INTRODUÇÃO A MECÂNICA DOS FLUIDOS

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UNIVERSIDADE SALGADO DE OLIVEIRA
ENGENHARIA DE PRODUC¸A˜O
CURSO DE FENOˆMENOS DOS TRANSPORTES
Valter Lima Junior
7 de abril de 2015
PROGRAMA DO CURSO
UNIDADE I - MECAˆNICA DOS FLUIDOS
1. Introduc¸a˜o
1.1 Definic¸a˜o de Fluido
1.2 Equac¸o˜es Ba´sicas
1.3 Me´todos de Ana´lise
1.4 Medidas e Unidades
2. Conceitos Fundamentais
2.1 O Fluido como Cont´ınuo
2.2 Campo de Velocidades
2.3 Campo de Tenso˜es
2.4 Viscosidade
2.5 Descric¸a˜o e Classificac¸a˜o dos Movimentos dos Fluidos
3. Fluidoesta´tica
3.1 Equac¸o˜es Ba´sicas da Fluidoesta´tica
3.2 Presso˜es Absoluta e Manome´trica
3.3 Atmosfera Padra˜o
3.4 Empuxo Hidrosta´tico em Superf´ıcie Submersa
4. Forma Integral para as Equac¸o˜es Ba´sicas para o Volume de Controle
4.1 As leis Ba´sicas do Sistema
4.2 Conservac¸a˜o de Massa
4.3 Segunda Lei de Newton
4.4 Primeira Lei da Termodinaˆmica
4.5 Segunda Lei da Termodinaˆmica
UNIDADE II - TRANSFEREˆNCIA DE CALOR
1. Introduc¸a˜o
1.1 Transfereˆncia de Calor por Conduc¸a˜o
1.2 Transfereˆncia de Calor por Convecc¸a˜o
1.3 Transfereˆncia de Calor por Radiac¸a˜o
1.4 Dimenso˜es e Unidades
1
Cap´ıtulo 1
Mecaˆnica dos Fluidos — Introduc¸a˜o
Mecaˆnica dos Fluidos e´ a cieˆncia que estuda fluidos em repouso e em movimento, frequentemente em
situac¸o˜es isote´rmicas. Sua aplicac¸a˜o e´ bastante ampla e abrange va´rios campos, como o escoamento
de a´gua para uso residencial, o ar tratado em ambientes hospitalares e residenciais, o ar em torno
dos automo´veis e avio˜es em movimento, o sangue nas arte´rias e veias, o movimento das a´guas do
mar, os esforc¸os em barragens, os corpos flutuantes, etc.
1.1 Definic¸a˜o de Fluido
Da forma mais elementar, pode-se dizer que um fluido e´ uma substaˆncia que na˜o tem forma pro´pria,
assumindo sempre o formato do recipiente em que esta´ contido. Entretanto, podemos defini-lo
de uma forma mais complexa: os fluidos, gases ou l´ıquidos, sa˜o substaˆncias que se deformam
continuamente ao serem submetidas a uma forc¸a tangencial, por menor que ela seja. Nesse contexto,
os gases e l´ıquidos na˜o se diferenciam, aplicando-se a eles as mesmas leis e princ´ıpios da mecaˆnica
dos fluidos.
Para entender os fluidos e seu escoamento, torna-se necessa´rio enumerar outros conceitos:
• Sistema ( Corpo): e´ a quantidade de mate´ria em que estamos interessados. Por exemplo,
o enchimento de uma garrafa de cerveja vazia, a linha de ga´s que liga o botija˜o ao foga˜o,
o automo´vel que recebe gasolina e ar e libera gases de combusta˜o pela descarga, etc. Os
sistemas podem ser abertos ou fechados (volume de controle).
• Meio: e´ o que na˜o faz parte do sistema ou volume de controle. E´ tambe´m conhecido como
vizinhanc¸a e suas fronteiras com o sistema podem ser de diversos tipos: r´ıgidas (panela de
pressa˜o), deforma´veis ( bala˜o de ar), mo´veis ( cilindro de um motor), isolados termicamente
( garrafa te´rmica) ou na˜o (x´ıcara de cafe´), permea´veis ( filtros), etc.
• Propriedades: sa˜o as caracter´ısticas da natureza do corpo. Podemos dizer que sa˜o atributos
que podem ser quantificados e esta˜o associados a alguma condic¸a˜o f´ısica. Por exemplo, para
um automo´vel, a velocidade e a posic¸a˜o sa˜o duas de suas propriedades.
• Equil´ıbrio: e´ uma condic¸a˜o atingida pelas mole´culas de um sistema quando na˜o ha´ diferenc¸a
de pressa˜o.
• Massa: em termos operacionais, define-se massa como sendo a propriedade de um objeto
material que determina a sua ine´rcia, ou seja, sua capacidade de resistir a mudanc¸as de
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velocidade e acelerac¸a˜o. Suas unidades sa˜o o kg ( sistema internacional ) e a libra ( sistema
ingleˆs).
• Volume: e´ o espac¸o ocupado pela mate´ria. Suas unidades sa˜o o metro cu´bico ( sistema
internacional ) e o pe´ cu´bico (sistema ingleˆs). Tambe´m sa˜o usados o litro e o gala˜o.
• Massa espec´ıfica: para um determinado volume de massa m , a massa espec´ıfica e´ dada pela
expressa˜o
ρ = lim
V→0
m
V
(kg/m3)
ou seja, e´ uma raza˜o entre massa e volume. Da mesma forma, pode-se definir o volume
espec´ıfico pela expressa˜o
υ = lim
V→0
V
m
(m3/kg)
de modo que
ρ× υ = 1.
• Densidade: a densidade de uma substaˆncia e´ a relac¸a˜o entre a sua massa espec´ıfica e a massa
espec´ıfica da a´gua em uma situac¸a˜o de refereˆncia ( em geral ρH2O = 1.000 kg/m
3 ), ou seja
d =
ρsubst.
ρH2O
Assim sendo, a densidade e´ um nu´mero adimensional. Substaˆncias que teˆm densidade menor
que a a´gua ira˜o flutuar nela.
• Peso espec´ıfico: O peso espec´ıfico de uma substaˆncia e´ dado pelo produto entre a massa
espec´ıfica e a acelerac¸a˜o da gravidade, ou seja:
γ = ρ g
• Forc¸as: os escoamentos envolvem dois tipos de forc¸as: as superficiais e as de corpo. As superfi-
ciais podem ser normais ou tangenciais e, atuando sobre a´reas, da˜o origem a`s tenso˜es normais
(σ ) e de cisalhamento ( τ ). As de corpo ( por exemplo, gravidade e eletromagnetismo)
atuam sobre um elemento de volume.
• Pressa˜o: e´ a raza˜o entre a forc¸a aplicada a uma a´rea unita´ria e o valor desta a´rea.
As unidades usuais de pressa˜o sa˜o:
– Sistema MKS: kgf/cm2
– Sistema ingleˆs: psi (pound square inch, ou libra-forc¸a por polegada quadrada)
– Sistema internacional: N/m2 ou Pa ( abreviatura de Pascal)
– Torr: 1 mm Hg (usada para indicar pressa˜o atmosfe´rica.
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1.2 Equac¸o˜es Ba´sicas
• Tenso˜es
Seja uma forc¸a F aplicada sobre uma superf´ıcie de a´rea A . Esta forc¸a pode ser decomposta
segundo a direc¸a˜o normal a` superf´ıcie e a da tangente, dando origem a uma componente de
forc¸a normal e outra tangencial.
A tensa˜o normal e´ o quociente entre o mo´dulo da componente normal da forc¸a e a a´rea sobre
a qual atua:
σ =
Fn
A
A tensa˜o de cisalhamento e´ o quociente entre o mo´dulo da componente tangencial da forc¸a e
a mesma a´rea:
τ =
Ft
A
Em geral, o conceito de tensa˜o envolve uma forc¸a de contato e a a´rea em que ela atua.
Considerando um elemento de a´rea ∆A em torno de um ponto P , onde atua um elemento
de forc¸a ∆F , podemos especificar as componentes de tensa˜o, mantendo-se a indicac¸a˜o da
direc¸a˜o da componente de forc¸a e tambe´m a indicac¸a˜o da superf´ıcie onde atua a tensa˜o. Dessa
forma, podemos escrever
Tij = lim
∆Ai→0
∆Fj
∆Ai
onde:
Tij e´ a componente de tensa˜o
i e´ a direc¸a˜o normal ao plano no qual a forc¸a atua
j e´ a direc¸a˜o da componente da forc¸a.
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• Deformac¸a˜o
Os fluidos, com a aplicac¸a˜o de uma tensa˜o cisalhante se deformam cont´ınua e indefinidamente
enquanto existir essa tensa˜o tangencial, resultando uma taxa de deformac¸a˜o dθ/dt , pois o
aˆngulo de deformac¸a˜o e´ func¸a˜o do tempo θ = θ(t) .
Dessa forma, pode-se dizer que a tensa˜o de cisalhamento e´ diretamente proporcional a` taxa
de deformac¸a˜o do fluido, ou seja:
τ α
dθ
dt
• Viscosidade
A viscosidade e´ a propriedade associada a` resisteˆncia que o fluido oferece a` deformac¸a˜o por
cisalhamento. Pode-se dizer que a viscosidade corresponde ao atrito interno nos fluidos devido,
basicamente, a`s interac¸o˜es intermoleculares.
Consideremos um elemento fluido infinitesimal, situado entre duas placas planas paralelas de
grandes dimenso˜es, sofrendo uma deformac¸a˜o no intervalo de tempo dt . A placa superior
esta´ em movimento com velocidade constante dVx , enquanto a placa inferior permanece em
repouso. Os fluidos reais apresentam a propriedade de adereˆncia a`s superf´ıcies so´lidas com
as quais esta˜o em contato, de forma que uma pel´ıcula de espessura infinitesimal de fluido fica
aderida nas placas.
Esta´ sendo aplicada uma forc¸a dFx constante na placa superior, que possui uma superf´ıcie
de a´rea dA em contato com o fluido, com normal na direc¸a˜o y , de maneira que a tensa˜o
cisalhante aplicada ao elemento fluidoe´ dada por:
τyx = lim
∆Ay→0
∆Fx
∆Ay
Considerando o gradiente de velocidade de escoamento e admitindo pequenos aˆngulos de
deformac¸a˜o, podemos escrever:
dθ
dt
=
dVx
dy
Assim, a tensa˜o cisalhante pode ser escrita como:
τyx α
dθ
dt
ou
τyx = −µ dVx
dy
onde µ e´ a viscosidade absoluta do fluido.
O sinal negativo e´ decorrente do fato de que o transporte de momento linear do fluido tem
sentido contra´rio ao gradiente de velocidade. Isso sera´ melhor explicado mais adiante.
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Em va´rias equac¸o˜es de mecaˆnica dos fluidos, aparece o quociente entre a viscosidade absoluta
ou dinaˆmica e a massa espec´ıfica do fluido, sendo conveniente a definic¸a˜o de uma outra
propriedade chamada de viscosidade cinema´tica do fluido, dada por:
ν =
µ
ρ
• Compressibilidade
A compressibilidade de um fluido esta´ relacionada a` reduc¸a˜o volume´trica decorrente de uma
variac¸a˜o de pressa˜o. Na maioria das vezes, um l´ıquido pode ser considerado um fluido in-
compress´ıvel; entrentanto, quando ocorrem variac¸o˜es muito elevadas ou bruscas de pressa˜o a
compressibilidade torna-se significativa.
A compressibilidade e´ medida pelo seu mo´dulo de elasticidade volume´trica E , expresso em
unidades de pressa˜o e dado por:
E = − dp
dV
V
onde:
dp e´ a variac¸a˜o de pressa˜o
dV e´ a variac¸a˜o de volume
V e´ o volume
• Equac¸a˜o de Estado para um ga´s perfeito
Um ga´s perfeito pode ser definido como uma substaˆncia que satisfaz a` lei dos gases ideais,
expressa por:
pυ = RT
onde:
p e´ a pressa˜o absoluta
υ e´ o volume espec´ıfico
R e´ a constante do ga´s
T e´ a temperatura absoluta
Como o volume espec´ıfico e´ o inverso da massa espec´ıfica, podemos escrever:
p
ρ
= RT
onde ρ e´ a massa espec´ıfica.
Podemos ainda expressar a massa espec´ıfica em termos da massa e do volume do ga´s, de tal
forma que a equac¸a˜o fica:
pV = mRT
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1.3 Me´todos de Ana´lise
A ana´lise de qualquer problema em mecaˆnica dos fluidos envolve as leis que regem os movimentos
dos fluidos. Dentre elas, sa˜o aplica´veis:
• a conservac¸a˜o de massa
• a segunda lei de newton
• o princ´ıpio de conservac¸a˜o da quantidade de movimento
• as leis da termodinaˆmica
Adicionalmente, em muitos problemas torna-se necessa´rio analisar outras relac¸o˜es que descrevem
o comportamento das propriedades f´ısicas dos fluidos sob determinadas condic¸o˜es. Por exemplo, a
lei dos gases ideais.
Deve-se enfatizar tambe´m que existem problemas aparentemente simples que na˜o podem ser
resolvidos analiticamente, devendo-se recorrer a soluc¸o˜es nume´ricas complicadas ou a resultados de
dados experimentais.
1.4 Medidas e Unidades
• Medidas Ba´sicas:
– massa - kg
– comprimento - m
– tempo - seg
– temperatura - oK
• Medidas derivadas:
– forc¸a - N
– pressa˜o - N/m2
Observac¸a˜o: A unidades sa˜o nomes arbitra´rios adotados como padro˜es de medidas. Elas na˜o
sa˜o u´nicas e podem ser relacionadas entre si atrave´s de fatores de conversa˜o.
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Exerc´ıcios
1. Observac¸o˜es mostram que uma bolha isolada no va´cuo assume uma forma esfe´rica, a menos
que haja distorc¸o˜es. Isso se deve ao fato de que a esfera e´ o so´lido que apresenta a menor
raza˜o entre a a´rea superficial e o seu volume. Considerando uma esfera de diaˆmetro d , qual
o valor dessa raza˜o?
2. Uma sala tem dimenso˜es iguais a 4 x 3 x 5 m3 e a massa de ar no seu interior vale 72 kg .
Determine a massa espec´ıfica do ar nessas condic¸o˜es.
3. A massa espec´ıfica de um determinado o´leo e´ de 830 kg/m3. Determine a massa e o peso de
o´leo contido em um barril de 200 litros. ( Observac¸a˜o: 1 litro = 0,001 m3)
4. Determine o volume que ocupam 300 g de mercu´rio sabendo que sua densidade e´ 13,6.
( Observac¸a˜o: ρH2O = 1.000 kg/m
3)
5. Um recipiente vazio pesa 3 kgf . Quando cheio de a´gua pesa 53 kgf enquanto que quando
esta´ cheio de glicerina o peso passa para 66 kgf . Determine a densidade da glicerina.
6. Um reservato´rio de volume 0, 952 m3 contem 1200 kg de glicerina. Determine o peso, a massa
espec´ıfica, o peso espec´ıfico e a densidade da glicerina.
7. Estima-se que todo o ouro extra´ıdo da Terra pelo homem, ate´ os dias de hoje, seria suficiente
para encher um cubo de aresta igual a 20 m . Sabendo que a massa espec´ıfica do ouro e´
aproximadamente ρ = 20 g/cm3 , determine o valor da massa total de ouro extra´ıdo pelo
homem ate´ hoje.
8. Numa tubulac¸a˜o escoa hidrogeˆnio ( R = 4.122 m2/s2K ). Numa sec¸a˜o A da tubulac¸a˜o, tem-
se pA = 3 × 105 N/m2 e TA = 30 oC . Sabendo que, ao longo da tubulac¸a˜o a temperatura
mante´m-se constante, determine a massa espec´ıfica do ga´s numa sec¸a˜o B, onde pB = 1, 5 ×
105 N/m2 .
9. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2, 38 × 10−2 m3. Determine a
massa espec´ıfica e o peso do ar contido no tanque quando a pressa˜o relativa do ar no tanque
for igual a 340 kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque e´ 21oC e que a pressa˜o
atmosfe´rica vale 101, 3 kPa. A constante do ga´s para o ar e´ R = 287(J/kgK).
( Observac¸a˜o: Pabs = Patm + Prel)
10. Um manoˆmetro instalado numa tubulac¸a˜o de a´gua indica uma pressa˜o de 2, 0 kgf/cm2. De-
terminar a pressa˜o absoluta em kgf/cm2, Pa, mca e mmHg. Considere a pressa˜o atmosfe´rica
igual a 1, 0 kgf/cm2 e a densidade do mercu´rio igual a 13,6.
( Observac¸a˜o: 1 kgf = 9, 81 N e 1 cm2 = (10−2)2 m2)
8
Soluc¸a˜o
1. A´rea da esfera: A = 4pir2 = 4pi
(
d
2
)2
= pid2
Volume da esfera: V =
4
3
pir3 =
4
3
pi
(
d
2
)3
=
pid3
6
Raza˜o:
A
V
=
pid2
pid3
6
=
6
d
.
2. Massa: m = 72 kg
Volume: V = 4× 3× 5 = 60 m3
Massa espec´ıfica: ρ =
m
V
=
72
60
= 1, 2 kg/m3.
3. Massa espec´ıfica: ρ = 830 kg/m3
Volume: V = 200 litros = 0, 2 m3
Massa: m = ρV = 166 kg.
Peso: P = mg = 166× 9, 8 = 1.626, 8 N .
4. Massa espec´ıfica: ρHg = d× ρH2O = 13.600 kg/m3
Volume: V =
m
ρ
=
0, 3
13.600
= 2, 2× 10−5 m3 = 22 cm3
5. Peso da a´gua: WH2O = 50 kgf.
Peso da glicerina: WG = 63 kgf.
Densidade: d =
ρG
ρH2O
=
mG/V
mH2O/V
=
WG
WH2O
=
63
50
= 1, 26
6. Peso: W = 1200× 9, 81 = 11, 77 kN.
Massa espec´ıfica: ρ =
1200
0, 952
= 1261 kg/m3
Peso espec´ıfico: γ = 1261× 9, 81 = 12, 37 kN/m3
Densidade: δ =
ρG
ρH2O
=
1261
1000
= 1, 26
7. Volume do cubo: V = 20× 20× 20 = 8.000 m3
Massa espec´ıfica: ρ = 20× 0, 001
10−6
kg/m3 = 2× 104 kg/m3
Massa: m = ρV = 1, 6× 108 kg.
9
8. Ponto A :
pA
ρA
= RTA ⇒ ρA = pA
RTA
=
3× 105
4122× (30 + 273) = 0, 24 kg/m
3
Ponto B : Como as temperaturas sa˜o iguais, podemos fazer:
pA
ρA
=
pB
ρB
⇒ ρB = ρApB
pA
= 0, 12 kg/m3.
9. Pressa˜o absoluta: Pabs = 340 + 101, 3 = 441, 3 kPa
Temperatura absoluta: T = 21 + 273 = 294 K
Massa espec´ıfica: ρ =
p
RT
=
441, 3× 1000
287× 294 = 5, 23 kg/m
3
Peso: W = mg = ρV g = 5, 23× (2, 38× 10−2)× 9, 81 = 1, 22 N .
10. Pressa˜o absoluta: Pabs = 1 + 2 = 3 kgf/cm
2
Em Pa: Pabs = (3× 9, 81)× 104 = 294300N/m2 = 294, 3 kPa
Em mca: h =
p
ρH2Og
=
294300
1000× 9, 81 = 30 mca
Em mmHg: h =
p
ρHgg
=
294300
13, 6× 1000× 9, 81 = 2, 2 mHg = 2200 mmHg
10