AULA 3 CALCULO DOIS 2015

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Professor: Carlos Alberto de Albuquerque
Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/
Email:
Carlos.albuquerque@ifsuldeminas.edu.br
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
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AULA 
QUINZE
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Porque toda a lei se cumpre em só preceito, a saber:
Amarás o teu irmão como a ti mesmo.
 Gálatas, 5-14
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APLICAÇÕES DA DERIVADA 
TAXA DE VARIAÇÃO
Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação.
Dada uma função y = f(x), quando a variável independente varia de x a x+Δx, a correspondente variação de y será:
Δy = f(x + Δx) – f(x).
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APLICAÇÕES DA DERIVADA 
O quociente 
representa a taxa média de variação de y em relação a x.
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APLICAÇÕES DA DERIVADA 
é a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x.
A interpretação da derivada como uma razão de variação tem aplicações práticas nas mais diversas ciências.
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APLICAÇÕES DA DERIVADA 
Exemplo 1
Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Determinar:
a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 2,5 a 3 m;
a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4 m. 
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SOLUÇÃO (A) 
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SOLUÇÃO (B) 
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APLICAÇÕES DA DERIVADA 
Exercício 1: Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por:
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia?
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SOLUÇÃO 
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SOLUÇÃO 
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SOLUÇÃO 
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SOLUÇÃO 
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APLICAÇÕES DA DERIVADA 
Exercício 2: Analistas de produção verificaram que, em uma montadora x, o número de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dada por:
a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? E após 7 horas?
b) Quantas peças são produzidas na 8ª hora de trabalho?
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SOLUÇÃO (A)
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SOLUÇÃO (B)
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APLICAÇÕES DA DERIVADA 
Exercício 3: Um reservatório de água está sendo esvaziado para a limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por:
Determinar:
A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de escoamento.
A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento.
A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento.
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SOLUÇÃO
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SOLUÇÃO
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SOLUÇÃO
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APLICAÇÕES DA DERIVADA 
Em muitas situações práticas a quantidade em estudo é dada por uma função composta.
Nestes casos, para determinar a taxa de variação, devemos usar a regra da cadeia.
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APLICAÇÕES DA DERIVADA 
Exemplo
A área de um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação 
Determinar a taxa de variação da área desse quadrado no tempo = 2.
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SOLUÇÃO 
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SOLUÇÃO
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APLICAÇÕES DA DERIVADA 
Exercício 4: 
O raio de uma circunferência cresce à razão de 21 cm/s. Qual a taxa de crescimento do comprimento da circunferência em relação ao tempo?
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SOLUÇÃO 
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SOLUÇÃO 
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APLICAÇÕES DA DERIVADA 
Exercício 5
Um ponto P(x, y) se move ao longo do gráfico da função y = 1/x. Se a abscissa varia à razão de 4 unidades por segundo, qual é a taxa de variação da ordenada quando a abscissa é x = 1/10?
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SOLUÇÃO 
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APLICAÇÕES DA DERIVADA 
Exercício 6
Acumula-se areia em um monte com forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4 m?
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SOLUÇÃO 
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SOLUÇÃO 
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SOLUÇÃO 
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ANÁLISE MARGINAL 
A interpretação da derivada como uma taxa de variação é amplamente utilizada em Economia, englobando os conceitos de custo marginal, receita marginal, elasticidade etc.
A denominação “marginal” utilizada pelos economistas indica uma variação “na margem”, significando que é considerada como um limite.
Apresentamos, a seguir, os principais conceitos utilizados.
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ANÁLISE MARGINAL 
CUSTO MARGINAL
Vamos supor que o custo total para produzir e comercializar q unidades de um produto é dado por:
			C=C(q)
Se aumentarmos a produção de q para q+Δq, o acréscimo correspondente no custo total é dado por:
		ΔC=C(q+Δq) – C(q)
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ANÁLISE MARGINAL 
A taxa média de acréscimo no custo, por unidade acrescida na produção, no intervalo [q, q+Δq] é dada por:
O custo marginal é definido como o limite:
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ANÁLISE MARGINAL 
Sempre que a função C=C(q) for derivável em q.
e representa a taxa de variação instantânea do custo total, por unidade de variação da quantidade produzida, quando esta se encontra num nível q.
Se denotarmos por CM(q), o custo marginal, temos:
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ANÁLISE MARGINAL 
Receita Marginal
De modo análogo, se denotamos por R(q) a receita total obtida com a comercialização de q unidades de um produto, temos que:
 ΔR = R(q+Δq) – R(q) é o acréscimo ocorrido na receita total quando a demanda aumenta de q para q+Δq unidades.
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ANÁLISE MARGINAL 
A receita marginal é a taxa de variação instantânea da receita total por unidade de variação da demanda, quando esta se encontra num nível q e é dada por:
Se a função R=R(q) é derivável em q, denotando a receita marginal por RM(q), vem:
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ANÁLISE MARGINAL 
Elasticidade
Dada uma função y = f(x), a elasticidade de y em relação a x é definida por:
e representa a taxa de variação percentual da variável dependente y em relação à variação percentual na variável independente x.
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ANÁLISE MARGINAL 
Podemos reescrever a equação 1, como:
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ANÁLISE MARGINAL 
A elasticidade E(x) mede a tendência de resposta de y a pequenas variações de x.
Se E(x) é positiva, um aumento percentual em x acarretará uma variação percentual positiva em y.
Se E(x) é negativa, um aumento percentual em x acarretará uma variação percentual negativa em y.
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ANÁLISE MARGINAL 
Em situações práticas, geralmente, usa-se uma aproximação da equação (1), como segue:
Sejam Ƭ o acréscimo percentual da variável independente x e Δ a variação percentual correspondente em y. 
Temos então:
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ANÁLISE MARGINAL 
Exemplo 1:
Supor que o gerente de uma empresa de transporte coletivo deva decidir se oferece uma viagem diária a mais numa determinada linha.
Essa decisão deve ser tomada numa base financeira, isto é, a viagem extra só será implementada se ela gerar lucro para a empresa.
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ANÁLISE MARGINAL 
Se a empresa realiza 12 viagens diárias nessa linha, qual deve ser a decisão do gerente, se ele usar como informação os gráficos da receita total e do custo total dados na Figura?
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SOLUÇÃO
Como a receita marginal é dada por 
RM(q) = R’(q), ela representa a inclinação da curva da receita total R.
Da mesma forma o custo marginal é a inclinação da curva de custo total C, pois CM(q) = C’(q).
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SOLUÇÃO
Agora nas Figuras (a) e (b) estão as representações das curvas R e C, juntamente com suas retas tangentes, tR e tC, no ponto correspondente a q = 12.
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SOLUÇÃO
Analisando a Figura (a), vemos que a inclinação da curva de custo é menor que a da receita, ou seja, o custo marginal é menor que a receita marginal.
Portanto nessa situação, a decisão do gerente deve ser a de implementar a viagem extra.
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SOLUÇÃO
Agora quando analisamos a Figura (b), vemos que a inclinação da curva de custo é maior que a da receita, ou seja, o custo marginal é maior que a receita marginal. 
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SOLUÇÃO
Isso significa que a empresa terá custo adicional maior que a receita adicional, se ela oferecer uma
viagem a mais.
Portanto, nesse caso, a decisão do gerente deve ser a de não implementar a viagem extra.
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ANÁLISE MARGINAL 
Exemplo 2: Supor que o custo total, no período de um mês, de uma empresa que produz q unidades de um produto é dado por:
E que a receita total é dada:
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ANÁLISE MARGINAL 
Determinar:
a) O custo médio por unidade produzida a um nível de produção q = 1.000.
b) O custo marginal para q = 1.000.
c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal.
d) O intervalo em que você pode variar o nível de produção de forma a manter a empresa viável, isto é, tal que a receita total é maior que o custo total.
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Solução (a) O custo médio por unidade produzida a um nível de produção q = 1.000.
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Solução (b) O custo marginal para q = 1.000
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Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal. 
Como o custo marginal é dado por CM(q) = C’(q), vem:
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Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal. 
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Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal. 
Como C’(q) é definido de forma distinta nos intervalos (0, 600), (600, 1.500) e (1.500, +∞) devemos analisar em cada um desses intervalos separadamente. 
Temos:
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Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal. 
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Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal. 
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Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal. 
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Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal. 
Observamos que nos pontos q = 600 e q = 1.500 a função C não é derivável, não sendo possível, portanto, determinar os custos marginais para esses níveis de produção.
Na prática isso pode ocorrer, por exemplo, quando um recurso tecnológico só pode ser utilizado para uma determinada faixa do nível de produção.
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Solução (d) O intervalo em que você pode variar o nível de produção de forma a manter a empresa viável, isto é, tal que a receita total é maior que o custo total.
É interessante, nesse item, fazer uma análise gráfica. 
Na Figura ao lado, apresentamos os gráficos das funções custo total C(q) e receita total R(q).
Analisando esses gráficos observamos que o gráfico de R(q) está acima do gráfico de C(q) no intervalo 1.000<q<1.530, aproximadamente. 
Determinando analiticamente esse intervalo usando as expressões que definem o custo e a receita, obtemos que
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Solução (d) O intervalo em que você pode variar o nível de produção de forma a manter a empresa viável, isto é, tal que a receita total é maior que o custo total.
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ANÁLISE MARGINAL 
Exemplo 3
A quantidade de televisores demandada numa cidade C, num determinado período, é função de seu preço e é expressa por:
Calcular e interpretar o valor da elasticidade para um nível de preço p = 400 unidades monetárias.
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SOLUÇÃO 
Observamos que a elasticidade deu um valor negativo, como intuitivamente poderíamos esperar, já que, em condições normais, o aumento de preço de um produto inibe a sua demanda.
O valor obtido significa que um
aumento percentual no preço, por exemplo Ƭ=20%, acarretará uma diminuição percentual aproximadamente de: 
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SOLUÇÃO 
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ANÁLISE MARGINAL 
Exemplo 4: A elasticidade da demanda em relação à tarifa do sistema de transporte público de uma cidade x é – 0,30, quando a tarifa média é de 80 centavos por viagem. Supor que o sistema transporta 200.000 passageiros no período de pico diário.
Estimar a queda na demanda se a tarifa média cresce 2,5%.
Ilustrar a sensibilidade desse resultado em relação ao valor da elasticidade.
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SOLUÇÃO (a) 
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SOLUÇÃO (a) 
Portanto, haverá uma queda de 1.500 passageiros na demanda.
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SOLUÇÃO (b) 
Para simular a sensibilidade do resultado obtido em relação ao valor da elasticidade, vamos simular duas situações:
E(Tar) = – 0,2 e E(Tar) = – 0,4 
Podemos ver, assim, que, quanto maior é a elasticidade, em valor absoluto, maior é a variação na demanda.
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FIM
DA AULA
QUINZE