Primeira Prova GAAL 2007 - Universidade Federal de Viçosa

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIC¸OSA
Centro de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
1a Prova de MAT 135 - 23/04/07
Nome: Matr´ıcula: Turma 1
1a Questa˜o (20 pontos) Se
C =

1 2 1 1
−1 1 2 1
1 1 1 −1
1 1 −1 1

determine, usando operac¸o˜es com as linhas da matriz, det C.
2a Questa˜o (20 pontos) Determine os valores reais de k, para os quais o sistema linear
x + y + z = 2
x + 3y − kz = 7
x + ky + 3z = −4
(i) tem uma u´nica soluc¸a˜o; (ii) tem infinitas soluc¸o˜es; (iii) na˜o tem soluc¸a˜o.
3a Questa˜o (20 pontos) O fornecedor de cafe´ dos bares de uma cidade vende treˆs misturas de gra˜os.
Um pacote da mistura da gourmet conte´m 1 quilo de cafe´ brasileiro, 1 quilo de cafe´ colombiano e
2 quilos de cafe´ tostado tipo franceˆs. Um pacote com a mistura da casa conte´m 3 quilo de cafe´
brasileiro, 2 quilos de cafe´ colombiano e 1 quilo de cafe´ tostado tipo franceˆs. Um pacote com a
mistura especial conte´m 2 quilos de cafe´ brasileiro, 1 quilo de cafe´ colombiano e 2 quilos de cafe´
tostado tipo franceˆs. O fornecedor tem 20 quilos de cafe´ brasileiro, 12 quilos de cafe´ colombiano e
15 quilos de cafe´ tostado tipo franceˆs. Se ele deseja utilizar todos os gra˜os de cafe´, quantos pacotes
de cada mistura deve preparar?
4a Questa˜o. (20 pontos) Considere o sistema de equac¸o˜es lineares:

3x− 6y + 2z − w = α
x− 2y + z = β
z + w = γ
−2x+ 4y + z + 3w = ρ
(a) Determine condic¸o˜es sobre α, β, γ e ρ para que o sistema admita soluc¸a˜o.
(b) Deˆ exemplos de valores de α, β, γ e ρ para os quais o sistema na˜o admite soluc¸a˜o.
(c) Para quais valores de α, β, γ e ρ o conjunto das soluc¸o˜es do sistema conte´m a soluc¸a˜o trivial?
Justifique sua resposta.
(d) Considerando os valores de α, β, γ e ρ encontrados no item anterior, determine o conjunto
soluc¸a˜o do sistema.
(e) A matriz dos coeficientes do sistema e´ invers´ıvel? Justifique sua resposta.
5a Questa˜o (20 pontos) Decida se cada uma das afirmativas dadas abaixo e´ verdadeira ou falsa.
Justifique sua resposta dando um argumento lo´gico matema´tico ou um contra-exemplo.
1. ( ) Se P e´ invers´ıvel e B = PA2P−1, enta˜o detB = (detA)2.
2. ( ) Se A5 = 0, enta˜o I − A e´ invers´ıvel e (I − A)−1 = I + A+ A2 + A3 + A4.
3. ( ) det(I + A) = 1 + detA.
4. ( ) Se X1 e X2 sa˜o soluc¸o˜es do sistema linear AX = B, enta˜o X1+X2 e´ soluc¸a˜o de AX = 2B.