C1_avaliacao1-2009-resolucao

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Profa. Lena Bizelli 
 
Nome: ___________________________________________________________________ 
Avaliação 1 – 29/04/2009 (resolução) 
1) Uma indústria queima carvão para gerar eletricidade. O custo C em dólares para remover p% dos 
poluentes do ar nas emissões das chaminés é dado pela equação 
  80.000 ; 0 100
100
pC p p
p
   
(a) Encontre o custo para remover 15% dos poluentes. 
 15% US$14.117,64C  
(b) Encontre  
100
lim
p
C t
 e interprete o resultado encontrado. 
5
100
(dependendo do sinal da função do denominador)
80.000 80 10lim
100 0x
p
p
   
 
Assim, fazendo a regra do sinal para o quociente, obtemos como 
resultado  . 
Portanto, 
100
80.000lim
100x
p
p
  
Quanto maior é a quantidade de poluentes que deve ser retirada do ar, maior é o custo para isso. 
(c) Por que foi utilizado um limite lateral no item anterior? 
Porque a função C não está definida para p > 100. 
(d) Determine a taxa de variação do custo quando p = 50%. Explique o resultado obtido. 
   
 250 50
80.000 100 80.000 1
3200 dólares/% de poluentes
100P P
p pdC
dp p 
    
Para cada 1% de aumento na quantidade de poluentes (a partir de 50%), que tem que ser removido do ar, 
o custo para essa operação aumenta em US$ 3.200,00. 
2) (a) O que você pode dizer sobre  3 ,f se f for contínua e  
3
1lim ?
2x
f x  Justifique sua resposta. 
 f contínua em x = 3     
3
lim 3
x
f x f    
13
2
f  
 (b) Suponha que   0,f x  se x for positivo e   1,f x  se x for negativo. A função f pode ser contínua em 
0?x  Justifique sua resposta. 
 
Não, pois para f ser contínua em x = 0, devemos ter 
   
0
lim 0
x
f x f  
o que não acontece, sob as condições do problema, uma vez que: 
     
0 0 0
lim pois lim 0 lim 1
x x x
f x f x f x   
    
 
Profa. Lena Bizelli 
 
 
3) A velocidade média v (m/s) de uma molécula de oxigênio no ar a uma temperatura T (em oC) é dada pela 
equação 25,7 273,15 .v T  (a) Qual é a velocidade média da molécula em T = 25oC (temperatura 
ambiente)? (b) Calcule o valor da taxa de variação da velocidade média em relação à temperatura em 
T = 25oC. Quais são as unidades dessa taxa? Interprete o resultado encontrado. 
(a) 443,76 m/s 
(b) 25,7 0,74 m/s/
2 273,15
odv C
dT T
  
Para cada 1oC que se aumenta a temperatura (a partir de T = 25oC), a velocidade média da molécula aumenta 
de, aproximadamente, 0,74 m/s. 
4) (a) Esboce o gráfico de uma função  f x tal que 
   
2 2
lim 1, lim 3
x x
f x f x  
  
e tal que  
4
lim
x
f x
exista mas não seja igual a  4f . 
 
(b) Esboce o gráfico de uma função  g x tal que 
     
43 3
lim , lim , lim
xx x
g x g x g x   
     
 
 
5) O tempo T de uma reação química (em minutos) é uma função da quantidade de catalisador a presente 
(em mililitros) de modo que  T f a . (a) Se  5 18f  , o que esse resultado nos diz sobre a reação? (b) Se 
 ' 5 3,f   o que esse resultado nos diz? 
 
 
Profa. Lena Bizelli 
 
(a) A reação leva 18 minutos para ocorrer, quando existe 5 mililitros de catalisador presente. 
(b) Para cada 1 mililitro que se aumenta na quantidade de catalisador (a partir de 5 mililitros), o tempo 
da reação diminui em 3 minutos. 
6) Considere a afirmação: 
“Se uma função não é contínua em um ponto, então ela não está definida nesse ponto.” 
Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta. 
Falso! 
Uma função é descontínua em 0x x se: ou  
0
lim
x x
f x ou  0f x ou    0 0limx x f x f x  
 
7) Uma forma de reduzir as emissões de dióxido de carbono (CO2) seria criar uma taxa que se aplicasse a 
todas as nações. O gráfico abaixo mostra a relação entre diferentes valores da taxa sobre o carbono e a 
redução percentual das emissões de CO2. 
 (a) A partir da análise do gráfico, explique o comportamento da função, índice de redução de CO2, dentro 
do contexto do problema. 
O índice de redução de CO2 aumenta com o aumento da taxa sobre o carbono, tendendo a se estabilizar a 
partir de, aproximadamente, US$ 400,00 por tonelada de carbono. 
(c) Qual deve ser a taxa para que haja uma redução de 50% nas emissões de CO2? 
US$ 125,00 por tonelada de carbono 
 (c) Use o gráfico para estimar a taxa de variação da redução percentual das emissões de CO2 quando a 
taxa é de 200 dólares por tonelada. Qual é a sua compreensão acerca do resultado obtido? 
 
 
tg
65 27 0,19% / taxa (em dolar)
200
dI m
dT
   
 
Para cada 1 dólar de aumento na taxa por tonelada de 
carbono (a partir de US$ 200,00), o índice de redução 
aumenta em, aproximadamente, 0,19%.