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III Lista - Cálculo Diferencial e Integral I - GMA 005 - Matemática
Exercício 1. Sabemos que os materiais, em sua maioria, se expandem quando aquecidos e se contraem quando
resfriados. As dimensões de certos equipamentos de laboratório podem ser tão críticas que os locais onde eles
são fabricados precisam ser mantidos à mesma temperatura dos laboratórios onde vão ser instalados. Uma
típica barra de alumínio de 10 cm de largura, a 70 ◦F, terá
y = 10 + (t− 70)× 10−4
centímetros a uma temperatura t. Em dado experimento, suponha que a barra possa variar, no máximo, 0,0005
cm em relação aos 10 cm ideais. Qual a variação máxima de temperatura, em relação aos 70 ◦F originais,
permitida para que a barra se mantenha dentro das especificações?
Exercício 2. Prove que f é contínua em c se, e somente se, limh→0 f(c+ h) = f(c).
Exercício 3. Explique porque cada função é contínua ou descontínua.
a) A temperatura em um local específico como uma função do tempo.
b) A temperatura em um tempo específico como uma função da distância em direção a oeste a partir da
cidade de Paris.
c) A altitude acima do nível do mar como uma função da distância percorrida.
d) O custo de uma corrida de táxi como função da distância percorrida.
e) A corrente do circuito para as luzes de uma sala como função do tempo.
Exercício 4. Classifique as descontinuidades de f como removíveis, tipo salto, ou infinitas.
a) f(x) =
 −x
2 se x < 1
1 se x = 1
x− 2 se x > 1
b) f(x) =
{ |x+ 3| se x 6= −2
2 se x = −2
Exercício 5. Mostre que f é contínua no intervalo dado.
a)f(x) =
1
x− 1 em (1, 3); b)f(x) =
√
16− x em (−∞, 16); c)f(x) = 1
x2
em (0,∞).
Exercício 6. Ache todos os números para os quais f é contínua.
a) f(x) = 2x4 − 3√x+ 1; b) f(x) =√(2 + x)(3− x)
Exercício 7. Prove que a equação x5 − 3x4 − 2x3 − x+ 1 = 0 tem uma solução entre 0 e 1.
Exercício 8. Um atleta percorre uma pista de 100m de modo que a distância s(t) percorrida após t segundos
é dada por s(t) = 15 t
2 + 8t. Determine a velocidade do atleta:
a) no início da corrida.
b) quando t = 5.
c) na reta final.
Exercício 9. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique.
a) f(x) =

x3 − 8
x− 2 se x 6= 2
L se x = 2
em p = 2 b) f(x) =

√
x−√5√
x+ 5−√10 se x 6= 5
L se x = 5
em p = 5
Exercício 10. Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhã e segue sua caminhada usual para
o topo da montanha, chegando lá às 7 horas da noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo às 7 horas da
manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7 horas da noite. Use o Teorema do Valor
Intermediário para mostrar que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma
hora do dia em ambas as caminhadas.
Exercício 11. Suponha que uma função f seja contínua no intervalo fechado [0,1]. Mostre que deve existir
um número c em [0,1], de modo que f(c) = c (c é denominado ponto fixo e o resultado é chamado Teorema do
Ponto Fixo).
Exercício 12. É verdade que se você esticar um elástico movendo uma ponta para a esquerda e a outra para
a direita, algum ponto do elástico continuará em sua posição original? Justifique sua resposta.
Exercício 13. Prove que cada um dos conjuntos abaixo admite máximo e mínimo.
a) A =
{
x
1 + x2
| − 2 ≤ x ≤ 2
}
b) A =
{
x2 + x
1 + x2
| − 1 ≤ x ≤ 1
}
Exercício 14. Seja f : [−1, 1]→ R dada por f(x) = x
2 + x
1 + x2
.
a) Prove que f(1) é o valor máximo de f .
b) Prove que existe x1 ∈]− 1, 0[ tal que f(x1) é o valor mínimo de f .
Exercício 15. Prove que todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos uma raiz real.
Exercício 16. Encontre as assíntotas oblíquas possíveis de cada função.
a) f(x) = arctg(x) b) f(x) =
√
x2 + 4x c) f(x) =
√
x2 + 1
d) f(x) = x+ xsen( 1x ) e) f(x) =
√
x2 + 2x
Exercício 17. Prove que a equação x3 − 4x2 + 2 = 0 admite três raizes distintas.
Exercício 18. Mostre que
lim
x→∞[f(x)− x
2] = 0,
em que f(x) = x
3+1
x . Dizemos que a curva y = f(x) é assintótica à parábola y = x
2.