Exercícios de Estatística

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Exerc´ıcios selecionados das provas de EST 105 de 2007 a 2010
1. II/2007 No primeiro semestre de 2007 os 490 alunos matriculados em EST 105
obtiveram nota me´dia igual a 63 pontos. Assuma distribuic¸a˜o normal com
σ2 = 1600 para decidir se esta amostra de alunos deva ser considerada como
proveniente de uma populac¸a˜o com me´dia igual a 60 pontos. Pede-se: Calcule
qual e´ o menor n´ıvel de significaˆncia α, para que a decisa˜o do teste seja rejeitar
H0 : µ = 60 em favor de H1 : µ > 60.
a.( ) α ≥ 0, 075%
b.( ) α ≥ 1, 66%
c.( ) α ≥ 45, 15%
d.( ) α ≥ 4, 85%
e.( ) n.d.r.a.
2. II/2007 Os dados apresentados na tabela a seguir foram obtidos em um estudo
conduzido para se avaliar a opinia˜o quanto ao projeto de lei que estabelece
quotas raciais nas universidades. Apesar do teste para homogeneidade ser
mais adequado, considere o teste de qui-quadrado para independeˆncia com
a seguinte hipo´tese de nulidade: H0 : opinia˜o e ocupac¸a˜o sa˜o duas varia´veis
aleato´rias independentes. Adote o n´ıvel de significaˆncia igual a 1% e responda
os itens abaixo.
Ocupac¸a˜o
Opinia˜o estudante universita´rio prof. ensino me´dio prof. universita´rio
contra´rio 89 /...... 92/...... 59/......
a favor 111 /...... 108/...... 141/......
a. Valor calculado:
b. Valor tabelado:
c. Decisa˜o do teste:
d. Interpretac¸a˜o pra´tica:
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3. I/2008 - propriedades de variaˆncia. Considere que X e Y sejam v.a. inde-
pendentes e tambe´m que: V (X) = 0, 2464, V (Y ) = 0, 25, V (Z) = 0, 2496,
COV (X,Z) = 0, 0088 e COV (Y, Z) = 0, 01. Calcule,
V (2X − 3Y + Z)
4. I/2008 - distribuic¸a˜o normal. Um elevador pode transportar no ma´ximo 400kg
de peso e se o peso excede este valor, um dispositivo de seguranc¸a trava o motor
e ele na˜o funciona. Considere que o peso das pessoas que embarcam no ele-
vador sa˜o varia´veis aleato´rias independentes e normalmente distribu´ıdas com
me´dia igual a 62Kg e desvio-padra˜o igual a 10kg. Qual e´ a probabilidade
do dispositivo de seguranc¸a travar o motor do elevador quando 7 pessoas sa˜o
transportadas?
2
5. I/2008 Um pesquisador executou um teste de hipo´tese para H0 : µA = µB e
obteve t calculado igual a 1, 76 com 14 graus de liberdade. Assinale (V) se a
afirmativa estiver inteiramente correta ou (F) caso contra´rio.
TABELA t bilateral: valores t > 0 tais que P (t14 ≥ t) = α2
α = 0, 10 α = 0, 05 α = 0, 02
1,76 2,14 2,62
a.( ) Se H1 : µA 6= µB o p-valor do teste e´ 5%.
b.( ) Se H1 : µA > µB o p-valor do teste e´ 10%.
c.( ) Na˜o se rejeita H0 a 1% de significaˆncia.
d.( ) O teste executado assume que as duas amostras foram obtidas de
populac¸o˜es com variaˆncias iguais, pore´m desconhecidas.
e.( ) A probabilidade ma´xima de se cometer o erro tipo I e´ igual a α.
6. I/2009 Assinale (V) se a afirmativa estiver inteirament correta ou (F) caso
contra´rio.
a.( ) O erro tipo II ocorre quando a hipo´tese de nulidade e´ falsa e a decisa˜o
do teste e´ na˜o rejeitar H0.
b.( ) No teste t para duas me´dias com hipo´tese alternativa H1 : µA > µB,
n´ıvel de significaˆncia 5% e graus de liberdade igual a 12 (nA = nB = 7),
o valor tabelado e´ 2, 18.
c.( ) O teste de hipo´tese e´ uma regra deciso´ria que permite concluir se
a amostra observada difere significativamente do resultado esperado sob
H0.
d.( ) A ma´xima probabilidade de se cometer o erro tipo I e´ controlada pelo
n´ıvel de significaˆncia do teste.
e.( ) O teste de χ2 para independeˆncia pode ser utilizado quando se deseja
verificar se as frequeˆncias observadas na amostra esta˜o de acordo com a
hipo´teses de nulidade que afirma serem as varia´veis dependentes.
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7. II/2009 Assinale (V) se a afirmativa estiver inteirament correta ou (F) caso
contra´rio.
a.( ) O erro tipo II ocorre quando a hipo´tese de nulidade e´ falsa e a decisa˜o
do teste e´ rejeitar H0.
b.( ) O teste de hipo´tese e´ realizado sob a pressuposic¸a˜o de H0 ser ver-
dadeira.
c.( ) O teste de hipo´tese e´ uma regra deciso´ria que permite concluir se
a amostra observada difere significativamente do resultado esperado sob
H0.
d.( ) A ma´xima probabilidade de se cometer o erro tipo I e´ controlada pelo
n´ıvel de significaˆncia do teste.
e.( ) O paraˆmtero de um modelo de probabilidade e´ um valor aleato´rio
associado a` amostra.
f.( ) A estat´ıstica de um teste de hipo´tese e´ uma varia´vel aleato´ria.
8. II/2009 Os dados apresentados na tabela a seguir foram obtidos com uma
amostra aleato´ria de 11 automo´veis dos fabricante A e B. Avaliou-se o con-
sumo (Km/L) dos automo´veis com a´lcool combust´ıvel na cidade em condic¸o˜es
regulares de traˆnsito. Considere o teste da hipo´tese H0 : µA = µB contra a
alternativa H1 : µA 6= µB a 5% de significaˆncia. Responda os itens abaixo.
Fabricante (i) consumo me´dio(X i) ni desvio-padra˜o (Si)
A 8,20 5 0,98
B 7,50 6 1,10
a. Valor calculado:
b. Valor tabelado:
c. Assinale a alternativa correta:
c1( ) Os dados sa˜o uma evideˆncia significativa em favor de H0.
c2( ) O consumo me´dio dos automo´veis dos fabricantes A e B na˜o sa˜o
iguais.
c3( ) O consumo me´dio dos automo´veis do fabricante B e´ menor.
c4( ) Na˜o e´ poss´ıvel concluir quanto ao consumo me´dio dos automo´veis.
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9. I/2010 Os dados apresentados na tabela a seguir foram obtidos com uma amostra
aleato´ria de 650 habitantes residentes dentro e fora dos limites do munic´ıpio.
Avaliou-se a opinia˜o quanto a um projeto de lei que pretende estabelecer um
novo imposto para a coleta de lixo. Teste a hipo´tese de que a opinia˜o e o
local de resideˆncia sa˜o independentes a 0, 5% de significaˆncia (α = 0, 005).
Responda os itens abaixo.
Local de resideˆncia
(limites da cidade)
Opinia˜o dentro fora
contra´ria 98 57
indiferente 134 34
favora´vel 273 54
a. Valor calculado:
b. Valor tabelado:
c. Assinale a alternativa correta com base no teste executado:
c1( ) Os dados sa˜o uma evideˆncia significativa em favor de H0.
c2( ) O percentual de opinia˜o contra´ria e´ maior entre os habitantes
que vivem dentro.
c3( ) O percentual de opinia˜o favora´vel e´ maior entre os habitantes
que vivem fora.
c4( ) Opinia˜o e local de resideˆncia na˜o sa˜o varia´veis aleato´rias inde-
pendentes a 0, 5% pelo teste de χ2.
c5( ) Todas as respostas anteriores sa˜o incorretas.
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10. II/2010 O peso me´dio ao nascer de bebeˆs de mulheres pobres que participaram
de um programa de acompanhamento da gravidez por me´dicos e nutricionistas
- Grupo Tratamento (T), deve ser comparado ao peso me´dio de bebeˆs de
mulheres em iguais condic¸o˜es, mas que na˜o participaram deste programa -
Grupo Controle (C). Pede-se: com base em duas amostras aleato´rias de 12
bebeˆs (total de 24 mulheres avaliadas), cujos resultados sa˜o apresentadas na
tabela a seguir, teste a hipo´tese H0 : µT = µC versus H1 : µT > µC a 5% e
responda os itens apresentados.
Peso dos bebeˆs Grupos (n = 12)
(em gramas) Tratamento Controle
Peso me´dio (X) 3100 2871
Desvio-padra˜o (SX) 420 425
a. Valor calculado:
b. Valor tabelado:
c. Conclusa˜o do teste: assinale a alternativa correta.
c1( ) A tabela e´ uma evideˆncia significativa em favor de H0.
c2( ) A tabela e´ uma evideˆncia significativa contra´ria a` H0.
c3( ) O peso me´dio da amostra de bebeˆs do grupo controle e´ menor.
c4( ) As duas amostras forneceram pesos me´dios iguais.
c5( ) A hipo´tese H0 na˜o e´ falsa.
d. Interpretac¸a˜o pra´tica.
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11. II/2010 Conceitue (letra leg´ıvel).
1 Valor p ou p-value ou n´ıvel descritivo.
2 Erro tipo II.
3 Nı´vel de significaˆncia.
4 Distribuic¸a˜o marginal.
5 Erro tipo I.
6 Regia˜o cr´ıtica do teste.
7 Poder do teste.
7
RESPOSTAS
1. P (Z ≥ 1, 66) = 0, 5− 0, 4515 = 0, 0485 (d).
2. E11 = E12 = E13 = 80,E21 = E22 = E23 = 120, (a) χ
2
c ≈ 13, 875 (b) χ2(2 gl, 1%) =
9, 210 (c) rejeitar H0 (d) os dados sa˜o uma evideˆncia significativa de que a
opinia˜oe a ocupac¸a˜o na˜o sa˜o independentes, ou, de que esta˜o relacionadas de
algum modo que precisa ser melhor investigado.
3. 4V (X) + 9V (Y ) + V (Z) + 4COV (X,Z)− 6COV (Y, Z) = 3, 4604.
4. Carga= Y =
∑7
i=1Xi com Xi ∼ N(62, 102) ∀ i e COV (Xi, Xj) = 0 ∀ i 6= j.
Portanto Y ∼N(434, 700). P (Y > 400) = P (Z > −1, 29) = 0, 5 + 0, 4015 =
0, 9015
5. a.(F),b.(F),c.(V),d.(V),e.(V).
6. a.(V),b.(F) t = 1, 78,c.(V),d.(V),e.(F).
7. a.(F),b.(V),c.(V),d.(V),e.(F),f.(V)
8. (a) t ≈ 1, 10, (b)t(9 gl, 5%) = 2, 26, (c)alternativa c1.
9. (a)χ2 ≈ 25, 10 com E11 = 120, 4 e E21 = 130, 5 (b) χ2(2 gl, 0, 5%) = 10, 597,
(c)alternativa c4.
10. (a) t0 ≈ 1, 33 (b) t(22 gl, 5%) = 1, 72 (c) alternativa c1 (d) na˜o ha´ evideˆncias
pelo teste t a 5% de que o programa de acompanhamento da gravidez resulte
em bebeˆs com maiores pesos me´dios ao nascer.
11. z tua imensa torcida e´ bem feliz !!! z
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