Guia de Estudos Mecânica dos Sólidos 02

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Mecânica dos Sólidos
UNIDADE 2
	
   1 
MECÂNICA DE SÓLIDOS 
GUIA DA UNIDADE II 
 
 
 
 Para início de conversa 
 
 
Olá como vão os estudos? 
 
Estamos iniciando a II unidade da nossa disciplina, espero que ao longo da nossa jornada de 
estudos você agregue novos conhecimentos. O seu comprometimento será a chave para que você 
alcance todos seus objetivos. Posso contar com você? Acredito que sim! 
 
 
 Orientações da Disciplina 
 
 
Com objetivo de facilitar seu aprendizado elaborei este guia utilizando uma medida prática para 
facilitar seu aprendizado. Faça a leitura do seu livro texto , ela é primordial para nortear seus 
estudos. Você ainda poderá fazer pesquisas utilizando a nossa biblioteca virtual. Em alguns 
momentos irei indicar leituras complementares e alguns links também, tudo com o intuito de 
trazer novos conhecimentos para você. Ao final da nossa disciplina responda as atividades e os 
fóruns avaliativos. Surgindo qualquer dúvida, pergunte ao seu tutor. 
 
Vamos Lá! 
 
 
Nesta II unidade vamos estudar os seguintes temas: 
 
 
Ø Equilíbrio de um Ponto Material no Plano; 
 
Ø Vetores Cartesianos (3-d); 
 
Ø Resultantes de um Sistema de Forças; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
   2 
EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL NO PLANO 
 
Como já estudamos, de acordo com a lei de Newton, aprendemos que um corpo esta em repouso 
ou em movimento retilíneo e uniforme se as resultantes que atuam sobre ela é nula. 
 
 
Um ponto material encontra-se em equilíbrio desde que esteja em repouso ou tenha velocidade 
constante. 
 
Para que haja equilíbrio a 1ª Lei de Newton deve ser satisfeita. 
 
 ∑ F=0 
 
Caro aluno, 
 
É imprescindível que você tenha perfeita clareza sobre a construção do diagrama de corpo livre de 
um ponto material. Então observe as dicas que seguem. 
 
Diagrama de Corpo Livre (DCL) 
 
Para aplicar a equação de equilíbrio devem-se considerar todas as forças conhecidas e 
desconhecidas que atuam sobre o ponto material. 
 
Para tanto, se desenha o diagrama de corpo livre (esboço que mostra o ponto material “livre” de 
seu entorno e com todas as forças que atuam sobre ele). 
Para sua melhor compreensão, fique atento aos exemplos! 
 
Procedimento: 
 
1) Desenhar o contorno do ponto material; 
2) Mostrar todas as forças; 
3) Identificar todas as forças. 
 
 
 Exemplo 
 
 
A esfera tem massa de 6 kg e está apoiada como mostrado na figura a seguir. Desenhe o DCL da 
esfera, da corda CE e do nó em C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
   3 
- Esfera: 
 
 
 
 
 
- Corda CE: 
 
 
- Nó em C: 
 
 
 
 
 
Sistema de Forças Coplanares. 
 
 Para que haja equilíbrio: 
 ∑ F=0 
 
𝐹𝐹!𝑖𝑖 + 𝐹𝐹!𝑗𝑗 = 0 ( 𝐹𝐹!= 0; 𝐹𝐹!= 0) 
 
 
 
 
Agora observe alguns exercícios resolvidos, mas se lembre que para aprender você deverá 
praticar, ou seja, pesquisar exercícios e responde-los. 
 
	
   4 
 
 Praticando 
 
 
Exercícios Resolvidos. 
 
 
01) Determine a tensão nos cabos AB e AD para que o motor de 250 kg permaneça em equilíbrio. 
 
DCL: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução. 
 
 
 
 
Aplicando as equações de equilíbrio.	
   
 
 
Para o eixo horizontal. 
 
𝐹𝐹! = 0 : TB cos (30o) - TD = 0 ( I ) 
 
𝐹𝐹! = 0 : TB sen (30o) - P = 0 ( II ) 
 
 
Da equação ( II ) temos: 
 
 
TB = 
!
!"#(!"!)
 
 
TB = 
!"#∙!,!"
!,!
 
TB = = 4905 N 
 
 
Daí substituindo este valor na equação ( I ) temos: 
 
TB cos (30o) - TD = 0 
	
   5 
 
4905 x cos (30o) - TD = 0 
 
TD = 4905 x cos (30o) 
 
 
02) Se o saco da figura a seguir tiver um peso de 20 lb em A, determine o peso do saco em B e a 
força necessária em cada corda para manter o sistema na posição de equilíbrio mostrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Diagrama de Corpo Livre do Nó E 
DCL 1 (nó E): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐹𝐹! = 0 à TEG sen ( 30o ) – TEC cos ( 45o ) = 0 ( I ) 
𝐹𝐹! = 0 à TEG cos ( 30o ) – TEC sen ( 45o ) – 20 = 0 ( II ) 
 
 
Da equação ( I ) temos: 
 
TEG = 
!!"∙!"#  (!"
!)
!"#(!"!)
 ( III ) 
 
Substituindo a equação ( III ) na equação ( II ) obtemos: 
 
TEG cós ( 30o ) – TEC sen ( 45o ) – 20 = 0 
 
	
   6 
!!"∙!"#  (!"
!)
!"#(!"!)
 x cos ( 30o ) – TEC sen ( 45o ) – 20 = 0 
 
1,22 TEC – 0,71 TEC = 20 
 
0,51 TEC = 20 
 
TEC = 
!"
!,!"
 
 
TEC = 38,6 lb 
 
 
 
E substituindo o valor de TEC na equação ( I ) obtemos o valor de TEG. 
 
 
TEG = 
!!"∙!"#  (!"
!)
!"#(!"!)
 
 
TEG = 
!",!∙!"#  (!"!)
!"#(!"!)
 
 
TEG = 54,7 lb. 
 
 
 
Agora observe a construção do diagrama de corpo livre do nó C. 
 
 
DCL 2 (nó C): 
 
𝐹𝐹! = 0 : 38,6 cos ( 45 ) – TCD ( 4/5 ) = 0 
 
( 4/5 ) TCD = 38,6 cos ( 45o ) 
 
TCD = ( 5/4 ) 38,6 cos (45o ) 
 
TCD = 34 lb 
 
 
 
𝐹𝐹! = 0 : TCD ( 3/5 ) + 38,6 sen ( 45o ) – PB = 0 
 
34 ( 3/5) + 38,6 sen ( 45o ) – PB = 0 
 
PB = 34 ( 3/5) + 38,6 sen ( 45o ) 
 
PB = 47,7 lb 
 
	
   7 
VETORES CARTESIANOS (3-D) 
 
 
As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas na solução de problemas tridimensionais, são 
simplificadas se os vetores são representados primeiro na forma vetorial cartesiana. 
 Desta forma um vetor cartesiano é escrito sob a forma de suas componentes retangulares. 
 
 
Sistema de coordenadas da mão direita: 
 
 
 
 
 
 Fonte: https://wiki.ifsc.edu.br/mediawiki/images/f/f6/Notas_de_Aula_Resistencia_dos_Materiais_2009.pdf 
 
 
 
Componentes retangulares de um vetor: 
 
 
 
 
 
 
𝐴𝐴 = 𝐴𝐴! + 𝐴𝐴! + 𝐴𝐴! 
 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴´+ 𝐴𝐴! 
 
 𝐴𝐴´ = 𝐴𝐴! + 𝐴𝐴! 
 
 
 
 
 
 
Vetor unitário: especifica a direção do vetor e apresenta intensidade 1 e é adimensional. 
 
 
	
   8 
 𝑢𝑢! =
!
!
 
 
 
 De modo que: 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝑢𝑢! 
 
 
 
 
Vetores cartesianos unitários: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação de um Vetor cartesiano: 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴𝐴 = 𝐴𝐴!𝑖𝑖 + 𝐴𝐴!𝑗𝑗 + 𝐴𝐴!𝑘𝑘 
 
 
 
 
Intensidade de um Vetor Cartesiano: 
 
𝐴𝐴 = 𝐴𝐴!! + 𝐴𝐴!! + 𝐴𝐴!! 
 
 
 
Direção de um Vetor Cartesiano: A direção do vetor é definida pelos ângulos diretores 
coordenados (α, β, γ). 
 
 
 
 
 
	
   9 
 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 =
!!
!
                  𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽 =
!!
!
                        𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
!!
!
 
(cossenos diretores) 
 
𝑢𝑢! =
𝐴𝐴
𝐴𝐴
=
𝐴𝐴!
𝐴𝐴
𝚤𝚤 +
𝐴𝐴!
𝐴𝐴
𝚥𝚥 +
𝐴𝐴!
𝐴𝐴
𝑘𝑘 
Por comparação: 
𝑢𝑢! = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼  𝚤𝚤 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽  𝚥𝚥 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛾𝛾  𝑧𝑧 
 
 
 
Propriedade importante: cos^2 α+cos^2 β+cos^2 γ=1 
 
 
 
Exemplos de exercícios resolvidos 
 
 
01) Expresse a força F como um vetor cartesiano. 
 
 
 
 
Solução: 
 
 Sabemos que: 
 
cos2(α)+ cos2(45o) + cos2(60o)=1 
 
cos2(α) = 1 – cos2(45o) – cos2(60o) 
 
cos2(α) = 0,25 
 
cos(α) = 0,5 
 
 
Fx = 200 cos(α) = 200 x 0,5 = 100 
 
Fy = 200 cos(60o)= 200 x 0,5 = 100 
 
	
   10 
Fz = 200 cos(45o) = 200 x 0,71 = 141,4 
 
𝐹𝐹 = 100𝚤𝚤 + 100𝚥𝚥 + 141,4𝑘𝑘 
 
 
 
02) Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua 
sobre o anel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Cálculo da força resultante. 
 
𝐹𝐹 = 𝐹𝐹!𝚤𝚤 +   𝐹𝐹!𝚥𝚥 + 𝐹𝐹!𝑘𝑘 
 
 
𝐹𝐹 = 50 i – 40 i + 180 k 
 
|𝐹𝐹 = 50! + (−40)! + 180! = 191 
 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 =
50
191
                  𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽 =
−40
191
                        𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛾𝛾 =
180
191
 
 
 
𝛼𝛼 = 74,8! 
 
𝛽𝛽 = 102! 
 
𝛾𝛾 = 19,5! 
 
03) Duas forças atuam sobre o gancho. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de 
modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo positivo y e tenha intensidade de 800 N. 
 
 
 
 
 
 
	
   11 
 
𝐹𝐹! = 800  𝑁𝑁 𝚥𝚥 
𝐹𝐹! = 300𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐45°𝚤𝚤 + 300𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐60°𝚥𝚥 + 300𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐120°𝑘𝑘 = 212,1𝚤𝚤 + 150𝚥𝚥 − 150𝑘𝑘 
 
𝐹𝐹! = 𝐹𝐹!!𝚤𝚤 + 𝐹𝐹!!𝚥𝚥 + 𝐹𝐹!!𝑘𝑘 
 
𝐹𝐹! = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! 
 
800𝚥𝚥 = 212,1𝚤𝚤 + 150𝚥𝚥 − 150𝑘𝑘 + 𝐹𝐹!!𝚤𝚤 + 𝐹𝐹!!𝚥𝚥 + 𝐹𝐹!!𝑘𝑘 
 
Agrupando: 
 
800𝚥𝚥 = 212,1+ 𝐹𝐹!! 𝚤𝚤 + 150+ 𝐹𝐹!! 𝚥𝚥 + −150+ 𝐹𝐹!! 𝑘𝑘 
 
0 = 212,1+ 𝐹𝐹!! → 𝐹𝐹!! = −212,1  𝑁𝑁 
 
800 =  150+ 𝐹𝐹!! → 𝐹𝐹!! = 650  𝑁𝑁 
 
 
0 = −150+ 𝐹𝐹!! → 𝐹𝐹!! = 150  𝑁𝑁 
 
 
Calculando os ângulos diretores: 
 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼! =
!!!
!!
 → 𝛼𝛼! = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐!!
!!"!,!
!""
 → 𝛼𝛼! = 108° 
 
 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛽𝛽! =
!!!
!!
 → 𝛽𝛽! = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐!!
!"#
!""
 →𝛽𝛽! = 21,8° 
 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛾𝛾! =
!!!
!!
 →𝛾𝛾! = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐!!
!"#
!""
 →𝛾𝛾! = 77,6° 
 
 
 
Condições de Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço 
 
 
Para que um ponto material esteja em equilíbrio é necessário que a força resultante que atua 
sobre ele seja nula, matematicamente, escrevemos: 
 
𝐹𝐹! = 0 
𝐹𝐹! = 0  
𝐹𝐹! = 0  
𝐹𝐹! = 0 
	
   12 
 
Na estrutura abaixo a carga suportada no ponto A é de 200 N e a força F é horizontal e 
perpendicular à parede. Determine a intensidade de F e as trações nos cabos AB e AE para 
manter a carga em equilíbrio na posição mostrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
. E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
Solução: 
 
Para solução deste problema devemos escrever todas as forças envolvidas no ponto A em sua 
forma cartesiana. 
 
 
Escrevendo o vetor 𝑇𝑇!" na forma cartesiana. 
 
2m	
  
A	
  
F	
  
C	
  
D	
  
	
  B	
  
z	
  
y	
  
0,60	
  m	
  
5	
  m	
  
4	
  m	
  
6	
  m	
  
	
   13 
Um versor para 𝑇𝑇!" é dado por:  𝜆𝜆!" =  
!"
!"
 
 
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴 = 5;0;6 −   0;0,6;2  
 
𝐴𝐴𝐴𝐴 =  5;  −0,6  ;  4 = 5𝑖𝑖 − 0,6𝑗𝑗 + 4𝑘𝑘  
 
𝐴𝐴𝐴𝐴 =   5! + −0,6 ! + 4! 
 
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6,43  𝑚𝑚 
 
𝜆𝜆!" =  
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐵𝐵
  
 
𝜆𝜆!" =
5𝑖𝑖 − 0,6𝑗𝑗 + 4𝑘𝑘
6,43
 
 
 
 
𝜆𝜆  ⃗_𝐴𝐴𝐴𝐴 = 0,78𝑖𝑖 − 0,09𝑗𝑗 + 0,62𝑘𝑘 
 
𝑇𝑇!" =  𝑇𝑇!" ∙ 𝜆𝜆!" 
 
𝑇𝑇!" =  𝑇𝑇!" ∙ 0,78𝑖𝑖 − 0,09𝑗𝑗 + 0,62𝑘𝑘 
 
𝑇𝑇!" = 0,78𝑇𝑇!"𝑖𝑖 − 0,09𝑇𝑇!"𝑗𝑗 + 0,62𝑇𝑇!"𝑘𝑘  
 
 
Escrevendo o vetor 𝑇𝑇!" na forma cartesiana. 
 
Um versor para 𝑇𝑇!" é dado por: 𝜆𝜆!" =  
!"
!"
 
 
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐸𝐸 − 𝐴𝐴 = −4;0;6 −   0;0,6;2  
 
𝐴𝐴𝐴𝐴 = −4;  −0,6  ;  4 = −4𝑖𝑖 − 0,6𝑗𝑗 + 4𝑘𝑘  
 
𝐴𝐴𝐴𝐴 =   (−4)! + −0,6 ! + 4!  
 
𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟔𝟔  𝒎𝒎  
 
𝝀𝝀𝑨𝑨𝑨𝑨 =  
𝑨𝑨𝑨𝑨
𝑨𝑨𝑩𝑩
  
 
	
   14 
𝝀𝝀𝑨𝑨𝑨𝑨 =
−𝟒𝟒𝒊𝒊− 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝒋𝒋+ 𝟒𝟒𝒌𝒌
𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟔𝟔
  
 
𝝀𝝀𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝟎𝟎,𝟖𝟖𝟖𝟖𝒊𝒊− 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝒋𝒋+ 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕𝒌𝒌 
 
 
𝑻𝑻𝑨𝑨𝑨𝑨 =  𝑻𝑻𝑨𝑨𝑨𝑨 ∙ 𝝀𝝀𝑨𝑨𝑨𝑨 
 
𝑻𝑻𝑨𝑨𝑨𝑨 =  𝑻𝑻𝑨𝑨𝑨𝑨 ∙ −𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕𝒊𝒊− 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝒋𝒋+ 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕𝒌𝒌 
 
 
𝑻𝑻𝑨𝑨𝑨𝑨 = −𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕𝑻𝑻𝑨𝑨𝑨𝑨𝒊𝒊− 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝑻𝑻𝑨𝑨𝑨𝑨𝒋𝒋+ 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕𝑻𝑻𝑨𝑨𝑨𝑨𝒌𝒌 
 
 
 
 Dica! 
	
  
 
Caso esteja com alguma dúvida, sugiro que refaça a leitura do livro texto e também busque 
outras fontes de conhecimentos em nossa biblioteca virtual. 
 
 Vamos continuar! 
 
Escrevendo o vetor 𝑭𝑭 na forma cartesiana 
 
𝑭𝑭   = 𝑭𝑭 ∙ ! 
 
onde F representa a intensidade do vetor ( F ) ⃗ e j ⃗ um versor do vetor (F ) ⃗. 
Escrevendo o vetor P ⃗ na forma cartesiana. 
 
𝑷𝑷 = −𝑷𝑷 ∙ 𝒌𝒌 
 
Onde 𝑷𝑷representa a intensidade do vetor 𝑷𝑷 e𝒌𝒌 um versor do vetor 𝑷𝑷. 
 
Uma vez que possuímos a expressão analítica das quatro forças envolvidas no problema, 
recorreremos à condição de equilíbrio de um ponto material no espaço. 
 
𝐹𝐹! = 0 0,78𝑇𝑇!" - 0,70𝑇𝑇!" = 0 
 
𝐹𝐹! = 0 −0,09𝑇𝑇!" −0,11𝑇𝑇!" + = 0 
 
𝐹𝐹! = 0     0,62𝑇𝑇!"     + 0,70𝑇𝑇!" – P = 0 
	
   15 
Resolvendo o sistema linear temos: 
 
A intensidade de 𝑇𝑇!" = 142,8  𝑁𝑁  
A intensidade de 𝑇𝑇!" = 158,7  𝑁𝑁 
 
 
Resultantes de um Sistema de Forças 
 
Momento de uma Força (formulação escalar ) 
 
 
Além da tendência de mover um corpo na direção de sua 
aplicação, uma força pode também tender a girar um corpo em 
relação a um eixo. O eixo pode ser qualquer linha, que não 
intercepte ou não seja paralela à linha de ação da força. 
 
Essa tendência à rotação é conhecida como momento M da força. Também é denominado torque. 
 
Um exemplo do conceito de momento é a chave de grifo. Um efeito da força aplicada 
perpendicular ao cabo da chave é a tendência de girar o tubo em torno do seu eixo vertical. De 
quanto o tubo é girado depende tanto do módulo de F da força quanto do comprimento efetivo 
Ddo cabo da chave. 
 
 
Momento de uma força em relação ao Ponto A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura ao lado mostra um corpo bidimensional submetido a uma força F, atuando em seu plano. 
O módulo do momento, ou a tendência da força de girar o corpo em torno do eixo O perpendicular 
ao plano do corpo é proporcional tanto ao módulo da força quanto ao braço de alavanca d 
(distância perpendicular do eixo até a linha de ação da força). Assim sendo, o módulo do 
momento é definido como: 
 
M = Fd , onde d é a distância da linha de ação da força ao ponto A. 
Lembrando que o conceito de distância de um ponto a uma reta é medido na perpendicular. 
 
 
O momento é um vetor M perpendicular ao plano do corpo. O sentido de M depende da direção 
na qual F tende a girar o corpo. 
 
	
   16 
Regra da mão direita: Representamos o momento de F em torno de O como um vetor apontando 
na direção do polegar, com os dedos curvados na direção da tendência da rotação. 
 
Rotação no sentido horário: (-) 
Rotação no sentido anti-horáio: (+) 
 
 
 
Unidades: N. 
lb.pé 
 
 
 
 
 
Exercício resolvidos 
	
  
 
01) Determine os momentos da força de 800 N que atua sobre a estrutura da figura abaixo em 
relação aos pontos A, B, C e D. 
 
 
 
Solução: 
Adotando o sentido horário positivo. 
 
MA = ( 800 ) x ( 2,5 ) = 2000 N . m 
MB = ( 800 ) x ( 1,5 ) = 1200 N . m 
Mc = ( 800 ) x ( 0 ) = 0 ( A linha de ação da força F passa pelo ponto C ) 
MB = ( 800 ) x ( 0,5 ) = 400 N . m 
 
 
 
 
 
	
   17 
Momento Resultante de um Sistema de Forças Coplanares. 
 
 
 
 
 
 
 
02) Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na haste mostrada na figura 
abaixo em relaçãoao ponto O. 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
MR = 𝐹𝐹 ∙ 𝑑𝑑 
MR = -50 x ( 2 ) + 60 x ( 0 ) + 200 x ( 3 sen 30o ) – 40 ( 4 + 3 cos 30o ) 
 MR = - 334 N . m 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
   18 
Produto Vetorial. 
 
 
O produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C, que é escrito como: 
 C ⃗=A ⃗ ×B ⃗ 
 
Intensidade: C = ABsenθ 
 
 
 
 
 
Direção e sentido: C tem direção perpendicular ao plano contendo A e B, de modo que seu 
sentido é determinado pela regra da mão direita. 
 
Conhecendo a intensidade, a direção e o sentido de C, pode-se escrever: 
 
 
Onde: 
 
 : representa a intensidade e 
 
𝑢𝑢! : representa a direção e sentido. 
 
Leis de Operação 
 
1) O produto vetorial não é comutativo.	
   
 
 
 
 Ou melhor: 
 
 
 
 
2) Multiplicação por um escalar: 
 
 
 
3) Lei Distributiva: 
 
 
 
 
 
 
	
   19 
Formulação Vetorial Cartesiana 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando o produto vetorial de dois vetores quaisquer A e B, os quais são expressos na forma 
cartesiana, temos: 
 
 
 
Aqui os vetores i , j e k são os vetores unitários dos eixos x, y e z respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
Efetuando as operações do produto vetorial e combinando os termos, tem-se: 
 
 
 
 
 
	
   20 
Ou 
 
 
 
 
	
   
 Exemplo: 
 
Dados os pontos A ( 2 , -1 , 4 ) , B ( 5 , -3 , 1 ) e C ( - 7 , 0 , 6 ). Determine o produto vetorial entre 
os vetores (AB) ⃗ e (AC) ⃗. 
 
Solução: 
 
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴 =  5  ,−3  , 1 −    2  ,−1  ,4    
𝐴𝐴𝐴𝐴 =  3,−2  ,−3    
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 − 𝐴𝐴 =  −7  , 0  , 6   –    2  ,−1  , 4    
𝐴𝐴𝐴𝐴 =  −9  , 1  , 2    
𝐴𝐴𝐴𝐴×𝐴𝐴𝐴𝐴 =  
𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑘𝑘
3 −2 −3
−9 1 2
  
𝐴𝐴𝐴𝐴×𝐴𝐴𝐴𝐴 =  −𝑖𝑖 − 21  𝑗𝑗 − 𝑘𝑘 
 
 
 
 
 
 
Observe que o produto vetorial entre os vetores 𝐴𝐴𝐴𝐴  𝑒𝑒  𝐴𝐴𝐴𝐴 dá como resultado um vetor que é 
simultaneamente perpendicular aos vetores 𝐴𝐴𝐴𝐴  𝑒𝑒  𝐴𝐴𝐴𝐴. Veja ilustração a seguir. 
 
 AB e AC 
 B 
 
 C 
 A 
 
 
 
 
	
   21 
Em outras palavras o produto vetorial é um vetor perpendicular ao plano definido pelos vetores. 
𝐴𝐴𝐴𝐴  𝑒𝑒  𝐴𝐴𝐴𝐴 
 
 
 Acesse o Ambiente virtual 
 
Prezado (a) estudante chegamos ao final da nossa II unidade.Agora chegou o momento de colocar 
em prática o conhecimento que você adquiriu com o estudo do nosso guia acesse o AVA responda 
as atividades e os fóruns avaliativos. Gostaria de lembrar a importância da leitura do seu livro 
texto para fixar o conteúdo estudado. Caso tenha alguma dúvida pergunte ao seu tutor! 
Bons Estudos e até a próxima unidade.