Teoria das Estruturas II (2)

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CCE0371 – TEORIA DAS ESTRUTURAS II 1 
Faculdades ESTÁCIO SC 
 1 
UNIDADE 2: ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
2.1 INTRODUÇÃO – MÉTODO DAS FORÇAS 
Entende-se por estrutura a parte da construção responsável pela estabilidade e 
pela resistência a ações externas. A estrutura submetida a ações externas deve tanto 
apresentar segurança quanto à ruptura dos materiais utilizados como também quanto à 
estabilidade global ou parcial de todos seus elementos; além disso deve demonstrar bom 
desempenho estrutural, no que diz respeito a deformações e durabilidade, de acordo com 
o fim e vida útil para a qual foi projetada. 
Definido o sistema construtivo e o tipo de material a ser utilizado, seja concreto 
armado ou protendido, madeira, aço, argamassa armada ou alvenaria estrutural, a 
primeira fase de um projeto estrutural é a Análise Estrutural. O objetivo geral da Análise 
Estrutural pode ser descrito como: 
• Dada uma estrutura, com características geométricas (geometria, dimensões) e 
mecânicas (vinculação, propriedades dos materiais) conhecidas, submetidas a certas 
ações, que podem ser tanto cargas (forças ou binários) como deformações impostas 
(recalques de apoio, deformações devido à variação de temperatura ou retração, ...), 
• Determinar os deslocamentos (translações e/ou rotações) de todos os pontos da 
estrutura; os esforços internos decorrentes das deformações produzidas por estes 
deslocamentos (esforço axial, cortante, de flexão e de torção) e determinar também 
as reações vinculares. 
A primeira etapa da Análise Estrutural consiste em estabelecer o modelo estrutural 
a ser adotado. As estruturas podem ser tratadas globalmente, ou divididas em diversos 
elementos. Com relação a suas dimensões, as estruturas podem ser classificadas em 
reticuladas, laminares e tridimensionais. 
A estrutura é reticulada quando uma dimensão predomina em relação às outras 
duas. São em geral denominadas barras, cujo eixo, que pode ser reto ou curvo, é muito 
mais longo do que as dimensões da seção transversal. 
A estrutura é laminar quando duas dimensões predominam em relação à terceira. 
Têm-se como exemplo as chapas, as paredes, as placas e as cascas, sendo sua 
espessura bem menor do que suas outras dimensões; 
A estrutura é tridimensional quando nenhuma direção é predominante. É o caso de 
blocos de fundação, alguns tipos de barragens, etc ... 
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As estruturas podem ainda ser classificadas em hipoestáticas, isostáticas 
(estaticamente determinadas) ou hiperestáticas (estaticamente indeterminadas). 
As estruturas são consideradas hipoestáticas quando seus movimentos de corpo 
rígido não são restringidos e elas não atingem, portanto, uma configuração de equilíbrio 
estável. As estruturas são consideradas isostáticas, quando são restringidas a 
movimentos de corpo-rígido e o número de incógnitas a determinar é igual ao número de 
equações de equilíbrio estático. E finalmente, elas são consideradas hiperestáticas 
quando são restringidas a movimentos de corpo-rígido e o número de incógnitas a 
determinar é maior do que o número de equações de equilíbrio estático. 
Será admitido nesta disciplina que as estruturas são lineares, ou seja, apresentam 
pequenos deslocamentos e deformações e são compostas de material elástico-linear. 
A maioria das estruturas utilizadas na prática é hiperestática ou estaticamente 
indeterminada. O grau de hiper-estaticidade da estrutura será definido no próximo item 
2.2. As estruturas hiperestáticas podem ser analisadas através de dois métodos clássicos 
da Análise Estrutural: Método das Forças e Método dos Deslocamentos, ou ainda por 
um método aproximado conhecido como Processo de Cross; estes métodos serão 
descritos brevemente no item 2.3. 
O objetivo geral desta disciplina é capacitar o aluno a analisar estruturas 
reticuladas hiperestáticas, com ênfase em estruturas planas, determinando seus esforços 
internos e deslocamentos generalizados. 
2.2 GRAU DE HIPERESTATICIDADE 
O grau de hiper-estaticidade de uma estrutura pode ser externo ou interno. O grau 
de hiper-estaticidade externo (ge) é dado por 
ge = r − e − nr, (2.1) 
sendo: 
r  número de reações, 
e  número de equações da estática e 
nr  número de equações provenientes de rótulas. 
Este último é expresso por 
nr = b −1 (2.2) 
 
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sendo: 
b  número de barras ligas à rótula. 
O grau de hiper-estaticidade interno (gi) é igual ao número de esforços internos 
necessários ao traçado de diagramas, conhecidas as reações. 
2.2.1 Estruturas externamente hiperestáticas 
 
2.2.2 Estruturas internamente hiperestáticas 
 
2.2.3 Estruturas externa e internamente hiperestáticas 
 
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2.3 MÉTODO DAS FORÇAS 
2.3.1 ESTRUTURAS EXTERNAMENTE HIPERESTÁTICAS 
2.3.1.1 Estruturas uma vez hiperestáticas (ge = 1) 
Seja uma viga engastada-apoiada como mostrado na Figura 2.1. Esta viga 
apresenta rigidez à flexão igual a EI e grau de hiper-estaticidade externo (ge) igual a 1. 
Para determinar os esforços internos desta estrutura pelo Método das Forças, é 
necessário determinar o seu sistema principal. A determinação deste sistema consiste na 
substituição das vinculações excedentes por suas respectivas forças reativas de tal modo 
que as condições de compatibilidade de deslocamentos sejam respeitadas. 
 
Fig. 2.1 – Viga engastada-apoiada 
A Figura 2.2 apresenta dois sistemas principais possíveis para a viga engastada e 
apoiada mostrada na Figura 2.1. A condição de compatibilidade para o sistema principal 
da Figura 2.2a é o deslocamento vertical nulo em B, enquanto que para o sistema principal 
da Figura 2.2b a rotação no ponto A que deve ser nula. 
 
Figura 2.2 - Sistemas principais com os respectivos hiperestáticos 
Supondo-se que a estrutura esteja sujeita a pequenas deformações, pode-se 
determinar o valor dos hiperestáticos pela superposição dos efeitos do carregamento 
externo e do hiperestático em questão (BEER e JOHNSTON 1982; POPOV 1978; 
TIMOSHENKO 1967). Adotando-se o sistema principal da Figura 2.2a, sabe-se que o 
deslocamento produzido por uma carga uniformemente distribuída em uma viga 
engastada (Figura 2.3b) é de 
∆𝐵
𝐶 = + 
𝑞.𝑙4
8𝐸𝐼
 (2.3) 
 
e que o deslocamento produzido na mesma estrutura por uma carga concentrada RB é 
de: 
∆𝐵
𝑅 = + 
𝑅𝐵.𝑙
3
3𝐸𝐼
 (2.4) 
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Figura 2.3 – Superposição de efeitos 
Sabendo-se que o deslocamento vertical no ponto B é nulo, têm-se 
∆𝐵 = ∆𝐵
𝐶 + ∆𝐵
𝑅 (2.5) 
𝑞.𝑙4
8𝐸𝐼
 − 
𝑅𝐵.𝑙
3
3𝐸𝐼
= 0 (2.6) 
𝑅𝐵 = 
3
8 
 𝑞𝑙 (2.7) 
Conhecida a reação em B, em seguida pode-se determinar os esforços internos, 
na estrutura, utilizando a viga isostática mostrada na Figura 2.4. 
 
Figura 2.4 – Sistema principal com o valor do hiperestático determinado 
A fim de formalizar o Método das Forças para o sistema uma vez indeterminado da 
Figura 2.1, adota-se o sistema principal da Figura 2.2a. Aplicando-se um carregamento 
unitário no ponto B, este se deslocará de B (Figura 2.5). Portanto, aplicando-se uma força 
RB, obter-se-á um deslocamento igual a (RB. B). 
 
Figura 2.5 - Deslocamento produzido por uma força unitária 
Chamando-se de 𝛿𝐵
𝐶, o deslocamento em B provocadopela carga uniformemente 
distribuída ∆𝐵
𝐶 , e chamando de 𝛿𝐵
𝑅 o deslocamento em B provocado pela carga 
concentrada unitária (Figura 2.5) tem-se 
𝛿𝐵
𝐶 + 𝑅𝐵 𝛿𝐵
𝑅 = 0 (2.8) 
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Logo: 
𝑅𝐵 = − 
𝛿𝐵
𝐶
𝛿𝐵
𝑅 
 (2.9) 
Neste curso, será adotada a convenção proposta por SUSSEKIND, sendo os 
hiperestáticos denominados de R1, R2, R3 ou X1, X2, X3... (incógnitas do problema) e os 
deslocamentos generalizados de ij. O índice “i” indica o local onde ocorre o deslocamento 
generalizado e o índice “j” indica a causa deste deslocamento. 
Os deslocamentos generalizados provocados pelo carregamento externo 
apresentarão o índice j igual a zero (i0). Portanto, para o exemplo da Figura 2.2a, o 
deslocamento na direção do hiperestático X1 provocado pelo carregamento externo é 
expresso por 10 e o deslocamento na direção do hiperestático X1 provocado pela força 
unitária é expresso por 11. 
 
Figura 2.6 - Decomposição dos efeitos das cargas e hiperestáticos sobre a viga 
O deslocamento no ponto B na direção do hiperestático 1 é nulo, portanto a 
condição de compatibilidade de deslocamentos é 
𝛿10 + 𝑋1 𝛿11 = 0 (2.10) 
Logo: 
𝑋1 = − 
𝛿10
𝛿11 
 (2.11) 
No exemplo da Figura 2.2a 
𝛿10 = − 
𝑞𝑙4
8𝐸𝐼
 (2.12) 
𝛿11 = 
1𝑙3
3𝐸𝐼
 (2.13) 
Substituindo os valores na equação acima, têm-se 
𝑋1 = − 
( − 
𝑞𝑙4
8𝐸𝐼
)
( 
1𝑙3
3𝐸𝐼
) 
 (2.14) 
𝑋1 = − 
3
8 
 𝑞𝑙 (2.15) 
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Outro sistema principal possível seria o da Figura 2.2b, na qual o hiperestático X1 
representa o momento no engaste A. 
 
Figura 2.7 - Sistema principal e hiperestático 
Sabe-se que a rotação no ponto A da viga engastada-apoiada (Figura 2.1) é nula. 
Portanto, a soma da rotação causada pela carga distribuída com a rotação causada pelo 
hiperestático X1 deve ser nula (Figura 2.8) (1= 0, ou seja, θA = 0). 
 
Figura 2.8 - Superposição dos efeitos do carregamento externo e do hiperestático 
Utilizando a nomenclatura proposta por SUSSEKIND e supondo que 1 é positivo 
no sentido de X1, obtém-se de tabelas que a rotação em A (ponto 1) produzida por uma 
carga distribuída (Figura 2.8b) é: 
𝛿10 = − 
𝑞𝑙3
24𝐸𝐼
 (2.16) 
e a rotação em 1 (ponto A) produzida pelo momento unitário aplicado em 1 (ponto 
A) é: 
𝛿11 = + 
1. 𝑙 
3𝐸𝐼
 (2.17) 
Utilizando-se a condição de compatibilidade de rotação, têm-se: 
𝛿10 + 𝑋1 𝛿11 = 0 (2.18) 
− 
𝑞𝑙3
24𝐸𝐼
 + 𝑋1 
1. 𝑙 
3𝐸𝐼
= 0 (2.19) 
 𝑋1 = 
𝑞 . 𝑙2
8
 (2.20) 
sendo X1 o momento reativo em A e o seu sinal positivo indica que o sentido 
arbitrado está correto. 
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Para serem determinados os esforços internos da estrutura, emprega-se o sistema 
principal utilizado. 
 
Cálculo das reações: 
𝑉𝐴 = 
𝑞. 𝑙
2
 + 
𝑞 . 𝑙2
8
𝑙
 = 
𝑞. 𝑙
2
 + 
𝑞. 𝑙
8
 
= 
5
8
 𝑞𝑙 
𝑉𝐵 = 
𝑞. 𝑙
2
 − 
𝑞 . 𝑙2
8
𝑙
 = 
𝑞. 𝑙
2
 − 
𝑞. 𝑙
8
 
= 
3
8
 𝑞𝑙 
Cálculo do momento máximo. 
O momento é máximo quando o esforço 
cortante é nulo: 
 
 
Tomando-se um segmento da viga e efetuando o equilíbrio das forças e momentos, 
têm-se: 
Σ𝐹𝑦 = 0 → 𝑉 = 𝑞𝑥 − 
3
8
 𝑞𝑙 = 0 → 𝑥 = 
3
8
 𝑙 
𝑀𝑚á𝑥
+ = (
3
8
 𝑞𝑙) . (
3
8
 𝑙) − (
𝑞
2
) . (
3
8
𝑙)
2
 
𝑀𝑚á𝑥
+ = 
9
128
 𝑞. 𝑙2 
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2.3.1.2 Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 2) 
Exemplo - Viga Engastada com 2 Apoios: 
A Figura 2.9 apresenta um exemplo de estrutura duas vezes hiperestática. O grau 
de hiper-estaticidade é determinado segundo o item 2.2 Esta estrutura apresenta cinco 
(05) reações externas: 3 reações verticais, 1 reação horizontal e um momento (Figura 
2.10). 
 
Figura 2.9 – Viga engastada com dois apoios 
O grau de hiper-estaticidade é determinado pela expressão: 
ge = r − e, (2.1) 
sendo: 
r  o número de reações e 
e  o número de equações da estática. Portanto o grau de hiper-estaticidade da 
viga mostrada na Figura 2.9 é 
ge = 5 – 3 = 2  como foi afirmado anteriormente. 
 
Figura 2.10 – Reações da viga 
A viga mostrada na Figura 2.9 apresenta diversos sistemas principais possíveis 
como ilustra a Figura 2.11. 
 
 
 
 
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Figura 2.11 – Sistemas principais possíveis da viga mostrada na Figura 2.9 
O sistema principal mostrado na Figura 2-11d costuma ser conveniente, 
especialmente quando o carregamento ou a rigidez são diferentes nos dois vãos. Este 
sistema apresenta condições de Compatibilidade de rotação similar ao Método dos Três 
Momentos. 
O sistema principal mostrado na Figura 2-11a apresenta a visualização mais fácil 
dos efeitos do carregamento e dos hiperestáticos (Figura 2-12) 
 
 
Figura 2.12 – Deformação do carregamento e dos hiperestáticos 
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As condições de compatibilidade de deslocamentos fornecem um sistema de duas 
equações e duas incógnitas: 
𝛿1 = 0  𝛿10 + 𝑋1 𝛿11 + 𝑋2 𝛿12 = 0 
 
𝛿2 = 0  𝛿20 + 𝑋1 𝛿21 + 𝑋2 𝛿22 = 0 
(2.21) 
 
(2.22) 
 
O sistema de equações pode ser reescrito como 
{
𝛿11 + 𝑋2 𝛿12 = − 𝛿10 
𝛿21 + 𝑋2 𝛿22 = − 𝛿20
 (2.23) 
que pode ser reescrito sob a forma matricial: 
[
𝛿11 𝛿12
𝛿21 𝛿22
] . {
𝑋1
𝑋2
} = − {
𝛿10
𝛿20
} (2.24) 
 𝛿 . 𝑋 = − 𝛿0 (2.25) 
 
Onde: 𝛿 é a matriz de flexibilidade, X é o vetor de esforços ou forças (incógnitas) e 𝛿0 é o 
vetor de deslocamento devido à ação do carregamento. 
Para se obter o vetor de incógnitas é necessário inverter a matriz de flexibilidade 
da estrutura: 
 𝑋 = − 𝛿
−1 . 𝛿0 (2.26) 
Sendo: 
 𝛿−1 = 𝐾, a matriz de rigidez da estrutura. 
Em geral, para vigas contínuas, é mais conveniente adotar o sistema principal 
mostrado na Figura 2.11d, conforme será visto no próximo item (exemplo). 
 
Exemplo - Viga Contínua com 3 Vãos 
Seja a viga contínua com três vãos, com dois graus de hiper-estaticidade e rigidez 
à flexão (EI) constante (Figura 2-13). 
 
Figura 2.13 – Deformação do carregamento e dos hiperestáticos 
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O sistema principal adotado para a resolução do problema é representado pela 
Figura 2.14. O sistema apresenta as rotações relativas entre as barras ligadas pelas 1 e 
2 como sendo nula. Destas condições resultam as equações de compatibilidades 
expressas por: 
𝛿1 = 𝜃𝐵
𝐸 − 𝜃𝐵
𝐷 = 0 
 
𝛿2 = 𝜃𝐶
𝐸 − 𝜃𝐶
𝐷 = 0 
(2.27) 
 
(2.28) 
 
 
Figura 2.14 – Sistema principal da viga contínua mostrada na Figura 2.13 
 
A Figura 2.15 apresenta os diagramas de esforços da situação 0 (M0) para o 
sistema principal da Figura 2.14. 
 
Figura 2.15 – Momentos fletores do sistema principal causados pelo carregamento 
A Figura 2.16 apresenta os diagramas de momentos devidos à um momento 
unitário aplicado na direção dos hiperestáticos X1. 
 
Figura 2.16 – Momentos fletores devido a um momento unitárioaplicado na direção do hiperestático X1 
 
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A Figura 2.17 apresenta os diagramas de momentos devidos à um momento 
unitário aplicado na direção dos hiperestáticos X2. Os momentos: 
 
Figura 2.17 – Momentos fletores devido a um momento unitário aplicado na direção do hiperestático X2 
Para se obter a rotação relativa na rótula 1, aplicam-se os binários unitários. Faz-
se o mesmo para a rótula 2. Portanto, para obter-se rotação relativa na rótula 1 devido ao 
carregamento 0, ou seja 10, utilizando PVT, basta fazer: 
 𝛿10 = ∫
𝑀1 . 𝑀2
𝐸𝐼
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
 . 𝑑𝑥 (2.29) 
visto que o esforço axial é nulo neste exemplo. Procede-se analogamente para determinar 
os demais coeficientes ij. 
O sistema de equações de compatibilidade é: 
𝛿10 + 𝑋1 𝛿11 + 𝑋2 𝛿12 = 0 
 
𝛿20 + 𝑋1 𝛿21 + 𝑋2 𝛿22 = 0 
(2.30) 
Para a determinação de 10 procede-se a combinação mostrada na Tabela 2.1, 
resultando: 
𝐸𝐼 . 𝛿10 = 
1
3
(3𝑚). (−1). (11,25) + 
1
6
(4𝑚). (1 + 0,5). (−1). (40) 
 
𝛿10 = − 
51,25
𝐸𝐼
 
(2.31) 
 
Tabela 2.1 – Combinação dos diagramas de momentos para o cálculo de 10 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
 
Combinação nula 
∫ 𝑀1 . 𝑀0 . 𝑑𝑥1 = 
1
3
 𝑙1 .
𝑙1
𝑀1 . 𝑀𝑚á𝑥 ∫ 𝑀1 . 𝑀0 . 𝑑𝑥2 = 
1
6
𝑙2 (1 + 𝛼).
𝑙2
𝑀1 . 𝑀0 
 
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Para a determinação de 20 procede-se a combinação mostrada na Tabela 2.2, 
resultando: 
𝐸𝐼 . 𝛿20 = 
1
3
(3𝑚). (−1). (22,5) + 
1
6
(4𝑚). (1 + 0,5). (−1) (40) 
 
𝛿20 = − 
62,5
𝐸𝐼
 (rad.) 
(2.32) 
Tabela 2.2 – Combinação dos diagramas de momentos para o cálculo de 20 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
Combinação nula 
 
 
∫ 𝑀2 . 𝑀0 . 𝑑𝑥2 = 
1
6
𝑙2 (1 + 𝛼).
𝑙2
𝑀2 . 𝑀0 ∫ 𝑀2 . 𝑀0 . 𝑑𝑥3 = 
1
3
 𝑙3 .
𝑙3
𝑀2 . 𝑀𝑚á𝑥 
 
Para a determinação de 11 procede-se a combinação mostrada na Tabela 2.3, 
resultando: 
𝐸𝐼 . 𝛿11 = 
1
3
(3𝑚). (−1). (−1) + 
1
3
(4𝑚). (−1). (−1) 
 
𝛿11 = 
7
3𝐸𝐼
 (rad/kN.) 
(2.33) 
Tabela 2.3 – Combinação dos diagramas de momentos para o cálculo de 11 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
 
Combinação nula 
∫ 𝑀1 . 𝑀1 . 𝑑𝑥1 = 
1
3
 𝑙1 .
𝑙1
𝑀1 . 𝑀1 ∫ 𝑀1 . 𝑀1 . 𝑑𝑥2 = 
1
3
𝑙2 .
𝑙2
𝑀1 . 𝑀1 
 
 
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Para a determinação de 12 = 21, procede-se a combinação mostrada na Tabela 2.4, 
resultando: 
𝐸𝐼 . 𝛿12 = 
1
3
(4𝑚). (−1). (−1) 
 
𝛿12 = 
2
3𝐸𝐼
 (rad/kN.m) 
(2.34) 
Tabela 2.4 – Combinação dos diagramas de momentos para o cálculo de 12 = 21 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
Combinação nula 
 
Combinação nula 
 
∫ 𝑀1 . 𝑀2 . 𝑑𝑥2 = 
1
6
𝑙2 .
𝑙2
𝑀1 . 𝑀2 
 
 
Para a determinação de 22 procede-se a combinação mostrada na Tabela 2.5, 
resultando: 
𝐸𝐼 . 𝛿22 = 
1
3
(4𝑚). (−1). (−1) + 
1
3
(3𝑚). (−1). (−1) 
 
𝛿22 = 
7
3𝐸𝐼
 (rad/kN.m) 
(2.35) 
Tabela 2.5 – Combinação dos diagramas de momentos para o cálculo de 22 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
Combinação nula 
 
 
∫ 𝑀1 . 𝑀1 . 𝑑𝑥1 = 
1
3
𝑙2 .
𝑙2
𝑀1 . 𝑀1 ∫ 𝑀1 . 𝑀1 . 𝑑𝑥2 = 
1
3
𝑙3 .
𝑙3
𝑀1 . 𝑀1 
 
 
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Faculdades ESTÁCIO SC 16 
Substituindo os deslocamentos generalizados na equação (2.30), obtém-se 
 
[
 
 
 
 − 51,25 +
7
3
𝑋1 + 
2
3
 𝑋2 = 0
− 62,5 +
2
3
𝑋1 + 
7
3
 𝑋2 = 0
 
 
(2.36) 
 
Onde: 
 X1 = 15,60 kN.m 
 
 X2 = 22,33 kN.m 
 
(2.37) 
 
(2.38) 
Os esforços podem ser obtidos a partir do sistema principal, isostático, empregando 
o princípio da superposição dos efeitos. 
 
 R = R0 + X1 . R1 + X2 . R2 
 
(2.39) 
 
 V = V0 + X1 . V1 + X2 . V2 
 
(2.40) 
 
 M = M0 + X1 . M1 + X2 . M2 
 
(2.41) 
Os valores máximos (e mínimos) do momento fletor correspondem aos pontos onde 
o esforço cortante muda de sinal. Portanto, é necessário conhecer as reações e, a partir 
delas, traçar o diagrama de esforço cortante da viga. As reações podem ser calculadas a 
partir dos trechos da viga contínua (Figura 2-18), cujos momentos fletores internos foram 
determinas a partir dos hiperestáticos. 
 
Como atividade didática, devem ser calculadas as reações nos apoios e concluídos 
os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores. 
 
Figura 2.18 – Trechos da viga contínua 
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EXERCÍCIOS: 
1. Para as estruturas abaixo, calcular as reações e represente os diagramas de 
ESFORÇO CORTANTE e MOMENTO FLETOR, para cada uma das vigas a seguir: 
 
 
2. Uma viga contínua de quatro vãos tem, à esquerda, uma parte em balanço como se vê 
na figura. Determinar as reações e traçar os diagramas dos esforços internos da viga, 
no espaço indicado da I1 = 4375 cm4 e I2 = 4102 cm4. 
 
 
 
 
 
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2.3.1.3 Estruturas três vezes hiperestáticas (ge = 3) 
Seja o pórtico plano bi-engastado mostrado na Figura 2-19, do qual deseja-se 
determinar os esforços internos e traçar os respectivos diagramas. Este pórtico apresenta 
6 reações devidas aos engastamentos em A e B, portanto o seu grau de hiperestaticidade 
(gh) é igual a 3. 
 
 
Figura 2.19 - Pórtico plano bi-engastado 
 
Um dos sistemas principais possíveis para o pórtico mostrado na Figura 2-19 é 
aquele mostrado pela Figura 2-20. 
 
 
Figura 2.20 - Sistema principal do pórtico mostrado na Figura 2.20 
As condições de compatibilidade do sistema principal da Figura 2-36 é 
deslocamentos horizontal e vertical e rotação nulos no ponto B, o que resulta 1= 0, 2= 0 
e 3= 0. 
Para determinar-mos esforços no ponto B, usamos o “princípio da superposição 
dos efeitos” das cargas sobre o sistema principal (isostático), segundo o esquema 
mostrado na Figura 2-21. Superpondo a contribuição de deslocamento dessas cargas e 
aplicando as condições de compatibilidade para o ponto B da estrutura real (Figura 2-19), 
obtém- se o sistema de equações: 
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𝛿1 = 𝛿10 + 𝑋1 𝛿11 + 𝑋2 𝛿12 + 𝑋3 𝛿13 = 0 
 
𝛿2 = 𝛿20 + 𝑋1 𝛿21 + 𝑋2 𝛿22 + 𝑋3 𝛿23 = 0 
 
𝛿3 = 𝛿3 + 𝑋1 𝛿31 + 𝑋2 𝛿32 + 𝑋3 𝛿33 = 0 
 
 
(2.42) 
 
 
Que na forma matriz é expresso como sendo: 
[
 
 
 
 
𝛿11 𝛿12 𝛿13 
𝛿21 𝛿22 𝛿23
𝛿31 𝛿32 𝛿33 ]
 
 
 
 
 .
{
 
 
 
 
𝑋1
𝑋2
𝑋3}
 
 
 
 
 = − 
{
 
 
 
 
𝛿10
𝛿20
𝛿30}
 
 
 
 
 
 
 δ . X = − δ0 ∴ X = −𝛿
−1 . 𝛿𝑜. 
 
(2.25) 
 
Onde  é a matriz de flexibilidade, X é o vetor das forças (incógnitas) e 0 é vetor 
de deslocamento devido ao carregamento (conhecidos). 
 
 
Figura 2-21: Efeitos devidos ao carregamento atuante na Figura 2-20 
Conforme foi visto anteriormente, os coeficientes ij podem ser obtidos pelo 
Princípio dos Trabalhos Virtuais. Para o pórtico plano, desprezando esforço porcisalhamento, tem-se: 
𝛿𝑖𝑗 = ∫
𝑀𝑖 ̅̅ ̅̅ . 𝑀𝑗
𝐸𝐼
𝑙
. 𝑑𝑥 + ∫
𝑁𝑖 ̅̅ ̅. 𝑁𝑗
𝐸𝐼
𝑙
. 𝑑𝑥 (2.26) 
Sendo: 
E  o módulo de elasticidade do material; 
A  a seção transversal das barras; 
I  o momento de inércia da seção transversal e 
  número das barras da estrutura. 
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Como Mi.Mj = Mj.Mi, tem-se ij = ji, ou seja, a matriz de flexibilidade é sempre 
simétrica, o que já foi demonstrado anteriormente (Teorema da Reciprocidade de Betti-
Maxwell, SUSSEKIND, 1994a). 
Para uma estrutura com gh = 3, deve-se determinar 6 coeficientes da matriz  (11, 
22, 33, 12, 13, 23) e 3 coeficientes do vetor força 0 (10, 20, 30). Resolvendo-se o 
sistema de equações (2.42) obtém-se X. 
Exemplo 1: 
Determinar o diagrama de esforços do pórtico bi-engastado mostrado na Figura 2-
38, desprezando a contribuição do esforço axial. 
 
 
 
Figura 2-22: Pórtico bi-engastado 
O sistema principal escolhido para a resolução do pórtico é mostrado na 
Figura 2-23. 
 
 
Figura 2-23: Sistema principal e hiperestáticos do pórtico 
Para a determinação dos deslocamentos generalizados dij, é necessário a 
determinação das reações e dos esforços internos causados pelo carregamento (sistema 
0) e pelo hiperestático X1 (sistema I). 
Utilizando-se as equações de equilíbrio, determinam-se as reações e os esforços 
internos do pórtico isostático do sistema principal causadas pelo carregamento e pelo 
hiperestático X1, X2 e X3. 
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(0) 
 
(1) 
 
(2) 
 
(3) 
Desprezando-se o esforço axial, a expressão para os deslocamentos generalizados 
é dada por: 
𝛿𝑖𝑗 = ∫
𝑀𝑖 ̅̅ ̅̅ . 𝑀𝑗
𝐸𝐼
𝑙
. 𝑑𝑥 (2.26) 
 
 
 
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2.4 MÉTODO DE CROSS (Estruturas Hiperestáticas) 
O Método de Cross é um método que permite calcular estruturas hiperestáticas. 
Com isso, é possível determinar os momentos fletores em vigas contínuas e pórticos. 
Este método foi desenvolvido em 1932 por Hardy Cross, permitindo o cálculo de 
estruturas hiperestáticas de forma manual. Com o surgimento dos comp utadores, o 
método caiu em desuso, contudo ainda é empregado em disciplinas de graduação por 
todo mundo, devido a sua facilidade e didática. Desse modo, é possível resolver uma série 
de pequenos problemas da engenharia, sem grandes esforços computacionais 
necessários muitas vezes em outros métodos. 
O método é iterativo, isto é, se repetem algumas rotinas até a convergência, que é 
obtida quando os resíduos decorrentes do equilíbrio dos momentos nos nós da estrutura 
são muito pequenos, o suficiente para serem desprezados. 
 
2.4.1 Rigidez de uma ligação 
A rigidez de uma ligação entre barras, isto é, a rigidez de uma barra em um nó 
qualquer da estrutura, é igual ao valor do momento fletor que, aplicado neste nó, suposto 
livre para girar, provoca uma rotação unitária da barra no nó. 
Com isso, a extremidade apoiada de uma viga simples associa-se um “coeficiente 
de rigidez”, m, que é a rigidez à rotação que a viga apresenta aos momentos aplicados 
nos nós. Este coeficiente possui a mesma dimensão de momento fletor aplicado, uma vez 
que a rotação é unitária. A esta condição de vínculo chamase mola rotacional, figura 2.30. 
 
Figura 2-30 - Mola rotacional. 
 
Quanto maior a rigidez à rotação da mola, maior terá que ser o momento fletor 
aplicado ao nó para produzir um giro : 
𝑀 = 𝑘 . 𝜑 (2.27) 
se φ =1, então M = k é o coeficiente de rigidez da ligação. 
Para os casos usuais da engenharia, figura 2.31, é possível mostrar que o valor do 
coeficiente de rigidez é dado por: 
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𝑘𝐴𝐵 = 𝑘𝐵𝐴 = 1,0 .
 𝐸 𝐼
𝐿
 para viga biengastada (2.28) 
e 
𝑘𝐵𝐴 = 0,75 .
 𝐸 𝐼
𝐿
 viga apoiada-engastada (2.29) 
 
 
Figura 2-31 – Coeficiente de Rigidez. 
Nas expressões (2.28) e (2.29), EI é o produto de rigidez de uma viga. Quanto 
maior EI, menores serão os efeitos dos momentos fletores na viga, isto é, menores serão 
as suas deformações. 
2.4.2 Coeficiente de transmissão 
Como conseqüência do momento 4EI /L na extremidade da viga biengastada, surge 
um momento igual a metade de seu valor na outra extremidade da viga. 
Dizemos, então, que o coeficiente de transmissão a AB na barra biengastada é: 
𝛼𝐵𝐴 = 
𝑀𝐴
𝑀𝐵
 = 1/2 (2.30) 
 e para a barra engastada-apoiada é igual a: 
𝛼𝐵𝐴 = 
𝑀𝐵
𝑀𝐴
 = 0 (2.31) 
2.4.3 Convenção de Grinter 
Os momentos exercidos pelas barras sobre os nós serão considerados positivos 
no sentido horário. Isto equivale a dizer que devem ser considerados positivos os 
momentos anti-horários exercidos pelos nós sobre as extremidades das barras. 
 
Figura 2-32 – Momento que a barra aplica no nó. 
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2.5 PROBLEMA FUNDAMENTAL DE CROSS 
Na figura 2.33 encontra-se ilustrado um nó “0” de pórtico típico onde está aplicado 
um momento fletor M. 
 
Figura 2-33 – Estrutura submetida à ação de uma carga momento M. 
 
Cada barra resistirá a uma parcela do momento M, que será proporcional a sua 
rigidez a rotação. 
𝑀1 = 𝑘1 . 𝜑1 
𝑀2 = 𝑘2 . 𝜑2 
𝑀3 = 𝑘3 . 𝜑3 
(2.32) 
 Tem-se por equilíbrio do esquema da Figura 33a e 33b: 
𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 = 𝑀 (2.33) 
 Por compatibilidade de deslocamentos tem-se: 
𝜑1 = 𝜑2 = 𝜑3 = 𝜑 (2.34) 
 Então: 
𝑀 = 𝜑(𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3) (2.35) 
e 
𝜑 = 
𝑀
∑𝑘𝑖
 (2.36) 
 Sabe-se pelas expressões 2.32 e 2.33 que: 
𝜑 =
𝑀1
𝑘1
= 
𝑀2
𝑘2
= 
𝑀3
𝑘3
= 
𝑀𝑖
𝑘𝑖
= 
𝑀
∑𝑘𝑖
 (2.37) 
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Sendo possível determinar em que parcelas o momento “M” irá se subdividir entre 
as barras concorrentes no nó “0”, obtém-se: 
𝑀1 =
𝑘1
∑𝑘𝑖
𝑀,…………
𝑘4
∑𝑘𝑖
𝑀 (2.38) 
De uma maneira geral, pode-se dizer que uma barra genérica “i” irá receber uma 
fração 
𝑘𝑖
∑𝑘
 do momento M aplicado no nó, ou seja: 
𝑀1 =
𝑘1
∑𝑘𝑖
𝑀 (2.39) 
Desta expressão, pode-se dizer que um momento aplicado num nó de uma 
estrutura totalmente indeslocável irá se distribuir, entre as diversas barras concorrentes 
neste nó, segundo parcelas proporcionais à rigidez, neste nó, de cada uma destas barras. 
Denomina-se coeficiente de distribuição de momentos para a barra “i”: 
𝛽𝑖 =
𝑘𝑖
∑𝑘𝑖
 (2.40) 
Que representa a fração do momento atuante no nó que irá para a barra “i”. Isto 
implica que a ∑𝛽𝑖 = 1 de modo a recompor o momento M. 
2.6 PROCEDIMENTOS PARA APLICAÇÃO DO MÉTODO DE CROSS 
Dada uma viga genérica hiperestática, figura 2.34. 
 
Figura 2-34 – Viga contínua típica. 
 
É possível dizer que: 
a) nos apoios intermediários ocorre tração na fibra superior e compressão na fibra inferior 
e, por isso, surgem momentos “negativos” nestes pontos; 
b) nos trechos intermediários dos vãos o oposto ocorre e, portanto, surgem momentos 
“positivos”; 
c) na extremidade engastada da viga, apoio A, deve surgir um momento fletor. 
d) na extremidade D (apoio 1º género) não aparece momento. 
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Então, o diagrama de momentos aproximado deve ter a formageral apresentada 
na figura 2.35. 
 
Figura 2-35 – Forma geral do diagrama de mo mentos de uma viga contínua. 
 
Onde a carga é distribuída, os momentos têm diagrama parabólico. E onde a carga 
é concentrada, os momentos têm diagrama linear. 
As incógnitas do problema no Método de Cross constituem-se nos momentos 
fletores MA, MB e MC. A sua determinação é feita de forma aproximada e iterativa. 
Inicialmente os apoios intermediários são travados e liberados um a um. A cada 
apoio liberado ocorre um desequilíbrio nos momentos daquele nó. Após o re-equilíbrio 
(distribuição em função da rigidez das barras), os momentos são propagados para os 
apoios vizinhos. 
Em cada iteração o valor dos momentos residuais vai diminuindo até se tornar 
desprezível (equilíbrio do nó), figura 2.36. 
 
Figura 2-36 – Procedimentos para o Método de Cross. 
 
 
 
 
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Resumo dos Procedimentos adotados no Método de Cross: 
a) Cálculo das constantes de Rigidez (k): 
 
𝑘 = 0,75 
𝐸 . 𝐼
ℓ
 
 
𝑘 = 1,0 
𝐸 . 𝐼
ℓ
 
b) Cálculo das constantes de distribuição (β): 
𝛽𝑇 = 
𝑘𝑇1
𝑘𝑇1 + 𝑘𝑇2
 
c) Procedimentos de distribuição : 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS: 
Para as estruturas abaixo, calcular as reações e represente os diagramas de ESFORÇO 
CORTANTE e MOMENTO FLETOR, para cada uma das vigas a seguir: 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
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GABARITO DOS DIAGRAMAS: 
 
a) 
 
 
 
 
DEN 
 
 
 
DEC 
 
 
 
 
DMF 
 
 
 
 
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Faculdades ESTÁCIO SC 31 
c) 
 
 
DEN 
 
 
 
 
DEC 
 
 
 
DMF 
 
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A N E X O S 
CCE0371 – TEORIA DAS ESTRUTURAS II __ 
 
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ANEXO 01 – Tabela de combinações de diagramas para integração 𝑀�̅� – Método da Forças 
CCE0371 – TEORIA DAS ESTRUTURAS II _______ 
 
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ANEXO 02 – Momento de engastamento, vigas bi-apoiadas, bi-engastadas e em 
balanço. 
 
 
 
 
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