Séries perpetuas, Gradientes, variáveis

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Séries Perpetuas, Séries Gradientes, Séries Variáveis 
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Aluno: Gabriel Bitencourt Medeiros
Série Perpétua
Existem situações em que o número de capitais de uma série uniforme tende a infinito,constituindo o que chamamos de SERIE PERPÉTUA.
Paraobtermos o valor presente de uma série perpétua basta fazermos
n→∞ nas fórmulas que fornecem o valor presente das séries uniformes.
Assim, para uma série postecipada:
VP - limR 1 (1+i)-n _ R
n-∞ i i
se a série for antecipada:
VP - lim R(1+i) 1 (1+i)-n_ R 1+i
n→∞ i i
EXEMPLO:Durante 10 anos um investidor pretende depositar mensalmente uma certa quantia para, após o término dos depósitos, ter uma renda perpétuade $ 2000 por mês. Considere a convenção de fim de período e juros de 1% a.m.
Capital = 2000/i = 2000/0,01=200000
Parcela = 200000/((1,01)^120-1)/0,01=
=869,4518
Séries Gradientes
As sériesgradiente, devido a suas características são empregadas em casos onde haja um aumento do valor a ser pago (ou recebido) durante o tempo. Caso esse acréscimo de valor possa ser considerado dentro dos termos da série ela será aplicada para simplificar fluxos, permitindo cálculos de equivalência em fluxos de caixa como vimos anteriormente. Um exemplo de aplicação comum é para estimar despesas com manutenção, em especial em equipamentos mecânicos, que com o tempo irão requerer maior desembolso em manutenção para funcionamento adequado.
Analogamente ao apresentado até aqui, para encontrar uma relação de equivalência, pode-se utilizar as fórmulas abaixo, através da consulta das tabelas financeiras. Para relacionar a série gradiente com valor presente, parcelas ou valor futuro podemos fazer:
P = G (P/G, i%, n)
A = G (A/G, i%, n)
F = G (F/G, i%, n)
Formula série Gradiente:
Exemplo:
Pode-se definir uma série uniforme de pagamentos como uma sucessão de recebimentos, desembolsos ou prestações, de mesmo valor, representados por R, divididos regularmente num período de tempo. O somatório do valor acumulado de vários pagamentos, montante, é calculado pela expressão mostrada abaixo e representado no fluxo de caixa da figura 1. Este somatório é deduzido a partirda equação da capitalização composta VF=VP(1+i)npara o cálculo do montante de cada pagamento R. Trata-se, portanto, do cálculo da soma dos termos de uma progressão geométrica limitada, de razão q = 1 + i.
a última parcela coincide com o valor futuro (montante) e que a primeira parcela é paga no momento 1. O momento zero corresponde a hoje. Esse tipo de série é chamado de série de termos vencidos, onde a primeira parcela não é efetuada hoje.
Situação Problema:
Uma pessoa deposita mensalmente R$ 500,00numa conta especial particular. Qual será o saldo daqui a 2 anos, para uma remuneração de 0,8 % a.m. concedida pelo banco?
Solução:
R = 500 (valor da parcela mensal)
i = 0,8% (taxa de juro mensal) para fins de cálculo 0,008
n = 2 anos o que corresponde a 24 parcelas mensais
Utilizando a expressão (1):
VF = 500.[(1+ 0,008)24-1] / 0,008 = 13.171,58
Série Variáveis
São séries em que os termos não são todos iguais,ou seja, não serão uniformes. A esse tipo desérie chamamos de Série Variável
.
Veja um exemplo:
100 - valores negativos simbolizam saídas financeiras do caixa de um
projeto, por exemplo
150 -valores positivos simbolizam entradas financeiras do caixa de um
projeto, por exemplo
9-Cada valor está referenciado a uma
data (momento).
Não poderemos empregar para as séries variáveis as fórmulas que estudamos para as séries uniformes.
É importante entender que a solução desses problemas demandará que cada termo da série seja tratado como uma série única.
Na maioria dos casos reais de análise de viabilidade financeira de projetos, iremos
encontrar fluxos de caixa que terão essa característica de uma série variável,
na qual as entradas e saídas financeiras do caixa são variáveis ao longo do ciclo de vida do projeto.
Valor presente de uma série variável
O que iremos fazer neste exemplo já se assemelha muito ao cálculo do Valor Presente Líquido (VPL) do fluxo de caixa de um projeto, quando estaremos interessadosem investigar a viabilidade financeira.
Vamos prosseguir no cálculo do Valor Presente da série variável, considerando uma taxa de juros de 1% ao mês para correção e atualização dos valores monetários em nossa linha do tempo.
Só podemos somar ousubtrair valores monetários se eles estiverem
referenciados a uma mesma data.
Na maioria das vezes, trazemos os valores futuros para a
data atual, ou seja, a data em que estaremos fazendo a análise de viabilidade financeira do projeto.
Valor Presente Líquido (VPL)
O “método do VPL” é uma das técnicas de análise de viabilidade financeira de um projeto que serão estudadas na aula seguinte. Por isso é importante que você já se familiarize com o ambiente de análise e com as terminologias utilizadas nesse tipo de estudo.
Taxa de Juros
Utilizando a terminologia de análise de viabilidade de projetos, podemos dizer esta mesma frase da seguinte forma: Iremos utilizar a taxa de 1% ao mês como taxa demínima atratividade para descontar o fluxo de caixa do projeto.
Data atual
Também, como já vimos, podemos dizer data presente, ou camada de data focal do problema.
VALOR NOMINAL(FV)
Iremos “trazer” cada valor nominal(valor na data do vencimento) da
data “em que se encontra” para a data “0”.
FÓRMULA
Para fazer essa conversão de um valor futuro e achar seu equivalente na data presente faremos o uso da fórmula PV = FV / (1 + i)n:
FV é o valor nominal do movimento financeiro do caixa na data em que ele ocorre, é um valor futuro;
PV, valor presente (na data atual) equivalente ao valor futuro FV.
Bibliografia:
https://profhubert.yolasite.com/resources/Apostila_Sele%C3%A7%C3%A3o_e_viabilidade_financeira_de_projetos.pdf
https://profhubert.yolasite.com/resources/Apostila_Sele%C3%A7%C3%A3o_e_viabilidade_financeira_de_projetos.pdf
http://economia.culturamix.com/medidas/relacoes-de-equivalencia-series-gradiente-e-perpetua
http://www.ufjf.br/andre_hallack/files/2009/08/matfin-091.pdf
http://www.forumconcurseiros.com/forum/forum/disciplinas/matem%C3%A1tica-financeira/11731-matem%C3%A1tica-financeira-rendas-perp%C3%A9tuas-e-saa