos	entre	rectas	paralelas,	calcular	la	diferen-
cia	entre	dichos	ángulos.
12.	 En	la	figura,	las	rectas	L1	y	L2	son	paralelas	entre	
sí,	al	igual	que	L3	y	L4	que	también	son	paralelas.	
Calcular	el	ángulo	que	forman	las	bisectrices	de	
los	ángulos	SRT	y	SPR.
L1P
S
R T
a°
a°
L3
L4
L2
13.	 Si:	L1	//	L2	,	calcular:	
m
n
n°
m°
b°
b°
a°
a°
L1
L2
Repaso
Unidad I
Geometría 4to - I Bim.indd 33 31/10/2014 11:13:23 a.m.
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GeometríaRepaso
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
14.	 Si:	L1	//	L2	,	calcular	el	valor	de	"x°"	cuando	"q°"	
toma	su	máximo	valor	entero.
q°
2x°+2q°
3x°	 	q°
3q°
56º
L1
L2
15.	Grafique	al	triángulo	ABC,	de	modo	que:
	 m A=2m C	 y	 trace	 la	 altura	 BH.	 Calcule	
el	 valor	 de	 "AB",	 sabiendo	 que:	HA=5	 cm	 y	
HC=12	cm.
16.	Grafique	el	triángulo	ABC,	de	modo	que:
	 m A=2m C	y	trace	la	bisectriz	interior	BD.
	 Calcule	 el	 valor	 de	 "AB",	 sabiendo	 que:	
AD=6'cm	y	BC=10	cm.
17.	 En	un	triángulo	ABC,	el	ángulo	"A"	mide	48º.	
Trace	las	bisectrices	interiores	BP	y	CQ	y	calcule	
la	medida	del	ángulo	que	forman	las	bisectrices	
de	los	ángulos	BQC	y	BPC.
18.	 Sobre	el	cateto	 BC	de	un	triángulo	rectángulo	
ABC,	recto	en	"B",	se	construye	exteriormente	
el	triángulo	equilátero	BCD.	Calcular	la	medida	
del	ángulo	PQR,	si	"P",	"Q"	y	"R"	son	los	puntos	
medios	de	AD,	BD	y	BC	respectivamente.
19.	 En	el	interior	de	un	triángulo	ABC,	se	ubica	"M",	
de	modo	que:	MA=AB=MC,	m MAC=2x°,	
	 m MCB=3x°	y	m ABC=13x°.	Calcule	el	valor	
de	"xº".
20.	Grafique	al	triángulo	obtusángulo	ABC,	obtuso	
en	"B".	Calcule	el	valor	de	"AB",	sabiendo	que	
es	un	número	entero	y	que	además	 AC	y	 BC
miden	10	y	2	cm	respectivamente.
1.	 Los	lados	menores	de	un	triángulo	obtusángulo	
miden	6	y	8	cm.	Calcule	la	suma	de	todos	los	
posibles	valores	enteros	del	tercer	lado.
2.	 En	un	 triángulo,	 las	mediatrices	de	dos	de	sus	
lados	se	interceptan	en	un	mismo	punto	situado	
en	el	tercer	lado.	Indicar	de	qué	tipo	de	triángulo	
se	trata.
3.	 En	 un	 triángulo	 ABC,	 la	 medida	 del	 ángulo	
exterior	en	"B"	es	de	130°	y	su	bisectriz	exterior	
es	paralela	al	lado	AC.	Calcular	la	m BAC.
4.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 La	 mayor	 mediana	 de	 un	 triángulo	
rectángulo	mide	la	mitad	de	la	hipotenusa.
	 •	 Si	 dos	 triángulos	 tienen	 todos	 sus	 lados	
iguales,	entonces	serán	congruentes.
	 •	 La	base	media	de	un	triángulo	no	es	paralela	
al	lado	opuesto.
5.	 Grafique	 al	 triángulo	 acutángulo	 ABC,	 trace	
la	altura	BH	y	la	bisectriz	AI.	Si	el	ángulo	"A"	
mide	72°,	calcule	el	mayor	ángulo	que	formanestas	líneas	al	interceptarse.
6.	 Grafique	el	triángulo	ABC	de	modo	que:
	 m A=2m C	y	 trace	 la	bisectriz	 interior	 BD.	
Calcule	el	valor	de	"AB",	sabiendo	que:	AD=7.cm	
y	BC=16	cm.
7.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 La	 mediatriz	 del	 lado	 de	 un	 triángulo	
siempre	es	paralela	al	lado	opuesto.
	 •	 Los	ángulos	interiores	agudos	del	triángulo	
rectángulo	son	suplementarios.
	 •	 La	 bisectriz	 interior	 de	 un	 triángulo	 es	
perpendicular	al	lado	opuesto.
8.	 Si	 la	hipotenusa	del	 triángulo	rectángulo	mide	
60	cm	y	uno	de	sus	ángulos	agudos	mide	37°, 
calcule	su	perímetro.
9.	 En	un	triángulo	isósceles	ABC,	AB=BC=5	cm,	
se	traza	la	ceviana	BP	tal	que	AP=2	cm.	Si	BP		
toma	un	valor	entero,	calcular	el	perímetro	del	
triángulo	APB.
10.	Dos	 lados	 de	 un	 triángulo	 miden	 6	 y	 8	 cm.	
Calcular	el	máximo	valor	entero	del	tercer	lado,	
si	su	ángulo	interior	opuesto	es	agudo.
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Geometría 4
Unidad I
11.	 En	 un	 triángulo	 obtusángulo	 ABC,	 obtuso	 en	
"A",	las	mediatrices	de	AB	y	AC	interceptan	a		
BC 	en	"P"	y	"Q".	Hallar	m PAQ,	si	la	medida	
del	ángulo	exterior	en	"A"	es	80°.
12.	Calcular	"AB",	si:	BM=MC;	AD=50m	y	CD=35m.
B
M
C
DA
13.	 En	el	gráfico	mostrado,	calcular	el	valor	de	AB.
A
8
B
15
a°a°
14.	 En	 el	 gráfico,	 calcular	 el	 valor	 de	 "EH",	 si	
BC=4m
A C
B
D
45°
E H
15.	Del	gráfico	mostrado,	calcular	el	valor	de	"BF".
A
B
C
E
F
24m
90°-	a°
2a°
q°
q°
16.	Calcular	"PS",	si:	PQ=7m	y	RH=11m	
Q
P H
R
S
17.	 En	 un	 triángulo	 ABC,	 se	 trazan	 las	 bisectrices	
exteriores	 de	 los	 ángulos	 "B"	 y	 "C"	 que	
se	 interceptan	 en	 "E",	 de	 tal	 manera	 que:																																		
2m BEC=7m A.	Calcular	la	m A.
18.	 En	 el	 triángulo	 ABC,	 las	 bisectrices	 interiores	
de	los	ángulos	"A"	y	"C"	se	cortan	en	"F".	Si	el	
ángulo	ABC	mide	82°,	calcular	la	m AFC.
19.	Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 y	 ubique	 el	 punto	
interior	 "D"	 tal	que:	m DBC=m DAC=a°,	
m C=5a°,	m DAB=7a°	y	BD=AC.	Calcule	
el	valor	de	"a°".
20.	Grafique	 al	 cuadrado	 ABCD	 y	 marque	 los	
puntos	"M"	en	AD	y	"E"	en	CM,	de	modo	que	
AM=MD	y	AB=BE.	Calcular	la	m AEM.
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