Inferência - Notas de aula

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Inferência estatística frequentista
Prof. Marcelo Bourguignon Pereira
Departamento de Estatística
Centro de Ciências Exatas e da Terra
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 1 / 70
Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 1 / 70
Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 1 / 70
Introdução
Interesse: como uma variável se comporta em determinada popula-
ção;
Problema: o acesso a população por completo é inviável ou impos-
sível;
A distribuição verdadeira da variável é desconhecida;
Solução:
I
propor um modelo probabilístico dependente de um, ou mais,
parâmetros;
I
através de uma amostra estimar e testar hipóteses com respeito
a esse(s) parâmetro(s).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 2 / 70
Introdução
Interesse: como uma variável se comporta em determinada popula-
ção;
Problema: o acesso a população por completo é inviável ou impos-
sível;
A distribuição verdadeira da variável é desconhecida;
Solução:
I
propor um modelo probabilístico dependente de um, ou mais,
parâmetros;
I
através de uma amostra estimar e testar hipóteses com respeito
a esse(s) parâmetro(s).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 2 / 70
Introdução
Interesse: como uma variável se comporta em determinada popula-
ção;
Problema: o acesso a população por completo é inviável ou impos-
sível;
A distribuição verdadeira da variável é desconhecida;
Solução:
I
propor um modelo probabilístico dependente de um, ou mais,
parâmetros;
I
através de uma amostra estimar e testar hipóteses com respeito
a esse(s) parâmetro(s).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 2 / 70
Introdução
Interesse: como uma variável se comporta em determinada popula-
ção;
Problema: o acesso a população por completo é inviável ou impos-
sível;
A distribuição verdadeira da variável é desconhecida;
Solução:
I
propor um modelo probabilístico dependente de um, ou mais,
parâmetros;
I
através de uma amostra estimar e testar hipóteses com respeito
a esse(s) parâmetro(s).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 2 / 70
Introdução
Interesse: como uma variável se comporta em determinada popula-
ção;
Problema: o acesso a população por completo é inviável ou impos-
sível;
A distribuição verdadeira da variável é desconhecida;
Solução:
I
propor um modelo probabilístico dependente de um, ou mais,
parâmetros;
I
através de uma amostra estimar e testar hipóteses com respeito
a esse(s) parâmetro(s).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 2 / 70
Exemplo 1
Seja X a resitência a tensão de um componente utilizado em um
chassi de automóvel;
Suponha que n observações deX foram feitas e forneceram os valores
x1, x2, . . . , xn;
O histograma das observações realizadas é apresentado abaixo:
Resitência a tensão
D
en
si
da
de
8 9 10 11 12
0.
0
0.
2
0.
4
Qual modelo probabilístico
conjecturar para esses da-
dos?
O modelo N(µ, σ2) parece
ser adequado!
Quais valores de µ e σ2 são
apropriados?
Estimar µ e σ2!
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 3 / 70
Exemplo 1
Seja X a resitência a tensão de um componente utilizado em um
chassi de automóvel;
Suponha que n observações deX foram feitas e forneceram os valores
x1, x2, . . . , xn;
O histograma das observações realizadas é apresentado abaixo:
Resitência a tensão
D
en
si
da
de
8 9 10 11 12
0.
0
0.
2
0.
4
Qual modelo probabilístico
conjecturar para esses da-
dos?
O modelo N(µ, σ2) parece
ser adequado!
Quais valores de µ e σ2 são
apropriados?
Estimar µ e σ2!
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 3 / 70
Exemplo 1
Seja X a resitência a tensão de um componente utilizado em um
chassi de automóvel;
Suponha que n observações deX foram feitas e forneceram os valores
x1, x2, . . . , xn;
O histograma das observações realizadas é apresentado abaixo:
Resitência a tensão
D
en
si
da
de
8 9 10 11 12
0.
0
0.
2
0.
4
Qual modelo probabilístico
conjecturar para esses da-
dos?
O modelo N(µ, σ2) parece
ser adequado!
Quais valores de µ e σ2 são
apropriados?
Estimar µ e σ2!
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 3 / 70
Exemplo 1
Seja X a resitência a tensão de um componente utilizado em um
chassi de automóvel;
Suponha que n observações deX foram feitas e forneceram os valores
x1, x2, . . . , xn;
O histograma das observações realizadas é apresentado abaixo:
Resitência a tensão
D
en
si
da
de
8 9 10 11 12
0.
0
0.
2
0.
4
Qual modelo probabilístico
conjecturar para esses da-
dos?
O modelo N(µ, σ2) parece
ser adequado!
Quais valores de µ e σ2 são
apropriados?
Estimar µ e σ2!
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 3 / 70
Exemplo 2
Seja T o tempo de cura de um paciente com determinada doença
após a administração de determinado medicamento.;
Suponha que n observações de T foram feitas e forneceram os valores
t1, t2, . . . , tn;
O histograma das observações realizadas é apresentado abaixo:
Tempo de cura
D
en
si
da
de
0 2 4 6 8 12
0.
00
0.
15
0.
30
Qual modelo probabilístico
conjecturar para esses da-
dos?
O modelo Exp(λ) parece ser
adequado!
Qual valor de λ é apro-
priado?
Estimar λ!
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 4 / 70
Exemplo 2
Seja T o tempo de cura de um paciente com determinada doença
após a administração de determinado medicamento.;
Suponha que n observações de T foram feitas e forneceram os valores
t1, t2, . . . , tn;
O histograma das observações realizadas é apresentado abaixo:
Tempo de cura
D
en
si
da
de
0 2 4 6 8 12
0.
00
0.
15
0.
30
Qual modelo probabilístico
conjecturar para esses da-
dos?
O modelo Exp(λ) parece ser
adequado!
Qual valor de λ é apro-
priado?
Estimar λ!
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 4 / 70
Exemplo 2
Seja T o tempo de cura de um paciente com determinada doença
após a administração de determinado medicamento.;
Suponha que n observações de T foram feitas e forneceram os valores
t1, t2, . . . , tn;
O histograma das observações realizadas é apresentado abaixo:
Tempo de cura
D
en
si
da
de
0 2 4 6 8 12
0.
00
0.
15
0.
30
Qual modelo probabilístico
conjecturar para esses da-
dos?
O modelo Exp(λ) parece ser
adequado!
Qual valor de λ é apro-
priado?
Estimar λ!
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 4 / 70
Exemplo 2
Seja T o tempo de cura de um paciente com determinada doença
após a administração de determinado medicamento.;
Suponha que n observações de T foram feitas e forneceram os valores
t1, t2, . . . , tn;
O histograma das observações realizadas é apresentado abaixo:
Tempo de cura
D
en
si
da
de
0 2 4 6 8 12
0.
00
0.
15
0.
30
Qual modelo probabilístico
conjecturar para esses da-
dos?
O modelo Exp(λ) pareceser
adequado!
Qual valor de λ é apro-
priado?
Estimar λ!
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 4 / 70
Diferenças entre estatística descritiva e inferencial
Estatística descritiva
Os dados já foram observados (pós-experimental);
As ferramentas não permitem a extrapolação dos resultados para
toda a população.
Inferência estatística
Raciocínio pré-experimental, estabelecendo ummodelo para as obser-
vações (como se os dados não tivessem sido observados);
Os resultados obtidos podem ser extrapolados e fornecerem conclu-
sões para toda a população.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 5 / 70
Diferenças entre estatística descritiva e inferencial
Estatística descritiva
Os dados já foram observados (pós-experimental);
As ferramentas não permitem a extrapolação dos resultados para
toda a população.
Inferência estatística
Raciocínio pré-experimental, estabelecendo ummodelo para as obser-
vações (como se os dados não tivessem sido observados);
Os resultados obtidos podem ser extrapolados e fornecerem conclu-
sões para toda a população.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 5 / 70
Diferenças entre estatística descritiva e inferencial
Estatística descritiva
Os dados já foram observados (pós-experimental);
As ferramentas não permitem a extrapolação dos resultados para
toda a população.
Inferência estatística
Raciocínio pré-experimental, estabelecendo ummodelo para as obser-
vações (como se os dados não tivessem sido observados);
Os resultados obtidos podem ser extrapolados e fornecerem conclu-
sões para toda a população.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 5 / 70
Diferenças entre estatística descritiva e inferencial
Estatística descritiva
Os dados já foram observados (pós-experimental);
As ferramentas não permitem a extrapolação dos resultados para
toda a população.
Inferência estatística
Raciocínio pré-experimental, estabelecendo ummodelo para as obser-
vações (como se os dados não tivessem sido observados);
Os resultados obtidos podem ser extrapolados e fornecerem conclu-
sões para toda a população.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 5 / 70
Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 5 / 70
Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 5 / 70
Parâmetros
Seja X v.a. com distribuição de probabilidades f (função de proba-
bilidades se X é discreta e função de densidade se X é contínua);
Um parâmetro é qualquer quantidade constante que dependa de
f .
Exemplos:
A probabilidade de sucesso p de um ensaio de Bernoulli;
O valor esperado µ = E(X) de uma v.a. X;
A variância σ2 = V ar(X) de uma v.a. X;
A taxa de ocorrências λ de uma Poisson;
O mínimo a e o máximo b de uma v.a. X ∼ U [a, b].
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 6 / 70
Parâmetros
Seja X v.a. com distribuição de probabilidades f (função de proba-
bilidades se X é discreta e função de densidade se X é contínua);
Um parâmetro é qualquer quantidade constante que dependa de
f .
Exemplos:
A probabilidade de sucesso p de um ensaio de Bernoulli;
O valor esperado µ = E(X) de uma v.a. X;
A variância σ2 = V ar(X) de uma v.a. X;
A taxa de ocorrências λ de uma Poisson;
O mínimo a e o máximo b de uma v.a. X ∼ U [a, b].
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 6 / 70
Parâmetros
Seja X v.a. com distribuição de probabilidades f (função de proba-
bilidades se X é discreta e função de densidade se X é contínua);
Um parâmetro é qualquer quantidade constante que dependa de
f .
Exemplos:
A probabilidade de sucesso p de um ensaio de Bernoulli;
O valor esperado µ = E(X) de uma v.a. X;
A variância σ2 = V ar(X) de uma v.a. X;
A taxa de ocorrências λ de uma Poisson;
O mínimo a e o máximo b de uma v.a. X ∼ U [a, b].
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 6 / 70
Parâmetros
Seja X v.a. com distribuição de probabilidades f (função de proba-
bilidades se X é discreta e função de densidade se X é contínua);
Um parâmetro é qualquer quantidade constante que dependa de
f .
Exemplos:
A probabilidade de sucesso p de um ensaio de Bernoulli;
O valor esperado µ = E(X) de uma v.a. X;
A variância σ2 = V ar(X) de uma v.a. X;
A taxa de ocorrências λ de uma Poisson;
O mínimo a e o máximo b de uma v.a. X ∼ U [a, b].
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Parâmetros
Seja X v.a. com distribuição de probabilidades f (função de proba-
bilidades se X é discreta e função de densidade se X é contínua);
Um parâmetro é qualquer quantidade constante que dependa de
f .
Exemplos:
A probabilidade de sucesso p de um ensaio de Bernoulli;
O valor esperado µ = E(X) de uma v.a. X;
A variância σ2 = V ar(X) de uma v.a. X;
A taxa de ocorrências λ de uma Poisson;
O mínimo a e o máximo b de uma v.a. X ∼ U [a, b].
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Parâmetros
Seja X v.a. com distribuição de probabilidades f (função de proba-
bilidades se X é discreta e função de densidade se X é contínua);
Um parâmetro é qualquer quantidade constante que dependa de
f .
Exemplos:
A probabilidade de sucesso p de um ensaio de Bernoulli;
O valor esperado µ = E(X) de uma v.a. X;
A variância σ2 = V ar(X) de uma v.a. X;
A taxa de ocorrências λ de uma Poisson;
O mínimo a e o máximo b de uma v.a. X ∼ U [a, b].
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 6 / 70
Parâmetros
Seja X v.a. com distribuição de probabilidades f (função de proba-
bilidades se X é discreta e função de densidade se X é contínua);
Um parâmetro é qualquer quantidade constante que dependa de
f .
Exemplos:
A probabilidade de sucesso p de um ensaio de Bernoulli;
O valor esperado µ = E(X) de uma v.a. X;
A variância σ2 = V ar(X) de uma v.a. X;
A taxa de ocorrências λ de uma Poisson;
O mínimo a e o máximo b de uma v.a. X ∼ U [a, b].
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 6 / 70
Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 6 / 70
Amostra
A população não pode ser completamente observada;
Embora constantes, os parâmetros são desconhecidos!
Uma amostra pode ser utilizada para aproximar os parâmetros;
Uma amostra selecionada por conveniência pode acarretar os seguin-
tes problemas:
I
resultados tendenciosos;
I
o comportamento probabilístico desconhecido;
Necessidade de uma amostra representativa;
Principal solução→ mecanismo aleatório para selecionar a amostra.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 7 / 70
Amostra
A população não pode ser completamente observada;
Embora constantes, os parâmetros são desconhecidos!
Uma amostra pode ser utilizada para aproximaros parâmetros;
Uma amostra selecionada por conveniência pode acarretar os seguin-
tes problemas:
I
resultados tendenciosos;
I
o comportamento probabilístico desconhecido;
Necessidade de uma amostra representativa;
Principal solução→ mecanismo aleatório para selecionar a amostra.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 7 / 70
Amostra
A população não pode ser completamente observada;
Embora constantes, os parâmetros são desconhecidos!
Uma amostra pode ser utilizada para aproximar os parâmetros;
Uma amostra selecionada por conveniência pode acarretar os seguin-
tes problemas:
I
resultados tendenciosos;
I
o comportamento probabilístico desconhecido;
Necessidade de uma amostra representativa;
Principal solução→ mecanismo aleatório para selecionar a amostra.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 7 / 70
Amostra
A população não pode ser completamente observada;
Embora constantes, os parâmetros são desconhecidos!
Uma amostra pode ser utilizada para aproximar os parâmetros;
Uma amostra selecionada por conveniência pode acarretar os seguin-
tes problemas:
I
resultados tendenciosos;
I
o comportamento probabilístico desconhecido;
Necessidade de uma amostra representativa;
Principal solução→ mecanismo aleatório para selecionar a amostra.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 7 / 70
Amostra
A população não pode ser completamente observada;
Embora constantes, os parâmetros são desconhecidos!
Uma amostra pode ser utilizada para aproximar os parâmetros;
Uma amostra selecionada por conveniência pode acarretar os seguin-
tes problemas:
I
resultados tendenciosos;
I
o comportamento probabilístico desconhecido;
Necessidade de uma amostra representativa;
Principal solução→ mecanismo aleatório para selecionar a amostra.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 7 / 70
Amostra
A população não pode ser completamente observada;
Embora constantes, os parâmetros são desconhecidos!
Uma amostra pode ser utilizada para aproximar os parâmetros;
Uma amostra selecionada por conveniência pode acarretar os seguin-
tes problemas:
I
resultados tendenciosos;
I
o comportamento probabilístico desconhecido;
Necessidade de uma amostra representativa;
Principal solução→ mecanismo aleatório para selecionar a amostra.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 7 / 70
Amostra
A população não pode ser completamente observada;
Embora constantes, os parâmetros são desconhecidos!
Uma amostra pode ser utilizada para aproximar os parâmetros;
Uma amostra selecionada por conveniência pode acarretar os seguin-
tes problemas:
I
resultados tendenciosos;
I
o comportamento probabilístico desconhecido;
Necessidade de uma amostra representativa;
Principal solução→ mecanismo aleatório para selecionar a amostra.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 7 / 70
Amostra
A população não pode ser completamente observada;
Embora constantes, os parâmetros são desconhecidos!
Uma amostra pode ser utilizada para aproximar os parâmetros;
Uma amostra selecionada por conveniência pode acarretar os seguin-
tes problemas:
I
resultados tendenciosos;
I
o comportamento probabilístico desconhecido;
Necessidade de uma amostra representativa;
Principal solução→ mecanismo aleatório para selecionar a amostra.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 7 / 70
Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 7 / 70
Amostra aleatória
Definição
Seja X uma v.a. Uma amostra aleatória (a.a.) de X é um conjunto de
observações independentes entre si e com a mesma distribuição de X.
Uma a.a. é caracterizada pré-experimentalmente;
As observações ainda não foram coletadas;
Portanto, uma a.a. é um conjunto de v.a.;
Uma a.a. de X de tamanho n é denotada X1, . . . , Xn.
Exercício: Em uma população de N indivíduos, K possuem determi-
nada característica. Suponha que desejamos selecionar n indívíduos para
inferir sobre a verdadeira proporção K/N de indivíduos com essa carac-
terística. Uma a.a. seria obtida se realizassemos o sorteio dos indívíduos
com ou sem reposição?
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 8 / 70
Amostra aleatória
Definição
Seja X uma v.a. Uma amostra aleatória (a.a.) de X é um conjunto de
observações independentes entre si e com a mesma distribuição de X.
Uma a.a. é caracterizada pré-experimentalmente;
As observações ainda não foram coletadas;
Portanto, uma a.a. é um conjunto de v.a.;
Uma a.a. de X de tamanho n é denotada X1, . . . , Xn.
Exercício: Em uma população de N indivíduos, K possuem determi-
nada característica. Suponha que desejamos selecionar n indívíduos para
inferir sobre a verdadeira proporção K/N de indivíduos com essa carac-
terística. Uma a.a. seria obtida se realizassemos o sorteio dos indívíduos
com ou sem reposição?
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 8 / 70
Amostra aleatória
Definição
Seja X uma v.a. Uma amostra aleatória (a.a.) de X é um conjunto de
observações independentes entre si e com a mesma distribuição de X.
Uma a.a. é caracterizada pré-experimentalmente;
As observações ainda não foram coletadas;
Portanto, uma a.a. é um conjunto de v.a.;
Uma a.a. de X de tamanho n é denotada X1, . . . , Xn.
Exercício: Em uma população de N indivíduos, K possuem determi-
nada característica. Suponha que desejamos selecionar n indívíduos para
inferir sobre a verdadeira proporção K/N de indivíduos com essa carac-
terística. Uma a.a. seria obtida se realizassemos o sorteio dos indívíduos
com ou sem reposição?
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 8 / 70
Amostra aleatória
Definição
Seja X uma v.a. Uma amostra aleatória (a.a.) de X é um conjunto de
observações independentes entre si e com a mesma distribuição de X.
Uma a.a. é caracterizada pré-experimentalmente;
As observações ainda não foram coletadas;
Portanto, uma a.a. é um conjunto de v.a.;
Uma a.a. de X de tamanho n é denotada X1, . . . , Xn.
Exercício: Em uma população de N indivíduos, K possuem determi-
nada característica. Suponha que desejamos selecionar n indívíduos para
inferir sobre a verdadeira proporção K/N de indivíduos com essa carac-
terística. Uma a.a. seria obtida se realizassemos o sorteio dos indívíduos
com ou sem reposição?
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 8 / 70
Amostra aleatória
Definição
Seja X uma v.a. Uma amostra aleatória (a.a.) de X é um conjunto de
observações independentes entre si e com a mesma distribuição de X.
Uma a.a. é caracterizada pré-experimentalmente;
As observações ainda não foram coletadas;
Portanto, uma a.a. é um conjunto de v.a.;
Uma a.a. de X de tamanho n é denotada X1, . . . , Xn.
Exercício: Em uma população de N indivíduos, K possuem determi-
nada característica. Suponha que desejamos selecionar n indívíduos para
inferir sobre a verdadeira proporção K/N de indivíduos com essa carac-
terística. Uma a.a. seria obtida se realizassemos o sorteio dos indívíduos
com ou sem reposição?
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 8 / 70
Amostra aleatória
Definição
Seja X uma v.a. Uma amostra aleatória (a.a.) de X é um conjunto de
observações independentes entre si e com a mesma distribuição de X.
Uma a.a. é caracterizada pré-experimentalmente;
As observações ainda não foram coletadas;
Portanto, uma a.a. é um conjunto de v.a.;
Uma a.a. de X de tamanho n é denotada X1, . . . , Xn.Exercício: Em uma população de N indivíduos, K possuem determi-
nada característica. Suponha que desejamos selecionar n indívíduos para
inferir sobre a verdadeira proporção K/N de indivíduos com essa carac-
terística. Uma a.a. seria obtida se realizassemos o sorteio dos indívíduos
com ou sem reposição?
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 8 / 70
Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 8 / 70
Exemplo
Considere um experimento de Bernoulli com probabilidade de sucesso p
(desconhecida) e seja X a v.a. que associa o valor 1 se esse experimento
resulta sucesso e 0 caso contrário. Dizemos queX é uma v.a. de Bernoulli
com parâmetro p e escrevemos X ∼ Ber(p). Note que também temos
X ∼ B(1, p).
Como tirar conclusões sobre a probabilidade de sucesso p?
Podemos coletar uma a.a. X1, . . . , Xn de X;
Após coletar a amostra podemos calcular a proporção amostral
pˆ;
Podemos usar o valor que pˆ fornecerá como aproximação de p;
Mas, antes de observar a a.a., pˆ é v.a., pois é função de v.a.'s;
Como dizer se pˆ será uma boa aproximação para p sem conhecer p
(e antes de obervar a amostra)?
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 9 / 70
Exemplo
Considere um experimento de Bernoulli com probabilidade de sucesso p
(desconhecida) e seja X a v.a. que associa o valor 1 se esse experimento
resulta sucesso e 0 caso contrário. Dizemos queX é uma v.a. de Bernoulli
com parâmetro p e escrevemos X ∼ Ber(p). Note que também temos
X ∼ B(1, p).
Como tirar conclusões sobre a probabilidade de sucesso p?
Podemos coletar uma a.a. X1, . . . , Xn de X;
Após coletar a amostra podemos calcular a proporção amostral
pˆ;
Podemos usar o valor que pˆ fornecerá como aproximação de p;
Mas, antes de observar a a.a., pˆ é v.a., pois é função de v.a.'s;
Como dizer se pˆ será uma boa aproximação para p sem conhecer p
(e antes de obervar a amostra)?
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Exemplo
Considere um experimento de Bernoulli com probabilidade de sucesso p
(desconhecida) e seja X a v.a. que associa o valor 1 se esse experimento
resulta sucesso e 0 caso contrário. Dizemos queX é uma v.a. de Bernoulli
com parâmetro p e escrevemos X ∼ Ber(p). Note que também temos
X ∼ B(1, p).
Como tirar conclusões sobre a probabilidade de sucesso p?
Podemos coletar uma a.a. X1, . . . , Xn de X;
Após coletar a amostra podemos calcular a proporção amostral
pˆ;
Podemos usar o valor que pˆ fornecerá como aproximação de p;
Mas, antes de observar a a.a., pˆ é v.a., pois é função de v.a.'s;
Como dizer se pˆ será uma boa aproximação para p sem conhecer p
(e antes de obervar a amostra)?
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Exemplo
Considere um experimento de Bernoulli com probabilidade de sucesso p
(desconhecida) e seja X a v.a. que associa o valor 1 se esse experimento
resulta sucesso e 0 caso contrário. Dizemos queX é uma v.a. de Bernoulli
com parâmetro p e escrevemos X ∼ Ber(p). Note que também temos
X ∼ B(1, p).
Como tirar conclusões sobre a probabilidade de sucesso p?
Podemos coletar uma a.a. X1, . . . , Xn de X;
Após coletar a amostra podemos calcular a proporção amostral
pˆ;
Podemos usar o valor que pˆ fornecerá como aproximação de p;
Mas, antes de observar a a.a., pˆ é v.a., pois é função de v.a.'s;
Como dizer se pˆ será uma boa aproximação para p sem conhecer p
(e antes de obervar a amostra)?
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Exemplo
Considere um experimento de Bernoulli com probabilidade de sucesso p
(desconhecida) e seja X a v.a. que associa o valor 1 se esse experimento
resulta sucesso e 0 caso contrário. Dizemos queX é uma v.a. de Bernoulli
com parâmetro p e escrevemos X ∼ Ber(p). Note que também temos
X ∼ B(1, p).
Como tirar conclusões sobre a probabilidade de sucesso p?
Podemos coletar uma a.a. X1, . . . , Xn de X;
Após coletar a amostra podemos calcular a proporção amostral
pˆ;
Podemos usar o valor que pˆ fornecerá como aproximação de p;
Mas, antes de observar a a.a., pˆ é v.a., pois é função de v.a.'s;
Como dizer se pˆ será uma boa aproximação para p sem conhecer p
(e antes de obervar a amostra)?
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Exemplo
Considere um experimento de Bernoulli com probabilidade de sucesso p
(desconhecida) e seja X a v.a. que associa o valor 1 se esse experimento
resulta sucesso e 0 caso contrário. Dizemos queX é uma v.a. de Bernoulli
com parâmetro p e escrevemos X ∼ Ber(p). Note que também temos
X ∼ B(1, p).
Como tirar conclusões sobre a probabilidade de sucesso p?
Podemos coletar uma a.a. X1, . . . , Xn de X;
Após coletar a amostra podemos calcular a proporção amostral
pˆ;
Podemos usar o valor que pˆ fornecerá como aproximação de p;
Mas, antes de observar a a.a., pˆ é v.a., pois é função de v.a.'s;
Como dizer se pˆ será uma boa aproximação para p sem conhecer p
(e antes de obervar a amostra)?
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Exemplo
Considere um experimento de Bernoulli com probabilidade de sucesso p
(desconhecida) e seja X a v.a. que associa o valor 1 se esse experimento
resulta sucesso e 0 caso contrário. Dizemos queX é uma v.a. de Bernoulli
com parâmetro p e escrevemos X ∼ Ber(p). Note que também temos
X ∼ B(1, p).
Como tirar conclusões sobre a probabilidade de sucesso p?
Podemos coletar uma a.a. X1, . . . , Xn de X;
Após coletar a amostra podemos calcular a proporção amostral
pˆ;
Podemos usar o valor que pˆ fornecerá como aproximação de p;
Mas, antes de observar a a.a., pˆ é v.a., pois é função de v.a.'s;
Como dizer se pˆ será uma boa aproximação para p sem conhecer p
(e antes de obervar a amostra)?
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Estimador
Definição
Sejam X v.a. cuja distribuição depende de um parâmetro θ e X1, . . . , Xn
a.a. de tamanho n de X. Um estimador θˆ de θ é qualquer função da
amostra X1, . . . , Xn utilizada para aproximar (estimar) o valor de θ. Isto
é,
θˆ = θˆ(X1, . . . , Xn).
Suponha que a amostra observada (ponto amostral) foi x1, . . . , xn,
isto é, que
X1 = x1, . . . , Xn = xn.
A realização de θˆ, θˆ(x1, . . . , xn), é denominada estimativa.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 10 / 70
Exemplos de estimadores
Dada uma a.a. X1, . . . , Xn, alguns exemplos de estimadores são:
O total
∑n
i=1Xi;
A média X¯ = 1n
∑n
i=1Xi;
A variância (viciada) σˆ2 = 1n
∑n
i=1(Xi − X¯)2;
A variância (não viciada) S2 = 1n−1
∑n
i=1(Xi − X¯)2;
O mínimo X(1) = min{X1, . . . , Xn};
O máximo X(n) = max{X1, . . . , Xn};
A proporção pˆ = 1n
∑n
i=1Xi (se a a.a. for de uma v.a. Bernoulli).
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Exemplos de estimadores
Dada uma a.a. X1, . . . , Xn, alguns exemplos de estimadores são:
O total
∑n
i=1Xi;
A média X¯ = 1n
∑n
i=1Xi;
A variância (viciada) σˆ2 = 1n
∑n
i=1(Xi − X¯)2;
A variância (não viciada) S2 = 1n−1
∑n
i=1(Xi − X¯)2;
O mínimo X(1) = min{X1, . . . , Xn};
O máximo X(n) = max{X1, . . . , Xn};
A proporção pˆ = 1n
∑n
i=1Xi (se a a.a. for de uma v.a. Bernoulli).
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Exemplos de estimadores
Dada uma a.a. X1, . . . , Xn, alguns exemplos de estimadores são:
O total
∑n
i=1Xi;
A média X¯ = 1n
∑n
i=1Xi;
A variância (viciada) σˆ2 = 1n
∑n
i=1(Xi − X¯)2;
A variância (não viciada) S2 = 1n−1
∑n
i=1(Xi − X¯)2;
O mínimo X(1)= min{X1, . . . , Xn};
O máximo X(n) = max{X1, . . . , Xn};
A proporção pˆ = 1n
∑n
i=1Xi (se a a.a. for de uma v.a. Bernoulli).
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Exemplos de estimadores
Dada uma a.a. X1, . . . , Xn, alguns exemplos de estimadores são:
O total
∑n
i=1Xi;
A média X¯ = 1n
∑n
i=1Xi;
A variância (viciada) σˆ2 = 1n
∑n
i=1(Xi − X¯)2;
A variância (não viciada) S2 = 1n−1
∑n
i=1(Xi − X¯)2;
O mínimo X(1) = min{X1, . . . , Xn};
O máximo X(n) = max{X1, . . . , Xn};
A proporção pˆ = 1n
∑n
i=1Xi (se a a.a. for de uma v.a. Bernoulli).
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Exemplos de estimadores
Dada uma a.a. X1, . . . , Xn, alguns exemplos de estimadores são:
O total
∑n
i=1Xi;
A média X¯ = 1n
∑n
i=1Xi;
A variância (viciada) σˆ2 = 1n
∑n
i=1(Xi − X¯)2;
A variância (não viciada) S2 = 1n−1
∑n
i=1(Xi − X¯)2;
O mínimo X(1) = min{X1, . . . , Xn};
O máximo X(n) = max{X1, . . . , Xn};
A proporção pˆ = 1n
∑n
i=1Xi (se a a.a. for de uma v.a. Bernoulli).
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Exemplos de estimadores
Dada uma a.a. X1, . . . , Xn, alguns exemplos de estimadores são:
O total
∑n
i=1Xi;
A média X¯ = 1n
∑n
i=1Xi;
A variância (viciada) σˆ2 = 1n
∑n
i=1(Xi − X¯)2;
A variância (não viciada) S2 = 1n−1
∑n
i=1(Xi − X¯)2;
O mínimo X(1) = min{X1, . . . , Xn};
O máximo X(n) = max{X1, . . . , Xn};
A proporção pˆ = 1n
∑n
i=1Xi (se a a.a. for de uma v.a. Bernoulli).
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Exemplos de estimadores
Dada uma a.a. X1, . . . , Xn, alguns exemplos de estimadores são:
O total
∑n
i=1Xi;
A média X¯ = 1n
∑n
i=1Xi;
A variância (viciada) σˆ2 = 1n
∑n
i=1(Xi − X¯)2;
A variância (não viciada) S2 = 1n−1
∑n
i=1(Xi − X¯)2;
O mínimo X(1) = min{X1, . . . , Xn};
O máximo X(n) = max{X1, . . . , Xn};
A proporção pˆ = 1n
∑n
i=1Xi (se a a.a. for de uma v.a. Bernoulli).
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Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 11 / 70
Distribuição amostral
Estimadores → pré-observacional → são v.a.'s;
Estimadores tem distribuição de probabilidades denominada distri-
buição amostral.
Definição
Seja X v.a. com distribuição de probabilidades dependente de um parâ-
metro θ. Seja θˆ um estimador de θ. A distribuição amostral de θˆ é a
distribuição de probabilidades da v.a. (estimador) θˆ.
A distribuição amostral depende principalmente:
I
da distribuição da v.a. X cuja amostra X1, . . . , Xn foi coletada;
I
do tipo de amostragem realizada.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 12 / 70
Distribuição amostral
Estimadores → pré-observacional → são v.a.'s;
Estimadores tem distribuição de probabilidades denominada distri-
buição amostral.
Definição
Seja X v.a. com distribuição de probabilidades dependente de um parâ-
metro θ. Seja θˆ um estimador de θ. A distribuição amostral de θˆ é a
distribuição de probabilidades da v.a. (estimador) θˆ.
A distribuição amostral depende principalmente:
I
da distribuição da v.a. X cuja amostra X1, . . . , Xn foi coletada;
I
do tipo de amostragem realizada.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 12 / 70
Distribuição amostral
Estimadores → pré-observacional → são v.a.'s;
Estimadores tem distribuição de probabilidades denominada distri-
buição amostral.
Definição
Seja X v.a. com distribuição de probabilidades dependente de um parâ-
metro θ. Seja θˆ um estimador de θ. A distribuição amostral de θˆ é a
distribuição de probabilidades da v.a. (estimador) θˆ.
A distribuição amostral depende principalmente:
I
da distribuição da v.a. X cuja amostra X1, . . . , Xn foi coletada;
I
do tipo de amostragem realizada.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 12 / 70
Distribuição amostral
Estimadores → pré-observacional → são v.a.'s;
Estimadores tem distribuição de probabilidades denominada distri-
buição amostral.
Definição
Seja X v.a. com distribuição de probabilidades dependente de um parâ-
metro θ. Seja θˆ um estimador de θ. A distribuição amostral de θˆ é a
distribuição de probabilidades da v.a. (estimador) θˆ.
A distribuição amostral depende principalmente:
I
da distribuição da v.a. X cuja amostra X1, . . . , Xn foi coletada;
I
do tipo de amostragem realizada.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 12 / 70
Distribuição amostral
Estimadores → pré-observacional → são v.a.'s;
Estimadores tem distribuição de probabilidades denominada distri-
buição amostral.
Definição
Seja X v.a. com distribuição de probabilidades dependente de um parâ-
metro θ. Seja θˆ um estimador de θ. A distribuição amostral de θˆ é a
distribuição de probabilidades da v.a. (estimador) θˆ.
A distribuição amostral depende principalmente:
I
da distribuição da v.a. X cuja amostra X1, . . . , Xn foi coletada;
I
do tipo de amostragem realizada.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 12 / 70
Distribuição amostral
Estimadores → pré-observacional → são v.a.'s;
Estimadores tem distribuição de probabilidades denominada distri-
buição amostral.
Definição
Seja X v.a. com distribuição de probabilidades dependente de um parâ-
metro θ. Seja θˆ um estimador de θ. A distribuição amostral de θˆ é a
distribuição de probabilidades da v.a. (estimador) θˆ.
A distribuição amostral depende principalmente:
I
da distribuição da v.a. X cuja amostra X1, . . . , Xn foi coletada;
I
do tipo de amostragem realizada.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 12 / 70
Exemplo
Suponha nove indivíduos: dois com nenhum filho; três com um filho;
e quatro com dois filhos. Denote X como o número de filhos de um
indivíduo selecionado ao acaso dessa população.
Temos que a função de
probabilidades de X é dada por:
X 0 1 2
PX
2
9
1
3
4
9
O valor esperado de X é µ = E(X) = 119 = 1.22.
Um pesquisador desconhece a distribuição de X e o valor de µ. Para
inferir sobre µ, esse pesquisador:
coletará uma amostra com reposição de X de tamanho n = 2:
X1, X2;
utilizará X¯ = X1+X22 para estimar µ.
Encontremos a distribuição amostral de X¯.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 13 / 70
Exemplo
Suponha nove indivíduos: dois com nenhum filho; três com um filho;
e quatro com dois filhos. Denote X como o número de filhos de um
indivíduo selecionado ao acaso dessa população. Temos que a função de
probabilidades de X é dada por:
X 0 1 2
PX
2
9
1
3
4
9
O valor esperado de X é µ = E(X) = 119 = 1.22.
Um pesquisador desconhece a distribuição de X e o valor de µ. Para
inferir sobre µ, esse pesquisador:
coletará uma amostra com reposição de X de tamanho n = 2:
X1, X2;
utilizará X¯ = X1+X22 para estimar µ.
Encontremos a distribuição amostral de X¯.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 13 / 70
Exemplo
Suponha nove indivíduos: dois com nenhum filho; três com um filho;
e quatro com dois filhos. Denote X como o número de filhos de um
indivíduo selecionado ao acaso dessa população. Temos que a função de
probabilidades de X é dada por:
X 0 1 2
PX
2
9
1
3
4
9
O valor esperado de X é µ = E(X) = 119 = 1.22.
Um pesquisador desconhece a distribuição de X e o valor de µ. Para
inferir sobre µ, esse pesquisador:
coletará uma amostra com reposição de X de tamanho n = 2:
X1, X2;
utilizará X¯ = X1+X22 para estimar µ.
Encontremos a distribuiçãoamostral de X¯.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 13 / 70
Exemplo
Suponha nove indivíduos: dois com nenhum filho; três com um filho;
e quatro com dois filhos. Denote X como o número de filhos de um
indivíduo selecionado ao acaso dessa população. Temos que a função de
probabilidades de X é dada por:
X 0 1 2
PX
2
9
1
3
4
9
O valor esperado de X é µ = E(X) = 119 = 1.22.
Um pesquisador desconhece a distribuição de X e o valor de µ. Para
inferir sobre µ, esse pesquisador:
coletará uma amostra com reposição de X de tamanho n = 2:
X1, X2;
utilizará X¯ = X1+X22 para estimar µ.
Encontremos a distribuição amostral de X¯.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 13 / 70
Exemplo - cont.
A tabela abaixo mostra os possíveis pontos amostrais; suas respectivas
probabilidades e as estimativas geradas por esses pontos.
(x1, x2) PX1,X2(x1, x2) x¯
(0, 0) 4/81 0
(0, 1) 2/27 0.5
(0, 2) 8/81 1
(1, 0) 2/27 0.5
(1, 1) 1/9 1
(1, 2) 4/27 1.5
(2, 0) 8/81 1
(2, 1) 4/27 1.5
(2, 2) 16/81 2
Total 1 -
Distribuição de X¯ é:
X¯ 0 0.5 1 1.5 2
PX¯
4
81
4
27
25
81
8
27
16
81
O valor esperado de X¯ é:
µX¯ =
2
27
+
25
81
+
12
27
+
32
81
=
1
81
(6 + 25 + 36 + 32)
=
99
81
=
11
9
= µ
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 14 / 70
Exemplo - cont.
A tabela abaixo mostra os possíveis pontos amostrais; suas respectivas
probabilidades e as estimativas geradas por esses pontos.
(x1, x2) PX1,X2(x1, x2) x¯
(0, 0) 4/81 0
(0, 1) 2/27 0.5
(0, 2) 8/81 1
(1, 0) 2/27 0.5
(1, 1) 1/9 1
(1, 2) 4/27 1.5
(2, 0) 8/81 1
(2, 1) 4/27 1.5
(2, 2) 16/81 2
Total 1 -
Distribuição de X¯ é:
X¯ 0 0.5 1 1.5 2
PX¯
4
81
4
27
25
81
8
27
16
81
O valor esperado de X¯ é:
µX¯ =
2
27
+
25
81
+
12
27
+
32
81
=
1
81
(6 + 25 + 36 + 32)
=
99
81
=
11
9
= µ
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 14 / 70
Exemplo - cont.
A tabela abaixo mostra os possíveis pontos amostrais; suas respectivas
probabilidades e as estimativas geradas por esses pontos.
(x1, x2) PX1,X2(x1, x2) x¯
(0, 0) 4/81 0
(0, 1) 2/27 0.5
(0, 2) 8/81 1
(1, 0) 2/27 0.5
(1, 1) 1/9 1
(1, 2) 4/27 1.5
(2, 0) 8/81 1
(2, 1) 4/27 1.5
(2, 2) 16/81 2
Total 1 -
Distribuição de X¯ é:
X¯ 0 0.5 1 1.5 2
PX¯
4
81
4
27
25
81
8
27
16
81
O valor esperado de X¯ é:
µX¯ =
2
27
+
25
81
+
12
27
+
32
81
=
1
81
(6 + 25 + 36 + 32)
=
99
81
=
11
9
= µ
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 14 / 70
Exemplo - cont.
A tabela abaixo mostra os possíveis pontos amostrais; suas respectivas
probabilidades e as estimativas geradas por esses pontos.
(x1, x2) PX1,X2(x1, x2) x¯
(0, 0) 4/81 0
(0, 1) 2/27 0.5
(0, 2) 8/81 1
(1, 0) 2/27 0.5
(1, 1) 1/9 1
(1, 2) 4/27 1.5
(2, 0) 8/81 1
(2, 1) 4/27 1.5
(2, 2) 16/81 2
Total 1 -
Distribuição de X¯ é:
X¯ 0 0.5 1 1.5 2
PX¯
4
81
4
27
25
81
8
27
16
81
O valor esperado de X¯ é:
µX¯ =
2
27
+
25
81
+
12
27
+
32
81
=
1
81
(6 + 25 + 36 + 32)
=
99
81
=
11
9
= µ
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 14 / 70
Exemplo - cont.
A tabela abaixo mostra os possíveis pontos amostrais; suas respectivas
probabilidades e as estimativas geradas por esses pontos.
(x1, x2) PX1,X2(x1, x2) x¯
(0, 0) 4/81 0
(0, 1) 2/27 0.5
(0, 2) 8/81 1
(1, 0) 2/27 0.5
(1, 1) 1/9 1
(1, 2) 4/27 1.5
(2, 0) 8/81 1
(2, 1) 4/27 1.5
(2, 2) 16/81 2
Total 1 -
Distribuição de X¯ é:
X¯ 0 0.5 1 1.5 2
PX¯
4
81
4
27
25
81
8
27
16
81
O valor esperado de X¯ é:
µX¯ =
2
27
+
25
81
+
12
27
+
32
81
=
1
81
(6 + 25 + 36 + 32)
=
99
81
=
11
9
= µ
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 14 / 70
Exemplo - cont.
A tabela abaixo mostra os possíveis pontos amostrais; suas respectivas
probabilidades e as estimativas geradas por esses pontos.
(x1, x2) PX1,X2(x1, x2) x¯
(0, 0) 4/81 0
(0, 1) 2/27 0.5
(0, 2) 8/81 1
(1, 0) 2/27 0.5
(1, 1) 1/9 1
(1, 2) 4/27 1.5
(2, 0) 8/81 1
(2, 1) 4/27 1.5
(2, 2) 16/81 2
Total 1 -
Distribuição de X¯ é:
X¯ 0 0.5 1 1.5 2
PX¯
4
81
4
27
25
81
8
27
16
81
O valor esperado de X¯ é:
µX¯ =
2
27
+
25
81
+
12
27
+
32
81
=
1
81
(6 + 25 + 36 + 32)
=
99
81
=
11
9
= µ
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 14 / 70
Exemplo - cont.
A tabela abaixo mostra os possíveis pontos amostrais; suas respectivas
probabilidades e as estimativas geradas por esses pontos.
(x1, x2) PX1,X2(x1, x2) x¯
(0, 0) 4/81 0
(0, 1) 2/27 0.5
(0, 2) 8/81 1
(1, 0) 2/27 0.5
(1, 1) 1/9 1
(1, 2) 4/27 1.5
(2, 0) 8/81 1
(2, 1) 4/27 1.5
(2, 2) 16/81 2
Total 1 -
Distribuição de X¯ é:
X¯ 0 0.5 1 1.5 2
PX¯
4
81
4
27
25
81
8
27
16
81
O valor esperado de X¯ é:
µX¯ =
2
27
+
25
81
+
12
27
+
32
81
=
1
81
(6 + 25 + 36 + 32)
=
99
81
=
11
9
= µ
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 14 / 70
Exemplo - cont.
A tabela abaixo mostra os possíveis pontos amostrais; suas respectivas
probabilidades e as estimativas geradas por esses pontos.
(x1, x2) PX1,X2(x1, x2) x¯
(0, 0) 4/81 0
(0, 1) 2/27 0.5
(0, 2) 8/81 1
(1, 0) 2/27 0.5
(1, 1) 1/9 1
(1, 2) 4/27 1.5
(2, 0) 8/81 1
(2, 1) 4/27 1.5
(2, 2) 16/81 2
Total 1 -
Distribuição de X¯ é:
X¯ 0 0.5 1 1.5 2
PX¯
4
81
4
27
25
81
8
27
16
81
O valor esperado de X¯ é:
µX¯ =
2
27
+
25
81
+
12
27
+
32
81
=
1
81
(6 + 25 + 36 + 32)
=
99
81
=
11
9
= µ
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 14 / 70
Exemplo - cont.
A tabela abaixo mostra os possíveis pontos amostrais; suas respectivas
probabilidades e as estimativas geradas por esses pontos.
(x1, x2) PX1,X2(x1, x2) x¯
(0, 0) 4/81 0
(0, 1) 2/27 0.5
(0, 2) 8/81 1
(1, 0) 2/27 0.5
(1, 1) 1/9 1
(1, 2) 4/27 1.5
(2, 0) 8/81 1
(2, 1) 4/27 1.5
(2, 2) 16/81 2
Total 1 -
Distribuição de X¯ é:
X¯ 0 0.5 1 1.5 2
PX¯
4
81
4
27
25
81
8
27
16
81
O valor esperado de X¯ é:
µX¯ =
2
27
+
25
81
+
12
27
+
32
81
=
1
81
(6 + 25 + 36 + 32)
=
99
81
=
11
9
= µ
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 14 / 70
Exemplo - cont.
A tabela abaixo mostra os possíveis pontos amostrais; suas respectivas
probabilidades e as estimativas geradas por esses pontos.
(x1, x2) PX1,X2(x1, x2) x¯
(0, 0) 4/81 0
(0, 1) 2/27 0.5
(0, 2) 8/81 1
(1, 0) 2/27 0.5
(1, 1) 1/9 1
(1, 2) 4/27 1.5
(2, 0) 8/81 1
(2, 1) 4/27 1.5
(2, 2) 16/81 2
Total 1 -
Distribuição de X¯ é:
X¯ 0 0.5 1 1.5 2
PX¯
4
81
4
27
25
81
8
27
16
81
O valor esperado de X¯ é:
µX¯ =
2
27
+
25
81
+
12
27
+
32
81
=
1
81
(6 + 25 + 36 + 32)
=
99
81
=
11
9
= µ
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 14 / 70
Exemplo - cont.
A tabela abaixo mostra os possíveis pontos amostrais; suas respectivas
probabilidades e as estimativas geradas por esses pontos.
(x1, x2) PX1,X2(x1, x2) x¯
(0, 0) 4/81 0
(0, 1) 2/27 0.5
(0, 2) 8/81 1
(1, 0) 2/27 0.5
(1, 1) 1/9 1
(1, 2) 4/27 1.5
(2, 0) 8/81 1
(2, 1) 4/27 1.5
(2, 2) 16/81 2
Total 1 -
Distribuição de X¯ é:
X¯ 0 0.5 1 1.5 2
PX¯
4
81
4
27
25
81
8
27
16
81
O valor esperado de X¯ é:
µX¯ =
2
27
+
25
81
+
12
27
+
32
81
=
1
81
(6 + 25 + 36 + 32)
=
99
81
=
11
9
= µ
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 14 / 70
Exemplo - cont.
Exercício: Refaça o exemploanterior com amostragem sem reposição
para verificar que a distribuição amostral de X¯ é modificada. Verifique
a distribuição amostral de S2.
A diferença na distribuição amostral provocada por amostragem com
e sem reposição é menos evidente quando o tamanho da população
é grande;
Esse efeito é nulo para populações infinitas;
No exemplo anterior a amostragem com reposição fornece uma a.a;
De agora em diante consideraremos apenas amostras aleatórias.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 15 / 70
Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 15 / 70
Consistência e distribuição amostral assintótica
Teorema
(Populações infinitas) Seja X1, . . . , Xn a.a. de X, onde E(X) = µ e V ar(X) = σ
2 < ∞. Então
E(X¯) = µ e V ar(X¯) = σ
2
n
, onde X¯ = 1
n
∑n
i=1Xi é a média amostral.
Teorema
(Teorema Central do Limite - TCL) Seja X1, . . . , Xn a.a. de X, onde E(X) = µ e V ar(X) = σ
2 <∞.
Então a v.a.
Zn =
X¯ − µ
σ/
√
n
tem distribuição aproximadamente normal padrão. A aproximação fica melhor com o aumento de n.
Corolário
(Populações infinitas) Seja X1, . . . , Xn a.a. de X ∼ Ben(p). Então, se pˆ for a proporção amostral,
Zn =
pˆ− p√
p(1− p)/n
tem distribuição aproximadamente normal-padrão. A aproximação fica melhor com o aumento de n.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 16 / 70
Comentários
A média amostral tem distribuição aproximadamente normal com
parâmetros µ e σ
2
n ;
A aproximação se torna melhor com o aumento do tamanho amostral
n;
O valor de n necessário para que a aproximação seja boa depende
da distribuição dos dados;
Dados provenientes de distribuições assimétricas exigem o valor de
n maior.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 17 / 70
Número de amostras coletadas: 10000.
0 4 8
0.
00
0.
04
0.
08
U [ 0 , 10 ]
D
en
si
da
de
l l
l l
n = 10
X
D
en
si
da
de
2 4 6 8
0.
0
0.
2
0.
4
n = 30
X
D
en
si
da
de
3 5 7
0.
0
0.
3
0.
6
n = 1000
X
D
en
si
da
de
4.6 5.0 5.4
0
1
2
3
4
0 4 8
0.
00
0.
10
0.
20
Exp ( 0.2 )
D
en
si
da
de
l
l
n = 10
X
D
en
si
da
de
2 6 10
0.
00
0.
15
n = 30
X
D
en
si
da
de
3 5 7 9
0.
0
0.
2
0.
4
n = 1000
X
D
en
si
da
de
4.4 5.0 5.6
0.
0
1.
0
2.
0
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 18 / 70
Exemplo
Seja T o tempo em meses que uma lâmpada produzida por determinada
empresa dura até queimar. Suponha que T ∼ Exp(λ), onde λ = 0.25.
Uma sala é iluminada por essa lâmpada. Caso queime uma lâmpada ela
é imediatamente trocada. Se há 36 dessas lâmpadas no estoque. Qual a
probabilidade que não haja mais lâmpadas em estoque em menos de 9
anos?
Primeiramente:
µ = E(T ) = 1λ =
1
0.25 = 4;
σ2 = V ar(T ) = 1
λ2
= 16.
Portanto, temos que
P
(
36∑
i=1
Ti < 9× 12
)
= P (T¯ < 3) = P
(
T¯ − µ
σ/
√
n
<
3− 4
4/
√
36
)
= P (Zn < −1.5) ≈ P (Z < −1.5)
= 0.05591
A aproximação acima se deve ao TCL.
A probabilidade exata é 0.05588.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 19 / 70
Exemplo
Seja T o tempo em meses que uma lâmpada produzida por determinada
empresa dura até queimar. Suponha que T ∼ Exp(λ), onde λ = 0.25.
Uma sala é iluminada por essa lâmpada. Caso queime uma lâmpada ela
é imediatamente trocada. Se há 36 dessas lâmpadas no estoque. Qual a
probabilidade que não haja mais lâmpadas em estoque em menos de 9
anos?
Primeiramente:
µ = E(T ) = 1λ =
1
0.25 = 4;
σ2 = V ar(T ) = 1
λ2
= 16.
Portanto, temos que
P
(
36∑
i=1
Ti < 9× 12
)
= P (T¯ < 3) = P
(
T¯ − µ
σ/
√
n
<
3− 4
4/
√
36
)
= P (Zn < −1.5) ≈ P (Z < −1.5)
= 0.05591
A aproximação acima se deve ao TCL. A probabilidade exata é 0.05588.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 19 / 70
Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 19 / 70
Introdução
Podemos dividir a tarefa de estimação de parâmetros em:
Estimação pontual:
I
lida com a avaliação do desempenho de um estimador;
Estimação intervalar:
I
lida com a construção de intervalos que englobam a variabilidade do
estimador no processo de estimação.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 20 / 70
Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 20 / 70
Estimação pontual
Sejam X v.a., X1, . . . , Xn uma a.a. de X e θ um parâmetro;
Um estimador de θ é qualquer função de X1, . . . , Xn utilizada para
aproximar o valor de θ;
Assim sendo, é possível definir diversos estimadores para um deter-
minado parâmetro;
Como avaliar a qualidade desses estimadores?
Resposta:
I
Vício;
I
Erro-padrão;
I
Erro Quadrático Médio (EQM).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 21 / 70
Estimação pontual
Sejam X v.a., X1, . . . , Xn uma a.a. de X e θ um parâmetro;
Um estimador de θ é qualquer função de X1, . . . , Xn utilizada para
aproximar o valor de θ;
Assim sendo, é possível definir diversos estimadores para um deter-
minado parâmetro;
Como avaliar a qualidade desses estimadores?
Resposta:
I
Vício;
I
Erro-padrão;
I
Erro Quadrático Médio (EQM).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 21 / 70
Estimação pontual
Sejam X v.a., X1, . . . , Xn uma a.a. de X e θ um parâmetro;
Um estimador de θ é qualquer função de X1, . . . , Xn utilizada para
aproximar o valor de θ;
Assim sendo, é possível definir diversos estimadores para um deter-
minado parâmetro;
Como avaliar a qualidade desses estimadores?
Resposta:
I
Vício;
I
Erro-padrão;
I
Erro Quadrático Médio (EQM).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 21 / 70
Estimação pontual
Sejam X v.a., X1, . . . , Xn uma a.a. de X e θ um parâmetro;
Um estimador de θ é qualquer função de X1, . . . , Xn utilizada para
aproximar o valor de θ;
Assim sendo, é possível definir diversos estimadores para um deter-
minado parâmetro;
Como avaliar a qualidade desses estimadores?
Resposta:
I
Vício;
I
Erro-padrão;
I
Erro Quadrático Médio (EQM).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 21 / 70
Estimação pontual
Sejam X v.a., X1, . . . , Xn uma a.a. de X e θ um parâmetro;
Um estimador de θ é qualquer função de X1, . . . , Xn utilizada para
aproximar o valor de θ;
Assim sendo, é possível definir diversos estimadores para um deter-
minado parâmetro;
Como avaliar a qualidade desses estimadores?
Resposta:
I
Vício;
I
Erro-padrão;
I
Erro Quadrático Médio (EQM).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 21 / 70
Estimação pontual
Sejam X v.a.,X1, . . . , Xn uma a.a. de X e θ um parâmetro;
Um estimador de θ é qualquer função de X1, . . . , Xn utilizada para
aproximar o valor de θ;
Assim sendo, é possível definir diversos estimadores para um deter-
minado parâmetro;
Como avaliar a qualidade desses estimadores?
Resposta:
I
Vício;
I
Erro-padrão;
I
Erro Quadrático Médio (EQM).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 21 / 70
Estimação pontual
Sejam X v.a., X1, . . . , Xn uma a.a. de X e θ um parâmetro;
Um estimador de θ é qualquer função de X1, . . . , Xn utilizada para
aproximar o valor de θ;
Assim sendo, é possível definir diversos estimadores para um deter-
minado parâmetro;
Como avaliar a qualidade desses estimadores?
Resposta:
I
Vício;
I
Erro-padrão;
I
Erro Quadrático Médio (EQM).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 21 / 70
Estimação pontual
Sejam X v.a., X1, . . . , Xn uma a.a. de X e θ um parâmetro;
Um estimador de θ é qualquer função de X1, . . . , Xn utilizada para
aproximar o valor de θ;
Assim sendo, é possível definir diversos estimadores para um deter-
minado parâmetro;
Como avaliar a qualidade desses estimadores?
Resposta:
I
Vício;
I
Erro-padrão;
I
Erro Quadrático Médio (EQM).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 21 / 70
Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 21 / 70
Vício
Deve ser esperado de um bom estimador que ele forneça o verda-
deiro valor do parâmetro;
O vício de um estimador mede, em média, quanto o estimador se
distância do parâmetro.
Definição
Seja θ um parâmetro e θˆ um estimador de θ. O vício (ou viés) de θˆ é
definido por
B(θˆ) = E(θˆ)− θ = µθˆ − θ,
onde µθˆ = E(θˆ) é o valor esperado de θˆ.
Dizemos que θˆ é não viciado (ou não viesado) se seu vício B(θˆ) = 0.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 22 / 70
Vício
Deve ser esperado de um bom estimador que ele forneça o verda-
deiro valor do parâmetro;
O vício de um estimador mede, em média, quanto o estimador se
distância do parâmetro.
Definição
Seja θ um parâmetro e θˆ um estimador de θ. O vício (ou viés) de θˆ é
definido por
B(θˆ) = E(θˆ)− θ = µθˆ − θ,
onde µθˆ = E(θˆ) é o valor esperado de θˆ.
Dizemos que θˆ é não viciado (ou não viesado) se seu vício B(θˆ) = 0.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 22 / 70
Vício
Deve ser esperado de um bom estimador que ele forneça o verda-
deiro valor do parâmetro;
O vício de um estimador mede, em média, quanto o estimador se
distância do parâmetro.
Definição
Seja θ um parâmetro e θˆ um estimador de θ. O vício (ou viés) de θˆ é
definido por
B(θˆ) = E(θˆ)− θ = µθˆ − θ,
onde µθˆ = E(θˆ) é o valor esperado de θˆ.
Dizemos que θˆ é não viciado (ou não viesado) se seu vício B(θˆ) = 0.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 22 / 70
Vício
Deve ser esperado de um bom estimador que ele forneça o verda-
deiro valor do parâmetro;
O vício de um estimador mede, em média, quanto o estimador se
distância do parâmetro.
Definição
Seja θ um parâmetro e θˆ um estimador de θ. O vício (ou viés) de θˆ é
definido por
B(θˆ) = E(θˆ)− θ = µθˆ − θ,
onde µθˆ = E(θˆ) é o valor esperado de θˆ.
Dizemos que θˆ é não viciado (ou não viesado) se seu vício B(θˆ) = 0.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 22 / 70
θ
θˆV não viciado
θˆA viciado
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 23 / 70
Exemplo 1
Suponha que serão observadas n − 1 ≥ 1 observações X1, . . . , Xn−1 de
X, com µ = E(X). Defina a média dessas n−1 observações por X¯n−1 =
1
n−1
∑n−1
i=1 Xi. Suponha que uma nova observação Xn ficará disponível.
Considere os seguintes estimadores de µ:
µˆ1 =
n− 1
n
X¯n−1 +
1
n
Xn e µˆ2 =
X¯n−1 +Xn
2
.
Qual deles é não viciado?
Temos que
E(µˆ1) =
n− 1
n
E(X¯n−1) +
1
n
E(Xn) =
n− 1
n
µ+
1
n
µ = µ
e
E(µˆ2) =
E(X¯n−1 +Xn)
2
=
E(X¯n−1) + E(Xn)
2
=
µ+ µ
2
= µ.
Portanto, ambos são não viesados.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 24 / 70
Exemplo 2
O estimador σˆ2 = 1n
∑n
i=1(Xi − X¯)2 é viciado para estimar σ2! De fato,
E(σˆ2) =
1
n
n∑
i=1
E[(Xi − X¯)2] = 1
n
n∑
i=1
E[(Xi − µ− (X¯ − µ))2]
=
1
n
n∑
i=1
E[(Xi − µ)2 − 2(Xi − µ)(X¯ − µ) + (X¯ − µ)2]
=
1
n
n∑
i=1
σ2 − 2E
(Xi − µ)
 1
n
∑
j
(Xj − µ)
+ E[(X¯ − µ)2]

=
1
n
n∑
i=1
σ2 − 2n∑
j
E[(Xi − µ)(Xj − µ)] + σ
2
n

=
1
n
n∑
i=1
{
σ2 − 2σ
2
n
+
σ2
n
}
= σ2−σ
2
n
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 25 / 70
Exercício
Tendo em vista o exemplo anterior, mostre que S2 é um estimador não
viesado de σ2.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 26 / 70
Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 26 / 70
Erro-padrão
Estimadores são v.a.;
Além do vício, é importante saber a sua variabilidade;
Podemos comparar dois estimadores não viesados pelo seu Erro-
padrão.
Definição
Seja θˆ estimador de θ. Denominamos erro-padrão de θˆ o desvio-padrão
de θˆ. Notação: EP (θˆ) =
√
V ar(θˆ).
Definição
Sejam θˆ1 e θˆ2 estimadores não viesados de θ. Dizemos que θˆ1 é mais
eficiente que θˆ2 se EP (θˆ1) < EP (θˆ2).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 27 / 70
θˆV mais eficiente que θˆA
θ
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 28 / 70
Exemplo 1 - cont.
Verifiquemos o Erro-padrão de µˆ1 e de µˆ2. Temos que
V ar(µˆ1) = V ar
(
n− 1
n
X¯n−1 +
1
n
Xn
)
=
(
n− 1
n
)2 σ2
n− 1 +
1
n2
σ2
=
n− 1 + 1
n2
σ2 =
1
n
σ2
e
V ar(µˆ2) = V ar
(
X¯n−1 + xn
2
)
=
1
4
(V ar(X¯n−1) + V ar(Xn))
=
1
4
(
σ2
n− 1 + σ
2
)
=
n
4(n− 1)σ
2
Vejamos quando µˆ1 é mais eficiente do que µˆ2. De fato,
V ar(µˆ1) < V ar(µˆ2)⇒ σ
2
n
<
nσ2
4(n− 1) ⇒ n
2 − 4n+ 4 > 0
⇒ (n− 2)2 > 0⇒ n 6= 2⇒ n > 2.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 29 / 70
Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 29 / 70
Erro Quadrático Médio
Como comparar estimadores que tenham vícios diferentes?
Reposta: Erro quadrático médio!
Definição
Seja θˆ estimador de θ. Definimos o Erro Quadrático Médio (EQM) de θˆ
por
EQM(θˆ) = E[(θˆ − θ)2].
Exercício: Mostre que o EQM pode ser escrito como a soma do vício e
da variância do estimador, isto é,
EQM(θˆ) = [B(θˆ)]2 + V ar(θˆ)
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 30 / 70
Erro Quadrático Médio
Como comparar estimadores que tenham vícios diferentes?
Reposta: Erro quadrático médio!
Definição
Seja θˆ estimador de θ. Definimos o Erro Quadrático Médio (EQM) de θˆ
porEQM(θˆ) = E[(θˆ − θ)2].
Exercício: Mostre que o EQM pode ser escrito como a soma do vício e
da variância do estimador, isto é,
EQM(θˆ) = [B(θˆ)]2 + V ar(θˆ)
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 30 / 70
Exemplo 2 - cont.
No Exemplo 2, mostramos que B(σˆ2) = −σ2n . É possível mostrar que
B(S2) = 0 e que (se X ∼ N(µ, σ2)):
V ar(S2) =
2σ4
n− 1 e V ar(σˆ
2) =
(
n− 1
n
)2 2σ4
n− 1 .
Logo, os EQM's de S2 e de σˆ2 são, respectivamente,
EQM(S2) =
2σ4
n− 1 e EQM(σˆ
2) =
(
σ2
n
)2
+
(n− 1)2σ4
n2
=
2σ4
n
− σ
4
n2
Logo, em termos de EQM, vemos que σˆ2 é melhor do que S2.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 31 / 70
Definição
Seja θˆ um estimador do parâmetro θ. Dizemos que θˆ é consistente se
seu EQM tende a zero quando o tamanho da amostra tende a infinito.
Isto é, se
lim
n→∞EQM(θˆ) = 0
A definição acima implica que θˆ é consistente se seu vício e sua
variância tendem a 0;
Em poucas palavras, quando um estimador é consistente suas esti-
mativas tendem a ser próximas do verdadeiro valor do parâmetro
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 32 / 70
Distribuição amostral de um estimador consistente com
n < n < n
θ
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 33 / 70
Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 33 / 70
Estimação intervalar
Mesmo que o estimador tenha boas características, é possível que a
estimativa fornecida seja muito diferente do parâmetro;
Esse problema pode ser catastrófico caso o estimador tenha grande
variabilidade;
Idéia: através de intervalos incorporar a variabilidade do estimador
no processo de estimação.
Definição
Seja θ um parâmetro e θˆ um estimador de θ. Um Intervalo de Con-
fiança (IC) para θ com coeficiente de confiança γ é qualquer intervalo
[Li(θˆ);Ls(θˆ)] tal que
P
(
[Li(θˆ);Ls(θˆ)] ⊃ {θ}
)
= P
(
Li(θˆ) ≤ θ ≤ Ls(θˆ)
)
= γ.
Notação: IC(θ; γ) = [Li(θˆ);Ls(θˆ)].
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 34 / 70
Estimação intervalar
Mesmo que o estimador tenha boas características, é possível que a
estimativa fornecida seja muito diferente do parâmetro;
Esse problema pode ser catastrófico caso o estimador tenha grande
variabilidade;
Idéia: através de intervalos incorporar a variabilidade do estimador
no processo de estimação.
Definição
Seja θ um parâmetro e θˆ um estimador de θ. Um Intervalo de Con-
fiança (IC) para θ com coeficiente de confiança γ é qualquer intervalo
[Li(θˆ);Ls(θˆ)] tal que
P
(
[Li(θˆ);Ls(θˆ)] ⊃ {θ}
)
= P
(
Li(θˆ) ≤ θ ≤ Ls(θˆ)
)
= γ.
Notação: IC(θ; γ) = [Li(θˆ);Ls(θˆ)].
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 34 / 70
Estimação intervalar
Mesmo que o estimador tenha boas características, é possível que a
estimativa fornecida seja muito diferente do parâmetro;
Esse problema pode ser catastrófico caso o estimador tenha grande
variabilidade;
Idéia: através de intervalos incorporar a variabilidade do estimador
no processo de estimação.
Definição
Seja θ um parâmetro e θˆ um estimador de θ. Um Intervalo de Con-
fiança (IC) para θ com coeficiente de confiança γ é qualquer intervalo
[Li(θˆ);Ls(θˆ)] tal que
P
(
[Li(θˆ);Ls(θˆ)] ⊃ {θ}
)
= P
(
Li(θˆ) ≤ θ ≤ Ls(θˆ)
)
= γ.
Notação: IC(θ; γ) = [Li(θˆ);Ls(θˆ)].
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 34 / 70
Estimação intervalar
Mesmo que o estimador tenha boas características, é possível que a
estimativa fornecida seja muito diferente do parâmetro;
Esse problema pode ser catastrófico caso o estimador tenha grande
variabilidade;
Idéia: através de intervalos incorporar a variabilidade do estimador
no processo de estimação.
Definição
Seja θ um parâmetro e θˆ um estimador de θ. Um Intervalo de Con-
fiança (IC) para θ com coeficiente de confiança γ é qualquer intervalo
[Li(θˆ);Ls(θˆ)] tal que
P
(
[Li(θˆ);Ls(θˆ)] ⊃ {θ}
)
= P
(
Li(θˆ) ≤ θ ≤ Ls(θˆ)
)
= γ.
Notação: IC(θ; γ) = [Li(θˆ);Ls(θˆ)].
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 34 / 70
Comentários
O intervalo de confiança é aleatório!
A probabilidade descrita na definição anterior se refere ao intervalo
conter (ou cobrir) o parâmetro;
A probabilidade anterior não se refere ao parâmetro pertencer ao
intervalo;
O parâmetro é constante, portanto não faz sentido associar proba-
bilidades a ele;
Após observada a amostra o intervalo não é mais aleatório, assim a
probabilidade de ele conter o parâmetro é 0 ou 1;
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 35 / 70
Comentários
O intervalo de confiança é aleatório!
A probabilidade descrita na definição anterior se refere ao intervalo
conter (ou cobrir) o parâmetro;
A probabilidade anterior não se refere ao parâmetro pertencer ao
intervalo;
O parâmetro é constante, portanto não faz sentido associar proba-
bilidades a ele;
Após observada a amostra o intervalo não é mais aleatório, assim a
probabilidade de ele conter o parâmetro é 0 ou 1;
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 35 / 70
Comentários
O intervalo de confiança é aleatório!
A probabilidade descrita na definição anterior se refere ao intervalo
conter (ou cobrir) o parâmetro;
A probabilidade anterior não se refere ao parâmetro pertencer ao
intervalo;
O parâmetro é constante, portanto não faz sentido associar proba-
bilidades a ele;
Após observada a amostra o intervalo não é mais aleatório, assim a
probabilidade de ele conter o parâmetro é 0 ou 1;
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 35 / 70
Comentários
O intervalo de confiança é aleatório!
A probabilidade descrita na definição anterior se refere ao intervalo
conter (ou cobrir) o parâmetro;
A probabilidade anterior não se refere ao parâmetro pertencer ao
intervalo;
O parâmetro é constante, portanto não faz sentido associar proba-
bilidades a ele;
Após observada a amostra o intervalo não é mais aleatório, assim a
probabilidade de ele conter o parâmetro é 0 ou 1;
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 35 / 70
Comentários
O intervalo de confiança é aleatório!
A probabilidade descrita na definição anterior se refere ao intervalo
conter (ou cobrir) o parâmetro;
A probabilidade anterior não se refere ao parâmetro pertencer ao
intervalo;
O parâmetro é constante, portanto não faz sentido associar proba-
bilidades a ele;
Após observada a amostra o intervalo não é mais aleatório, assim a
probabilidade de ele conter o parâmetro é 0 ou 1;
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 35 / 70
Se coletássemos várias amostras e, para cada uma, calculássemos o
IC, esperaríamos que, 100γ% dos IC's contivessem o parâmetro;
Por esse motivo, dizemos que temos uma confiança γ, isto é, uma
interpretação frequentista;
Em outras palavras, após coletar uma amostra não saberemos se o
intervalo calculado cobrirá o parâmetro. Entretanto, a construção
do intervalo garante que isso ocorre em 100γ% das vezes.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 36 / 70
Se coletássemos várias amostras e, para cada uma, calculássemos o
IC, esperaríamos que, 100γ% dos IC's contivessem o parâmetro;
Por esse motivo, dizemos que temos uma confiança γ, isto é, uma
interpretação frequentista;
Em outras palavras, após coletar uma amostra não saberemos se o
intervalo calculado cobrirá o parâmetro. Entretanto, a construção
do intervalo garante que isso ocorre em 100γ% das vezes.
Bourguignon,M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 36 / 70
Se coletássemos várias amostras e, para cada uma, calculássemos o
IC, esperaríamos que, 100γ% dos IC's contivessem o parâmetro;
Por esse motivo, dizemos que temos uma confiança γ, isto é, uma
interpretação frequentista;
Em outras palavras, após coletar uma amostra não saberemos se o
intervalo calculado cobrirá o parâmetro. Entretanto, a construção
do intervalo garante que isso ocorre em 100γ% das vezes.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 36 / 70
0 5 10 15 20
3
4
5
6
7
8
9
Amostra
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
µ = 5
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 37 / 70
Estrutura
1. Introdução
2. Conceitos básicos
2.1 Parâmetros
2.2 Amostra
Amostra aleatória
2.3 Estimador
Distribuição amostral
Características assintóticas de X¯
3. Estimação
3.1 Estimação pontual
Vício
Erro-padrão
EQM
3.2 Estimação intervalar
IC para µ
4. Teste de hipóteses
4.1 Teste de hipóteses para µ
σ2 conhecida
σ2 desconhecida
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 37 / 70
IC para µ com σ2 conhecida
Encontremos um IC para µ em função de X¯. Seja z γ
2
o número tal que
P (−z γ
2
< Z < z γ
2
) = γ, onde Z ∼ N(0, 1). De fato, pelo TCL
γ = P
(
−z γ
2
< Z < z γ
2
)
≈ P
(
−z γ
2
< Zn < z γ
2
)
= P
(
−z γ
2
<
X¯ − µ
σ/
√
n
< z γ
2
)
= P
(
−z γ
2
σ√
n
< X¯ − µ < z γ
2
σ√
n
)
= P
(
X¯ − z γ
2
σ√
n
< µ < X¯ + z γ
2
σ√
n
)
Logo um IC para µ com coeficiente de confiança γ é dado por
IC(µ; γ) =
[
X¯ − z γ
2
σ√
n
; X¯ + z γ
2
σ√
n
]
.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 38 / 70
Exemplo
Uma máquina estava regulada para encher pacotes de café com peso
médio de 500g e variância de 196g2. Uma a.a. de 49 pacotes forneceu
média de 485g. O que podemos dizer sobre a verdadeira média com
confiança de 95%?
Temos que x¯ = 485, n = 49, σ2 = 196 e γ = 0.95. Primeiramente,
z γ
2
= z0.475 = 1.96. Logo,
IC(µ; 0.95) =
[
485− 1.96× 14
7
; 485 + 1.96× 14
7
]
= [481.08; 488.92].
Com confiança de 95% podemos afirmar que a máquina está desregulada.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 39 / 70
Exemplo
Uma máquina estava regulada para encher pacotes de café com peso
médio de 500g e variância de 196g2. Uma a.a. de 49 pacotes forneceu
média de 485g. O que podemos dizer sobre a verdadeira média com
confiança de 95%?
Temos que x¯ = 485, n = 49, σ2 = 196 e γ = 0.95. Primeiramente,
z γ
2
= z0.475 = 1.96. Logo,
IC(µ; 0.95) =
[
485− 1.96× 14
7
; 485 + 1.96× 14
7
]
= [481.08; 488.92].
Com confiança de 95% podemos afirmar que a máquina está desregulada.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 39 / 70
Exemplo
Uma máquina estava regulada para encher pacotes de café com peso
médio de 500g e variância de 196g2. Uma a.a. de 49 pacotes forneceu
média de 485g. O que podemos dizer sobre a verdadeira média com
confiança de 95%?
Temos que x¯ = 485, n = 49, σ2 = 196 e γ = 0.95. Primeiramente,
z γ
2
= z0.475 = 1.96. Logo,
IC(µ; 0.95) =
[
485− 1.96× 14
7
; 485 + 1.96× 14
7
]
= [481.08; 488.92].
Com confiança de 95% podemos afirmar que a máquina está desregulada.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 39 / 70
Comentários
No exemplo anterior, supomos que a desregulagem afeta apenas a
média com que os pacotes são preenchidos;
E se afetasse a variância?
Em outras palavras, e se σ2 for desconhecida?
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 40 / 70
Comentários
No exemplo anterior, supomos que a desregulagem afeta apenas a
média com que os pacotes são preenchidos;
E se afetasse a variância?
Em outras palavras, e se σ2 for desconhecida?
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 40 / 70
Comentários
No exemplo anterior, supomos que a desregulagem afeta apenas a
média com que os pacotes são preenchidos;
E se afetasse a variância?
Em outras palavras, e se σ2 for desconhecida?
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 40 / 70
IC para µ com σ2 desconhecida (grandes amostras)
Temos primeiramente que S2 é um estimador consistente de σ2. Por-
tanto, em grandes amostras (n muito grande), S2 ≈ σ2.
Daí podemos
utilizar o seguinte IC para µ quando σ2 é desconhecida:
IC(µ; γ) =
[
X¯ − z γ
2
S√
n
; X¯ + z γ
2
S√
n
]
.
Se o tamanho amostral é suficientemente grande, o IC acima fornece
aproximadamente confiança γ.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 41 / 70
IC para µ com σ2 desconhecida (grandes amostras)
Temos primeiramente que S2 é um estimador consistente de σ2. Por-
tanto, em grandes amostras (n muito grande), S2 ≈ σ2. Daí podemos
utilizar o seguinte IC para µ quando σ2 é desconhecida:
IC(µ; γ) =
[
X¯ − z γ
2
S√
n
; X¯ + z γ
2
S√
n
]
.
Se o tamanho amostral é suficientemente grande, o IC acima fornece
aproximadamente confiança γ.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 41 / 70
IC para µ com σ2 desconhecida (grandes amostras)
Temos primeiramente que S2 é um estimador consistente de σ2. Por-
tanto, em grandes amostras (n muito grande), S2 ≈ σ2. Daí podemos
utilizar o seguinte IC para µ quando σ2 é desconhecida:
IC(µ; γ) =
[
X¯ − z γ
2
S√
n
; X¯ + z γ
2
S√
n
]
.
Se o tamanho amostral é suficientemente grande, o IC acima fornece
aproximadamente confiança γ.
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 41 / 70
IC para µ com σ2 desconhecida (amostras normais)
Caso o valor de n seja pequeno, o valor fornecido por S2 pode estar
distante de σ2;
Portanto, a distribuição de
X¯−µ
S/
√
n
pode não ser muito próxima da de
v.a. Z ∼ N(0, 1);
Entretanto, supondo que os dados são observados de uma v.a. nor-
mal, pode-se mostrar que a v.a.
T =
X¯ − µ
S/
√
n
∼ tn−1.
O símbolo T ∼ tr significa que a v.a. T tem uma distribuição t-
student com r graus de liberdade (g.l.).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 42 / 70
IC para µ com σ2 desconhecida (amostras normais)
Caso o valor de n seja pequeno, o valor fornecido por S2 pode estar
distante de σ2;
Portanto, a distribuição de
X¯−µ
S/
√
n
pode não ser muito próxima da de
v.a. Z ∼ N(0, 1);
Entretanto, supondo que os dados são observados de uma v.a. nor-
mal, pode-se mostrar que a v.a.
T =
X¯ − µ
S/
√
n
∼ tn−1.
O símbolo T ∼ tr significa que a v.a. T tem uma distribuição t-
student com r graus de liberdade (g.l.).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 42 / 70
IC para µ com σ2 desconhecida (amostras normais)
Caso o valor de n seja pequeno, o valor fornecido por S2 pode estar
distante de σ2;
Portanto, a distribuição de
X¯−µ
S/
√
n
pode não ser muito próxima da de
v.a. Z ∼ N(0, 1);
Entretanto, supondo que os dados são observados de uma v.a. nor-
mal, pode-se mostrar que a v.a.
T =
X¯ − µ
S/
√
n
∼ tn−1.
O símbolo T ∼ tr significa que a v.a. T tem uma distribuição t-
student com r graus de liberdade (g.l.).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 42 / 70
IC para µ com σ2 desconhecida (amostras normais)
Caso o valor de n seja pequeno, o valor fornecido por S2 pode estar
distante de σ2;
Portanto, a distribuição de
X¯−µ
S/
√
n
pode não ser muito próxima da de
v.a. Z ∼ N(0, 1);
Entretanto, supondo que os dados são observados de uma v.a. nor-
mal, pode-se mostrar que a v.a.
T =
X¯ − µ
S/
√
n
∼ tn−1.
O símbolo T ∼ tr significa que a v.a. T tem uma distribuição t-
student com r graus de liberdade (g.l.).
Bourguignon, M. (DEST-UFRN) Inf. Estatística 42