C1_avaliacao1-2010-resolucao

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Avaliação 1 – 28/04/2010 
1) A Primeira Lei do Movimento de Newton e a Teoria da Relatividade Restrita de Einstein diferem quanto ao 
comportamento de uma partícula quando sua velocidade se aproxima da velocidade da luz 
representam a velocidade prevista, v, com resp
Escreva um limite que descreva cada uma das teorias descritas na ilustração a seguir. Descreva com palavras a sua 
compreensão acerca de cada um dos limites, no contexto do problema.
Para Newton, conforme o tempo passa, a velocidade da partícula aumenta indefinidamente.
Para Einstein, conforme o tempo passa, a velocidade da partícula aproxima
 
2) Os gráficos da figura abaixo representam a posição de uma partícula em movimento, como uma função do tempo.
(a) Em (A), as velocidades instantâneas nos instantes 
Justifique sua resposta. 
Decrescente, pois os coeficientes angulares da reta tangente à curva nesses instantes diminuem, à medida que o os 
valores de t aumentam. 
(b) Em (A), a velocidade da partícula está aumentando ou diminuindo? Justifique sua resposta. 
A velocidade instantânea é dada pelo coeficiente angular da reta tangente à curva 
Portanto, a velocidade da partícula está d
instante e, pelo item anterior, conforme os valores de 
(c) Em (B), a velocidade da partícula está aumentando ou diminuindo? Justifique sua resposta.
Aumentando, pois os coeficientes angulares da 
medida que o os valores de t aumentam.
 
 
Profa. Lena Bizelli
A Primeira Lei do Movimento de Newton e a Teoria da Relatividade Restrita de Einstein diferem quanto ao 
comportamento de uma partícula quando sua velocidade se aproxima da velocidade da luz 
, com respeito ao tempo, t, para uma partícula acelerada por uma força constante. 
Escreva um limite que descreva cada uma das teorias descritas na ilustração a seguir. Descreva com palavras a sua 
compreensão acerca de cada um dos limites, no contexto do problema. 
 
Para Newton, conforme o tempo passa, a velocidade da partícula aumenta indefinidamente. 
( )lim
→+∞
= +∞
t
N t 
Para Einstein, conforme o tempo passa, a velocidade da partícula aproxima-se da velocidade da luz.
( )lim
→+∞
=
t
E t c 
da figura abaixo representam a posição de uma partícula em movimento, como uma função do tempo.
(a) Em (A), as velocidades instantâneas nos instantes 1 2 3, ,t t t formam uma sequência crescente ou decrescente? 
Decrescente, pois os coeficientes angulares da reta tangente à curva nesses instantes diminuem, à medida que o os 
(b) Em (A), a velocidade da partícula está aumentando ou diminuindo? Justifique sua resposta. 
A velocidade instantânea é dada pelo coeficiente angular da reta tangente à curva ( ) ,s t em um instante 
Portanto, a velocidade da partícula está diminuindo, pois ela está associada à inclinação da curva em um determinado 
tante e, pelo item anterior, conforme os valores de t aumentam, as inclinações da curva nesses instantes diminuem.
(c) Em (B), a velocidade da partícula está aumentando ou diminuindo? Justifique sua resposta.
Aumentando, pois os coeficientes angulares da reta tangente à curva (inclinação da curva) nesses instantes 
aumentam. 
 
Profa. Lena Bizelli 
A Primeira Lei do Movimento de Newton e a Teoria da Relatividade Restrita de Einstein diferem quanto ao 
comportamento de uma partícula quando sua velocidade se aproxima da velocidade da luz c. As funções N e E 
, para uma partícula acelerada por uma força constante. 
Escreva um limite que descreva cada uma das teorias descritas na ilustração a seguir. Descreva com palavras a sua 
se da velocidade da luz. 
da figura abaixo representam a posição de uma partícula em movimento, como uma função do tempo. 
 
formam uma sequência crescente ou decrescente? 
Decrescente, pois os coeficientes angulares da reta tangente à curva nesses instantes diminuem, à medida que o os 
(b) Em (A), a velocidade da partícula está aumentando ou diminuindo? Justifique sua resposta. 
, em um instante t qualquer. 
ela está associada à inclinação da curva em um determinado 
aumentam, as inclinações da curva nesses instantes diminuem. 
(c) Em (B), a velocidade da partícula está aumentando ou diminuindo? Justifique sua resposta. 
nesses instantes aumentam, à 
 
Profa. Lena Bizelli 
 
 
3) Um epidemiologista descobre que a percentagem ( )N t de crianças suscetíveis que foram infectadas no dia t, durante 
as primeiras 3 semanas de uma epidemia de sarampo, é dada, aproximadamente, pela função 
( )
2
3 2
100
5 100 380
t
N t
t t t
=
+ − +
 e cujo gráfico está descrito na figura abaixo. 
 
 
(a) Descreva o comportamento da função em termos de crescimento e decrescimento. 
( )N t é crescente para ]0;5,7[∈t . 
( )N t é decrescente para ]5,7; [∈ ∞t . 
(b) Determine a taxa média de variação do aumento de crianças infectadas durante os intervalos entre os dias 4 e 6 e 
entre os dias 12 e 14 (em unidades de percentagem por dia). 
( ) ( )6 4
3,78
6 4
−∆
= ≈
∆ −
N NN
t
 
( ) ( )14 12
0,80
14 12
−∆
= ≈ −
∆ −
N NN
t
 
(c) Interprete os resultados do item (b), no contexto do problema. 
(d) Determine a taxa de variação de ( )N t no dia 6 e no dia 12. Interprete os resultados obtidos, no contexto do 
problema. 
Em t = 6, ( ) ( )' 6 6 1,08= ≈ −dNN
dt
. A partir do sexto dia de infecção, a cada dia que passa, a percentagem de 
crianças infectadas diminui 1,08%. 
Em t = 12, ( ) ( )' 12 12 0,98= ≈ −dNN
dt
. A partir do décimo segundo dia de infecção, a cada dia que passa, a 
percentagem de crianças infectadas diminui 0,98%. 
(e) A epidemia está se espalhando mais rapidamente em t = 2 ou em t = 4? Justifique sua resposta. 
Em t = 4, pois a inclinação da curva neste instante é maior do que a inclinação da curva no instante t = 2. 
4) É possível determinar ( )7f sabendo que ( ) 3f x = para todo x < 7 e f é contínua pela direita em 
( ) ( )( )
7
7 lim 7
x
x f x f
+→
= = ? Justifique sua resposta. 
Sim, no caso da figura abaixo, ( )7 5.=f 
 
 
Profa. Lena Bizelli 
 
 
 
 
5) O que representam as seguintes quantidades, em termos do gráfico da função ( ) senf x x= ? 
(a) sen1,3 sen0,9− Representa a variação da função, quando x varia de 0,9 a 1,3. 
 
(b) 
sen1,3 sen0,9
0,4
−
 Representa o coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos 
( ) ( )0,9;sen0,9 e 1,3;sen1,3 - taxa de variação média da função, quando x varia de 0,9 a 1,3.
 
(c) ( )' 1,3f Representa o coeficiente angular da reta tangente à curva sen ,=y x em x = 1,3 – taxa de variação 
instantânea de f em x = 1,3. 
 
6) Seja ( ) .f x x= Mostre que ( ) ( )9 9 1
9 3
+ −
=
+ +
f h f
h h
. Em seguida, use essa equação para calcular ( )' 9 .f 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
9 99 9 9 9 9 9
9 9 9 3
9 9 1
.
9 39 3 9 3
+ −+ − + − + +
= ⋅ = =
+ + + +
+ −
= = =
+ ++ + + +
hf h f h h
h h h h h
h h
hh h h h
 
( ) ( ) ( )
0 0
9 9 1 1 1
' 9 lim lim .
69 3 9 3→ →
+ −
= = = =
+ + +h h
f h f
f
h h
 
7) Suponha que a função ( )f t mede o nível de oxigênio em um lago, onde ( ) 1f t = é o nível normal (não poluído) e 
que o tempo t é medido em semanas. Quando t = 0, lixo orgânico é jogado no lago e, conforme esse material se oxida, 
o nível de oxigênio do lago é dado por ( )
2
2
1
1
t t
f t
t
− +
=
+
. 
 
 
x
y
-2 0 2 4 6 8 10 12
-2
2 
4
6 
 
Profa. Lena Bizelli 
 
(a) Qual é a porcentagem do nível normal de oxigênio, no lago, após 2 semanas? 
( ) 4 2 1 32 0,60 60%
4 1 5
− +
= = = =
+
f 
(b) Depois de muito tempo, qual é a porcentagem do nível normal de oxigênio existente no lago? Explique o resultado 
obtido. 
( )
2
2
lim lim lim1 1 100%.
→∞ →∞ →∞
= = = =
t t t
t
ft
t
 Com o passar do tempo, o nível de oxigênio no lago tende a se normalizar. 
8) A força gravitacional, exercida pela Terra, sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do planeta, é 
dada por: 
( )
3
2
, se
, se
GMr
r R
R
F r
GM
r R
r
 <
= 
 ≥

 
onde M é a massa da Terra, R é o seu raio e G é a constante gravitacional. F é uma função contínua de r? Justifique sua 
resposta. 
A função é contínua para 0 < <r R e para .>r R Resta verificar a continuidade em .=r R Para isso, basta mostrar que 
( ) ( ) 2lim→ = =r R
GM
F r F R
R
. Para mostrar que o limite existe, basta mostrar que existem os limites laterais e são iguais. 
( )
( )
2 2
3 3 2
lim lim
lim lim
+ +
− +
→ →
→ →
= =
= = =
r R r R
r R r R
GM GM
F r
r R
GMr GMR GM
F r
R R R
 
Portanto, a função dada é contínua para todo r > 0. 
9) Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for falsa, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é 
falsa. 
(a) Se ( )p x é um polinômio, então o gráfico da função dada por ( ) ( )
1
=
−
p x
f x
x
tem uma assíntota vertical em 1.x = 
a) Falsa. Se ( ) 2 1= −p x x , a função não tem uma assíntota em x = 1. 
(b) O gráfico de uma função racional tem pelo menos uma assíntota vertical. 
Falsa. ( )
2 1
1
−
=
−
x
f x
x
, por exemplo, não tem assíntota vertical, pois fatorando o numerador, simplificamos a expressão 
ficando com ( ) ( )( )
( )
2 1 11
1
1 1
− +−
= = = +
− −
x xx
f x x
x x
. Ou seja, a função apresenta um “buraco” em x = 1 e não uma 
assíntota. 
(c) Os gráficos de funções polinomiais não têm assíntotas verticais. 
Verdadeira. 
 (d) Se f tem uma assíntota vertical em 0,=x então f não é definida em 0.=x 
Falsa. A função ( )
1
, se 0
2, 0
 >
= 
 ≤
x
f x x
se x
 tem uma assíntota em x = 0 e está definida em x = 0 ( )0 2 .=  f 
10) (a) Uma partícula começa se movendo para a direita ao longo de uma reta horizontal. 
 
Analisando o gráfico, determine quando é que a partícula está se movendo para a direita. E para a esquerda? Quando é 
que está parada? 
A partícula está se movendo para a direita nos intervalos ]0,1[ e ]4,6[, pois a inclinação da reta (derivada = velocidade) 
nesses intervalos é positiva. 
A partícula está se movendo para a esquerda no intervalo ]2,3[, pois a inclinação da reta (derivada = vel
intervalo é negativa. 
A partícula está parada nos intervalos ]1,2[ e ]3,4[, pois a inclinação da reta (derivada = velocidade) nesses intervalos é 
zero. 
 (b) Trace um gráfico da função velocidade.
 
0 2 
-2 
2 
4 
v
Profa. Lena Bizelli
 
Analisando o gráfico, determine quando é que a partícula está se movendo para a direita. E para a esquerda? Quando é 
partícula está se movendo para a direita nos intervalos ]0,1[ e ]4,6[, pois a inclinação da reta (derivada = velocidade) 
A partícula está se movendo para a esquerda no intervalo ]2,3[, pois a inclinação da reta (derivada = vel
A partícula está parada nos intervalos ]1,2[ e ]3,4[, pois a inclinação da reta (derivada = velocidade) nesses intervalos é 
(b) Trace um gráfico da função velocidade. 
 
4 6 
t 
 
Profa. Lena Bizelli 
Analisando o gráfico, determine quando é que a partícula está se movendo para a direita. E para a esquerda? Quando é 
partícula está se movendo para a direita nos intervalos ]0,1[ e ]4,6[, pois a inclinação da reta (derivada = velocidade) 
A partícula está se movendo para a esquerda no intervalo ]2,3[, pois a inclinação da reta (derivada = velocidade) nesse 
A partícula está parada nos intervalos ]1,2[ e ]3,4[, pois a inclinação da reta (derivada = velocidade) nesses intervalos é