QUESTOES SOBRE GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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QUESTÕES DE GRANDEZAS PROPORCIONAIS E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Q1 (ENEM – 2013 – adaptada) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça. Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar 2012.
Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos iados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%.
Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em __ %.
Vamos comparar as duas situações (somente considerando porcentagem):
Original: 100% x 100% (1 x 1)
Reduzido: 80% x 80% (0,8 x 0,8)
Ora, 1 x 1 = 1. Mas 0,8 x 0,8 = 0,64. Dessa maneira, houve uma redução de 0,36 da área original, o que corresponde a 36%.
Dica do autor: sempre que houver associação entre geometria e porcentagem, considere as dimensões multiplicando-as e nunca como adição.
Q2 (ENEM – 2013 – adaptada) A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa e a escola. Na fase de implantação do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1 : 25 000, por um período de cinco dias.
Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implantação do programa?
Tendo em vista que cada lado dos quadradinhos correspondem a 1 cm, basta verificar quantos “lados” o menino percorreu. Na contagem, vemos 16 lados, ou seja, 16 cm. Como ele usou a bicicleta cinco dias, ida e volta, mesmo trajeto, podemos dizer que ele percorreu o equivalente a 160 cm (16 x 10 = 160). Contudo, a escala desse mapa é de 1 : 25000, ou seja, cada cm do desenho corresponde a 25.000 cm reais (250 m). Com uma pequena regra de três, deduz-se que 4 cm corresponde a 1000 m (1 km). Pois: 4 x 250m = 1000 m = 1 km. Mas nos 160cm percorridos, temos que ele fez 40 km (160 : 4 = 40).
Q3 (ENEM – 2012 – adaptada) Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir.
Qual é a árvore que apresenta a maior altura real?
Comparando as duas primeiras árvores, que no desenho têm o mesmo tamanho, descartamos a árvore II, pois esta última tem uma escala de 1:50 (proporcional a 2:100) contra 1:100 da árvore I. Portanto, cada centímetro do desenho de I representa o dobro da altura de II. Raciocínio semelhante, ao confrontar as árvores IV e V: elimina-se a árvore V.
Assim, restam três candidatas: I, III e IV.
As árvores I e III representam a mesma altura. Pois I tem 9 cm de desenho (e na escala: 9 x 100 = 900 cm). Enquanto que III tem 6 cm de desenho (e na escala: 6 x 150 = 900 cm). Uma vez que existe uma árvore que supera as demais, a maior de todas é a árvore IV.
Numericamente, comprovamos: 4 cm de desenho x 300 cm da escala = 1.200 cm.
Q4 (ENEM – 2012 – adaptada) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). 
Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?
Observemos que 60 litros correspondem a quatro descargas de 15 litros (60 : 15 = 4). E, para cada descarga de 15 litros, a bacia sanitária ecológica dá descarga de somente 6 litros. Com quatro descargas, totalizamos 24 litros (6 x 4 = 24).
Vinte e quatro litros contra sessenta representa uma economia diária de 36 litros (60 – 24 = 36).
Q5 (ENEM – 2012 – adaptada) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. 
Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de
Trinta gotas de remédio é seis vezes mais do que cinco gotas (30 : 5 = 6). Para cada “pacote” de cinco gotas, o menino pesaria 2 kg. Sendo seis “pacotes”, temos uma criança com 12 kg (2 x 6 = 12).
Q6 (ENEM – 2011 – adaptada) Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma forma que possa queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte: - 
Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos: 100 calorias gastas em 20 minutos. 
- Meia hora de supermercado: 100 calorias. 
- Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias. 
- Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos. 
- Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos. 
- Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias. 
Disponível em: http://cyberdiet.terra.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado). 
Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias. 
A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades?
Vamos resolver essa questão com uma tabela:
	Atividade
	Tempo
	Calorias
	Tempo para 200 Calorias
	Tempo adicional
	Telefone
	20min
	100
	200 : 100 = 2, 2 x 20 = 40min
	40 – 20 = 20 min
	Supermercado
	30min
	100
	200: 100 = 2, 2 x 30 = 60min
	60 – 30 = 30 min
	Jardim
	30min
	200
	30 min
	0 min
	Cachorro
	30min
	200
	30 min
	0 min
	Tirar Pó
	30min
	150
	200 : 150 = 4/3, 4/3 x 30 = 40min
	40 – 30 = 10 min
	Lavar Roupas
	30min
	200
	30 min
	0 min
 
A soma dos tempos adicionais é de 60 min (20 + 30 + 10 = 60), ou seja, 1 h.
Observação do autor: Não é necessário que o candidato ao ENEM resolva detalhadamente. O objetivo do detalhamento é o ser didático.
Q7 (ENEM – 2011 – adaptada) Para uma atividade realizada no laboratório de Matemática, um aluno precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola que tem 28 m de comprimento por 12 m de largura. A maquete deverá ser construída na escala de 1 : 250. 
Que medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno utilizará na construção da maquete?
A escala indica que 1 cm do desenho equivale a 250 cm = 2,5 m.
Devemos dividir o tamanho real (28 x 12) por 2,5 e obteremos, daí, (11,2 x 4,8) será a nossa resposta.
Q8 (ENEM – 2011 – adaptada) Em 2009, o brasileiro alcançou o recorde de 331 bilhões de xícaras de café consumidas. A média de capacidade da xícara é de 120 ml de café. Estima-se um aumento de 1/5 desse consumo para 2010. Assim, qual a previsão mais aproximada para o consumo de café, em litros, para o ano de 2010?
Um caminho mais simples é aumentar em 1/5 o tamanho da xícara. Para isso, dividimos 120 por 5 e encontraremos 24. Daí é somar: 120 + 24 = 144 ml = 0,144 l. Vamos ajustar dois números, porque 331 bilhões é muito grande e 0,144 l é muito pequeno. Se dividirmos os bilhões por 1000 e multiplicarmos os ml pelo mesmo valor, não iremos afetar o resultado final. Então, vamos considerar 331 MILHÕES de xícaras de 144 LITROS, cada.
Basta multiplicar: 331.000.000 x 144 = 47.664.000.000 (entre 47 e 48 bilhões de litros de café)
Observação do autor: suprimiu-se as alternativas em todas as questões porque o objetivo é ensinar a raciocinar a questão e não a decorar métodos de eliminação de alternativa, que são necessários apenas quando não se sabe a matéria.
Q9 (ENEM – 2011 – adaptada) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas,é igual a 2 000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm. Qual a escala do mapa?
Se 8 cm correspondem a 2000 km = 200.000.000 cm, basta dividir ambos os números por 8 e teremos a escala. Ou seja 1 : 25.000.000 cm.
Q10 (ENEM -2011 – adaptada) Em 2010, um caos aéreo afetou o continente europeu, devido à quantidade de fumaça expelida por um vulcão na Islândia, o que levou ao cancelamento de inúmeros voos. Cinco dias após o início desse caos, todo o espaço aéreo europeu acima de 6 000 metros estava liberado, com exceção do espaço aéreo da Finlândia. Lá, apenas voos internacionais acima de 31 mil pés estavam liberados. Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 21 abr. 2010 (adaptado). 
Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés. 
Qual a diferença, em pés, entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias após o início do caos?
Precisamos trabalhar com os valores em pés. Então vamos multiplicar os 6000 metros por 3,3 = 19.800 metros. Agora, a diferença é dada por 31000 pés – 19800 = 11200 pés.
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