POTENCIAL ELET

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FÍSICA TEÓRICA III
Vitor Dias
Poten
ial Elétri
o - Resumo - Notas de Aula
1 Energia Poten
ial Elétri
a
a variação∆U da energia poten
ial elétri
a U de uma 
arga pontual, quando
a 
arga se deslo
a de um ponto ini
ial i para um ponto �nal f na presença de
um 
ampo elétri
o, é dada por:
∆U = Uf − Ui = −W (1)
onde W∞ é o trabalho realizado pela força eletrostáti
a (asso
iada ao 
ampo
elétri
o externo) sobre a 
arga pontual durante o deslo
amento de i para f . Se
a energia poten
ial é de�nida 
omo sendo zero no in�nito, a energia poten
ial
elétri
a U da 
arga pontual em um ponto qualquer é dada por:
U = −W∞, (2)
onde W∞ é o trabalho exe
utado pela força eletrostáti
a sobre a 
arga pon-
tual quando a 
arga é deslo
ada do in�nito para o ponto 
onsiderado.
2 Diferença de Poten
ial Elétri
o e Poten
ial Elétri
o
De�nimos a diferença de poten
ial∆V entre dois pontos i e f na presença
de um 
ampo elétri
o 
omo
∆V = Vf − Vi = −
W
q
, (3)
onde q é a 
arga de uma partí
ula sobre a qual é realizado trabalho pelo
ampo. O poten
ial em um ponto é dado por:
V = −W∞
q
, (4)
A unidade de poten
ial no SI é o volt: 1 volt = 1 joule por 
oulomb.
1
O poten
ial e a diferença de poten
ial também podem ser es
ritos em termos
da energia poten
ial elétri
a U de uma partí
ula de 
arga q na presença de um
ampo elétri
o:
V =
U
q
, (5)
∆V = Vf − vi =
Uf
q
− Ui
q
=
∆U
q
, (6)
3 Superfí
ies Equipoten
iais
Figura 1: Poten
ial em um
dipolo.
Os pontos que perten
em a uma superfí
ie equipo-
ten
ial possuem o mesmo poten
ial elétri
o. O traba-
lho realizado sobre uma 
arga de prova para deslo
á-la
de uma superfí
ie equipoten
ial para outra não de-
pende da lo
alização dos pontos ini
ial e �nal nem
da trajetória entre os pontos. O 
ampo elétri
o
~E é
sempre perpendi
ular à superfí
ie equipoten
ial 
or-
respondente.
4 Cál
ulo de V a partir de ~E
A diferença de poten
ial elétri
o entre dois pontos i e f é
Vf − Vi = −
∫ f
i
~E · d~s, (7)
5 Poten
ial produzido por 
argas pontuais
O poten
ial elétri
o produzido por uma 
arga pontual a uma distân
ia r da
arga é dado por:
V =
1
4πǫ0
q
r
, (8)
2
Exemplo 1: Qual é o valor do poten
ial elétri
o no ponto P , situado no
entro do quadrado de 
argas pontuais que apare
e na Figura abaixo? A dis-
tân
ia d é 1.3m e as 
argas são: q1 = +12nC, q2 = −24nC, q3 = +31nC e
q4 = +17nC.
Figura 2: Poten
ial elétri
o
na origem.
onde V tem o sinal de q. O poten
ial produzido
por um 
onjunto de 
argas pontuais é dado por:
V =
n∑
i=1
Vi =
1
4πǫ0
n∑
i=1
qi
ri
, (9)
6 Poten
ial produzido por um dipolo
elétri
o
A uma distân
ia r de um dipolo elétri
o 
om um
momento dipolar elétri
o p = qd, o poten
ial elétri
o do dipolo é dado por:
Figura 3: Poten
ial
em um dipolo.
V =
1
4πǫ0
n∑
i=1
p cos θ
r2
(10)
para r ≫ d; o ângulo θ é de�nido na Fig 1.
7 Poten
ial por uma distribuição 
ontí-
nua de 
argas
A equação 9 se torna:
V =
1
4πǫ0
∫ dq
r
(11)
onde a integral é 
al
ulada para toda a distribuição.
3
7.1 Linha de Cargas
A �gura abaixo mostra uma barra �na não-
ondutora
de 
omprimento L possui uma densidade linear de 
argas
positivas λ. Vamos determinar o poten
ial elétri
o V pro-
duzido pela barra no ponto P , situado a uma distân
ia
perpendi
ular d da extremidade esquerda da barra.
Figura 4: Uma barra
�na uniformemente
arregada.
dq = λdx (12)
Este elemento produz um poten
ial dV no ponto P ,
que está a uma distân
ia r = (x2 + d2)1/2 do elemento.
Tratando o elemento 
omo uma 
arga pontual podemos
utilziar a seguinte equação:
dV =
1
4πǫ0
dq
r
=
1
4πǫ0
λdx
(x2 + d2)1/2
(13)
V =
∫
dV =
λ
4πǫ0
∫ L
0
dx
(x2 + d2)1/2
=
λ
4πǫ0
[
ln(x+ (x2 + d2)1/2)
]L
0
V =
λ
4πǫ0
ln

L+ (L
2 + d2)1/2)
d


(14)
7.2 Dis
o Carregado
Figura 5: Um dis
o
arregado de raio R
om densidade de 
ar-
gas σ.
Vamos obter para V (z), o poten
ial elétri
o em um
ponto qualquer do eixo 
entral.
Consideramos um elemento de área 
onstituído por um
anel de raio R
′
e largura dR
′
. A 
arga deste elemento é
dada por:
dq = σ(2πR
′
)(dR
′
) (15)
onde (2πR
′
)(dR
′
) é a área do anel. Como o ponto P
está sobre o eixo 
entral, todas as partes do elemento de
arga estão à mesma distân
ia r do ponto. Es
revemos a
ontribuição desse anel para o poten
ial elétri
o no ponto
P na forma:
4
dV =
1
4πǫ0
dq
r
=
1
4πǫ0
σ(2πR
′
)(dR
′
)√
z2 + R′2
(16)
V =
∫
dV =
σ
2ǫ0
∫ R
0
R
′
dR
′
√
z2 + R′2
=
σ
2ǫ0
(
√
z2 +R2 − z) (17)
8 Cál
ulo de
~E a partir de V
A 
omponente de
~E em qualquer direção é o negativo da taxa de variação
do poten
ial 
om a distân
ia na direção 
onsiderada:
E = −∂V
∂s
, (18)
As 
omponentes x, y e z de ~E são dadas por:
Ex = −
∂V
∂x
; Ey = −
∂V
∂y
; Ez = −
∂V
∂z
, (19)
Se
~E é uniforme, a equação 12 se reduz a:
E = −∆V
∆s
, (20)
onde s é a direção perpendi
ular às superfí
ies equipoten
iais. O 
ampo
elétri
o é zero na direção paralela às superfí
ies equipoten
iais.
9 Energia poten
ial elétri
a de um sistema de 
argas pon-
tuais
A energia poten
ial elétri
a de um sistema de 
argas pontuais é igual ao tra-
balho ne
essário para montar o sistema 
om as 
argas ini
ialmente em repouso
e a uma distân
ia in�nita umas das outras. Para duas 
argas separadas por
uma distân
ia r,
U = W =
1
4πǫ0
q1q2
r
(21)
5
Exemplo 2: A Figura abaixo mostra três 
argas pontuais mantidas �xas
no lugar por forças não-espe
i�
asas. qual é a energia potan
ial elétri
a U
desse sistema de 
argas? Suponha que d = 12cm e que: q1 = +q, q2 = −4q e
q3 = +2q, onde q = 150nC.
10 Poten
ial de um 
ondutor 
arregado
Em equilíbrio, toda a 
arga em ex
esso de um 
ondutor está 
on
entrada na
superfí
ie externa do 
ondutor. a 
arga se distribui de tal forma que o poten
ial
é o mesmo em todos os pontos do 
ondutor.
6