Prova de calculo 1 resolvida

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Solução da Prova 1 de Cálculo Diferencial e Integral I - Turma 9
Professor João Caminada
Questão 1. (1.5) Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→9
√
x− 3
x− 9
Solução.
lim
x→9
√
x− 3
x− 9 = limx→9
√
x− 3
x− 9
√
x+ 3√
x+ 3
= lim
x→9
x− 9
(x− 9)(√x+ 3)
=
1
6
.
(b) lim
x→pi sec(x sen x− x)
Solução. Pela continuidade das funções x, sen x, cosx e secx temos que
lim
x→pi sec(x sen x− x) = sec( limx→pi(x sen x− cosx))
= sec(−pi)
= −1.
(c) lim
x→−∞
√
x2 + 1
x+ 1
Solução. Como |x|3 = −x3 se x < 0 segue que
lim
x→−∞
√
x2 + 1
x+ 1
= lim
x→−∞
√
x2(1− 1/x2)
x(1 + 1/x)
= lim
x→−∞
−x√1 + 1/x2
x(1 + 1/x)
= lim
x→−∞
−√1 + 1/x2
1 + 1/x
= −1.
Questão 2. (2.0) Determine se a função
f(x) =
{
x2 sen (1/x) se x < 0√
x se x ≥ 0
é contínua em 0.
Solução. Para que a função seja contínua em 0 é necessário e suficiente que
lim
x→0−
f(x) = f(0) = lim
x→0+
f(x).
Note que
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
√
x = 0 = f(0).
Por outro lado
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
x2 sen (1/x) = 0,
pelo Teorema do Confronto, pois −1 ≤ sen (1/x) ≤ 1 para todo x > 0 e limx→0− = 0.
Concluímos que f é contínua em 0.
Questão 3. (2.0) Determine os pontos onde a função f(x) = |x− 1| é diferenciável.
Solução. Reescreveremos f como
f(x) =
{
x− 1 se x ≥ 1
1− x se x < 1.
Portanto, f(x) = x− 1 no intervalo aberto (1,∞) e f(x) = 1− x no intervalo aberto (−∞, 1). Como as
funções x− 1 e 1− x são diferenciáveis, segue que f é diferenciável em (−∞, 1) ∪ (1,∞).
No ponto 1 temos que
lim
x→1−
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1−
1− x
x− 1 = −1
e
lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1+
x− 1
x− 1 = 1.
Portanto, não existe
lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 ,
ou seja, f não é diferenciável em 1.
Questão 4. (3.0) Encontre a derivada das funções:
(a) y =
5x+ 1
2
√
x
Solução. Pela Regra do Quociente
dy
dx
=
d
dx (5x+ 1)(2
√
x)− (5x+ 1) ddx (2
√
x))
4x
=
1
4x
(
10
√
x− 5x+ 1√
x
)
=
5x− 1
4x
√
x
.
(b) y = sen2(pit− 2)
Solução. Pela Regra da Cadeia
dy
dx
= 2 sen(pit− 2) d
dx
(sen(pit− 2))
= 2 sen(pit− 2) cos(pit− 2) d
dx
(pit− 2)
= 2pi sen(pit− 2) cos(pit− 2)
= pi sen(2pit− 4).
(c) y = e2x cos(x
3)
Solução. Pela Regra da Cadeia e do Produto
dy
dx
= e2x cos(x
3) d
dx
(2x cos(x3))
= e2x cos(x
3)
(
d
dx
(2x) cos(x3) + 2x
d
dx
(cos(x3))
)
= e2x cos(x
3)
(
2 cos(x3)− 2x sen(x3) d
dx
(x3)
)
= e2x cos(x
3)
(
2 cos(x3)− 6x3 sen(x3)
)
.
Questão 5. (1.5) Encontre os pontos da curva x2 + xy + y2 = 1 onde a reta tangente é horizontal.
Solução. Derivando a equação implicitamente:
d
dx
(x2) +
d
dx
(xy) +
d
dx
(y2) = 0
2x+ y + x
dy
dx
+ 2y
dy
dx
= 0
dy
dx
=
−(2x+ y)
x+ 2y
.
Como dy/dx é o coeficiente angular da reta tangente no ponto (x, y), esta reta será horizontal se, e
somente se, dy/dx = 0, ou seja, se, e somente se,
y = −2x.
Portanto, estes pontos satisfazem que
x2 + x(−2x) + (−2x)2 = 1 =⇒ x2 = 1
3
=⇒ x = ± 1√
3
.
Logo, a reta tangente é horizontal nos pontos (1/
√
3,−2/√3) e (−1/√3, 2/√3).