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II Lista - Cálculo Diferencial e Integral I - GMA 005 - Matemática1
Os exercícios de 1 a 4 constam de revisão pré-cálculo.
Exercício 1. Caracterize as seguintes funções como sobrejetora, injetora, bijetora, ou nenhuma delas:
a) f : R→ R, f(x) = 3x+ 5.
b) g : R→ R, g(x) = x2 − 9.
c) h : A→ A, h(x) = x2 + 4, A = {x ∈ R/x ≥ 4}.
d) ϕ : {x ∈ R/x ≥ 0} → R, ϕ(x) = 53x2.
Exercício 2. Determine o período das seguintes funções:
a) f(x) = x− n, se [[x]] = n e n ∈ Z.
b) f(x) = sen(7x− 2).
c) f(x) = cos(−8x+ 5).
d) f(x) = tg(3x+ 5).
Exercício 3. Determine se as funções pares, ímpares ou nenhuma delas.
a) g(x) = 3− x2 + 2x4.
b) h(x) = 1− x.
c) ϕ(x) = x+ x3.
Exercício 4. Resolva o seguinte sistema
{
8x.4y = 14
4x.2−y = 2 .
Exercício 5. Esboce o gráfico de f(x) = 4x
2−1
2x−1 e calcule limx→ 12
4x2−1
2x−1 . Qual a diferença entre f(x) e a função
g(x) = 2x+ 1?
Exercício 6. A lei de Charles para gases afirma que se a pressão permanece constante, então a relação entre
o volume V que um gás ocupa e sua temperatura T (em 0C) é dada por V = V0(1 + 1273T ). A temperatura
T = −2730C é o zero absoluto.
a) Determine limT→−273+ V .
b) Por que é necessário um limite à direita?
Exercício 7. Encontre os seguintes limites, caso existam.
a) lim
z→−2
z2 − 4
z2 − 2z − 8 ; b) limx→3
2x3 − 6x2 + x− 3
x− 3 ; c) limx→−6 f(x) =
√
x+ 6 + x;
d) lim
x→−5
f(x) =
x+ 5
|x+ 5| ; e) limh→0
(x+ h)2 − x2
h
; f) lim
x→5
x− 5
x2 − 10x+ 25
g) lim
x→1
x2 + x− 2
x5 − 1 ; h) limx→5+
1 +
√
2x− 10
x+ 3
; i) lim
x→p
3
√
x− 3√p
x− p ;
j) lim
x→p
xn − pn
x− p ; k) limx→p
x− 1√
(x− 1)2
.
Exercício 8. Esboce o gráfico de f e ache cada limite x→ 1− e x→ 1+, se existir, das seguintes funções:
a)
f(x) =
 −x
2 se x < 1
2 se x = 1
x− 2 se x > 1
b)
f(x) =
{ |x− 1| se x 6= 1
1 se x = 1
Exercício 9. Dê exemplo de função definida em R que:
a) admita limite em todos os pontos, exceto em 1,0 e -1.
b) admita limite em todos os pontos, exceto nos inteiros.
c) admita limite apenas nos pontos 0, 1 e -1.
Exercício 10. Seja L ∈ R. É válida a seguinte equivalência:
lim
x→p |f(x)| = |L| ⇔ limx→p f(x) = L?
Para algum valor de L ela é válida? Caso não seja válida, alguma das implicações ocorre sempre?
Exercício 11. Prove, para n ∈ N, que:
a) lim
x→p
n
√
x = n
√
p, se p ≥ 0. Se p < 0, deve ser considerado n ímpar.
b) lim
x→px
n = pn.
Exercício 12. Uma companhia telefônica debita 25 centavos pelo primeiro minuto de ligação interurbana, e
15 centavos para cada minuto adicional.
a) Determine uma função C para o custo total de uma ligação de x minutos.
b) Se n é um inteiro maior que 1, determine:
lim
x→n−
C(x) e lim
x→n+
C(x)
Exercício 13. Calcule os limites utilizando dos limites fundamentais.
a) lim
x→0
2x − 3x
x
b) lim
x→0
x+ sen(2x)
x− sen(2x) c) limx→2
6x − 36
x− 2
d) lim
x→0
x
1− ex limx→0
3ln(x+ 1)
2x
f) lim
x→0
e3x − 1
e−x − 1
Exercício 14. Calcule os limites.
a) lim
x→∞
x
x2 + 3x+ 1
; b) lim
x→∞
√
x+ 3
√
x
x2 + 3x+ 1
; c) lim
x→∞
2x3 + 1
x4 + 2x+ 3
;
d) lim
x→−∞
3
√
x
x2 + 3
; e) lim
x→∞
3
√
x3 + 2x− 1√
x2 + x+ 1
; f) lim
x→∞(
√
x+ 1−√x+ 3)
Exercício 15. Determine o limite, se existir.
a) lim
x→∞
5x2 − 3x+ 1
2x2 + 4x− 7 ; b) limx→∞
3x2 − x+ 1
6x3 + 2x2 − 7
c) lim
x→−∞
(3x+ 4)(x− 1)
(2x+ 7)(x+ 2)
; d) lim
x→−∞
2− x2
x+ 3
e) lim
x→∞
3
√
8 + x2
x(x+ 1)
; f) lim
x→−∞
4x− 3√
x2 + 1
g) lim
x→∞ sen(x); h) limx→−∞ cos(x)
Exercício 16. Encontre as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de f .
a)f(x) =
x2 + 3x+ 2
x2 + 2x− 3 b)f(x) =
x2 − 5x
x2 − 25
c)f(x) =
x+ 4
x2 − 16 d)f(x) =
3
√
16− x2
4− x
Exercício 17. Seja f uma função que satisfaz as condições indicadas. Esboce um gráfico de f , supondo que
ele não corte uma assíntota horizontal.
a) lim
x→−∞ f(x) = 1; limx→∞ f(x) = 1
lim
x→3−
f(x) = −∞; lim
x→3+
f(x) =∞
b) lim
x→−∞ f(x) = −1; limx→∞ f(x) = −1
lim
x→2−
f(x) =∞; lim
x→2+
f(x) = −∞
Exercício 18. Encontre as assíntotas verticais de f(x) = tg(x). A função admite assíntotas horizontais?
Justifique.
Exercício 19. Uma concentração de água salgada na base de 50g de sal por litro de água corre para um tanque
que contém inicialmente 50 litros de água pura.
a) Se o fluxo de água salgada para o tanque é de 5 litros por minuto, determine o volume V (t) de água e a
quantidade A(t) de sal no tanque após t minutos.
b) Estabeleça uma fórmula para concentração c(t) de sal (em k/lt - kilos por litro) após t minutos.
c) Que ocorre com c(t) por um longo período de tempo? Para esta questão, faça uma interpretação em
termos de limite.
Exercício 20. Classifique as descontinuidades de f como removíveis, tipo salto, ou infinitas.
a) f(x) =
 −x
2 se x < 1
1 se x = 1
x− 2 se x > 1
b) f(x) =
{ |x+ 3| se x 6= −2
2 se x = −2
Exercício 21. Mostre que f é contínua no intervalo dado.
a) f(x) =
√
x− 4 em [4,8]; b) f(x) = 1
x− 1 em (1,3);
c) f(x) =
√
16− x em (−∞,16); d) f(x) = 1
x2
em (0,∞).
Exercício 22. Ache todos os números para os quais f é contínua.
a) f(x) = 2x4 − 3√x+ 1; b) f(x) =√(2 + x)(3− x)
Exercício 23. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique.
a) f(x) =

x3 − 8
x− 2 se x 6= 2
L se x = 2
em p = 2 b) f(x) =

√
x−√5√
x+ 5−√10 se x 6= 5
L se x = 5
em p = 5
Exercício 24. Determine constantes a, b e L para que a função abaixo seja contínua em R.
f(x) =

x2 + ax+ 3
x− 1 , para x < 1
L, para x = 1
bx+ 4, para x > 1
.
Exercício 25. Existe um número a tal que
lim
x→−2
3x2 + ax+ a+ 3
x2 + x− 2
exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.