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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMÁTICA FINANCEIRA Profa. Dra. Rita de Cássia Pistóia Mariani Por recorrência, ao final de n períodos, o capital inicial (C= P = PV) aplicado a uma taxa de juros ip ao período, gerará um montante (M = S = FV) de: (1 )nS P i HP 12C NA CONVENÇÃO EXPONENCIAL C Exemplo 1: Qual o montante gerado por um capital de $ 1.000,00 aplicado por 12 meses a taxa de juros de 3% am, com capitalização mensal? 12 1 (1 ) = 1000,(1+0,03) = 1.425,76 nFV PV i Taxa Proporcional X Taxa Equivalente FV -1000 12 meses 0 i = 3% a.m. HP 12C f REG 1000 CHS PV 12 n 3 i [FV] $1.425,76 1 2 (1 ) = 1000.(1+0,036) = 1.360,00 nFV PV i Exemplo 2: Qual o montante gerado por um capital de $ 1.000,00 aplicado por 12 meses a taxa de juros de 36% aa, com capitalização anual? FV -1000 1 ano 0 i = 36 % a.a. HP 12C f REG 1000 CHS PV 1 n 36 i [FV] $1.360,00 Os montantes gerados pelas duas alternativas (FV1 e FV2) são diferentes. Isto significa que as taxas de juros de 3%a.m. com capitalização mensal e de 36% a.a. com capitalização anual, apesar de serem proporcionais, não são equivalentes, pois geram montantes diferentes em tempos iguais. Exemplo 2: Qual o montante gerado por um capital de $ 1.000,00 aplicado por 12 meses a taxa de juros de 36%a.a., com capitalização anual? Exemplo 1: Qual o montante gerado por um capital de $ 1.000,00 aplicado por 12 meses a taxa de juros de 3%a.m., com capitalização mensal? Taxa Proporcional X Taxa Equivalente 1 2 (1 ) = 1000.(1+0,036) = 1.360,00 nFV PV i 12 1 (1 ) = 1000,(1+0,03) = 1.425,76 nFV PV i Exemplo: Qual a taxa de juros mensal que é equivalente a uma capitalização anual composta de $ 1.000,00 aplicado por 12 meses a taxa de juros de 36%a.a.? 1 1/12 ..................................................... 12 12 1 1 12 12 12 1 12 12 (1 0,36) 1 (1 0,36) 1 (1,36) 1 1 1,36 1,36 1 1,025954835 1 0,025954835 . . q q q q q q q C C i i i i i i i a m 1/12 1/12 1/12 1/12 Exemplo: Qual a taxa de juros mensal que é equivalente a uma capitalização anual composta de um capital de $ 1.000,00 aplicado por 12 meses a taxa de juros de 36%a.a.? 1 1/q 1/q 1/q 1/q 1/q ..................................................... 1 1 1 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 1 1 1 1 q q q q q q q q q q q q C i C i i i i i i i i i Taxas Equivalentes i Equivalência de taxas na HP 12C -100,00 FV ? 12 i = 2,596% a.m. Qual é a taxa mensal que é equivalente a i = 36% a. a.? 0 [f] [REG] 100 [CHS] [PV] 136 [FV] 12 [n] [i] 2,596 Suponha PV = 100,00 Exemplo: Qual a taxa de juros anual que é equivalente a uma capitalização mensal composta de $ 1.000,00 aplicado por 1 ano a taxa de juros de 3%a.m.? Exemplo: Qual a taxa de juros anual que é equivalente a uma capitalização mensal composta de um capital de $ 1.000,00 aplicado por 1 ano a taxa de juros de 3%a.m.? 1 1/12 ..................................................... 12 12 (1 0,03) 1 (1,03) 1 1 1,42576 0,42576 o oC C i i i i aa 1/12 1/12 1/12 1/12 i= ? 1/q 1/q 1/q 1/q 1/q ..................................................... 1 (1 ) 1 (1 ) 1 1 1 1 1 q q q q q q q q C i C i i i i i i i Taxas Equivalentes i q 1 Equivalência de taxas na HP 12C -100,00 FV ? 12 i = 42,58% a.a. Qual é a taxa anual que é equivalente a i=3% a. m.? 0 [f] [REG] 100 [CHS] [PV] 12 [n] 3 [i] [FV] 142,58 Suponha PV = 100 Exemplo: Qual o montante gerado por um capital de $1.000,00 aplicado por 12 meses a taxa de juros de 36% aa, com capitalização mensal? j : taxa nominal if :taxa efetiva P : principal S :montante K :número de capitalizações para 1 para um período da taxa nominal m : número de períodos de capitalização da taxa nominal Taxa Nominal X Taxa Efetiva 12 0,36 1 1.000,00 1 1.425,76 12 km j S P k Exemplo: E qual a taxa efetiva de juros envolvida na operação financeira da atividade anterior? (Qual o montante gerado por um capital de $1.000,00 aplicado por 12 meses a taxa de juros de 36% aa, com capitalização mensal)? 12 0,36 1 1 0,42576 42,58% 12 fi aa Taxa Nominal X Taxa Efetiva if : taxa efetiva (1 ) 1 1 1 km m f k f j P i P k j i k Taxas de juros equivalentes: duas taxas de juros são ditas equivalentes quando, ao serem aplicadas ao mesmo capital pelo mesmo prazo, gerarem o mesmo montante. Taxa de juros nominal: uma taxa de juros é dita nominal quando está expressa em unidade de tempo diferente da unidade de tempo do período de capitalização. Taxa de juros efetiva: uma taxa de juros é dita efetiva quando está expressa em unidade de tempo igual à unidade de tempo do período de capitalização. (1 )nFV PV i Exemplo 4.5: Uma pessoa vendeu um carro nas seguintes condições: uma parcela de $ 10.000,00 vencível em 30 dias, uma segunda parcela de $ 10.000,00 vencível em 60 dias, e uma última parcela de $15.000,00 vencível em 90 dias, representadas por três notas promissórias. Se esta pessoa negociar essas notas promissórias para transformá-las em dinheiro, na mesma data da venda do carro, quanto deverá receber por elas? (Em outras palavras, qual o valor à vista do carro, equivalente às três parcelas?) 3 Exemplo 4.5: Uma pessoa vendeu um carro nas seguintes condições: uma parcela de $ 10.000,00 vencível em 30 dias, uma segunda parcela de $ 10.000,00 vencível em 60 dias, e uma última parcela de $15.000,00 vencível em 90 dias, representadas por três notas promissórias. Se esta pessoa negociar essas notas promissórias para transformá- las em dinheiro, na mesma data da venda do carro, quanto deverá receber por elas? (Em outras palavras, qual o valor à vista do carro, equivalente às três parcelas?)