Regra da cadeia derivação implícita e derivada direcional

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Cálculo II – Lista de exercícios 4 
 Regra da cadeia, derivação implícita e derivada direcional 
 
1. Considere uma função de duas variáveis 𝑓(𝑥, 𝑦) e as funções de uma variável 
𝑥(𝑡)𝑒 𝑦(𝑡), todas diferenciáveis tais que: 
𝑥(4) = 5 𝑒 𝑦(4) = −2 
𝑥′(4) = 1 𝑒 𝑦′(4) = 2 
𝑓𝑥 (5, −2) = −3 𝑒 𝑓𝑦(5, −2) = 6 
Nessas condições, calcule 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 4. 
2. Considere uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) tal que, para todo 𝑡 ∈ 𝑅, verifica-se a igualdade 
𝑓(𝑡2, 2𝑡) = 8𝑡7 − 𝑡6. 
a. Determine o valor de 𝑓𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 1. 
b. Calcule o valor da expressão 𝑓𝑥 (1,2) + 𝑓𝑦 (1,2). 
c. Sabendo que 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑝𝑦𝑞 − 𝑥𝑞, em que p e q são constantes, calcule os valores 
de p e q. 
3. Considere a função 𝑔(𝑡) = 𝑡2. 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)), em que 𝑥(𝑡) = −2𝑡 𝑒 𝑦(𝑡) = 𝑡2. 
a. Sabendo que 𝑓(2, −1) = 2, 𝑓𝑥(2, −1) = 1, 𝑓𝑦(2, −1) = −2. Calcule 𝑔
′(−1). 
b. Dado que 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦4 − 𝑦2, determine 𝑔′(𝑡), deixando a resposta apenas em 
função de t. Em seguida, calcule 𝑔′(−1) a partir da lei que você escreveu e 
compare com o resultado obtido no item a. 
4. Uma função de produção é dada por 𝑃(𝐾, 𝐿) = 2. 𝐾0,7. 𝐿0,3. Sabe-se que os insumos K 
e L variam ao longo do tempo de acordo com as equações 
𝐾(𝑡) = 𝑡2 + 𝛾𝑡 + 𝛽 𝑒 𝐿(𝑡) = 𝛽. 𝑒𝜆𝑡, 
 em que 𝛾, 𝛽 e 𝜆 são constantes positivas. 
a. Mostre que 𝐾(0) = 𝐿(0). 
b. Calcule 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
 para 𝑡 = 0. 
5. Calcule 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 onde 𝑒−𝑥
2−𝑦2 + 2𝑦 − 4 = 0 
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6. A figura abaixo mostra a curva definida pela equação 𝑦2 + 𝑥6 = 16𝑥2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Determine a equação da reta tangente à curva no ponto do primeiro 
quadrante com abscissa 1. 
b. Determine a abscissa do ponto do segundo quadrante no qual a reta tangente 
à curva dada é horizontal. 
7. Considere a função 𝑓 definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) + 𝑥𝑦2 + 3𝑥. 
a. Calcule o gradiente de 𝑓 no ponto (0,0). 
b. Determine a derivada direcional de 𝑓 no ponto (0,0) na direção de ∇𝑓(0,0). 
8. Considere a função 𝑓 definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
𝑦
). Determine a derivada 
direcional de f no ponto (0,1) segundo o vetor 𝑣 = (
√3
2
,
1
2
). 
9. Determinar a derivada direcional da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦. 𝑒𝑥 no ponto (0,3) na direção 
que faz um ângulo de 120º com a parte positiva do eixo 𝑥. 
10. Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por 
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 5𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧. 
a. Determine a taxa de variação do potencial em P (3, 4, 5) na direção do 
vetor 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 – 𝑘. 
b. Qual é a direção na qual 𝑉 varia mais rapidamente em P? 
 
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c. Qual a taxa máxima de variação em P? 
 
Gabarito 
 
1. 9 
2. a) 50 b) 25 c) p = 2 e q = 3 
3. a) -12 b) 𝑔′(𝑡) = 14𝑡3 − 8𝑡7 − 6𝑡2 O valor de 𝑔′(−1) obtido agora é igual ao do item 
a 
4. a) 𝐾(0) = 𝛽 𝑒 𝐿(0) = 𝛽 
b) 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
(0) = 1,4𝛾 + 0,6𝛽𝜆 
5. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥𝑒−𝑥
2−𝑦2
1−𝑦𝑒−𝑥
2−𝑦2
 
 
6. a) 𝑦 =
√15
15
. (13x + 2) b) −
2
√3
4 
 
7. a) ∇𝑓(0,0) = (3,0) b) 𝐷𝑓(1,0)(0,0) = 3 
 
8. 𝐷𝑓
(
√3
2
,
1
2
)
(0,1) = 0 
9. 𝑣 = (−
1
2
,
√3
2
) 
10. a) 
32
√3
 b) ∇𝑉 (3,4,5) = (19, 3 ,6) c) | ∇𝑉 (3,4,5)| = 2√406