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ANÁLISE ESPECTRAL DE SÉRIES TEMPORAIS 
ATRAVÉS DE PONTOS FIXOS 
Sílvia Lopes* 
Resumo 
Neste artigo consideramos modelos de espectro misto da forma 
p 
Zt= L A;cos(w;t+</>;)+{t, tEZ, 
j=l 
onde p não é necessariamente conhecido c, para cada 1 :::; j � p, A j é constante 
desconhecida, Wj é freqüência desconhecida em (-71", 7rJ e a fase 4>j é uma variável 
aleatória uniformemente distribuída em (-1\",7r] independente cada uma entre si 
e do processo de ruído. O objetivo é estimar as freqüências da parte discreta 
do espectro. Esta estimativa é obtida através de um método recursivo cujos 
parâmetros são atualizados a cada passo. Os cosenos das freqüências são obtidos 
como pontos fixos atratores de uma determinada aplicação. 
Abstract 
This article analyzes the mixed spectrum statiemary process 
p 
Zt = L A; cos(w; t + </>;) + çt, tEZ, 
j=l 
where p is not nccessarily known, AI, ... ,Ap are unknown constants, Wl, .. . ,wp 
are unknown frcquencies with values in (-7r, 7r], {ethEZ is a white noise process 
with mean O and variance ai and </>1, • . • 1 </>p are independcnt random variables 
uniformly distributed in (-7r, 7r] and are independent of the noise processo The 
goal of this paper is to estimate each discrete frequency. The estimate is obtained 
from a recursive method with updated parameters. The cosine of each discrete 
frequency is obtained as an attracting fixed point of a certain map. 
1. Introdução. 
Neste artigo vamos utilizar sequencias de filtros paramétricos 
com o objetivo de estimar as freqüências de um modelo de espectro 
*Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. 
R. de Econometria Rio de Janeiro v. 14, n2 1, p.43-70 abril 1994foutubro 1994 
Análise espectral de séries 
misto. Isto é feito iterativamente, como segne. Uma série temporal 
é filtrada por um filtro paramétrico e a resultante função de auto­
correlação de primeira ordem é imediatamente usada no ajuste do 
parâmetro do filtro. O filtro ajustado é então aplicado novamente, 
dando origem a uma nova auto correlação de primeira ordem e o pro­
cedimento é repetido. Escolhendo filtros apropriados, o esquema pro­
duz seqüências convergentes e, sob certas condições, este método ga­
rante a consistência forte dos estimadores do coseno das freqüências 
da parte discreta do espectro. 
Para expressar as mesmas idéias através de uma linguagem ma­
temática mais precisa, considere {Z,}'.EZ um processo estocástico es­
tacionário de média zero e seja {CO(-)}OE8 uma família paramétrica 
de filtros lirieares invariantes no tempo, onde O é um parâmetro finito­
dimensional no espaço de parâmetros 8. Denotamos por {Zt(O)}tEZ 
o processo filtrado 
Z,.(O) = Co(Zlt­
Então {P(0)}OE8, definida por 
(O) = E[Z,(O)Zt+l(O)] P E[Z;(O)] 
é uma família de autocorrelações de primeira ordem parametrizadas, 
quando {Z,(O)}tEZ for um processo estocástico real. 
Estamos interessados nos pontos fixos da aplicação p(O) obtidos 
a partir da convergência da recursão 
(1.1) 
para algumas famílias específicas de filtros paramétricos. 
O nosso objetivo é obter filtros paramétricos lineares de tal forma 
que os pontos fixos a serem determinados pela aplicação p( O) resul­
tante, coincidam com os cosenos das freqüências que desejamos esti­
mar. 
O método a ser apresentado nestas notas é um procedimento 
alternativo à Análise do Periodograma para a estimativa de freqüên­
cias em um modelo de espectro misto. Este método apresenta uma 
44 R. de Econometria 11(1) abril 19M/outubro 199� 
Sílvia Lopes 
complexidade computacional da ordem de O(N), onde N é o ta­
manho amostrai considerado (veja Yakowitz (1991)). Isto significa 
um avanço sobre o algorítmo da FFT que tem complexidade compu­
tacional da ordem de O(Nlogz N). Este método que, em um certo 
sentido, lembra o Método de Newton para determinar as raízes de 
uma equação não-linear é chamado de Método da Contração na De­
tecção de Freqüências (MC). Ele tem como uma de suas grandes 
vantagens, a não necessidade de informações a priori da localização 
aproximada das freqüências. 
O s modelos de espectro misto, como foram mencionados acima, 
aparecem em várias áreas aplicadas como economia, oceanografia, 
engenharia, etc .. 
Estas notas foram escritas a partir de parte da Tese de Dou­
toramento da autora realizada na Universidade de Maryland, sob a 
orientação do Dr. Benjamin Kedem e dos artigos Kedem e Lopes 
(1992) e Lopes e Kedem (1994). 
2. O problema. 
Considere o modelo de espectro misto 
p 
Z, = I: Aj cos(Wj t + <pj) + ç" para t E Z , (2.1) 
j=l 
onde p não é necessariamente conhecido e, para cada j E {1, 2, ... ,p}, 
Aj é uma constante desconhecida, Wj é uma freqüência desconhe­
cida tomando valor em (-x, xl e a fase <Pj é uma variável aleatória 
uniformemente distribuída em (-x, xl independente cada uma entre 
si e também da componente de ruído. Por simplicidade, assumi­
mos aqui que esta componente é um ruído branco Gaussiano tal que 
ç, � N(O, a�). Esta hipótese de ruído branco não é necessária para 
o que segue mas ela simplifica a exposição. Na verdade, qualquer 
ruído que seja um processo estocástico estacionário e ergódico e com 
distribuição espectral contínua servirá bem. 
Apresentamos aqui um método (ver Kedem e Lopes (1992) e 
Lopes e Kedem (1994)) inspirado no Algorítmo de He e Kedem (veja 
o trabalho de He e Kedem (1989)) que permite a obtenção, através de 
R. de Econometria 11(1) abril 1991/outubro 1994 45 
Análise espectral de séries 
um procedimento iterativo e com alta ordem de precisão, dos valores 
estimados de Aj, Wj, 1 :::; j :::; p, e <J{. 
Em uma simulação com o modelo (2.1) quando p = 2, AI = 
A2 = 1.0 , Wl = 0.7 e W2 = 2.2, e utilizando o método a ser explicado 
aqui, obtivemos os seguintes estimadores consistentes: Wl = 0.7044 
e W2 = 2.1965. Neste artigo nos preocupamos apenas em explicar o 
método para a obtenção das freqüências Wj, para 1 :::; j :::; p. Para 
a estimação dos demais parâmetros envolvidos no modelo (2.1), veja 
Lopes (1993). 
Com a intenção de simplificar a exposição, nos concentramos 
primeiramente no Método da Contração na Detecção de Freqüências 
quando o modelo usado é do tipo (2.1) na situação mais simples 
onde p = 1. Para a descrição do método veja a Seção 4. Na Seção 
3 introduzimos várias definições necessárias para o melhor entendi­
mento da metodologia apresentada aqui. Na Seção 5 exemplificamos 
a metodologia com a utilização de determinados filtros lineares que 
serão necessários para analisar o caso p > 1. Na Seção 6 apresen­
tamos as propriedades estatísticas dos estimadores obtidos através 
deste método. 
3. Definições gerais. 
Nesta Seção apresentamos algumas definições básicas necessárias 
para o entendimento das Seções subsequentes. 
Utilizamos a notação usual para iterações de aplicações 
Ik(a) = l(fk-l(a)), k E N, 
onde 11(a) = I(a) e chamamos Ik(a) o k-ésimo iterado da aplicação 
I (-) no valor a. 
Desejamos descobrir um método que possibilite encontrar as 
freqüências através da iteração de uma aplicação 1(')' A função lO 
será denotada por p(.) na Seção 4. Nossa análise do problema será 
baseada nas propriedades geométricas dos gráficos de 10 e sua de­
rivada nos pontos fixos. 
DEFINIÇÃO 3.1: Seja I uma função diferenciável definida de um in­
tervalo [a, bJ em si mesmo. Um ponto fixo para a função I é um valor 
a* tal que I(a*) = a*. 
46 R. de Econometria 14(1) abril 1994/outubro 1994 
Sílvia Lopes 
DEFINIÇÃO 3.2: Um valor a* é dito ser um ponto fixo atrator da 
aplicação I(a) se a* é um ponto fixo e 1/'(a*)1 < 1. Ele é dito ser 
um pon to fixo repulsor se a* é um ponto fixo e 11' (a*) I > 1. 
O conjunto {ao,/(ao),/2(ao), ... ,/k(ao), ... } ou {ao,a!, ... , 
ak, .. . } é chamado a órbita do ponto ao. 
PROPRIEDADE DOS PONTOS ATRATORES: Um ponto fixo atrator a*tem a propriedade de que pontos próximos dos dois lados de a* são 
atraídos para a* através de iterações da f, isto é, 
lim Ik(a) = a* para todo a próximo a a'. 
f..;-HXJ 
Observamos que esta é uma propriedade local e que não significa 
necessariamente que a* é um ponto fixo atrator global, isto é, que 
para quase todo ponto ao E (- 1,1) , os iterados ak de ao, convergirão 
para a*. 
PROPRIEDADE DOS PONTOS REPULSORES: Um ponto fixo repulsor 
a* tem a propriedade de que pontos próximos dos dois lados de a* 
são repelidos de a* através de iterações de f. 
Na prática, pontos fixos repulsores não são observáveis mas pon­
tos fixos atratores podem ser detectados através de altas iterações da 
aplicação. 
4. Méto do da contração na detecção de freqüências. 
O Método da Contração na Detecção de Freqüências pode ser 
mais facilmente descrito no caso em que no modelo temos apenas 
uma única senóide com freqüência Wl' 
Considere o processo estocástico {Z'}tEZ dado por 
Z, = Y, + çt = A cos(w1t + 1» + ç" t E Z, (4.1) 
onde A > O e Wl E (O,7rJ são constantes, 1> é uma variável aleatória 
uniformemente distribuída em (-7r,7r] , isto é, 1> � U«-7r,7r]) e 
{ Çt}'EZ é um processo estocástico estacionário e ergódico com média 
zero, independente da fase 1>, com função de distribuição espectral 
Fç(w) contínua em Wl. 
. 
R. de Econometria 11(1) abril 1991/outubro 1991 47 
Análise espectral de séries 
Considere {L" (') }",E0 uma família paramétrica de filtros lineares 
e invariantes no tempo indexados por a, onde a E e = [Q:., a] com 
constantes Q:. e a tais que - 1 < Q:. < COS(Wl) < a < 1. A função de 
transferência de L,,(·), denotada por H(w; a), é definida por 
H(w;a) = �hj (a)e-ijw, 
jEZ 
onde i = R e {hj (a)}jEZ é sua correspondente função de resposta 
a impulso. • 
Denotamos por {Zt(a)}tEZ o processo filtrado obtido a partir da 
aplicação do filtro L" (.) ao processo original e definido por 
A função de autocorrelação de primeira ordem do processo fil­
trado {Zt(a)} ,Ez, obtida a partir da representação espectral da fun­
ção de autocorrelação, é dada por 
( ) _ 
E[Zt(a)Zt+1(a)] _ 
p a - E[Z;(a)] -
= 
-'f. JH(Wl; a)lZ COS(Wl) + Dn JH(w;a)lZ cos(w) dF,(w) 
�' JH(Wl; a)J2 + J:n JH(w; a)J2 dF,(w) 
, 
(4.2) 
quando a função de resposta a impulso do filtro L",(·) tem valor real 
ou 
( ) 
_ R{E[Z,(a)Zt+l(a)J} _ 
p a - E[JZt(a)J2 ] -
� (IH(Wl;"ll'+IH( -wl;",ll') cos(wll+ J" IH(w;"'ll' cos(wl dF,(w) = 4'-(lH(wl;all'+IH( -wl;"'ll'l+ J::IH(w;a)l' clF,(wl 
(4.3) 
quando a função de resposta a impulso do filtro La(-) tem valor com­
plexo. Nas duas expressões (4.2) e (4.3) l' é a variância do sinal 
48 R. de Econometria H(l) abril 1994/outubro 1994 
Sílvia Lopes 
{YthEZ. Aqui, e no restante deste artigo, R{z} denota a parte real 
do número complexo z e z denota o conjugado complexo de z. 
Para simplificar a exposição do Método da Contração na Detec­
ção de Freqüências vamos, a partir deste ponto, fazer uma análise 
completa quando p = 1, isto é, o modelo (4.1) apresenta uma única 
freqüência. Neste caso, é conveniente utilizar a família de filtros 
paramétricos .c,,0 constituída pelos filtros alfa, definidos a seguir. 
Nesta situação, a aplicação p(a), definida através da expressão (4.2), 
nOs possibilitará obter a freqüência W1 a ser estimada como o arco 
cujo coseno é o ponto fixo atrator de p(.). 
4.1. O filtro alfa. 
Apresentamos agora uma reformulação do resultado de He e Ke­
dem (1989) onde foi analisado o caso p = L 
DEFINIÇÃO 4. 1: O filtro alfa aplicado a um processo {Zt}'EZ é defi­
nido pela seguinte transformação linear e invariante nO tempo, para 
todo a E (- 1, 1), 
Z,(a) = Z, + a Z'_l(a), (4
. 4) com função ganho quadrada igual a 
2 1 IH(w;a)1 = () 2' 1-2 acos w + a 
para todo w E (-1f, 1fJ. A correspondente função de autocorrelação 
de primeira ordem é dada por 
,",P � cos(Wj) 2 a 
( ) _ E
[Z,(a)Z'+l(a)J _ 6;=1 2 1 2" cos(w;)+", + 0"1; 1 -a2 p a - E [Z;( a) J - -,\,-'p'--"--;�;'2 :.....=�::: 1 �-'-=---2'-=-1-=-
.LJl=1 2 1 2a COS(WI )+a2 + (J ç 1-0:2 
(4.5) 
Consideramos agora algumas propriedades da aplicação p, de­
finida pela expressão (4.5) com p = 1, que auxiliarão na prova da 
existência de uma aplicação de contração. 
Proposição 4.1: A aplicação p( a), dada pela expressão (4 .5) quando 
p = 1, é uma aplicação do intervalo [-1, lJ nele mesmo. 
A prova desta proposição pode ser encontrada em Lopes (1991). 
R. de Econometria 14(1) abril 1994joutubro 1994 49 
Análise espectral de séries 
Uma longa elaboração algébrica permite mostrar que 
(4.6) 
Observe que p(-l) = -1 e p(+1) = +1 mas P'(-1) > 1 e 
p'(+l) > 1, pois usando a expressão (4.6) aciJ;na, temos 
A' 2 
p'(-l) = T � 0
', 
= P'(+1). 
0', 
Portanto, -1 e +1 são pontos fixos repulsores da aplicação p(.) dada 
pela expressão (4.5) com p = 1, conforme terminologia da Seção 3. 
É fácil ver que a* = COS(Wl) é o único ponto fixo em (-1,1) 
para a aplicação p(.) dada pela expressão (4.5) com p = 1, isto é, 
p(a) = a ç;. a = cos(wIl = a*. 
Novamente, usando a expressão (4.6) pode-se obter que a deri­
vada de p(.) no ponto fixo a* é dada por 
O'� p'(a*) = A' 2 ' T +0', 
Note que este número é estritamente menor do que 1. Neste caso, o 
ponto fixo a* é um atrator (observe o gráfico da aplicação p(.) em 
[-1, 1] na Figura 1). As propriedades descri tas na Seção 3 para a 
aplicação f = p permitem concluir que, para qualquer ponto inicial 
ao E (-1, 1), 
lim l(ao) = lim ak = COS(Wl) ' k-oo k-+oo 
Observe o gráfico de pl O (a) na Figura 3. Neste caso, como pode­
se ver, qualquer ponto ao, iterado k = 10 vezes está praticamente em 
cima do valor cos(wIl = a*. Sendo assim, o caso p = 1 fica, em prin­
cípio, totalmente resolvido. É claro que é necessário usar a aplicação 
pO (um estimador de pC)) baseada em alguma estimativa da função 
de auto correlação de primeira ordem. Nas simulações presentes neste 
50 R. de Econometria 14(1) abril 1994/outubro 1994 
Sílvia Lopes 
i 
-I --+-
Figura 1. 
O ponto fixo atrator a* = COS(Wl) de p(a) obtido a 
partir do filtro alfa, quando p = 1. 
artigo, como aplicação fiO consideramos aquela obtida a partir da 
função de auto correlação amostrai de primeira ordem baseada numa 
série temporal de tamanho N, isto é, 
no caso do filtro alfa. A notação Z(a), na expressão acima, indica 
valor médio da série temporal filtrada {Zt(a)}�l. 
O método funciona, mesmo quando em vez de p(a) utilizamos 
p(a) a expressão estimada da aplicação pO, devido a consistência 
forte que será demonstrada posteriormente na Seção 6. Sendo assim, 
o valor estimado &* será ponto fixo da aplicação p(.). 
R. de Econometria H(1) abril 1991/outubro 1994 51 
Análise espectral de séries 
cos(ro,) -------------------------------- ---------------------------------------
0.5 
-I -0.5 0.5 
____________ . __ _ _ _ _ ___________________ -:0.5. __ __________ _ _ _ _ ____ __ _ _ _ __ ___ _ __ _ _ _ _ _ _ COS(ro2) 
-I 
Figura 2. 
A aplicação p( a) obtida a partir do filtro alfa, quando 
p = 2. Wl = 0.56 e W2 = 2.1 onde COS(Wl) = 0.8472 e 
COS(W2) = - 0.5048. 
Para o caso p > 1, no entanto, o filtro alfa, através da expressão 
(4.5) não permitirá a obtenção dos cosenos das freqüências, como 
pode ser observado na Figura 2, caso p = 2. Isto porque os cosenos 
das freqüências não são pontos fixos atratores da aplicação p(.). Para 
obtermos as freqüências Wj, 1 ::; j ::; p, teremos que encontrar outros 
filtros que definirão outras aplicações p(.) que possuirão vários pontos 
fixos que serão os cosenos das freqüências a serem estimadas. Neste 
caso, necessitamos introduzir o filtro complexo. 
Na literatura da Análise Numérica, o procedimento iterativo uti­
lizado aqui, é conhecido como método iterativo para detectar ponto 
fixo. Veja, por exemplo, Stoer e Bulirsch(1980) ) no caso em que é 
usado para encontrar raízes da equação f (x) = x, através do Método 
52 R. de Econometria 14(1) abril 1994(outubro 1994 
-1 
Sílvia Lopes 
0.5 
-
.05 0.5 
-.05 
-1+ 
Figura 3. 
A aplicação p10(oo) obtida a partir do filtro alfa 
qu ando p = 1. 00* = COS(W1) = cos(0.56) = 0.8472. 
de Newton. 
Na Seção 6 estabelecemos que 
ê = arc cos(&*) = arc cos(p(&*» 
é o estimador fortemente consistente de W1. O problema de consistên­
cia deste estimador quando p(oo) é função de auto correlação amostraI 
de primeira ordem foi analisado por Lopes e Kedem (1994) (para o 
caso em que a família paramétrica .c",(.) é formada pelos filtros com­
plexos) e, posteriormente, por Li e Kedem (1993) em outros casos. 
5. O filtro complexo. 
Nesta Seção voltamos a considerar o modelo geral dado pela 
expressão (1.1) já que a intenção é agora estimar as freqüências Wj, 
para 1 <j::; p. 
R. de Econometria 14(1) abril 1994joutubro 1994 53 
Análise espectral de séries 
o material apresentado nesta Seção é um resumo de parte da 
Seção 1 de Lopes (1991). 
DEFINIÇÃO 5.1: O filtro complexo aplicado a tlm processo {Z,}tEZ 
é definido pela transformação 
Zt(a, M) = (1 + eiO(c<) B)M Zt, (5.1) 
onde M é um número inteiro positivo, a E (-1,1), O(a) E (- 'Ir, 'Ir), 
B é o operador defasagem BZt = Zt-l e onde O(a) = arc cos(a). 
Claramente a expressão (5.1) pode ser reescrita como 
Zt(a, M) = � (�}iO(c<)n Zt-n, 
para tEZ, -'Ir < O(a) < 'Ir e ME N -{a} . 
A função de resposta a impulso para este filtro é dada por 
{ (M)eiO(c<)j para a < J' < M 
h(a M) = J ' - - , J ' a ' . , caso contrano. 
A correspondente função ganho quadrada é igual a 
para O(a), w E (-'Ir, 'Ir] e a E (-1,1). Pode-se mostrar rigorosamente 
(veja Lopes e Kedem (1994)) que, quando M é grande, a correspon­
dente função de auto correlação de primeira ordem pode ser escrita 
como 
54 
( M) _ R
{E[Zt(a,M)Zt+l(a,M)]} � p a, - EIZt(a, M)12 
� 
L:;�1 "J. [00'2M (W'+flo)) +00'''' (W' -fiO)) 1 +� J.':. 00,2M (�) dÀ 
(5.2) 
R. de Econometria 1.4(1.) abril 1.994/outubro 1.994 
Sílvia Lopes 
f..-qui R{z} significa a parte real do número complexo z e z re­
presenta o conjugado complexo de z. 
A expressão (5.2) acima parece muito complexa e será substi­
tuída pela expressão (5.3), que é mais fácil de ser entendida. 
Observamos que a expressão (5.2) mostra que p(a, M) é uma 
média ponderada de cos(Wj), j E {I, ... ,p}, e de a. Definimos os 
pesos Bj(a, M), j E {O, 1, ... ,p}, da seguinte forma 
::J. [oo'2M (Wj+:CO) )+0002M (Wj-:CO) )] 
para j E {I, 2, ... , p} e 
u2 � J'" '" cos2M (,\-�((t») d,\ Bo(o:,M):::. 2 2 L��l :f [oo,2M(W/+:CO}) +oo,2M (w/-:CO}) 1 +� r, ",2M (À-;CO}) dÀ 
Observe que :L�=o Bj (a, M) = 1 e, portanto, p( a, M) é uma média 
ponderada envolvendo cos(Wj), 1 :::; j :::; p, e a dada por 
p 
pC a) = p(a, M) = L Bj(a, M) cOS(Wj) + Bo(a, M) a, (5.3) 
j=1 
onde os pesos Bj(a, M), O :::; j :::; p, são não-negativos, somam um e 
dependem de a e M. Esta observação é importante na recuperação 
de todas as freqüências Wj, j E {I, ... ,p}. 
Consideramos agora algumas propriedades da aplicação p, defi­
nida em (5.2), que auxiliarão na prova da existência de uma aplicação 
de contração. 
Proposição 5.1: Para cada M E N - {O} fixado e p (a) = p(a, M), 
dada pela expressão (5.2), a aplicação p(.) é uma função do intervalo 
[-l,l} nele mesmo, como uma função da variável a. 
A prova desta prCiPosição é similar àquela da Proposição 4.1 
considerando agora a expressão (5.2). 
Queremos fazer alguns comentários a respeito da aplicação p( a) = 
p(a, M) dada pelas expressões (5.2) ou (5.3). 
R. de Econometria 14(1) abril 1994/outubro 1994 55 
Análise espectral de séries 
RESULTADO PRINCIPAL PARA O FILTRO COMPLEXO: Se !vI é grande 
e fixo (suponha, por exemplo, AI = 30), então dado 0'0 E (-1,1) 
escolhido ao acaso, pk(O'o) estará bem próximo de um ponto fixo 0'*, 
onde 0'* é um dos possíveis valores cos(Wj), para 1 ::; j ::; p, quando 
k for tomado grande. 
Isto permitirá obter as várias freqüências do modelo (2.1) através 
de um procedimento iterativo similar ao que foi utilizado no caso 
p = 1 com o filtro alfa. Neste caso, pk(O'O), com k grande, estará 
estimando um possível cos(Wj). 
Vamos tentar explicar de uma maneira heurística a razão pela 
qual o Resultado Principal é verdadeiro. Para simplificar o raciocínio, 
suponha que 0'0 está mais próximo de COS(W1) do que dos demais 
cos(Wj), para 2 ::; j ::; p. Dessa forma, é fácil ver que 
para todoj E {2, . . . , p} e 
Lembre que 8(ao) = arc cos(O'o). A partir das duas igualdades acima 
segue-se 
1. Bj(O'o,!vI) nu = O, 
M�oo B1(0'0,!vI) 
(5.4) 
para todo j E {2,3, ... , p}. A expressão acima significa que o peso 
relativo B 1 (0'0, !vI) é muito maior do que os outros Bj (0'0, !vI), se !vI 
é grande e 0'0 está próximo de W1. 
Da expressão (5.3) podemos concluir que, para o valor inicial 
O' = 0'0 próximo a COS(W1), 
P 
0'1 = p(O'o) = p(a) = L Bj(O', !vI) cos(Wj) + Bo(O', !vI) O' 
j=l 
56 R. de Econometria 11(1) abril 19"91/outubro 1991 
Sílvia Lopes 
é, na verdade, uma combinação linear ponderada de ao e dos cos( Wj), 
para todo j E {1, 2, . . . , p}. 
Supondo M grande e fixo então, pela igualdade (5.4), concluímos 
que a média aI = p( ao) tem uma tendência muito forte de estar 
próxima a COS(W1) pois o peso B1(ao, M) é muito maior do que os 
demais pesos Bj(ao, M), para j E {a, 2, . . . ,p}. Aplicando o mesmo 
raciocínio a a2 = p( aI), temos que a2 deve estar ainda mais próxima 
de COS(W1) do que aI' Aplicando agora sucessivamente k vezes o 
raciocínio, concluímos que ak = pk (ao) = pk (a) deve estar bastante 
próximo de COS(W1), e é um bom estimador para o coseno de uma 
das freqüências, no caso W1. De forma análoga, se a estivesse mais 
próximo de COS(W2) do que dos demais cos(Wj), para j E {1, 3, . . . , p}, 
então pk(a) deveria estar bastante próximo de COS(W2), e assim por 
diante. 
Como no caso do filtro alfa, aqui também estaremos usando uma 
estimativa p(', M) = pU para a obtenção da aplicação p(', M) = p(.). 
Nas simulações apresentadas nestas notas, utilizamos como estima­
tiva para p(. , M) a função de autocorrelação amostrai de primeira 
ordem da série temporal filtrada {Zt(a, M)}�l de tamanho N. Esta 
estimativa é dada por 
p(CI.,M) = 
"N 1 ---* n{L.;_� [Zj (c<,M)-Z( c<,M)[[Zj+l (c<,M)-Z( c<,M)]} 
* E;�l [Zj (c<,M)-Z( c<,M)[[Zj (c<,M)-Z( c<,M)] 
onde a notação Z(a, M) indica o valor médio da série temporal fil­
trada {Zt(a,M)}�l' 
A consistência forte pode ser demonstrada neste caso, e então 
todo o procedimento acima descrito pode ser totalmente justificado 
(ver Lopes e Kedem (1994)). 
A eficácia deste procedimento pode ser observada através da 
análise dos gráficos da função p(.) = pc, M) na situação em que 
temos duas e três freqüências (veja as Figuras 4, 5, 6 e 7). Para apre­
ciar corretamente o efeito do acréscimo de M na localização exata das 
freqüências, observe a Figura 8. Para o valor M = 15 se obtém uma 
boa precisão para o valor a ser estimado através da iteração de p(.). 
Observe que a freqüência não é um ponto fixo, mas existe um ponto 
R. de Econometria 14(1) abril 1994/outubro 1994 57 
Análise espectral de séries 
fixo atrator bem próximo a ela. Quando M -t 00 este ponto fixo 
atrator tende a coincidir com o coseno da freqüência a ser detectada. 
-- - ------- - - - - - - - --- - ------------------ --------------------- - - ---::.- -:;:-"'--=--7�-·--- c05(oo,) 
o., 
.1 0.5 
-- ---:.:--::c--"'--"'-""- �-�- _cco_-::: ____________ --��- - ------------------------------------------ cos(oo,) 
·1 
Figura 4. 
Pontos Fixos para p(a,15) obtida a partir do filtro 
complexo com p = 2, AI = A2 = (Jç = 1.0, WI = 0.7 e 
W2 = 2.2 (COS(WI) = 0.7684, COS(W2) = -0.5885).Os gráficos que apresentamos em todas as figuras foram feitos 
para as expressões analíticas pC). O gráfico da respectiva aplicação 
p(.) deveria estar bem próximo do gráfico da respectiva aplicação p(.). 
Em conclusão, pk (ao) = êxk é um estimador de alguma freqüência, se 
k for suficientemente grande. 
6. Propriedades estatísticas dos estimadores Me. 
Antes de enunciarmos formalmente o teorema que garante a con­
vergência da seqüência dos estimadores êxk baseados em uma série 
58 R. de Econometria 14(1) abril 1994joutubro 1994 
Sílvia Lopes 
I 
...... ········· ,, 1 · (��-/�/�CoS«ü') 
., �.5 
I 
I 
0.5 
-.---7.L------�tL .. ......... =("' 
.,+ 
Figura 5. 
Pontos Fixos para p( a, 15) obtida a partir do filtro 
complexo com p = 2, A, = A2 = lI, = 1.0, w, = 0.7 e 
W2 = 2.2 (COS(fU,) = 0.7684, COS(W2) = - 0.5885). 
temporal filtrada através de filtros complexos, vamos introduzir a se­
guinte definição. 
DEFINIÇÃO 6.1: O procedimento iterativo (1.1) de atualização de 
parâmetros é dito ser aproximadamente globalmente convergente se 
para cada M E N - {O} fixo existe um conjunto CM de medida de 
Lebesgue total em [-1, 1] tal que para qualquer ao E CM existe o 
limite 
Os possíveis valores aM sâo pontos fixos da aplicação p(.), d\ida pela 
expressão (5.2), isto é, p(aM) = aM-
O procedimento iterativo de atualização de parâmetros é consi­
derado com respeito ao filtro com parâmetro fixo M e o valor limite 
aM pode depender de ao, o valor inicial. Nós exigimos também nesta 
R. de Econometria H(l) abril 1994joutubro 1994 59 
Análise espectral de séries 
,-Í-
I / 
---------------- - ------ -_ .. _ .. -:: -------------- -� --------- - ---- � -------;;;:';:-'-::7L--� .... COS{OOI) 
1, 
" 
/ 
o,, I V , 
/1 
1// I //; 
-t=��:_�== __ :ül��_�:::;/�:� __ A, __ �:�:_�_� ____ o: cos(oo,) 
t//
/ i :::!/, y -o" + 
� ! ---------- -----�_._'_ ------ -- --- - - - - - --- -----+-------------------- - - - ------ , ---------cO$(oo,) 
(// -+ 
Figura 6. 
Pontos Fixos para p(a,40) obtida a partir do filtro 
complexo com p = 3,A1 = A2 = A3 = (Jç = 1.0,Wl = 
0.5,W2 = 1.7 e W3 = 2.4 (COS(Wl) = 0.8775,coS(W2) = 
- 0.1288 e COS(W3) = - 0.7373). 
definição que existam p destes possíveis valores a1.1 e que, para cada 
um deles, exista I E {1, 2, . . . ,p} tal que 
o resultado a seguir expressa matematicamente o que explica­
mos de maneira heurística na Seção 5 através do Resultado Principal 
c garante que a obtenção das freqüências do processo (2.1) é feita 
através dos pontos fixos da aplicação p(.), dada pela expressão (5.2). 
Veja Lopes e Kedem (1994) para a demonstração completa. 
Teorema 6.1: Considere o processo estocástico {ZdtEZ como em 
(2.1) onde o processo {Çt}tEZ é um ruído branco Gaussiano. Seja 
{ .co(Z)t}OE0 = {Zt( a, M)}(a,M)E0, onde O = (a, M) E (-1,1) x 
60 R. de Econometria 11(1) abril 1991/outubro 1991 
Sílvia Lopes 
I -L 
: / m-- -----mm----mmm--m--m----r-------r /" COS(OO,) 
0.5�- i / 
I 1/ 
m.:-::: ); ;:tdJmmnmL,., 
f// i �/ -0.5 t 
/' �) i ----- / ---------- ------- - ---l---l-- ------------------------------------ cos(rol) 
/ T 
/ 
Figura 7. 
Pontos Fixos para p30(a:, 40) obtida a partir do filtro 
complexo com p = 3, AI = Az = A3 = af, = 1.0, WI 
O.5, W2 = 1. 7 e W3 = 2.4 (COS(WI) = 0.8775, coS(W2) = 
-0.1288 e COS(W3) = - 0.7373). 
N = e, a família paramétrica dos filtros complexos. Considere ainda 
o procedimento iterativo (1.1). Então, a família { .ce(Z)t}eE0 é apro­
ximadamente globalmente convergente. ' 
Veja as Tabelas 6.1 e 6.2. 
6.1. Ergodicidade do processo estocástico. 
Apresentamos a prova da consistência forte (ou equivalente­
mente, da ergodicidade) , dos estimadores utilizados neste trabalho, 
apenas para o caso p = 1. Para o caso geral, veja Lopes e Kedem 
(1994). Considere (O, F, P ) um espaço de probabilidade onde O é o 
espaço amostrai, F é a a-álgebra de Borel e P é a função de proba­
bilidade definida em O. Considere a transformação T definida sobre 
o espaço rl nele mesmo. 
R. de Econometria 14(1) abril 1991/outubro 1991 61 
U· 
0.72 
•.. 
,: I ..... 
7.6 -
7.4 _ 
,., 
Análise espectral de séries 
O.7� 
........ ---.----- .. -----_ .. _ ... - . COS(W1) 
0.76 0.78 o .• 
(a) 
. ................................. �.COS(W,) 
fL----j,----f······ .--f-.---f-----j 
0.72 0.74 0.76 ". o .• 
... (b) 
, .• 
-----_._._----------- cos(w1) 
,., 
0,12 0.74 0.76 0.78 o .• 
•.. (c) 
Figura 8. 
p( 0;, M) obtida a partir do filtro complexo para p = 2 numa 
vizinhança do coseno da freqüência Wl = 0.7(COS(Wl) = 
0.7684). O gráfico da função constante y = cos(wll e da 
reta da diagonal também estão plotados. (a) M = 8; (b) 
M=l1; (c) M=15. 
62 R. de Econometria 14(1) abril 1994/outubro 1994 
Sílvia Lopes 
Tabela 6.1-
Estimativa da Freqüência Wj, j = 1,2, a partir do fil­
tro complexo.p = 2, Wl = 0.8, W2 = 2.2, N = 3000 e 
SNR = 20log (desv.pad. si�al) dE. Número de Itera-10 desv.pad. rUldo 
ções = 8. 
Freqüência Estimada A, A2 "ç SNR(dB) M 80 Wj 
1.0 1.0 1.0 O 15 0.5 0.84721 1.0 1.0 1.0 O 20 0.5 0.83152 
1.0 1.0 1.0 O 25 0.5 0.82310 1.0 1.0 1.0 O 30 0.5 0.81827 1.0 1.0 1.0 O 34 0.5 0.81557 
1.0 1.0 1.0 O 15 1.9 2.17078 1.0 1.0 1.0 O 20 1.9 2.18241 1.0 1.0 1.0 O 25 1.9 2.18823 1.0 1.0 1.0 O 30 1.9 2.19164 1.0 1.0 1.0 O 34 1.9 2.19337 2.0 1.0 1.0 4 15 1.9 2.19260 2.0 1.0 0.5 10 15 1.9 2.19786 
DEFINIÇÃO 6.2: Dizemos que P é uma medida invariante sobre T se 
p(T-l (B)) = P(B), para todo boreliano B E F. 
DEFINIÇÃO 6.3: Dizemos que P é ergódica sobre T se, para todo 
borelianoB E F tal que T-1(B) = B, temosP(B) = OouP(B) = 1. 
Um resultado muito importante é o Teorema Ergódico de Birkhoff 
(veja Cornfeld, Fomin e Sinai (1982)) que enunciamos a seguir. 
Teorema Ergódico de Birkhoff 6.2: Considere V uma variável 
aleatória integrável em O, P é uma medida de probabilidade inva­
riante em (J e T é uma transformação mensurável em O. Seja Q a 
menor o--álgebra de conjuntos em F com respeito a qual todas as 
variáveis aleatórias W com W(Tt(w)) = W(w) para P-quase todo w 
e para t > O são mensuráveis. Então, 
. 1 
N-l 
hm N " V(T
t(w)) = E(V;Q)(w)P - quase certo. 
N-.oo � '=0 
Quando P é ergódica (isto é, Q é trivial) então E(VjÇ) se reduz 
a E(V) = constante e o resultado acima essencialmente diz que para 
R. de Econometria 14(1) abril 1994/outubro 1994 63 
Análise espectral de sérics 
Tabela 6.2. 
Estimativa da Freqüência Wj' j = 1, 2, a partir do fil-
tro complexo.p = 2, Wl = 0.5, Wz = 2.5, N = 3000 e 
SN R = 2010g (desv.pad.sill.al) dE. 10 desv.pad. nndo 
ções = 8. 
Número de Itera-
Freqüência Estimada A, A2 Cf, SNR(dB) M 00 Wj 
LO LO LO O 15 0.3 056217 
LO LO LO O 20 0.3 0.53882 
WI LO LO LO O 25 Q.3 052659 LO LO LO O 30 0.3 051954 LO LO LO O 34 0.3 0.51587 LO 2.0 LO 4 15 0.1 0.51628 
LO LO LO O 15 2.9 2.46535 
LO LO LO O 20 2.9 2.47876 LO LO LO O 25 2.9 2.48631 
W2 LO LO LO O 30 2.9 2.49077 LO LO LO O 34 2.9 2.49303 0.5 LO LO -2 15 3.1 2.37030 2.0 LO LO 4 15 2.8 2.49065 
típicas trajetórias com respeito a P, a média temporal de V converge 
para a média espacial de V. 
Em termos de processos estocásticos, nós estamos considerando 
na terminologia acima o processo estacionário yt(w) = V(Tt(w)), 
w E Sl e t E Z. Esta é a maneira usual de transferir resultados de 
transformações com medidas invariantes para processos estocásticos 
(veja Lamperti (1077), Capítulo 5, para maiores detalhes). Basica­
mente, temos que considerar no espaço SlN, a medida produto gerada 
por P em Sl e a definição acima do processo estocástico yt. Nós obser­
vamos aqui que P será a medida produto no caso em que tivermos 
coordenadas independentes e identicamente distribuídas. 
OBSE1WAÇÃO 6.1: Suponha que J V(w)P(dw) = O. Então, neste 
caso, se a probabilidade é ergódica, a autocovariânciade ordem k 
J V(w)V(Tk(w))P(dw) 
64 R. de Econon}ctria 14(1) abril 1991joutubro 1991 
Sílvia Lopes 
pode ser obtida como o limite quase certo da média 
N-k 
lim N
1 L V(T'(w))V(T'+k(w)), para k ;::: O. 
N�oo t=O 
Neste caso, podemos dizer que a autocovariância amostraI de pri­
meira ordem (caso k = 1) e a variância amostraI (caso k = O) são 
estimadores fortemente consistentes. 
No noSSO caso devemos considerar O = (-71:, 7I:J e para qualquer 
w E O, temos 
T(w) = w + Wl (mod 271:), 
onde UJl é uma constante fixa no intervalo (-7I:,7I:J. Agora P é a 
medida de Lebesgue normalizada em (-71:., 7I:J e esta probabilidade é 
claramente invariante para T. 
É conhecido (veja Cornfeld, Fomin e Sinai (1982), página 64) 
que, quando � é um número irracional, então P é ergódica para T. 
OBSERVAÇÃO 6.2: O Teorema Ergódico quando � é irracional, é 
verdadeiro numa forma mais forte do que o Teorema Ergódico de 
Birkhoff. De fato, a afirmação acima a respeito das médias temporais 
é verdadeira, não apenas P-quase certo, mas na verdade para todo 
w E (-n,7I:J. A afirmação análoga para os números Wl quando � é 
racional não é verdadeira. 
Para a situação que temos aqui, vamOS denotar os elementos do 
espaço amostraI O por ifJ. Desta forma teremos uma notação coerente 
com o visto anteriormente. Consideremos a variável aleatória V(w) = 
V(4)) = Acos(ifJ). Observe que 
J V(w)P(dw) = A J cos(ifJ)P(difJ) = O 
Portanto, a hipótese da 
que para qualquer n E 
ifJ + nWl (mod 271:). 
Observação 6.1 está satisfeita. 
N e ifJ E (-71:,71:], temos que 
Observe 
Tn(4)) = 
Se � é irracional então podemos aplicar o Teorema Ergódico 
para a variável aleatória V(ifJ)V(Tk(ifJ)), já que P é ergódica (veja a 
R. de Econometria 11(1) abril 1991jol.ltl.lbro 1991 65 
Análise espectral de séries 
Observação 6.1). Desta forma, nós temos um estimador consistente 
para a autocovariância. 
Portanto, pelo Teorema Ergódico segue que 
N-k 
lim N
1 '""' V(T'(q,))V(T'+k(q,)) = N_oo � t=o 
. 1 N-k 
= 11m N A
Z '""'cos(W1t+q,)COS(Wl(t+k)+q,)= N_oo L.J t=O 
= AZ J cos(q,) COS(Wl k + q,)P(dq,) = 
= A2 J cos(q,) cos(Tk(q,))P(dq,), para k 2: O. 
Portanto) para qualquer 4) E (-7r1 7r], tClllOS que as autocovariâncias 
amostrais de ordem k fornecem estimadores fortemente consistentes 
para a autocovariância de ordem k do processo { Y,.}'EZ. Relembra­
mos que primeiro consideramos o processo estocástico 
yt(q,) = V(T'(q,)) = V(q, + tWl) = A COS(Wl t + q,). 
Queremos agora adicionar o processo do ruído branco Gaussiano �, 
ao yt. Portanto, queremos analisar a autocovariância de ordem k 
para o processo Z, dado por 
Z, = yt +�, = V(T'(·)) + �t. 
Observamos que, para todo k 2: O, 
A correspondente igualdade acima no caso amostraI é dada por 
N-k N-k 
� L Z,(q,)Zt+M) = � L V(T'(q,))V(Tt+k(q,)) 
66 
t=O t=O 
N-k N-k 
+ � L V(Tt(q,)�t+k + � L V(Tt+k(q,))�t 
t=O t=O 
1 N-k 
+ N L �t�!+k. t=O 
R. de Econometria 11(1) abril 1991joutubro 1991 
Sílvia Lopes 
As médias amostrais correspondentes ao segundo e terceiro termo 
da igualdade acima convergem a zero, quando N tende a infinito, já 
que as variáveis ç, e Y, = V(T(4») são não-correlacionadas. 
As médias amostrais correspondentes ao primeiro termo da igual­
dade acima já foram analizadas anteriormente com o uso do Teorema 
Ergódico. 
Finalmente, as médias amostrais referentes ao quarto termo 
convergem a zero, quando N tende ao infinito, já que as variáveis 
aleatórias ç, na definição de um ruído branco Gaussiano são não cor­
relacionadas. 
Portanto, concluímos que para o processo 
Z, = ACOS(Wl t + 4» + ç" 
onde � é irracional e { Ç,}'EZ é um ruído branco Gaussiano, as auto­
covariâncias amostrais de ordem k são estimadores fortemente con­
sistentes para as autocovariâncias de ordem k do processo {Z,}'EZ, 
Ressaltamos que, por simplicidade, o processo {Ç,}'EZ foi assu­
mido ser um ruído branco Gaussiano mas as afirmações valem mais 
geralmente para qualquer ruído ergódico colorido. 
Colocamos agora o resultado apresentado acima de forma con­
densada através do seguinte teorema. 
Teorellla 6.3: Considere o processo estocástico {Z'}'EZ dado pela 
expressão (4.1) onde o processo {Ç,}tEZ é nm ruído branco Ganssiano 
e independente do processo { Y,},EZ, Então, o processo {Z,}'EZ é 
estacionário e ergódico sempre que � é irracional. 
A condição de ser irracional é genérica (tem probabilidade um) 
no conjunto das possíveis freqüências . 
. O Teorema 6.3 assegura a propriedade de consistência forte dos 
parâmetros, o que torna lícito tomar médias amostrais dos dados da 
série temporal para estimar os valores esperados que aparecem na 
definição da aplicação p(.) dada através das expressões (4.2) ou (4.3). 
Desta maneira fica demonstrado a justificação do procedimento 
descrito no Resultado Principal, isto é, dado ao E (-1,1), pk(ao) 
estima o coseno de uma certa freqüência, quando k é grande (por 
exemplo, k = 8). Para obter as outras freqüências podemos pro­
ceder em etapas do seguinte modo. Após a localização do co-
R. de Econometria 14(1) abril 1994/outubro 1994 67 
Análise espectral de séries 
seno da freqüência Wl, aplicamos um filtro passa banda para ti­
rar fora apenas esta freqüência. A série resultante corresponderá 
a um modelo do tipo (2.1) em que temos agora p - 1 freqüên­
cias. Considerando um outro ao ao acaso, com o procedimento 
iterativo de atualização de parâmetros acima descrito, agora para 
a série resultante, esti111aITIOS outro valor COS(Wi) , i E {l, 2, . . . ,p} 
e i f I. Assim, sucessivamente, obtemos todas as freqüências Wj, 
j E {1,2, ... ,p}. 
Não é difícil ver que, quando p = O em (4.1), então p(a) é a 
função identidade. Logo, a iteração li (ao) não move praticamente 
ao. Neste caso, o procedimento chegou ao final e teremos descoberto 
todas as freqüências e o número p. 
Para a consistência e a normalidade assintótica dos estimadores 
MO referimos o leitor aos artigos de Li e Kedem (HJ93) e de Li, 
Kedem e Yakowitz (1991), respectivamente. 
7. Conclusão. 
As freqüências de um modelo de espectro misto podem ser obti­
das através de iteração de um ponto a escolhido ao acaso no intervalo 
das possíveis freqüências. O método apresentado acima é robusto e 
eficiente. Os vários valores limites pk(a) são as estimativas dos cose­
noS das freqüências. 
Modelos de freqüência modulada são considerados por Lopes 
(1994) e Lopes e Kedem (1991) como um caso mais geral da análise 
feita aqui. Neste caso, existem infinitas freqüências e uma análise 
matemática mais precisa será objeto de um futuro trabalho. 
(Submetido em agosto de 1993. Revisado em junho de 1994) 
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