MecA l1

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MECAˆNICA ANALI´TICA
Lista de Exerc´ıcios no 1 – (2004/2)
1. Escreva as equac¸o˜es de movimento de um peˆndulo esfe´rico, isto e´, uma massa pontual m sus-
pensa por uma haste r´ıgida de complimento � e massa desprez´ıvel.
2. [LL78] Um peˆndulo duplo e´ composto de um peˆndulo simples de massa m1 e comprimento �1
ao qual e´ suspenso de m1 um segundo peˆndulo de massa m2 e comprimento �2. O sistema todo
se move em um u´nico plano vertical.
(a) Escreva a lagrangeana em coordenadas adequadas.
(b) Escreva as equac¸o˜es de movimento para estas coordenadas generalizadas.
3. Considere um peˆndulo “ela´stico”, ou seja, uma massa m suspensa por uma mola com constante
k e comprimento natural (na auseˆncia de tensa˜o externa) �. Considere ainda que o sistema esta´
vinculado a se mover em um plano vertical. Escreva as equac¸o˜es de Lagrange para este sistema.
4. [LL78] O ponto de suspensa˜o de um peˆndulo de massa m2 restrito a se mover no plano vertical
e´ uma conta de massa m1. A conta, por sua vez, move-se sem atrito em uma haste posicionada
horizontalmente. Encontre a lagrangeana do sistema.
5. [Gol81] Duas rodas de raio a esta˜o montadas nos extremos de um eixo de comprimento b de
modo que a rodas giram de forma independente. O conjunto rola sem deslisar sobre um plano
horizontal. Considere as coordenadas generalizadas: φ e φ′ que indicam os aˆngulos que pontos
arbitra´rios em cada roda fazem com o eixo vertical, θ que determina a direc¸a˜o das rodas no
plano horizontal e (x, y) as coordenadas do ponto me´dio do eixo que conecta as duas rodas.
(a) Encontre as duas equac¸o˜es de v´ınculo (na˜o holonoˆmicas)
cos θdx+ senθdy = 0,
senθdx− cos θdy = a
2
(dφ+ dφ′)
(b) Obtenha tambe´m a equac¸a˜o de v´ınculo holonoˆmica
θ = C − a
b
(φ− φ′)
onde C e´ uma constante.
6. Um fio de arame tem a sua forma descrita por y = A|x|n, com n ≥ 2. O fio esta´ orientado
verticalmente com a “abertura” para cima. O fio gira com velocidade angular ω em torno do
eixo y. Uma conta de massa m deslisa sobre o fio sob a ac¸a˜o do campo gravitacional g uniforme.
(a) Encontre a altura de equil´ıbrio da conta no fio. Considere especialmente o caso de n = 2.
(b) Encontre a frequ¨eˆncia de pequenas oscilac¸o˜es em torno da posic¸a˜ode equil´ıbrio.
7. Uma part´ıcula de massa m e carga e move-se em um campo eletrosta´tico, cujo potencial e´
ϕ = Ex1, e em um campo magne´tico uniforme cujo potencial vetor e´ A = e2Bx1, onde E e B
sa˜o constantes. Aqui (x, y, z) = (x1, x2, x3) e ek e´ o versor na direc¸a˜o k.
(a) Escreva a lagrangeana do problema.
(b) Mostre que o movimento e´ circular no plano 1-2 e superposto a uma velocidade constante
V no plano 2-3. Escreva a velocidade angular ω do movimento circular e a componente V2
do movimento linear em termos das condic¸o˜es iniciais.
8. Demonstre que duas lagrangeanas L1 e L2, tais que L1−L2 = dΦ/dt onde Φ e´ uma func¸a˜o com
varia´veis (q, q˙, t), da˜o origem a`s mesmas equac¸o˜es de movimento. [Sugesta˜o: Consulte o item
1.3.1 da apostila.]