2a Aula ao vivo Estatística

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Estatística
Prof. Me. Edimar Izidoro Novaes
2
Medidas de tendência central
Objetivos de Aprendizagem
• Compreender as principais medidas estatísticas de
posição e dispersão.
• Entender a aplicação das medidas estatísticas de
posição e dispersão.
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Medidas de Posição:
• Média aritmética simples;
• Média ponderada;
• Moda;
• Mediana.
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Medidas de Posição
• Média aritmética simples
N
x
μ
N
1i
i

n
x
x
n
1i
i

População Amostra
5
Exemplo
Os salários de quatro funcionários das Indústrias
Maquinarias Ltda. são: R$ 20.000,00; R$ 30.000,00; R$
15.000,00 e R$ 10.000,00. Determine a média aritmética
de seus salários:
6
Exemplo 
• Em uma sala de aula, os alunos tem altura
que vão de 130cm até 163cm e a altura
média desses alunos é de 150cm. Oito
desses alunos possui exatamente 163cm. Se
retirarmos esses oito alunos da classe, a
nova média passa a ser de 148cm. Sendo
assim, quantos alunos há nessa turma?
7
Resolução 
8
• Média aritmética ponderada
População Amostra 
N
xF
μ
ii.

 
n
xF
x
ii.

 
 
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Calcular a média dos dados a 
seguir
Notas (xi) Frequência absoluta (Fi)
20 1
30 5
35 6
40 9
45 4
50 5
Total 30
10
Média
Notas 
(xi)
Frequência absoluta (Fi) Xi.Fi
20 1 20.1=20
30 5 30.5=150
35 6 35.6=210
40 9 40.9=360
45 4 45.4=180
50 5 50.5=250
Total 30 1170
11
• 𝑥 =
1170
30
= 39.
Assim, a média aritmética entre as notas é 
de 39 pontos.
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Calcular a média para a tabela a 
seguir 
Velocidades Frequência 
Absoluta (Fi)
Frequência 
Relativa (Fr) 
Frequência 
Acumulada 
(Fac)
Ponto médio 
Velocidades 
(Xi)
40|- 46 3 6% 3 43
46|- 52 4 8% 7 49
52|- 58 8 16% 15 55
58|- 64 5 10% 20 61
64|- 70 18 36% 38 67
70|- 76 7 14% 45 73
76|- 82 5 10% 50 79
Total 50 100%
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Calcular a média para a tabela a 
seguir 
Velocidades Frequência 
Absoluta (Fi)
Ponto médio 
Velocidades (Xi)
Xi.Fi
40|- 46 3 43 3.43=129
46|- 52 4 49 4.49=196
52|- 58 8 55 8.55=440
58|- 64 5 61 5.61=305
64|- 70 18 67 18.67=1206
70|- 76 7 73 7.73=511
76|- 82 5 79 5.79=395
Total 50 3182
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• Assim, a média entre as velocidades dos 
carros é de 63,64 Km/h.
• 𝑥 =
3182
50
= 63.64.
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Moda
Valor ou atributo que ocorre com maior frequência 
em um conjunto de dados. 
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Moda – Dados agrupados em 
classes
Passos:
• Indica-se a classe modal pela frequência simples
(Fi), ou seja, a classe que possui a maior
frequência.
• Aplica-se a fórmula:
Mo = 
)F(F)F(F
)Fh(F
 l
1ii1ii
1ii
i





 
• li = limite inferior da classe modal
• 𝐹𝑖= frequência da classe modal 
• 𝐹𝑖−1 = frequência da classe 
imediatamente anterior
• 𝐹𝑖+1= frequência da classe 
imediatamente posterior
• h = amplitude da classe modal
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Calcular a moda para a tabela a 
seguir 
Velocidades Frequência 
Absoluta (Fi)
Frequência 
Relativa (Fr) 
Frequência 
Acumulada 
(Fac)
Ponto médio 
Velocidades 
(Xi)
40|- 46 3 6% 3 43
46|- 52 4 8% 7 49
52|- 58 8 16% 15 55
58|- 64 5 10% 20 61
64|- 70 18 36% 38 67
70|- 76 7 14% 45 73
76|- 82 5 10% 50 79
Total 50 100%
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• 𝑀𝑜 = 𝑙𝑖 +
ℎ(𝐹𝑖−𝐹𝑖−1)
𝐹𝑖−𝐹𝑖−1 +(𝐹𝑖−𝐹𝑖+1)
• Substituindo os dados temos:
• 𝑀𝑜 = 64 +
6(18−5)
18−5 +(18−7)
então 
• 𝑀𝑜 = 64 +
6.13
13+11
, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎,𝑀𝑜 = 64 + 3,25 =
67,25.
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• Assim, a velocidade modal entre os veículos, 
ou a velocidade que mais aparece é de 67,25 
Km/h.
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MEDIANA
• É o valor da variável observada (ou
mensurada) que divide seu rol de valores ao
meio.
• Rol = valores observados em ordem
crescente.
• Mediana possui duas formas diferentes:
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Considere o seguinte exemplo:
{3; 7; 9; 10; 4; 8; 2}
{2; 3; 4; 7; 8; 9; 10}
Ordenando no Rol
3 menores
3 maiores
{2; 3; 4; 8; 9; 10}
n par?
mediana =(4+8)/2=6
n impar?
mediana = 7
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Exercício
• Os dados a seguir representam as alturas em
metros de 13 alunos de uma classe de um
curso superior.
1,56; 1,58; 1,65; 1,65; 1,68; 1,69; 1,71;
1,72; 1,75; 1,80; 1,84; 1,88, 1,90.
Analisando estas alturas, é possível afirmar
que a altura mediana destes alunos é?
Interprete cada resultado.
A altura mediana é 1,71 metros.
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MEDIANA – DADOS AGRUPADOS EM 
CLASSES
O objetivo é determinar o ponto do intervalo em que está
compreendida a mediana.
Passos:
1. Determinar a frequência acumulada;
2. Calcula-se p = n/2 (independente se é par ou ímpar para
intervalo de classe);
3. Pela 𝐹𝑎𝑐 identifica-se a classe que contém a mediana
(Md);
4. Aplica-se a seguinte equação:
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Md = 
i
1ai
i
F
)Fh(p
l 


 e 
em que: 
 
onde p = indica a posição central da série 
 
𝐹𝑖 = é frequência da classe que contém a mediana 
Fai - 1 = é a frequência acumulada da classe anterior a da mediana. 
2
n
p 
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Calcular a mediana para a tabela a 
seguir 
Velocidades Frequência 
Absoluta (Fi)
Frequência 
Relativa (Fr) 
Frequência 
Acumulada 
(Fac)
Ponto médio 
Velocidades 
(Xi)
40|- 46 3 6% 3 43
46|- 52 4 8% 7 49
52|- 58 8 16% 15 55
58|- 64 5 10% 20 61
64|- 70 18 36% 38 67
70|- 76 7 14% 45 73
76|- 82 5 10% 50 79
Total 50 100%
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• 𝑀𝑑 = 𝑙𝑖 +
ℎ(𝑝−𝐹𝑎𝑖−1)
𝐹𝑖
.
• Primeiro determinamos a classe em que está 
a mediana, ou seja, 
𝑝 =
𝑛
2
=
50
2
= 25. Assim, pela frequência 
absoluta acumulada temos que a classe da 
mediana é a quinta classe. 
27
• Substituindo os dados da quinta classe na 
equação temos:
• 𝑀𝑑 = 64 +
6(25−20)
18
, assim temos, 
• 𝑀𝑑 = 64 + 1,67 = 65,67.
Ou seja, a velocidade mediana dos veículos é 
de 65,67 Km/h.
28
Exercício
Consumo por Nota (R$) Nº de Notas
0|-----50 10
50|-----100 28
100|-----150 12
150|-----200 2
200|-----250 1
250|-----300 1
Uma loja selecionou um grupo de 54 notas fiscais durante um dia, e obteve o 
seguinte quadro:
Com base nos dados da tabela, determine os 50% de menor consumo por nota 
fiscal durante um dia.
29
Resolução
27
2
54
2

n
P
Consumo por Nota (R$) Nº de Notas Fi Acumulada
0|-----50 10 10
50|-----100 28 38
100|-----150 12 40
150|-----200 2 42
200|-----250 1 43
250|-----300 1 44
   
35,8036,3050
28
102750
501 



 
Fi
Fph
liMd ai
30
Interpretação
• A mediana entre as notas fiscais é igual a 
80,35 reais. 
• O menor consumo entre as notas fiscais é 
maior ou igual a 0 e menor que 80,35 reais. 
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Exemplo
• Nos quatro primeiros dias úteis de uma
semana o gerente de uma agência bancária
atendeu 19, 15, 17 e 21 clientes. No quinto
dia útil dessa semana esse gerente atendeu
n clientes. Se a média do número diário de
clientes atendidos por esse gerente nos cinco
dias úteis dessa semana foi 19, então a
mediana foi de?
32
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Exemplo
• Cinco equipes A, B, C, D e E disputaram uma
prova de gincana na qual as pontuações
recebidas podiam ser 0, 1, 2 ou 3. A média
das cinco equipes foi de 2 pontos.
• As notas das equipes foram colocadas no
gráfico a seguir, entretanto, esqueceram de
colocar as notas das equipes D e E.
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• Mesmo sem aparecer as notas das equipes 
D e E, pode-se concluir que os valores da 
moda e da mediana são?
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Estatística
Prof. Me. Edimar Izidoro Novaes