Slides Teoria das Estruturas 1 v01[126]

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CCE0370 - Teoria das Estruturas I
Professor:
João Miguel Santos Dias
1
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
2
Bibliografia principal
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. Tradução de Daniel 
Vieira; Revisão de José Maria Campos dos Santos. 12. ed. São Paulo, SP: 
Pearson/Prentice Hall, 2011. 
ALMEIDA, M. C. F. Estruturas Isostáticas. 1. ed. São Paulo, SP: Oficina de 
Textos, 2009. 
JUNIOR, E. F. M. Introdução à isostática. São Paulo, SP: EESC-USP, 1999.
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Bibliografia complementar
MCCORMAC, J. C. Análise Estrutural: Usando métodos clássicos e métodos 
matriciais. Tradução e revisão de: Amir Kurban. 4ª ed. Rio de Janeiro, RJ: 
LTC, 2015. 
BEER, F. P. e JOHNSTON, R.E. e EISENBERG, E.R. Mecânica Vetorial para 
Engenheiros - Estática. 7 Ed. São Paulo, SP: MacGraw-Hill, 2006.
FONSECA, A. Curso de Mecânica – Volume 1. Livros Técnicos e Científicos 
Editora S. A., 1972.
FONSECA, A. Curso de Mecânica – Volume 2. Livros Técnicos e Científicos 
Editora S. A., 1973.
KASSIMALI, A. Análise Estrutural. Tradução e revisão de: Luis A. V. Carneiro. 
5ª ed. Cengage Learning, 2016. 
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Avaliação
AV 1 – 50% da nota final
AV 2 (prova nacionalizada) – 50% da nota final
*AV 3 (prova nacionalizada) – 50% da nota final*
- Datas das provas conforme calendário disponível no SIA
- Aprovação conforme regulamento vigente
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Sumário
1 - Forças no plano
2 - Corpos rígidos
3 - Equilíbrio de corpos rígidos
4 - Cargas distribuídas
5 - Esforços solicitantes
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1 - Forças no plano
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1 – Forças no plano
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
1 - Forças no plano
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Notação cartesiana:
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥 + 𝐹𝑦 = 𝐹𝑥𝐢 + 𝐹𝑦𝐣
𝐹𝑥 = 𝐹 × cos 𝜃
𝐹𝑦 = 𝐹 × sin 𝜃
𝜃 = tan−1
𝐹𝑦
𝐹𝑥
𝐹 = (𝐹𝑥)² + (𝐹𝑦)²
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1 - Forças no plano
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Ԧ𝐴 + 𝐵 =
= (𝐴𝑥𝐢 + 𝐴𝑦𝐣) + (𝐵𝑥𝐢 + 𝐵𝑦𝐣) =
= (𝐴𝑥+𝐵𝑥)𝐢 + (𝐴𝑦−𝐵𝑦)𝐣 =
= A cos𝛽 + B cos𝛼 𝐢 + (A sin 𝛽 − B sin 𝛼)𝐣
Notação cartesiana – adição de vetores:
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
1 - Forças no plano
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Exercício 1.1:
Determinar as componentes cartesianas da força resultante, o seu módulo 
e o menor ângulo em relação ao eixo xx. 
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1 - Forças no plano
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Exercício 1.2:
Determinar as componentes cartesianas da força resultante, o seu módulo 
e os menores ângulos em relação aos eixos xx e yy.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
1 - Forças no plano
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Exercício 1.3:
Determinar as componentes cartesianas da força resultante, o seu módulo 
e os menores ângulos em relação aos eixos xx e yy.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
1 - Forças no plano
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Forças em molas:
Hibbeler (2011)
𝐹 = 𝑘𝑠
𝑠 = 𝑙 − 𝑙0
𝑠𝑒 𝑠 > 0, 𝐹 "puxa" 𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎
𝑠𝑒 𝑠 < 0, 𝐹 "empur𝑟𝑎" 𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎
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1 - Forças no plano
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Equilíbrio de forças:
σ Ԧ𝐹 = 0
෍𝐹𝑥 +෍𝐹𝑦 = 0
෍𝐹𝑥 ∙ 𝐢 +෍𝐹𝑦 ∙ 𝐣 = 0
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1 - Forças no plano
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Exercício 1.4:
Determine a força de tração nos cabos BA e BC, sabendo que o
cilindro pesa 60 kg. Considere g = 9,81 m/s2.
Hibbeler (2011)
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1 - Forças no plano
15
Exercício 1.5:
Determine as tensões nos cabos AB, AD e AC do sistema em
equilíbrio apresentado na figura. Considere g = 9,81 m/s2.
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1 - Forças no plano
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Exercício 1.6:
O sistema representado na figura está em equilíbrio.
Determine a massa do corpo localizado no ponto A. Considere
g = 9,81 m/s2.
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1 - Forças no plano
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Exercício 1.7:
Sabendo que o sistema representado se encontra em
equilíbrio e que o comprimento não deformado do cabo AB é
igual a 3m, calcule a massa do corpo localizado em D.
Considere g = 9,81 m/s2.
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1 - Forças no plano
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Exercício 1.8:
Sabendo que o sistema representado se encontra em
equilíbrio e que o comprimento não deformado do cabo AB é
igual a 200mm, calcule as tensões nos cabos BC e BD.
Considere g = 9,81 m/s2.
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2 – Corpos rígidos
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
2 – Corpos rígidos
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Força: é uma ação realizada por um corpo em um outro.
Forças atuantes em um corpo:
- forças externas:
devidas às ações externas ao corpo em consideração.
- forças externas ativas:
atuam diretamente no(s) corpo(s).
- forças externas reativas:
são dependentes das forças externas ativas e dos
vínculos/ligações que impedem os movimentos dos corpos.
- forças internas:
devidas às ações entre partículas materiais de um mesmo corpo.
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2 – Corpos rígidos
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Todos os materiais se deformam sob ação de forças.
Se as deformações de um determinado corpo forem
desprezáveis: corpo rígido.
Corpo rígido: é todo o corpo que apresenta capacidade
de suporte de cargas/ações/forças, sem exibir
deformações.
No caso de se pretender determinar a resistência
mecânica de um corpo ou as suas deformações, não é
possível considerar um corpo rígido.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
2 – Corpos rígidos
22
Força: é uma ação realizada por um corpo em um outro.
Quando os corpos são suficientemente pequenos, é
possível considerar que todas as forças atuam em um
mesmo ponto material (ponto de aplicação das forças).
No caso de várias forças atuando em um corpo cujas
dimensões não são desprezáveis, é necessário considerar
um conjunto de pontos materiais (pontos de aplicação
das forças).
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2 – Corpos rígidos
23
Momento de uma força:
Um corpo, quando sujeito a uma ação, tende a rotacionar. 
A essa tendência, chamamos de torque, momento de 
uma força ou apenas momento.
Hibbeler (2011)
𝑀𝑜 = 𝐹. 𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃
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2 – Corpos rígidos
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Momento de uma força – formulação escalar:
𝑀𝑜 = 𝐹. 𝑑. 𝑠𝑒𝑛 𝜃
F = força aplicada
d = braço da força
θ = ângulo formado entre d e F
Sentido positivo: anti-horário
Nota: normalmente considera-se θ = 90°,
uma vez que sen (90) = 1 (valor máximo) 
Hibbeler (2011)
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2 – Corpos rígidos
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Momento resultante de um conjunto de forças:
Hibbeler (2011)
(𝑀𝑅)0 =෍𝐹𝑑
(𝑀𝑅)0 = 𝐹1𝑑1 − 𝐹2𝑑2 + 𝐹3𝑑3
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2 – Corpos rígidos
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Momento de uma força – princípio da transmissibilidade:
Hibbeler (2011)
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2 – Corpos rígidos
27
Princípio dos momentos - Teorema de Varignon:
O momento de uma força em relação a um ponto é igual
à soma dos momentos das componentes da força em
relação ao mesmo ponto.
Hibbeler (2011)
𝑴𝑜 = 𝒓 × 𝑭 = 𝒓 × 𝑭1 + 𝑭2
𝑴𝑜 = 𝒓 × 𝑭1 + 𝒓 × 𝑭2
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2 – Corpos rígidos
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Princípio dos momentos - Teorema de Varignon:
Hibbeler (2011)
𝑀𝑜 = 𝐹𝑑
𝑀𝑜 = −𝐹𝑥 𝑦 + 𝐹𝑦 𝑥
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2 – Corpos rígidos
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Exercício 2.1:
Determine o momento resultante das quatro forças que
atuam na barra em relação ao ponto O.
Hibbeler (2011)
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2 – Corpos rígidos
30
Exercício 2.2:
Determine o valor do momento da força em relação ao 
ponto O.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
2 – Corpos rígidos
31
Exercício 2.3:
Determine o valor do momento da força em relação ao 
ponto O.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
2 – Corpos rígidos
32
Exercício 2.4:
Determine o momentoda força em relação ao ponto O.
Hibbeler (2011)
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2 – Corpos rígidos
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Exercício 2.5:
Se o homem em B exerce uma força P = 150 N sobre sua corda,
determine a intensidade da força F que o homem em C precisa
exercer para impedir que o poste gire; ou seja, para que o momento
resultante em relação a A devido às duas forças seja zero.
Hibbeler (2011)
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2 – Corpos rígidos
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Exercício 2.6:
O cabo de reboque exerce uma força P = 4kN na extremidade da
lança do guindaste de 20m de comprimento. Se θ = 30°, determine
o posicionamento x do gancho em A para que essa força crie um
momento máximo em relação ao ponto O. Qual o valor do
momento?
Hibbeler (2011)
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2 – Corpos rígidos
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Binário:
É o conjunto de duas forças paralelas, distanciadas entre
si, com igual intensidade e direção, no entanto com
sentidos opostos.
Hibbeler (2011)
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2 – Corpos rígidos
36
Momento de um binário – formulação vetorial:
𝑴 = 𝒓𝐵 × 𝑭 + 𝒓𝐴 × −𝑭
= (𝒓𝐵 − 𝒓𝐴) × 𝑭
= 𝒓 × 𝑭
O momento de um binário é um vetor livre e depende 
apenas do vetor r !
Hibbeler (2011)
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2 – Corpos rígidos
37
Momento de um binário – formulação escalar:
Hibbeler (2011)
𝑀 = 𝑑𝐹
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2 – Corpos rígidos
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Binários equivalentes:
Hibbeler (2011)
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2 – Corpos rígidos
39
Simplificação de um sistema de forças e binários:
Hibbeler (2011)
𝑭𝑅 =෍𝑭
(𝑴𝑅)𝑂 =෍𝑴𝑂 +෍𝑴
(𝐹𝑅)𝑥 =෍𝐹𝑥
(𝐹𝑅)𝑦 =෍𝐹𝑦
(𝑀𝑅)𝑂 =෍𝑀𝑂 +෍𝑀
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2 – Corpos rígidos
40
Simplificação de um sistema de forças e binários:
Hibbeler (2011)
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2 – Corpos rígidos
41
Exercício 2.7:
Determine o momento resultante.
Hibbeler (2011)
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2 – Corpos rígidos
42
Exercício 2.8:
Determine o momento resultante que age sobre a viga.
Hibbeler (2011)
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2 – Corpos rígidos
43
Exercício 2.9:
Se F = 2000N, determine o momento de binário
resultante.
Hibbeler (2011)
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2 – Corpos rígidos
44
Exercício 2.10:
Dois binários agem na mesma viga como ilustrado. Determine a
intensidade de F de modo que o momento resultante seja 300 N.m
no sentido anti-horário.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
2 – Corpos rígidos
45
Exercício 2.11:
Calcule a força resultante e o momento resultante.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
2 – Corpos rígidos
46
Exercício 2.12:
Calcule a força resultante e o momento resultante.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
2 – Corpos rígidos
47
Exercício 2.13:
Calcule a força resultante e o momento resultante.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
2 – Corpos rígidos
48
Exercício 2.14:
Calcule a força resultante e o momento resultante.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
2 – Corpos rígidos
49
Exercício 2.15:
Calcule a força resultante e o momento resultante.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
2 – Corpos rígidos
50
Exercício 2.16:
Calcule a força resultante e o momento resultante.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
2 – Corpos rígidos
51
Exercício 2.17:
Calcule a força resultante e o momento resultante.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
52
3 – Equilíbrio de corpos 
rígidos
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
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Condições necessárias para ocorrer o equilíbrio de um corpo:
෍𝐹𝑥 = 0
෍𝐹𝑦 = 0
෍𝑀0 = 0
𝑭𝑅 =෍𝑭 = 𝟎
෍𝑴0 = 𝟎
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
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Equilíbrio no plano:
- os corpos são considerados em um único plano, logo o sistema
de forças é coplanar;
- para uma melhor compreensão do problema, é necessário
recorrer aos diagramas de corpo livre;
- os corpos podem ter diferentes vinculações (logo, diferentes
reações) em relação ao seu meio exterior;
- para cada translação restringida existe uma força de reação
(reação de apoio);
- para cada rotação restringida existe uma reação momento.
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3 – Equilíbrio de corpos rígidos
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Apoios com 1 incógnita:
Junior (2015)
Almeida (2015)
Apoio simples ou apoio móvel
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
56
Apoios com 1 incógnita:
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
57
Apoios com 1 incógnita:
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
58
Apoios com 2 incógnitas:
Junior (2015)
Almeida (2015)
Apoio fixo, apoio duplo, apoio do 2º gênero ou articulação
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
59
Apoios com 2 incógnitas:
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
60
Apoios com 2 incógnitas:
Junior (2015)
Hibbeler (2011)
Engaste móvel, slide ou pistão
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
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Almeida (2015)
Apoios com 3 incógnitas:
Engaste
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
62
Idealização estrutural:
McCormac (2015)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
63
Idealização estrutural:
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
64
Diagrama de corpo livre:
É a representação esquemática de uma estrutura e de todas
as forças que nela atuam.
Exemplo:
Desenhe o diagrama de corpo livre da treliça, cujo peso próprio é
desprezável, que é sustentado pelo cabo AC e pelo pino C.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
65
Exercício 3.1:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
66
Exercício 3.2:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
67
Exercício 3.3:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
68
Exercício 3.4:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
69
Exercício 3.5:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
70
Exercício 3.6:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
71
Exercício 3.7:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
72
Exercício 3.8:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
73
Exercício 3.9:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
74
Determinação e estabilidade:
- As equações de equilíbrio fornecem as condições
necessárias e suficientes para o equilíbrio;
- No entanto, o corpo necessita de estar adequadamente
fixo/restrito pelos seus apoios;
- Podem existir casos em que os corpos possuem mais
vínculos/apoios do que o necessário ou dispostos de forma
não eficaz.
CCE0370- Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
75
Determinação e estabilidade
- Quando todas as forças podem ser determinadas a partir
das equações de equilíbrio, a estrutura será
estaticamente determinada;
- Quando o número de equações de equilíbrio é menor do
que a quantidade de incógnitas, então estamos perante
uma estrutura estaticamente indeterminada.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
76
Hibbeler (2013)
𝜮𝑭𝒙 ≠ 𝟎
Determinação e estabilidade
- Além do cumprimento das condições de equilíbrio, é
necessário que as estruturas e/ou suas partes constituintes
sejam convenientemente restringidas;
- Em alguns casos, quando o número de restrições é inferior ao
número de equações de equilíbrio, a estrutura está
parcialmente restringida.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
77
Determinação e estabilidade – restrições edundantes:
Quando o corpo apresenta mais apoios do que aqueles que são
necessários para o seu equilíbrio;
Neste caso, diz-se que o corpo é estaticamente indeterminado,
uma vez que apresentam mais incógnitas (reações de apoio)
do que equações de equilíbrio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
78
Determinação e estabilidade
- No plano, cada parte da estrutura (sub-estrutura)
apresenta três equações de equilíbrio, por conseguinte,
para a estrutura toda teremos:
𝒓 < 𝟑𝒏 para uma estrutura instável
𝒓 = 𝟑𝒏 para uma estrutura determinada
𝒓 > 𝟑𝒏 para uma estrutura indeterminada
𝑟 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏 − 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
79
Determinação e estabilidade
Hibbeler (2013)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
80
Determinação e estabilidade
Hibbeler (2013)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
81
Determinação e estabilidade
Hibbeler (2013)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
82Hibbeler (2013)
Determinação e estabilidade
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
83
Determinação e estabilidade – restrições impróprias:
- Quando o corpo apresenta o mesmo número de incógnitas
(reações de apoio), no entanto:
- a(s) linha(s) de ação(ões) das forças de reação são
concorrentes em um ponto (análise no plano);
- as linhas de ação de todas as forças de reação interceptarem
um eixo comum (análise no espaço);
- as linhas de ação de todas as forças de reação são paralelas
(análise no plano e no espaço);
- Neste caso, diz-se que o corpo não apresenta equilíbrio estático,
encontrando-se impropriamente restrito.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
84
Determinação e estabilidade – restrições impróprias
Hibbeler (2013)
𝜮𝑴𝑶 ≠ 𝟎
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
85
Determinação e estabilidade – restrições impróprias
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
86
Hibbeler (2011)
Determinação e estabilidade – restrições impróprias
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
87
𝜮𝑭𝒚 ≠ 𝟎
Fonte: Apostila de Hiperestática – UFBA – Prof. Mônica Guarda (2010)
Determinação e estabilidade – restrições impróprias
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
88
Determinação e estabilidade – restrições impróprias
𝜮𝑴𝑨 ≠ 𝟎
Fonte: Apostila de Hiperestática – UFBA – Prof. Mônica Guarda (2010)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
89
Notas gerais:
- Para que um corpo seja estável, é necessário que as linhas de ação de todas as
forças de reação não se interceptem e não sejam paralelas;
- A montagem do diagrama de corpo livre ajuda é fundamental para a resolução
de problemas de equilíbrio estático;
- Se um determinado apoio impede a translação segundo uma determinada
direção, então existe uma reação de apoio nessa direção;
- Se um apoio impede uma determinada rotação, então o apoio exerce um
momento de binário sobre o corpo em relação a esse eixo;
- Se existirem mais reações de apoio (incógnitas) do que equações de
equilíbrio, então o sistema é estaticamente indeterminado.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
90
Notas gerais:
- Uma estrutura será instável se:
- Existirem menos reações de apoio (incógnitas) do que
equações de equilíbrio;
- Linhas de ação de todas as reações de apoio
concorrentes em um ponto;
- Todas as reações de apoio paralelas entre si.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
3 – Equilíbrio de corpos rígidos
91
Notas gerais:
- No caso de uma estrutura ser composta por vários
corpos, é necessário verificar a estabilidade local de
cada sub-estrutura;
- Se o equilíbrio não for verificado em uma das sub-
estruturas, então o equilíbrio global não será verificado.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
92
4 – Cargas distribuídas
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
93
Forças = ações = cargas
NBR 6120: Cargas para o cálculo de estruturas de edificações
NBR 6123: Forças devido ao vento em edificações.
NBR 7187: Projeto de pontes de concreto armado e de concreto
protendido - Procedimento
NBR 7188: Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre
NBR 7189: Cargas móveis para projeto estrutural de pontes ferroviárias
Exemplos:
peso próprio, ocupação, vento, instalações, etc.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
94
Cargas – classificação quanto à posição:
- Cargas fixas – cargas cujo ponto de aplicação é constante ao longo do
tempo.
- Cargas móveis – cargas cujo ponto de aplicação é variável ao longo
do tempo.
Cargas – classificação quanto à duração:
- Cargas permanentes – ocorrem durante todo o tempo de vida da
estrutura (por exemplo: peso próprio).
- Cargas acidentais – a sua presença na estrutura não é constante
(por exemplo: a presença de pessoas no edifício, ação do vento).
- Cargas excepcionais – eventos com ocorrência pontual (sismos,
explosões, etc.)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
95
Cargas – classificação quanto à variação com o tempo:
- Cargas estáticas – intensidade e sentido não variam com o tempo
(por ex.: peso próprio).
- Cargas dinâmicas – intensidade e sentido variam com o tempo (por
ex.: sismos).
- Cargas pseudo-estáticas – simplificações numéricas de cargas
dinâmicas (por ex.: vento).
Cargas – classificação quanto à variação com o tempo:
- Cargas concentradas – aplicadas em um ponto da estrutura.
- Cargas dinâmicas – distribuídas (em um comprimento ou área).
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
96
Cargas – representação e simplificações:
Os problemas reais requerem a correta representação
esquemática dos carregamentos. No entanto, devido à
complexidade da maioria das situações e a falta de
certeza em relação ao carregamento sobre a estrutura ao
longo da sua vida útil, é aceitável (e conveniente) recorrer a
simplificações e aproximações matemáticas, utilizando
sempre o bom senso.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
97
Cargas – representação e simplificações:
Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
98
Cargas – representação e simplificações:
Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
99
Cargas – representação e simplificações:
Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
100
CargasForças
Momentos
Concentrados
Uniforme
Não uniforme
Distribuídos
Concentradas
Distribuídas
Triangular
Trapezoidal
Outras
Uniforme
Não uniforme
Triangular
Trapezoidal
Outros
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
101
Cargas – representação e simplificações:
Cargas concentradas
É uma simplificação (abstração) de uma carga distribuída
com pequena extensão (em relação à estrutura);
Não ocorre na realidade, uma vez que é impossível aplicar
uma carga em apenas um ponto da estrutura.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
102
Cargas – representação e simplificações:
Carga distribuídas
Nos casos em que o trecho da estrutura em que a carga atua não é
desprezável;
As cargas podem ser consideradas distribuídas em um comprimento,
caso uma das direções seja bastante inferior à outra;
A carga distribuída é igual à taxa de distribuição q em função de um
determinado comprimento da estrutura:
𝑞(𝑥) =
𝑑𝑄
𝑑𝑥
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
103
Cargas – representação e simplificações:
Carga distribuídas
Fonseca (1976)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
104
Cargas – representação e simplificações:
Carga distribuídas
Fonseca (1976)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
105
Cargas – representação e simplificações:
Carga distribuídas
Forças distribuídas:
tf/m; kN/m; N/cm; etc.
Momentos distribuídos:
tf.m/m; kN.m/m; N.cm/cm; etc.
Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
106
Cargas – representação e simplificações:
Carga distribuídas – resultante:
- igual à área definida pela função q (x) nos intervalos mínimo e
máximo da função:
𝑹 = ׬𝟎
𝑳
𝒒 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨
- o ponto de aplicação da resultante coincide com o centro de
gravidade/centroide da área:
ഥ𝒙 =
׬ 𝒙 𝒒(𝒙)𝒅𝒙
׬ 𝒒(𝒙)𝒅𝒙
=
׬ 𝒙 𝒅𝑨
׬ 𝒅𝑨
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
107
Cargas – representação e simplificações:
Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
108
Exercício 4.1:
Calcule as reações de apoio.
Fonseca (1976)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
109
Hibbeler (2011)
Exercício 4.2:
Calcule as reações de apoio.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
110
Exercício 4.3:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
111
Exercício 4.4:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
112
Exercício 4.5:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
113
Exercício 4.6:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
114
Exercício 4.7:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
115
Exercício 4.8:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
116
Exercício 4.9:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
117
Exercício 4.10:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
118
Exercício 4.11:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
119
Exercício 4.12:
Calcule as reações de apoio.
Hibbeler (2011)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
4 – Cargas distribuídas
120
Exercício 4.13:
Calcule as reações de apoio.
Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
121
5 – Esforços solicitantes
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
122
1 – Todos os corpos são deformáveis;
2 – Mesmo com um equilíbrio de forças externas, as forças
internas não se equilibram imediatamente;
3 – O equilíbrio das forças internas só ocorre após algum tempo
depois do início da aplicação das cargas;
Fonseca (1976)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
123
4 – Após ocorrer o equilíbrio das forças internas, as moléculas da
parte direita irão exercer ações (P2, P3 e P4) nas moléculas da parte
esquerda do corpo;
5 – As ações (P1 e Pn) têm intensidade e direções iguais e sentidos
opostos;
Fonseca (1976)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
124
6 – As distribuições das forças internas em uma seção pode ser
determinada através da força resultante das forças externas e pelo
momento resultante;
7 - A força resultante (R) e o momento resultante (G) das partes
esquerda e direita deverão ter intensidade e direção iguais e
sentidos opostos;
Fonseca (1976)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
125
8 – R e G que atuam na parte esquerda são devidas a P2, P3 e P4. r
e G que atuam na parte direita são devidos a P1 e Pn que atuam na
parte esquerda;
9 – Cada seção está em equilíbrio (R e G têm direções e
intensidades iguais, mas sentidos opostos);
Fonseca (1976)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
126
10 – Princípio da superposição dos efeitos: se os materiais se
encontram em regime elástico (deformações dos materiais
suficientemente reduzidas) o efeito global de um conjunto de
forças é igual à soma do efeito de cada ação;
11 – Analisando R e G isoladamente, temos:
Fonseca (1976)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
127
12 – Analisando R isoladamente, temos:
N = esforço axial ou esforço normal
Q ou V = esforço cortante ou esforço de cisalhamento
Fonseca (1976)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
128
13 – Analisando G isoladamente, temos:
T = momento torsor
M = momento fletor
Fonseca (1976)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
129
14 – M atua no plano da seção;
15 – M provoca a rotação da seção em torno do seu eixo horizontal;
Fonseca (1976)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
130
Esforço normal: tendência para comprimir (compressão) ou
distender (tração) a seção;
Esforço cortante: tendência para cortar a seção;
Momento torsor: tendência para rotacionar a seção em torno do
eixo perpendicular ao plano desta;
Momento fletor: tendência para rotacionar a seção em torno de
um eixo contido pelo plano desta.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
131Fonseca (1976)
Esforço normal
É a soma das projeções das forças externas de um mesmo lado da
seção sobre a normal desta.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
132
Fonseca (1976)
Esforço cortante
É a soma das projeções das forças externas de um mesmo lado da
seção sobre o plano desta.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
133
Fonseca (1976)
Momento torsor
É a soma dos momentos de um mesmo lado da seção em relação a
um eixo perpendicular ao plano desta, passando pelo seu centro
de gravidade.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
134
Fonseca (1976)
Momento fletor
É a soma dos momentos de um mesmo lado da seção sobre o
plano desta, em relação ao seu centro de gravidade.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
135
Almeida (2009)
ou V
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
136
Diagramas de esforços ou linhas de estado em estruturas planas:
-esforços normais (N, DN ou DEN);
- esforços cortantes (V, DC ou DEC);
- momentos fletores (M, DM ou DMF).
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
137
1 – Determinação das reações de apoio;
2 – Localizar seções-chave (ou elementos);
3 – Calcular esforços à esquerda ou à direita das seções (ou
elementos);
4 – Traçar os diagramas.
Diagramas de esforços ou linhas de estado em estruturas planas:
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
138
Localização das seções-chave (ou elementos):
- Vínculos externos (antes e após, se aplicável);
- Vínculos internos (antes e após);
- Forças ou momentos concentradas(os) (antes e após);
- Início e final das cargas distribuídas (imediatamente antes e após,
respectivamente);
- Pontos de mudança de direção dos elementos (antes e após);
- Extremidades da estrutura.
Diagramas de esforços ou linhas de estado em estruturas planas:
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
139
Diagramas de esforços ou linhas de estado em estruturas planas:
Os diagramas permitem fornecer as seguintes informações:
- esforços solicitantes em qualquer seção;
- valores máximos e mínimos dos esforços;
Os diagramas podem ser obtidos através:
- valores dos esforços obtidos em qualquer seção da estrutura;
- funções, recorrendo à integração;
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
140
Diagrama de esforço normal:
Almeida (2009)
Diagramas de esforços ou linhas de estado em estruturas planas:
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
141
Diagramas de esforços ou linhas de estado em estruturas planas:
Diagramas de esforço cortante e de momento fletor:
𝑉 = −න
𝑥1
𝑥2
𝑞 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑉0
𝑀 = න
𝑥1
𝑥2
𝑉 𝑥 𝑑𝑥 +𝑀0
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
142
Diagramas de esforços ou linhas de estado em estruturas planas:
Traçado de diagramas – cargas concentradas:
Provocam descontinuidades nos diagramas!
Força concentrada axial - diagrama de esforço axial;
Força concentrada perpendicular – diagrama de esforço
cortante;
Momento concentrado – diagrama de momentos fletores.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
143
Diagramas de esforços ou linhas de estado em estruturas planas:
Traçado de diagramas – articulações e nós:
Permitem rotações, então: 𝑴 = 𝟎
Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
144
Traçado de diagramas – aspectos gerais:
Se o carregamento transversal distribuído é nulo em um
trecho, então o esforço cortante é constante e o momento
fletor é linear não uniforme;
Se o carregamento distribuído é uniforme, o esforço
cortante é linear não uniforme e o momento fletor tem uma
equação de 2º grau;
A variação do esforço cortante é devido à variação do
carregamento transversal;
Diagramas de esforços ou linhas de estado em estruturas planas:
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
145
Traçado de diagramas – aspectos gerais:
O diagrama de momento fletor está sempre do lado das
fibras tracionadas;
Quando o esforço cortante é positivo, o momento fletor
cresce. Se o esforço cortante é negativo, o momento fletor
decresce;
Onde o momento fletor atinge o valor máximo, o esforço
cortante muda de sinal;
Se o momento fletor é nulo em um trecho da estrutura,
então o segmento se mantém reto;
Diagramas de esforços ou linhas de estado em estruturas planas:
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
146
Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
147
Exercício 5.1:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
Fonseca (1976)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
148
Fonseca (1976)
Exercício 5.2:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
149
Exercício 5.3:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
150
Exercício 5.4:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
Fonseca (1976)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
151
Exercício 5.5:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
152
Exercício 5.6:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
Fonseca (1976)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
153
Exercício 5.7:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
154
Exercício 5.8:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
155
Exercício 5.9:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
Adaptado de Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
156
Exercício 5.10:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
Adaptado de Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
157
Exercício 5.11:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
158
Exercício 5.12:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
159
Exercício 5.13:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
160
Exercício 5.14:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
161
Exercício 5.15:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
162
Exercício 5.16:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
163
Exercício 5.17:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
Almeida (2009)
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
164
Exercício 5.18:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
165
Exercício 5.19:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
166
Exercício 5.20:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
167
Exercício 5.21:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
CCE0370 - Teoria das Estruturas I
5 – Esforços solicitantes
168
Exercício 5.22:
Trace os diagramas de esforços da estrutura.
Hibbeler (2011)