01B INTRODUÇÃO R1

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PROF. DR. LORENZO A. RUSCHI LUCHI
lorenzo@rl.eng.br
CENTRO TECNOLÓGICO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CONCEITOS BÁSICOS DE ANÁLISE 
ESTRUTURAL
PARTE B
3332313
2322212
1312111
DDDD
DDDD
DDDD



todeslocamendocausa
todeslocamendolocal


j
i
Dij
 Condições  continuidade dos deslocamentos ao 
longo da estrutura.
 Devem ser satisfeitas em todos os pontos de 
apoio da estrutura.
 Exemplos: 
◦ Engaste – não pode haver rotação do eixo;
◦ Ligação rígida entre 2 barras – translações e rotações 
devem ser as mesmas em ambas as barras.
 1) INDETERMINAÇÃO ESTÁTICA  ações 
incógnitas (método da flexibilidade)
 Excesso de ações desconhecidas em relação às 
equações da estática.
n=1
n=3
n=2
ninterna = 2
nexterna = 0
nbarras = 11
nreações = 3
neqs = 6 x 2 =12
n = 14-12 = 2
n=6
 2) INDETERMINAÇÃO CINEMÁTICA  quantidade 
de deslocamentos nodais desconhecidos.
ncinem.=2
ncinem.=0
ncinem.=9
ncinem.=9
Desprezando-se as deformações 
axiais:
ncinem.=4
(3 rotações + 1 translação)
 INDETERMINAÇÃO ESTÁTICA:
Nbarras = 12
Nreações = 9
Total = 21
Neqs = 6 nós x 3 = 18
nestát = 21-18 = 3
 INDETERMINAÇÃO CINEMÁTICA:
D, E, F  3 direções
cada nó 
ncinem. = 9
 INDETERMINAÇÃO ESTÁTICA:
4 cortes x 6
nestát=24
 INDETERMINAÇÃO CINEMÁTICA:
Nós E, F, G e H
(3 rotações + 3 translações cada)
ncinemát. = 4x6 = 24
 INDETERMINAÇÃO CINEMÁTICA:
 Excluindo-se as deformações axiais:
 4 barras verticais não alteram comprimento,
 4 barras horizontais não alteram comprimento.
 Retiram-se 8 translações em E, F, G e H, mas se 
mantém 4 translações no plano.
 Assim, 8 translações deixam de existir
 ncinemát. = 24 – 8 = 16
 INDETERMINAÇÃO ESTÁTICA:
 3 eqs. Equilíbrio – Fy, Mx, Mz
 1 reação incógnita – 1 grau externo
 1 corte – 3 graus internos
 nestát. = 4
 INDETERMINAÇÃO CINEMÁTICA
 B, C, G, F  3 deslocamentos cada x 4 =12
 A, D, E, H  2 deslocamentos cada x 4 = 8
 ncinemát. = 20
 Sempre que existirem relações lineares entre 
ações e deslocamentos;
◦ Material elástico-linear (Lei de Hooke);
◦ Pequenos deslocamentos;
◦ Não existe interação entre força normal e momento 
fletor.
 Estrutura é linear e elástica.
'''
'''
'''
'''
DDD
RRR
MMM
RRR
BBB
BBB
AAA




 Equação de deslocamento:
◦ F flexibilidade da mola
 Equação de ação:
◦ S rigidez da mola
AFD 
DSA 
11  S
S
F 1
1  F
F
S
 Flexibilidade  deslocamento
produzido por carga unitária.
 Rigidez  ação necessária para 
produzir deslocamento unitário
EI
L
F
48
3

3
48
L
EI
S 
3332313
2322212
1312111
DDDD
DDDD
DDDD



3332321313
3232221212
3132121111
AFAFAFD
AFAFAFD
AFAFAFD



Equações de deslocamento:
Para obtê-los, aplicam-se cargas 
unitárias separadamente na 
direção dos deslocamentos 
incógnitos.
3332321313
3232221212
3132121111
DSDSDSA
DSDSDSA
DSDSDSA



Equações de ação:
Para obtê-los, são impostos 
deslocamentos unitários nas 
direções dos deslocamentos 
incógnitos, impondo-se os 
demais deslocamentos iguais a 
zero.
Coeficientes de Flexibilidade:
Coeficientes de Rigidez:
Coeficientes de Flexibilidade:
Coeficientes de Rigidez:
nnnnnn
nn
nn
AFAFAFD
AFAFAFD
AFAFAFD



...
...............
...
...
2211
22221212
12121111
n ações atuantes, equações dos deslocamentos:






































nnnnn
n
n
n A
A
A
FFF
FFF
FFF
D
D
D
...
...
............
...
...
...
2
1
21
22221
11211
2
1
 [D]  matriz de deslocamento (n x1)
 [F]  matriz de flexibilidade (n x n )
 [A]  matriz de ação ou carga (n x 1)
 Fij  coeficientes de Flexibilidade
◦ i=j  coeficientes de flexibilidade diretos
◦ i≠j  coeficientes de flexibilidade cruzados






































nnnnn
n
n
n A
A
A
FFF
FFF
FFF
D
D
D
...
...
............
...
...
...
2
1
21
22221
11211
2
1
ou [D]=[F].[A]
nnnnnn
nn
nn
DSDSDSA
DSDSDSA
DSDSDSA



...
...............
...
...
2211
22221212
12121111
n ações atuantes, equações das ações:






































nnnnn
n
n
n D
D
D
SSS
SSS
SSS
A
A
A
...
...
............
...
...
...
2
1
21
22221
11211
2
1
 [S]  matriz de rigidez (n x n )
 Sij  coeficientes de rigidez
◦ i=j  coeficientes de rigidez diretos
◦ i≠j  coeficientes de rigidez cruzados
 i-ésima ação devido ao valor unitário do j-
ésimo deslocamento






































nnnnn
n
n
n D
D
D
SSS
SSS
SSS
A
A
A
...
...
............
...
...
...
2
1
21
22221
11211
2
1
ou [A]=[S].[D]
 Para uma estrutura particular:
◦ Para um conjunto de ações D1:
◦ Para um conjunto de ações D2: 
           DFAAFDSe  1        11   SFeFS     111 AFD      222 DSA          111
1
11 DSDFA 

         222
1
22 AFASD 

 Matrizes de flexibilidade e rigidez 
dependem da natureza da estrutura e do 
conjunto de ações e deslocamentos em 
consideração.
Coeficientes de Flexibilidade:
EI
L
F
3
3
11 
EI
L
F
2
2
21 
Coeficientes de Flexibilidade:
EI
L
F 22
EI
L
F
2
2
12 
Equações de deslocamento:
21
2
2
2
2
1
3
1
2
23
A
EI
L
A
EI
L
D
A
EI
L
A
EI
L
D


 













EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
F
2
23
2
23
Matriz de Flexibilidade:
Coeficientes de Rigidez:











 

L
x
M
L
xL
MxM BA)(
MA
MB
MA
MB
MEIv "
21
332
1
22
6
6/2/
2
2/
'
"
cxc
L
x
M
L
xLx
MEIv
c
L
x
M
L
xLx
MEIv
L
x
M
L
xL
MEIv
BA
BA
BA











 












 












 

0)0('
0)0(


v
v
0
0
2
1


c
c
MA
MB
  










 

L
L
M
L
LLL
MEILv BA
6
6/2/
)(
332













662
222 L
M
LL
MEI BA
63
22 L
M
L
MEI BA 











 

L
L
M
L
LLL
MLv BA
2
2/
00)('
22

22
0
L
M
L
M BA
)1(BA MM 
63
22 L
M
L
MEI AA 
BA M
L
EI
M 


2
6Impondo-se um deslocamento  para cima no apoio B e se aplicando as condições de contorno:
 0AzM 



 0
66
22
LR
L
EI
L
EI
B0 LRMM BBA3
12
L
EI
RB


  0yF


0
12
3 A
R
L
EI
3
12
L
EI
RA













 

L
L
M
L
LLL
MLv BA
6
6/2/
00)(
332













662
0
222 L
M
LL
M BA

6
1
3
1
BA MM
  










 

L
L
M
L
LLL
MEILv BA
2
2/
)('
22

2
2
2
L
M
L
MEI AA
L
EI
M A
2
 )1(2 AB MM 
L
EI
M B
4

Impondo-se uma rotação  anti-horária no apoio 
B e se aplicando as condições de contorno:
  0AzM  0
42
LR
L
EI
L
EI
B

0 LRMM BBA 2
6
L
EI
RB


  0yF
 0
6
2 A
R
L
EI
2
6
L
EI
RA


 Tabela - ações de engastamento produzidas 
por deslocamentos de extremidade
Coeficientes de Rigidez:
311
12
L
EI
S 
21221
6
L
EI
SS 
L
EI
S
4
22  212
6
L
EI
S 
Equações de ação:
2122
22131
46
612
D
L
EI
D
L
EI
A
D
L
EI
D
L
EI
A


 













L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
S
46
612
2
23
Matriz de Rigidez:
         IFSSF 






10
01
    


























L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
SF
46
612
2
23
2
23
2
23

























































1
46
2
0
612
2
0
612
2
1
6
2
12
3
2
2
23
2
23
2
2
2
3
3
L
EI
EI
L
L
EI
EI
L
L
EI
EI
L
L
EI
EI
L
L
EI
EI
L
L
EI
EI
L
L
EI
EI
L
L
EI
EI
L
 [F] e [S] são inversas entre si.
 Os carregamentos são proporcionais, ou seja, 
partem de zero e são incrementados de modo 
em que todos atingem o valor máximo 
simultaneamente.
 nn
nn
DADADA
DADADAW


...
2
1
2
1
...
2
1
2
1
2211
2211
         ADDAW TT 
2
1
2
1
A
D
W
   TFF 
 O deslocamento correspondente à i-ésima ação e 
causado pelo valor unitário da j-ésima ação é igual ao 
deslocamento correspondente à j-ésima ação e causado 
pelo valor unitário da i-ésima ação
jiij FF (matriz simétrica)
           
                 AFAWADWeFADcomo
AFAWAFDeDAWcomo
TTTTTT
TT


2
1
2
1
2
1
][][][
2
1
   TSS 
 A i-ésima ação devida a um valor unitário do j-ésimo
deslocamento é igual à j-ésima ação devida ao valor 
unitário do i-ésimo deslocamento.
jiij SS (matriz simétrica)
           
                 DSDWDAWeSDAcomo
DSDWDSAeADWcomo
TTTTTT
TT


2
1
2
1
2
1
][][][
2
1