Calculo Ajuste de curvas

Prévia do material em texto

CÁLCULO NUMÉRICO 
Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br 
Aula 17 e 18 
Ajuste de Curvas 06/2014 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 3/64 
AJUSTE DE CURVAS 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 4/64 
INTRODUÇÃO 
¨  Em geral, experimentos geram uma gama de dados que 
devem ser analisados para a criação de um modelo. 
¨  Obter uma função matemática que represente (ou que 
ajuste) os dados permite fazer simulações do processo de 
forma confiável, reduzindo assim repetições de experimentos 
que podem ter um custo alto. 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 5/64 
INTRODUÇÃO 
¨  Em geral, usar interpolação linear 
quando: 
¤  Deseja-se extrapolar ou fazer previsões em regiões fora do 
intervalo considerado; 
¤  Os dados tabelados são resultados de experimentos, onde erros 
na obtenção destes resultados podem influenciar a sua qualidade; 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 6/64 
INTRODUÇÃO 
¨  O objetivo é obter uma função que seja uma “boa 
aproximação” e que permita extrapolações com alguma 
margem de segurança. 
 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 7/64 
INTRODUÇÃO 
¨  A escolha das funções pode ser feita: 
¤  Observando o gráfico dos pontos tabelados; 
¤  Baseando-se em fundamentos teóricos dos experimentos que 
forneceu a tabela ou; 
¤  Através de uma função já conhecida. 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 8/64 
INTRODUÇÃO 
¨  O Método dos Mínimos Quadrados é um método bastante 
utilizado para ajustar uma determinada quantidade de 
pontos e aproximar funções. 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 9/64 
MÉTODO DOS 
MÍNIMOS 
QUADRADOS 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 10/64 
Método dos Mínimos Quadrados 
¨  Método dos Mínimos Quadrados consiste em escolher os αi 
(i = 1, 2, ..., n) de tal forma que: 
 
 
se aproxime ao máximo de f(x). 
onde: fornece os pontos exatos; 
 fornece os pontos estimados. 
ϕ x( ) =α1g1 x( )+α2g2 x( )+!+αngn x( )
f x( )
g x( )
(1) 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 11/64 
Método dos Mínimos Quadrados 
¨  O Método dos Mínimos Quadrados consiste em escolher os 
αi (i = 1, 2, ..., n) de tal forma que a 
 seja mínima. 
E = f xk( )−ϕ xk( )"# $%
2
k=1
m
∑ (2) 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 12/64 
Método dos Mínimos Quadrados 
¨  Observe que, se o modelo ajustar exatamente os dados, o 
mínimo da função: 
 
será zero e, portanto, a é um 
dentro do método dos quadrados mínimos. 
E = f xk( )−ϕ xk( )"# $%
2
k=1
m
∑
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 13/64 
Caso Discreto 
¨  Dado um conjunto de pontos (xi; f(xi)), i = 0, 1, 2, ..., m 
 (f dada por ) 
¨  O problema de ajuste de curvas consiste em encontrar 
funções gi (x), tais que o desvio em cada ponto i, definido 
por (2) seja mínimo, ou seja: 
 
 
 se aproxime ao máximo de f (x). 
ϕ x( ) =α1g1 x( )+α2g2 x( )+!+αngn x( )
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 14/64 
Caso Discreto 
¨  Neste caso, o ajuste é linear. 
¨  Linear em relação aos αi e não às gi (x). 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 15/64 
Caso Discreto 
¨ 
¨  A escolha das funções gi (x) depende do gráfico dos pontos, 
chamado de diagrama de dispersão, através do qual pode-se 
visualizar o tipo de curva que melhor se ajusta aos dados. 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 16/64 
Exemplo 1 
¨  Considerando os dados da Tabela 1, e através do gráfico 
gerado, pode-se definir que tipo de curva melhor se ajusta 
aos dados. 
Tabela 1 xi yi 
1 1,3 
2 3,5 
3 4,2 
4 5,0 
5 7,0 
6 8,8 
7 10,1 
8 12,5 
9 13,0 
10 15,6 
Tabela 1 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 17/64 
Exemplo 1 
Figura 1. Diagrama de Dispersão para os dados da Tabela 1 
0"
4"
8"
12"
16"
20"
0" 2" 4" 6" 8" 10" 12"
y 
x 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 18/64 
Caso Discreto (Ajuste Linear) 
q  Como pode ser observado na Figura 1, uma possível 
aproximação seria através de uma função linear do tipo: 
 
 
 
¨  Assim o objetivo é determinar o valor de α0 e α1, que 
minimize: 
E = yi − α1xi +α0( )"# $%
2
i=1
m
∑
ϕ x( ) =α1xi +α0 (3) 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 19/64 
Caso Discreto (Ajuste Linear) 
¨  Para que E seja mínimo é necessário que: 
∂E
∂α0
= 0
∂E
∂α1
= 0
(4) 
(5) 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 20/64 
Caso Discreto (Ajuste Linear) 
¨  As equações (4) e (5) simplificam-se nas 
: 
(6) 
 (7) 
α0m+α1 xi
i=1
m
∑ = yi
i=1
m
∑
α0 xi
i=1
m
∑ +α1 xi2
i=1
m
∑ = xiyi
i=1
m
∑
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 21/64 
Caso Discreto (Ajuste Linear) 
¨  A solução para o sistema de equações é: 
(8) 
(9) 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑∑
∑∑∑∑
==
====
m
i
i
m
i
i
m
i
i
m
i
ii
m
i
i
m
i
i
xxm
xyxyx
11
2
1111
2
0α
2
11
2
111
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑∑
∑∑∑
==
===
m
i
i
m
i
i
m
i
i
m
i
i
m
i
ii
xxm
yxyxm
α
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 22/64 
Exemplo 1 
¨  Considerando a Tabela 1, e os dados necessários para as 
equações (8) e (9) a Tabela 2 pode ser calculada: 
i xi yi xi2 xi yi 
1 1 1,3 1 1,3 
2 2 3,5 4 7,0 
3 3 4,2 9 12,6 
4 4 5,0 16 20,0 
5 5 7,0 25 35,0 
6 6 8,8 36 52,8 
7 7 10,1 59 70,7 
8 8 12,5 64 100,0 
9 9 13,0 81 117,0 
10 10 15,6 100 156,0 
Σ 55 81 385 572,4 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 23/64 
Exemplo 1 
¨  Considerando os dados da Tabela 2, os parâmetros α1 e α0 
podem ser calculados como: 
¨  Assim a reta de ajuste linear é determinada por: 
α0 = −0,360 α1 =1,538
360,0538,1 −= xy
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 24/64 
Exemplo 1 
¨  Na Figura 2, pode-se observar o ajuste através da reta: 
Figura 2. Ajuste linear 
y = 1.5382x - 0.36 
0"
4"
8"
12"
16"
20"
0" 2" 4" 6" 8" 10" 12"
y 
x 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 25/64 
Caso Discreto (Ajuste Polinomial) 
O processo usado para o ajuste linear pode ser estendido para 
ajuste polinomial. 
 Assim, uma função polinomial de grau n é dada por: 
 
 
 
O objetivo é minimizar o erro: 
 
Pn x( ) =αnxn +αn−1xn−1 +!+α1x +α0
E = yi −Pn xi( )"# $%
2
i=1
m
∑
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 26/64 
Caso Discreto (Ajuste Polinomial) 
¨  Como no caso linear, para que E seja minimizado é 
necessário que para cada 
j = 0, 1, ..., n. 
¨  Isto fornece as n+1 equações normais nas n+1 incógnitas aj: 
 
∂E
∂α j
α0,α1,!,αn( ) = 0
αk
k=0
n
∑ xij+k
i=1
m
∑ = yixij
i=1
m
∑ , para cada j = 0,1,!,n.
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 27/64 
Caso Discreto (Ajuste Polinomial) 
∑∑∑∑
====
=++++
m
i
i
m
i
n
in
m
i
i
m
i
i yxxxm
111
2
2
1
10 αααα !
∑∑∑∑∑==
+
===
=++++
m
i
ii
m
i
n
in
m
i
i
m
i
i
m
i
i xyxxxx
11
1
1
3
2
1
2
1
1
0 αααα !
∑∑∑∑∑
===
+
=
+
=
=++++
m
i
n
ii
m
i
n
in
m
i
n
i
m
i
n
i
m
i
n
i xyxxxx
11
2
1
2
2
1
1
1
1
0 αααα !
!!
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 28/64 
EXEMPLO 2 
¨  Ajustar os dados da Tabela 3 com um polinômio de grau dois 
utilizando o método dos mínimos quadrados. 
 Tabela 3 
i xi yi 
1 0,00 1,0000 
2 0,25 1,2840 
3 0,50 1,6487 
4 0,75 2,1170 
5 1,00 2,7183 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 29/64 
EXEMPLO 2 
i xi yi xi2 xi3 xi4 xiyi xi2yi 
1 0,00 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
2 0,25 1,2840 0,0625 0,1563 0,0039 0,3210 0,0803 
3 0,50 1,6487 0,2500 0,1250 0,0625 0,8244 0,4122 
4 0,75 2,1170 0,5625 0,4219 0,3164 1,5878 1,1908 
5 1,00 2,7183 1,0000 1,0000 1,000 2,7183 2,7183 
Σ 2,50 8,7680 1,875 1,5625 1,3828 5,4514 4,4015 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 30/64 
EXEMPLO 2 
¨  Para este problema, n = 2, m = 5 e as três equações normais 
são: 
¨  Resolvendo o sistema, obtêm-se: 
α0 =1,0051 α1 = 0,8647 α2 = 0,8432
5,0α0 + 2,5α1 + 1,875α2 = 8, 7680
2,5α0 + 1,875α1 + 1,5625α2 = 5, 4514
1,875α0 +1,5625α1 + 1,3828α2 = 4, 4015
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 31/64 
EXEMPLO 2 
O erro total 
é o mínimo que pode ser 
obtido usando um 
polinômio com grau 
máximo 2 
E = yi −P xi( )"# $%
2
i=1
5
∑ = 2, 74×10−4
y =1,0051+ 0,8642x + 0,8437x2
Figura 3. Ajuste polinomial 
y = 0.8437x2 + 0.8642x + 1.0051 
0"
0.5"
1"
1.5"
2"
2.5"
3"
0" 0.5" 1" 1.5"
y 
x 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 32/64 
Caso Contínuo 
¨  Outro problema é a aproximação de funções. 
¨  Para o caso discreto, temos um . 
¨  Para o caso contínuo, temos . 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 33/64 
Caso Contínuo 
Dada uma função f (x), contínua em [a, b] e escolhidas funções 
g1 (x), g2 (x), ..., gn (x), todas contínuas em [a, b], determinar 
constantes α1, α2,..., αn, tal que: 
 
 
 
se aproxime ao máximo de f (x). 
ϕ x( ) =α1g1 x( )+α2g2 x( )+!+αngn x( )
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 34/64 
Caso Contínuo 
¨  O objetivo é determinar um polinômio de grau máximo n 
(φ (x) = Pn(x)): 
 
 
 
 
 que minimize o erro total: 
( ) ∑
=
−
− =++++=
n
k
k
k
n
n
n
nn xxxxxP
0
01
1
1 ααααα !
E = f x( )−Pn x( )"# $%
2 dx = f x( )− αk xk
k=0
n
∑
'
(
)
*
+
,
a
b
∫
a
b
∫
2
dx
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 35/64 
Caso Contínuo 
¨  O problema é encontrar os coeficientes αj que minimizem E. 
¨  Uma condição necessária para que os números αj 
minimizem E é que: 
para cada j=0, 1, . . .,n. ( ) 0,,, 10 =∂
∂
n
j
E
ααα
α
!
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 36/64 
Caso Contínuo 
¨  Como: 
¨  As derivadas ficam na seguinte forma: 
E = f x( )!" #$
2 dx − 2 αk xk f x( )dx
a
b
∫
k=0
n
∑ + αk xk
k=0
n
∑
(
)
*
+
,
-
a
b
∫
a
b
∫
2
dx
∂E
∂α j
α0,α1,!,αn( ) = −2 x j f x( )dx + 2 αk x j+k dx
a
b
∫
k=0
n
∑
a
b
∫ = 0
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 37/64 
Caso Contínuo 
¨  Para encontrar Pn (x), temos (n + 1) equações normais: 
que devem ser resolvidas para se determinar as (n+1) 
incógnitas αj, para cada j = 0, 1, ..., n. 
( )∫∑ ∫ =
=
+
b
a
j
n
k
b
a
kj
k dxxfxdxx
0
α
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 38/64 
Exemplo 3 
¨  Encontrar o polinômio de aproximação por mínimos 
quadrados de segundo grau para a função abaixo no 
intervalo [0,1]. 
f x( ) = sen π x( )
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 39/64 
EXEMPLO 3 
( )∫∑ ∫ =
=
+
b
a
j
n
k
b
a
kj
k dxxfxdxx
0
α
( )∫∫∫∫ =++
1
0
1
0
2
2
1
0
1
1
0
0 1 dxxsendxxxdxdx πααα
( )∫∫∫∫ =++
1
0
1
0
3
2
1
0
2
1
1
0
0 dxxxsendxxdxxxdx πααα
( )∫∫∫∫ =++
1
0
2
1
0
4
2
1
0
3
1
1
0
2
0 dxxsenxdxxdxxdxx πααα
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 40/64 
EXEMPLO 3 
¨  Calculando as integrais obtêm-se: 
¨  Resolvendo o sistema obtêm-se o seguinte polinômio: 
 
α0 +
1
2α1 +
1
3α2 =
2
π
1
2α0 +
1
3α1 +
1
4α2 =
1
π
1
3α0 +
1
4α1 +
1
5α2 =
π 2 − 4
π 3
P2 x( ) = −4,1225x2 + 4,1225x − 0,0505
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 41/64 
EXEMPLO 3 
 Figura 4. Aproximação de f(x) pelo polinômio P2(x). 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 42/64 
Caso Não-Linear 
¨  Existem casos, onde o diagrama de dispersão de uma 
função indica que os dados devem ser ajustado por uma 
função não linear. 
¨  Ocasionalmente, é apropriado supor que os dados estejam 
relacionados exponencialmente. 
¨  Exemplo: φ(x) = aebx, para a e b constantes. 
A dificuldade de aplicação do método dos mínimos quadrados 
neste caso consiste na tentativa de minimizar E. 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 43/64 
Caso Não-Linear 
¨  Para estes casos um processo de linearização deve ser 
empregado, para que seja possível aplicar o Método dos 
Mínimos Quadrados. 
¨  Neste caso, podemos proceder da seguinte forma: 
 
 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 44/64 
Caso Não-Linear 
¨  Caso I: Função Exponencial 
¨  Aplicando logaritmo em ambos os lados, obtêm-se: 
¨  Realizando as seguintes substituições: 
¨  Obtêm-se: 
ϕ x( ) = y = aebx
ln y( ) = ln aebx( ) = ln a( )+ bx
Y = ln y( )
α0 = ln a( )
α1 = b
X = xY =α1X +α0
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 45/64 
Caso Não-Linear 
¨  Caso II: Função Logarítmica 
¨  Expandindo: 
¨  Realizando as seguintes substituições: 
¨  Obtêm-se: 
y = a ln bx( )
y = a ln b( )+ a ln x( )
Y = y
α0 = a ln b( )
α1 = a
X = ln x( )
Y =α1X +α0
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 46/64 
Caso Não-Linear 
¨  Caso III: Função Potencial 
¨  Aplicando logaritmo em ambos os lados: 
¨  Realizando as seguintes substituições: 
¨  Obtêm-se: 
y = axb
ln y( ) = ln axb( ) = ln a( )+ ln xb( ) = ln a( )+ b ln x( )
Y = ln y( )
α0 = ln a( )
α1 = b
X = ln x( )Y =α1X +α0
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 47/64 
Caso Não-Linear 
¨  Caso IV: Função Hiperbólica 
¨  Realizando as seguintes substituições: 
¨  Obtêm-se: 
y = a + bx
Y =α1X +α0
Y = y
α0 = a
α1 = b
X = x−1
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 48/64 
¨  Usam-se as equações do caso discreto (ajuste linear) para 
obter α0 e α1: 
α0m+α1 xi
i=1
m
∑ = yi
i=1
m
∑
α0 xi
i=1
m
∑ +α1 xi2
i=1
m
∑ = xiyi
i=1
m
∑
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 49/64 
¨  Após aplicar o método dos mínimos quadrados, é preciso 
fazer as substituições necessárias para encontrar os 
parâmetros a e b da função de aproximação original. 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 50/64 
¨  Observe que os parâmetros a e b assim obtidos não são 
ótimos dentro do critério dos quadrados mínimos, porque 
estamos ajustando o problema linearizado e não o problema 
original. 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico51/64 
EXEMPLO 4 
¨  Encontrar uma função exponencial que se ajusta aos valores 
da tabela abaixo: 
x y 
-1,0 36,547 
-0,7 17,267 
-0,4 8,155 
-0,1 3,852 
-0,2 1,82 
-0,5 0,86 
-0,8 0,406 
1,0 0,246 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 52/64 
y = ae−bx
Y = ln y
α0 = ln a( )
α1 = −b
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 53/64 
Caso Não-Linear 
¨  Como o ajuste será realizado por uma função exponencial é 
necessário calcular: 
¨  A tabela para os cálculos fica da seguinte forma: 
i x y Y = ln(y) xi2 xiYi 
1 -1,0 36,547 3,599 1,00 -3,599 
2 -0,7 17,264 2,849 0,49 -1,994 
3 -0,4 8,155 2,099 0,16 -0,839 
4 -0,1 3,852 1,349 0,01 -0,135 
5 0,2 1,820 0,599 0,04 0,120 
6 0,5 0,860 -0,151 0,25 -0,075 
7 0,8 0,406 -0,901 0,64 -0,721 
8 1,0 0,246 -1,402 1,00 -1,402 
Σ 0,3 69,15 8,041 3,59 -8,645 
Y = ln y
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 54/64 
Caso Não-Linear 
α0 =1,099 α1 = −2,5
α0 = ln a( ) α1 = −b
a = 3,001 b = 2,5
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 55/64 
¨  Os parâmetros α0 e α1 que ajustam a função ϕ (x) à função Y 
no sentido dos quadrados mínimos. 
¨  Não se pode afirmar que os parâmetros a e b (obtidos 
através de α0 e α1) são os que ajustam ϕ(x) à função y 
dentro dos critérios dos quadrados mínimos. 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 56/64 
TESTE DE ALINHAMENTO 
¨  Uma vez escolhida uma função não linear em a, b, … para 
ajustar uma função. Uma forma de verificar se a escolha foi 
razoável é aplicar o Teste de Alinhamento. 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 57/64 
TESTE DE ALINHAMENTO 
¨  Fazer a “linearização” da função não linear escolhida; 
¨  Fazer o diagrama de dispersão dos novos dados; 
¨  Se os pontos do diagrama estiverem alinhados, isto 
significará que a função não linear escolhida foi uma “boa 
escolha”. 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 58/64 
EXEMPLO 1 
¨  Gráfico de x versus Y = ln y 
i x y Y = ln(y) 
1 -1 36,547 3,599 
2 -0,7 17,264 2,849 
3 -0,4 8,155 2,099 
4 -0,1 3,852 1,349 
5 0,2 1,820 0,599 
6 0,5 0,860 -0,151 
7 0,8 0,406 -0,901 
8 1 0,246 -1,402 
Σ 0,3 69,15 8,041 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 59/64 
TESTE DE ALINHAMENTO 
¨  EXEMPLO 1 
Diagrama de dispersão dos novos dados (Y = ln y). 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 60/64 
EXEMPLO 2 
¨  Usando o Método dos Mínimos Quadrados, ajustar uma 
curva do tipo s = q t p aos dados abaixo: 
¨  Qual o valor de s quando t = 4,5? 
¨  Qual o vaor de t quando s = 40? 
t 2,2 2,7 3,5 4,1 
s 65 60 53 50 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 61/64 
EXEMPLO 2 
¨  Caso III: Função Potencial 
¨  Aplicando logaritmo em ambos os lados: 
¨  Realizando as seguintes substituições: 
¨  Obtêm-se: 
s = qt p
log s = logq+ p log t
Y = log s
α0 = logq
α1 = p
X = log tY =α1X +α0
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 62/64 
EXEMPLO 2 
¨  Temos então: 
i t s Xi Yi Xi2 Xi Yi 
1 2,2 65 0,3424 1,8129 0,1172 0,6207 
2 2,7 60 0,4314 1,7782 0,1861 0,7671 
3 3,5 53 0,5441 1,7243 0,2960 0,9382 
4 4,1 50 0,6128 1,6990 0,3755 1,0411 
Σ 1,9307 7,0144 0,9748 3,3671 
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 63/64 
EXEMPLO 2 
α0 =1,963 α1 = −0, 434
α0 = logq α1 = p
q = 91,83 p = −0, 434
s = 91,83t−0,434
4α0 +1,9307α1 = 7,0144
1,9307α0 + 0,9748α1 = 3,3671
Aula 17 e 18 – Ajuste de Curvas 
Cálculo Numérico 64/64 
EXEMPLO 2 
¨  Se: 
¨  então, para t = 4,5; s ≈ 48, e para s = 40; t ≈ 6,8. 
s = 91,83t−0,434