aula 6 treliça

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MÉTODOS NUMÉRICOS
PARA ENGENHARIA CIVIL
Prof.ª Me. Suise C. Carmelo de Almeida
suise.almeida@estacio.br
MEF aplicado a TRELIÇAS
• Treliças são estruturas reticuladas formadas por elementos retos,
também chamados de elementos de barra, conectados a nós e submetidos
somente a forças axiais.
• A modelagem das treliças é feita a partir de um elemento de barra.
• Assume-se, ainda, que o material dos elementos é linear-elástico e
obedece à Lei de Hooke e que suas deformações são pequenas.
Elemento de barra
Nó
ELEMENTOS DE TRELIÇA
• Cada barra de uma treliça poderá ser identificada naturalmente como um
elemento finito;
• É um elemento unidimensional, de eixo reto (direção x),
capaz de resistir à ação de forças aplicadas na direção de
seu eixo;
• A geometria da seção transversal pode variar, desde que
o eixo permaneça reto.
ELEMENTOS DE TRELIÇA
• Geometria e Carregamento
Elementos de treliça podem ser representados por um segmento de reta i-j,
na direção de seu eixo. Podem ser considerados os deslocamentos
(translações) u, v e w, nos eixos x, y e z respectivamente.
i
j
l
z, w
y, v
x, u
ELEMENTOS DE TRELIÇA
• Geometria e Carregamento
As forças externas são aplicadas na direção do eixo do elemento, podendo
ser concentradas nas extremidade (Fi e Fj), ou distribuídas ao longo do eixo
(F(x)):
i
j
z, w
y, v
x, u
Fi
F (x)
Fj
Formulação de E. F. para Estrutura de Treliça
• A formulação de elementos de treliça através no Método de Elementos Finitos (MEF) consiste
em estabelecer os deslocamentos em certos pontos do elemento como parâmetros
incógnitos, e substituir a função u(x) exata por uma função u(x) aproximada, escrita a
partir desses parâmetros.
• Esses parâmetros podem ser chamados de deslocamentos nodais, graus de liberdade nodais
ou incógnitas nodais.
𝑢 𝑥 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎 ≈ 𝑢 x aprox. = ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑁𝑂𝑆
𝑁𝑖 û𝑖
NNOS: Número de nós do elemento
û𝒊 : deslocamento nodal do nó i
𝑵𝒊 : função de interpolação ou de forma
A aproximação de elementos finitos tem a forma:
Entendendo a função de interpolação polinomial
Quando a função que descreve a deformação do elemento é demasiada complexa, faz-se
necessário criar uma aproximação que seja mais simples de resolver, neste caso, com base
em alguns pontos notáveis (pares ordenados xn, yn), gera-se uma função polinomial, que é
uma função mais simples de se trabalhar, que representará o comportamento desses pontos.
x x
yy F (x) P (n)
EXATO APROXIMADO
• As funções de interpolação são tais que no nó i, Ni=1 e nos demais nós do elemento 
Ni=0.
• Trabalharemos com funções de interpolação polinomial, e o grau desses polinômios 
dependerá do número de nós do elemento, segundo a regra: G=NNOS – 1.
[N]=[N1 N2 ... NNOS] e {û} =
û𝟏
û𝟐
⋮
û𝑵𝑵𝑶𝑺
Formulação de E. F. para Estrutura de Treliça
𝒖 𝒙 = 𝑵 𝟏𝐱𝐍𝐍𝐎𝐒 ෝ𝒖 𝑵𝑵𝑶𝑺𝒙𝟏
• [N] é a matriz de interpolação
• {û} é o vetor de deslocamento 
• Na análise estática de estruturas, o MEF trabalha com equações
matriciais portanto, torna-se necessário o conhecimento da matriz [K],
chamada de matriz de rigidez do elemento.
• A matriz de rigidez relaciona deslocamentos e forças nodais.
Formulação de E. F. para Estrutura de Treliça
i
j
z, w
y, v
x, u
Fi
F (x)
Fj
F1
x
1 2
û1
F2
û2
2 nós – interpolação linear
z
F1
x
1 4
û1
F2
û2
F3
û3
F4
û44 nós – interpolação cúbica
Equações Matriciais
• O método direto da rigidez é a implementação mais comum do MEF.
• O método matricial se baseia em estimar as componentes das relações de
rigidez para resolver as forças ou os deslocamentos com uso de um computador.
• As propriedades de rigidez do material são computadas em uma única equação
matricial que governa o comportamento interno da estrutura idealizada.
• Os dados que se desconhecem na estrutura são as forças e deslocamentos, que
podem ser determinados resolvendo esta equação.
• O método consiste em atribuir à estrutura de barra um objeto
matemático chamado matriz de rigidez, que relaciona os
deslocamentos de um conjunto de pontos da estrutura,
chamados nós, com as forças exteriores que são necessárias
aplicar para obter estes deslocamentos.
As componentes desta matriz são forças generalizadas associadas
a deslocamentos generalizados.
Equações Matriciais
A matriz de rigidez relaciona as forças nodais equivalentes e
deslocamentos sobre os nós da estrutura, mediante a equação:
Equações Matriciais
𝐹1+ 𝑅1
𝐹2+ 𝑅2
…
𝐹𝑛 + 𝑅𝑛 G
=
𝑘11 𝑘12 … 𝑘1𝑛
𝑘21 𝑘22 … 𝑘2𝑛
… … … …
𝑘𝑛1 𝑘𝑛2 … 𝑘𝑛𝑛 G
𝛿1
𝛿2
…
𝛿𝑛 G
• Fi são as forças nodais equivalentes associadas às forças exteriores aplicadas sobre a estrutura;
• Ri são as reações hiperestática inicialmente desconhecidas sobre a estrutura;
• 𝜹𝒊 são os deslocamentos nodais incógnitos da estrutura;
• n é o número de graus de liberdade da estrutura.
• G é o grau de interpolação
• O campo de deformação será:
Equações Matriciais
𝜺𝒙 =
𝛛𝒖
𝝏𝒙
= 𝑩 û
Onde [B] é a matriz de deformação:
𝑩 =
𝛛 𝑵
𝝏𝒙
=
𝝏𝑵𝟏
𝝏𝒙
𝝏𝑵𝟐
𝝏𝒙
…
𝝏𝑵 𝑵𝑵𝑶𝑺
𝝏𝒙
Conhecidas as deformações, as tensões podem ser obtidas a partir de:
𝝈𝒙 = 𝑬 . 𝜺𝒙 =𝑬 . 𝜺𝒙
𝑻 = û 𝑻 𝐁 𝑻𝐄
• A energia de deformação elástica também pode ser expressa em termos
da matriz de rigidez mediante a relação:
Equações Matriciais
𝐸𝑑𝑒𝑓 =
1
2
𝛿. 𝐾 𝛿 =
1
2
෍
𝑖,𝑗
𝑘𝑖𝑗 𝛿𝑖 𝛿𝑗𝑼 =
𝟏
𝟐
û 𝑻 𝑲 û ou
Onde [K] é a matriz de rigidez dada por:
𝑲 = 𝟎׬
𝒍
𝑩 𝑻𝑬 𝑩 𝑨𝒙 𝒅𝒙
• As forças nodais decorrentes dos carregamentos aplicados à estrutura
podem ser descritas como:
Equações Matriciais
O Trabalho realizado pelas forças nodais (concentradas ou distribuídas) é:
𝑭 = 𝑭 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 + 𝑭 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒊𝒅𝒂 =
𝑭𝟏
𝑭𝟐
⋮
𝑭𝑵𝑵𝑶𝑺
𝐖𝐞𝐱𝐭 =
𝟏
𝟐
û 𝑻 𝑭
• Por fim, igualando a Energia de Deformação e o Trabalho das Forças
Externas, chega-se à equação que descreve a Relação Deslocamentos-
Forças Nodais:
Equações Matriciais
[𝑲] û = 𝑭
G
=
𝑘11 𝑘12 … 𝑘1𝑛
𝑘21 𝑘22 … 𝑘2𝑛
… … … …
𝑘𝑛1 𝑘𝑛2 … 𝑘𝑛𝑛 G
𝛿1
𝛿2
…
𝛿𝑛 G
𝐹1 + 𝑅1
𝐹2 + 𝑅2
…
𝐹𝑛 + 𝑅𝑛
DESCRIÇÃO DO MÉTODO
• O método matricial requer atribuir a cada barra elástica da estrutura
uma matriz de rigidez, chamada matriz de rigidez do elemento.
• A partir do conjunto de matrizes de cada elemento, mediante uma matriz
de conectividade, que estabelece a forma como cada barra é conectada
com outra através dos nós, é obtida uma matriz de rigidez global, que
relaciona os deslocamentos dos nós com as forças equivalentes sobre os
mesmos.
MÉTODO MATRICIAL
DESCRIÇÃO DO MÉTODO
• Igualmente, a partir das forças aplicadas sobre cada barra se constrói o
chamado vetor de forças nodais equivalentes que depende das ações
externas sobre a estrutura.
• Junto com estas forças devem ser consideradas as possíveis reações sobre a
estrutura em seus apoios (cujos valores são incógnitos).
MÉTODO MATRICIAL
DESCRIÇÃO DO MÉTODO
• Finalmente se constrói um sistema linear de equações, para os deslocamentos e as
incógnitas.
• O número de reações incógnitas e deslocamentos incógnitos depende do número de
nós: é igual a 3N para problemas bidimensionais, e igual a 6N para um problema
tridimensional.
• Este sistema pode ser sempre dividido em dois subsistemas de equações
desacopladas tal que:
• Subsistema 1. Que agrupa todas as equações lineares do sistema original que
contém somente deslocamentos incógnitos.
• Subsistema 2. Que agrupa o resto das equações, e que uma vez resolvido o
subsistema 1 e substituídos seus valores no subsistema 2 permite encontrar os
valores das reações incógnitas.
MÉTODO MATRICIAL
• Resolvido o subsistema 1 que dá os deslocamento, é substituído o valor destes
no subsistema 2, que é trivial de resolver.
• Finalmente, a partir das reações, forças nodais equivalentes e deslocamentos
são calculados os esforço nos nós ou uniões das barras, a partir dos quais
podem ser determinados os esforços em qualquer ponto da estruturae portanto
suas tensões máximas, que permitem dimensionar adequadamente todas as
seções da estrutura.
DESCRIÇÃO DO MÉTODO
MÉTODO MATRICIAL
• Para construir a matriz de rigidez da estrutura é necessário atribuir previamente a
cada barra individual (elemento) uma matriz de rigidez elementar. Esta matriz
depende exclusivamente de:
• as condições de ligação em seus dois nós extremos;
• as características da seção transversal da barra: área, momento de inércia de área
e características geométricas gerais como comprimento da barra, curvatura, etc.
• número de graus de liberdade por nó, que depende de tratar-se de problemas
bidimensionais ou tridimensionais.
MÉTODO MATRICIAL
DESCRIÇÃO DO MÉTODO
Barra reta bidimensional com transmissão de 
momentos
• Um nó onde se unem duas barras é denominado rígido ou engastado se o
ângulo formado pelas duas barras após a deformação não muda em ralação ao
ângulo que formavam antes da deformação.
• Apesar de estarem impossibilitadas de mudar o ângulo entre as barras, as
duas barras em conjunto podem rotacionar em relação ao nó, mantendo
porém o ângulo formado.
• Para barras unidas rigidamente em seus dois extremos a matriz de rigidez
elementar que representa adequadamente seu comportamento é expressa por:
Barra reta bidimensional com transmissão de 
momentos
Sendo aqui L,A,I, as 
magnitudes geométricas 
(comprimento, área e 
momento de inércia) e 
E o módulo de 
elasticidade longitudinal 
(módulo de Young).
Exemplo Método Matricial aplicado a uma Viga
PARA CADA NÓ TEM-SE 2 GRAUS DE LIBERDADE
Exemplo Método Matricial aplicado a uma Viga
1
2
3
4
i j
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
K =
𝑘11 𝑘12 𝑘13 𝑘14
𝑘21 𝑘22 𝑘23 𝑘24
𝑘31 𝑘32 𝑘33 𝑘34
𝑘41 𝑘42 𝑘43 𝑘44
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
K =
𝑘11 𝑘12 𝑘13 𝑘14
𝑘21 𝑘22 𝑘23 𝑘24
𝑘31 𝑘32 𝑘33 𝑘34
𝑘41 𝑘42 𝑘43 𝑘44
𝜹𝒊 = 𝟏
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
K =
𝑘11 𝑘12 𝑘13 𝑘14
𝑘21 𝑘22 𝑘23 𝑘24
𝑘31 𝑘32 𝑘33 𝑘34
𝑘41 𝑘42 𝑘43 𝑘44
𝜹𝒊 = 𝟏 𝜽𝒊 = 𝟏
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
K =
𝑘11 𝑘12 𝑘13 𝑘14
𝑘21 𝑘22 𝑘23 𝑘24
𝑘31 𝑘32 𝑘33 𝑘34
𝑘41 𝑘42 𝑘43 𝑘44
𝜹𝒊 = 𝟏 𝜽𝒊 = 𝟏 𝜹𝒋 = 𝟏
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
K =
𝑘11 𝑘12 𝑘13 𝑘14
𝑘21 𝑘22 𝑘23 𝑘24
𝑘31 𝑘32 𝑘33 𝑘34
𝑘41 𝑘42 𝑘43 𝑘44
𝜹𝒊 = 𝟏 𝜽𝒊 = 𝟏 𝜹𝒋 = 𝟏 𝜽𝒋 = 𝟏
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
K =
𝑘11 𝑘12 𝑘13 𝑘14
𝑘21 𝑘22 𝑘23 𝑘24
𝑘31 𝑘32 𝑘33 𝑘34
𝑘41 𝑘42 𝑘43 𝑘44
𝜹𝒊 = 𝟏 𝜽𝒊 = 𝟏 𝜹𝒋 = 𝟏 𝜽𝒋 = 𝟏
OBTER TODOS 
OS 
COEFICIENTES 
QUE COMPÕE 
A MATRIZ
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
K =
𝑘11 𝑘12 𝑘13 𝑘14
𝑘21 𝑘22 𝑘23 𝑘24
𝑘31 𝑘32 𝑘33 𝑘34
𝑘41 𝑘42 𝑘43 𝑘44
𝜹𝒊 = 𝟏
Procedimento de Cálculo da 1ª Coluna da Matriz de Rigidez:
Coeficientes a serem obtidos:
k11, k21, k31 e k41
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
Procedimento de Cálculo da 1ª Coluna da Matriz de Rigidez:
1
k11 k31
k41
k21
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
Procedimento de Cálculo da 1ª Coluna da Matriz de Rigidez:
1
k11 k31
k41
k21
MÉTODO DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
Procedimento de Cálculo da 1ª Coluna da Matriz de Rigidez:
1
k11 k31
k41
k21
MÉTODO DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
X
Momento Fletor:
M = k11 . x – k21
𝐄𝐈
𝒅𝟐𝒚
ⅆ𝒙𝟐
= 𝒌𝟏𝟏𝒙 − 𝒌𝟐𝟏
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
Procedimento de Cálculo da 1ª Coluna da Matriz de Rigidez:
Momento Fletor:
𝐄𝐈
𝒅𝟐𝒚
ⅆ𝒙𝟐
= 𝒌𝟏𝟏𝒙 − 𝒌𝟐𝟏
Integra 2 vezes
𝐄𝐈
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒌𝟏𝟏𝒙
𝟐
𝟐
− 𝒌𝟐𝟏𝒙 + 𝑪𝟏 ( I )
𝐄𝐈 𝒚 =
𝒌𝟏𝟏𝒙
𝟑
𝟔
−
𝒌𝟐𝟏𝒙
𝟐
𝟐
+ 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐 ( II )
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
Procedimento de Cálculo da 1ª Coluna da Matriz de Rigidez:
Condições de Contorno: Tem-se um deslocamento unitário no nó i e o restante 
das condições de contorno é igual a zero.
1
k11 k31
k41
k21
Nó i: x=0
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟎 𝒚 = 𝟏( III ) (IV)
Nó j: x= l
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟎
𝒚 = 𝟎(V) (VI)
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
Procedimento de Cálculo da 1ª Coluna da Matriz de Rigidez:
𝐄𝐈
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒌𝟏𝟏𝒙
𝟐
𝟐
− 𝒌𝟐𝟏𝒙 + 𝑪𝟏( I )
𝐄𝐈 𝒚 =
𝒌𝟏𝟏𝒙
𝟑
𝟔
−
𝒌𝟐𝟏𝒙
𝟐
𝟐
+ 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐( II )
Para x=0𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟎
𝒚 = 𝟏( III ) (IV)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟎 𝒚 = 𝟎(V) (VI) Para x= l
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
Procedimento de Cálculo da 1ª Coluna da Matriz de Rigidez:
𝐄𝐈
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒌𝟏𝟏𝒙
𝟐
𝟐
− 𝒌𝟐𝟏𝒙 + 𝑪𝟏( I )
𝐄𝐈 𝒚 =
𝒌𝟏𝟏𝒙
𝟑
𝟔
−
𝒌𝟐𝟏𝒙
𝟐
𝟐
+ 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐( II )
Para x=0𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟎
𝒚 = 𝟏( III ) (IV)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟎 𝒚 = 𝟎(V) (VI) Para x= l
COMBINAR AS EQUAÇÕES 
PARA DETERMINAR AS 
CONSTANTES DE 
INTEGRAÇÃO E OS 
COEFICIENTES DA MATRIZ 
DE RIGIDEZ
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
Procedimento de Cálculo da 1ª Coluna da Matriz de Rigidez:
( II ) e (IV), tem-se: C2=EI (b)
( I ) e ( III ), tem-se: C1=0 (a)
( I ) e (V), tem-se:
( II ) e (VI), tem-se:
𝒌𝟐𝟏 =
𝒌𝟏𝟏
𝟐
× 𝒍 (c)
𝒌𝟏𝟏 =
𝟏𝟐𝑬𝑰
𝒍𝟑
1º Coeficiente obtido(d)
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
Procedimento de Cálculo da 1ª Coluna da Matriz de Rigidez:
𝒌𝟐𝟏 =
𝒌𝟏𝟏
𝟐
× 𝒍Substituindo (d) 𝒌𝟏𝟏 =
𝟏𝟐𝑬𝑰
𝒍𝟑
2º Coeficiente obtido
em (c) obtém-se:
𝒌𝟐𝟏 =
𝟔𝑬𝑰
𝒍𝟐
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
Procedimento de Cálculo da 1ª Coluna da Matriz de Rigidez:
1 k11 + k31= 0
k31
k41
k21
𝚺𝐅𝐲 = 𝟎
k31= - k11 
k31= 
−𝟏𝟐𝑬𝑰
𝒍𝟑
3º Coeficiente obtido
k11
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
Procedimento de Cálculo da 1ª Coluna da Matriz de Rigidez:
1 K31 . l+ k41 +k21= 0
k31
k41
k21
𝚺𝑴𝒊 = 𝟎
k41= 
𝟔𝑬𝑰
𝒍𝟐
4º Coeficiente obtido
k11
Matriz de Rigidez do Elemento Viga
1ª Coluna da Matriz de Rigidez:
K =
𝑘11 𝑘12 𝑘13 𝑘14
𝑘21 𝑘22 𝑘23 𝑘24
𝑘31 𝑘32 𝑘33 𝑘34
𝑘41 𝑘42 𝑘43 𝑘44
𝟏𝟐𝑬𝑰
𝒍𝟑
𝟔𝑬𝑰
𝒍𝟐
𝟔𝑬𝑰
𝒍𝟐
−𝟏𝟐𝑬𝑰
𝒍𝟑
Exercício Proposto 
ENTREGAR dia 22/10/2019 (INDIVIDUAL)
Seguindo o procedimento de Cálculo descrito anteriormente
calcule as demais colunas da Matriz de Rigidez do elemento Viga.
1
k32
k42
k22
k12
2ª Coluna: Deslocamento 
imposto é um deslocamento 
angular unitário no nó i.i j
Exercício Proposto 
ENTREGAR dia 22/10/2019 (INDIVIDUAL)
Seguindo o procedimento de Cálculo descrito anteriormente
calcule as demais colunas da Matriz de Rigidez do elemento Viga.
3ª Coluna: Deslocamento 
imposto é um deslocamento 
linear unitário no nó j.
1
k43
k23
k33k13
i j
Exercício Proposto 
ENTREGAR dia 22/10/2019 (INDIVIDUAL)
Seguindo o procedimento de Cálculo descrito anteriormente
calcule as demais colunas da Matriz de Rigidez do elemento Viga.
1
k34
k44
k24
k14
4ª Coluna: Deslocamento 
imposto é um deslocamento 
angular unitário no nó j.i j
Resultado
K =
𝑘11 𝑘12 𝑘13 𝑘14
𝑘21 𝑘22 𝑘23 𝑘24
𝑘31 𝑘32 𝑘33 𝑘34
𝑘41 𝑘42 𝑘43 𝑘44
𝟏𝟐𝑬𝑰
𝒍𝟑
𝟔𝑬𝑰
𝒍𝟐
𝟔𝑬𝑰
𝒍𝟐
−𝟏𝟐𝑬𝑰
𝒍𝟑
𝟔𝑬𝑰
𝒍𝟐
−𝟏𝟐𝑬𝑰
𝒍𝟑
𝟔𝑬𝑰
𝒍𝟐
𝟒𝑬𝑰
𝒍
𝟒𝑬𝑰
𝒍
𝟐𝑬𝑰
𝒍
−𝟔𝑬𝑰
𝒍𝟐
−𝟔𝑬𝑰
𝒍𝟐
𝟏𝟐𝑬𝑰
𝒍𝟑
−𝟔𝑬𝑰
𝒍𝟐
−𝟔𝑬𝑰
𝒍𝟐
𝟐𝑬𝑰
𝒍
Resultado Simplificado
K =
𝐸𝐼
𝑙3
×
12 6𝑙 − 12 6𝑙
6𝑙 4𝑙2 − 6𝑙 2𝑙3
−12 − 6𝑙 12 − 6𝑙
6𝑙 2l2 − 6l 4l2