exercicio de calculo 2 resolvido

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XEMPLO 2: Encontre a área da região englobada pelas curvas y = x² e y = x + 6.
RESOLUÇÃO:  Nesta questão, não possuo o intervalo de integração, e agora?
     É possível os contornos superior e inferior interceptarem-se em um ou em ambos os extremos; nesses casos, as laterais da região serão pontos em vez de segmentos de reta verticais. Quando isso ocorrer, precisamos determinar os pontos de intersecção para obter os limites de integração.
   Como determinamos esses pontos, observe que nos extremos da região; os contornos têm as mesmas coordenadas y; assim, para encontrar os extremos, equacionamos (isolamos em um e substituímos na outra equação e depois iguala a 0 para achar as raízes)
y = x² e y = x + 6 ---> x² = x + 6 --> x² - x - 6 = 0 (função do 2º grau acha as raízes)---> (x + 2).(x - 3) = 0 ---> x = -2 e x = 3.
   As coordenadas y não são essenciais para nosso problema, mas você pode obtê-las substituindo esses valores de x em qualquer uma das equações achando os pontos (-2,4) e (3,9).
     Para saber qual função está acima ou abaixo desenhamos o gráfico de cada uma no mesmo gráfico, veja abaixo:
      Com f(x) = x + 6 e g(x) = x², a = -2 e b = 3 obtêm a área:
EXEMPLO 3: Encontre a região englobada por x = y² e y = x - 2
RESOLUÇÃO: Precisamos saber primeiro onde as curvas interceptam-se. No exemplo 2, encontramos as intersecções equacionando as expressões para y, mas, se isolarmos y em x = y², x ficará dentro de uma raiz e será difícil achar as raízes da equação resultante, o mais fácil é reescrever a última equação y = x - 2 em termos de x, fica x = y + 2 equacionando, obtemos:
x = y² e x = y + 2 ---> y² = y + 2 ---> y² - y - 2 = 0 ---> (y + 1) . (y - 2) = 0 ---> y = -1 e  y = 2.
    Substituindo y em qualquer uma das equações encontramos os valores de x que são x = 1 e x = 4, portanto os pontos de intersecção são (-1,1) e (4,2).
     Para achar qual função está por baixo e qual está acima, faço o gráfico, mas antes tenho que isolar y na equação x = y², que será y =± . O gráfico das funções  y = ± e  y = x - 2, está na figura abaixo:
    Observe que não tenho como visualizar qual das funções está por baixo ou por cima, nesse caso, separo nos pontos de intersecção, e calculo separado as áreas depois as somo.
      Em y  = ± , y = +  é a parte superior da curva e y = - é a parte inferior.
   O contorno inferior está dividido em duas partes
y = -  para 0 ≤ x ≤ 1 e y = x - 2 para 1 ≤ x ≤ 4
     Na área 1 (A1), temos f(x) = , g(x) = -, a = 0 e  b = 1, obtemos:
    Na área 2 (A2), temos  f(x) = , g(x) = x - 2, a = 1 e b = 4, obtemos:
   A área total de toda região é
A = A1 + A2 = (4/3) + (19/6) = 9/2
REVERTENDO OS PAPÉIS DE X E Y
     Às vezes, é possível evitar a divisão da região em partes integrando-se em relação a y em vez de x. Mostraremos como isso pode ser feito.
SEGUNDO PROBLEMA DE ÁREA: Suponha que w e v sejam funções contínuas de y em um intervalo fechado [c,d] e
w(y) ≥ v (y) para c ≤ y ≤ d
(isto significa que a curva x = w (y) está à direita da curva x = v (y) e as curvas podem se tocar, mas não se cruzam). Encontre a área da região limitada à esquerda por x = v (y), à direita por x = w(y) e acima e abaixo pelas retas y = d e y = c, respectivamente. Observe a figura abaixo.
     Se w e v forem funções contínuas, e w(y) ≥ v (y) para todo y em [c,d], a área da região limitada à esquerda por x = v (y), à direita por x = w (y), acima por y = d e abaixo por y = c é
EXEMPLO 1:Encontre a região englobada por x = y² e y = x - 2, integrando em relação a y.
RESOLUÇÃO: As equações do contorno têm que ser dadas explicitamente como funções de y, portanto:
x = y² (já está em função de y) e y = x - 2 ---> (temos que colocar em função de y) --> x = y + 2, as funções estão em função de y, acho os pontos de intersecção:
x = y² e x = y + 2 --> y² - y - 2 = 0 ---> y = 2 e y = -1
Veja o gráfico abaixo:
   A região se estende acima do intervalo -1 ≤ y ≤ 2. Para calcular a área, o contorno esquerdo é x = y² e o direito é x = y + 2.
   w(y) = y + 2 e v (y) = y²,  c = -1 e d = 2.
    O que está de acordo com a resposta obtida no exemplo 3 do texto anterior.
EXERCÍCIOS
1) Encontre a área da região sombreada.
RESOLUÇÃO:
(a)  Integra em relação a x, temos f(x) = x² + 1 e g(x) = x, a = -1 e b = 2.
(b) Nesta questão, o melhor a fazer é integrar em relação a x.
(c) Integrando em relação a y. Como o ponto de intersecção está no limite inferior, o outro ponto será o limite superior.  (direita) w(y) = y e (esquerda) v (y) = 1/y²,  c = 1 e d = 2.
(d) Integrando em relação a y. (direita) w(y) = 2 - y² e (esquerda) v (y) = - y,  c = 0 e d = 2
2) Encontre uma reta horizontal y = k que divida a área englobada pelas curvas y = x² e y = 9 em duas partes iguais.
RESOLUÇÃO:  Faço o gráfico das curvas y = x² e y = 9, e y = k será a reta que dividirá em duas partes iguais sendo k o valor do ponto no eixo y.
     Os pontos que temos que achar no intervalo está no eixo y, integramos em função de y sendo A1 = A2, portanto tenho que explicitar em y a função y = x² ---> x = ±.
  Área A1: (direita) w(y) =  e (esquerda) v (y) = -,  c = k e d = 9.
  Área A2: (direita) w(y) =  e (esquerda) v (y) = -,  c = 0 e d = k.