Órgãos de Máquinas I

Prévia do material em texto

Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
1 
Órgãos de Máquinas I 
 
2. Parafusos 
Adaptado e adotado para a unidade curricular por 
José R. Gomes e Nuno Dourado / Departamento de 
Engenharia Mecânica 
a partir de material de apoio pedagógico em Powerpoint de 
Luís Ferreira da Silva 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
2 
Os parafusos constituem, talvez, o tipo de componente mais 
frequentemente usado nos equipamentos com os quais o Engenheiro 
Mecânico mais contacta. 
Podem agrupar-se, essencialmente, em dois tipos fundamentais: 
• Parafusos de ligação ou de fixação 
 (cuja principal finalidade é fixar/posicionar uma peça 
 relativamente a outra) e 
• Parafusos de transmissão de movimento 
 (cuja função é transformar um movimento rotativo em 
 movimento retilíneo ou vice-versa). 
Parafusos 
Introdução 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
3 
Parafusos de ligação ou de fixação: 
[Adaptado de Mott] 
Parafusos 
Introdução 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Outros elementos de ligação: Rebites 
- Elemento (simples) de ligação mecânica. 
- Permitem realizar ligações permanentes indiretas (no qual é preciso 
recorrer a uma outra peça ou elemento intermediário para 
estabelecer a ligação). 
- Introduzem-se em dois furos justapostos 
 efetuados nas peças a ligar. 
4 
Parafusos 
Introdução 
Cabeça - parte saliente e achatada do rebite 
Ponta - extremidade oposta à cabeça 
Espiga 
- o "corpo" do rebite 
[Veiga da Cunha] [http://pt.wikipedia.org/wiki/Rebite] 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
5 
Parafusos de transmissão de movimento: 
[Adaptado de www.roton.com] 
Parafusos 
Introdução 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
6 
Um parafuso é fundamentalmente uma peça roscada: 
 
 
 
 
 
 
sendo: p o passo; de o diâmetro exterior e di o diâmetro interior. 
Parafuso de múltiplas entradas é aquele em que se geram dois ou mais 
filetes consecutivamente. Neste caso deve-se distinguir: 
• Passo real (tr ), a distância entre dois pontos homólogos e consecutivos do mesmo filete 
(correspondente ao avanço do parafuso ao fim de uma rotação) e 
• Passo aparente (ta ), a distância entre dois pontos homólogos e consecutivos da rosca. 
Sendo i o número de entradas: tr = i . ta 
Parafusos 
Nomenclatura e normalização 
[Shigley] 
OBS: Nomenclatura usual para passo: t, p ou l 
Ângulo do filete 2 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
7 
Os parafusos de ligação encontram-se normalizados: 
• Normalização ISO 
 (as dimensões são métricas e o ângulo do filete (2) é de 60º) 
 Normalização “American National (Unified)” 
 (UNC/UNRC, UNF/UNRF) 
 (sistema ainda muito utilizado nos EUA e no Reino Unido, sendo 
 o parafuso definido pelas suas dimensões em polegadas e pelo 
 número de filetes por polegada, em vez do passo. O ângulo do 
 filete é ainda de 60º). 
 A forma dos topos e das raízes dos filetes também apresenta 
 ligeiras diferenças num e noutro caso. 
• Outros organismos… 
Parafusos 
Nomenclatura e normalização 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
8 
Os parafusos de transmissão de movimento encontram-se 
igualmente normalizados, quer em medidas métricas quer em 
polegadas. São os seguintes os grupos principais: 
• Normalização DIN 
 (rosca trapezoidal, o ângulo do filete (2) é de 30º), 
• Normalização Americana 
 (rosca Acme, em que o ângulo do filete (2) é de 29º e as 
 suas dimensões são em polegadas). 
Além destes ainda se usa para a transmissão de movimento a rosca 
quadrada: 
Parafusos 
Nomenclatura e normalização 
[Shigley] 
Rosca quadrada Rosca Acme 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
9 
Um problema que interessa resolver nos parafusos de transmissão de 
movimento é estabelecer uma relação entre o momento torsor que é 
necessário aplicar ao parafuso para a porca deslocar uma dada carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo, dm , o diâmetro médio; l, o passo; λ, o ângulo de hélice do filete; F, a força axial de 
compressão; PR , a força para fazer subir a carga e PL, a força para fazer descer a carga. 
Parafusos 
A mecânica dos parafusos de transmissão de 
movimento 
[Shigley] 
 Subida Descida 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
10 
Na situação de subida de carga (aperto) tem-se que: 
 
 
 
A situação de descida de carga (desaperto) traduz-se por: 
  0cossin  NfNPF RH
  0cossin λNλNfFFV
  0cossin  NfNPF LH
  0cossin  NNfFFV
[Shigley] 
Parafusos 
A mecânica dos parafusos de transmissão de 
movimento 
 Subida Descida 
 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
11 
Para as situações apresentadas de subida e descida de carga, 
respetivamente, e resolvendo em ordem à força a aplicar (P ), virá: 
 
 
 
Dividindo o numerador e denominador destas equações por cos λ e 
sabendo que, 
 
Obtém-se: 
   




sincos
sincos
sincos
cossin
f
fF
Pe
f
fF
P LR






Parafusos 
A mecânica dos parafusos de transmissão de 
movimento 
l 
 dm 
 
md
l

 tan
  
 
  
 m
m
L
m
m
R
dlf
dlfF
Pe
dlf
fdlF
P 









11
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
12 
Finalmente, e sabendo-se que o momento do binário aplicado é igual 
ao produto da força P pelo raio médio dm /2, então: 
 
 
 
em que TR é o momento necessário para vencer o atrito no filete e para 
fazer subir a carga (binário de aperto). 
O momento TL , necessário para descer a carga (binário de desaperto), 
obtém-se da equação anterior relativa a PL: 
Parafusos 
A mecânica dos parafusos de transmissão de 
movimento 









lfd
dflFd
T
d
PT
m
mm
R
m
RR 

22









lfd
ldfFd
T
d
PT
m
mm
L
m
LL 

22
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
13 
Em alguns casos específicos em que o passo p (ou l ) é muito grande ou 
o coeficiente de atrito f é muito baixo, a carga pode provocar o 
desaperto do parafuso sem ser necessário aplicar qualquer 
força exterior. Nestes casos o momento TL ou é negativo ou é nulo. 
 
Quando o momento TL for positivo o parafuso diz-se auto-
imobilizado, ou seja: 
 
 (Condição de auto-imobilização) 
 
Sabendo que: 
 
então, 
 (Condição de auto-imobilização) 
 
tanf
Parafusos 
A mecânica dos parafusos de transmissão de 
movimento 
ldf m 
md
l

 tan
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escolade Engenharia 
Universidade do Minho 
14 
O rendimento de um parafuso de transmissão de movimento é 
definido como o quociente entre o trabalho ideal (sem atrito) e o 
trabalho real (TR ) que é necessário realizar para elevar ou aplicar uma 
carga. 
 
O trabalho ideal, correspondente a f =0, virá: 
 
Vindo assim o rendimento definido por: 
As equações aqui apresentadas aplicam-se aos parafusos de rosca 
quadrada, em que as cargas normais são paralelas ao eixo do parafuso. 
Parafusos 
A mecânica dos parafusos de transmissão de 
movimento 
2
0
lF
T 
RR T
lF
T
T


2
0 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
15 
Para parafusos Acme e outras roscas, a carga normal ao filete é 
inclinada em relação ao eixo do parafuso, devido ao ângulo do filete 
(2) e ao ângulo de hélice do filete (λ ). 
Como o ângulo λ é pequeno (<6º) a 
inclinação que lhe corresponde pode ser 
desprezada e apenas se considera o ângulo 
do filete 2. 
A partir da equação para TR , e dividindo os 
termos correspondentes ao atrito por cos  , 
virá (para a situação de subida de carga): 
Esta equação permite determinar o binário necessário de aperto ou 
para fazer subir uma carga para a rosca trapezoidal. 
[Shigley] 
Parafusos 
A mecânica dos parafusos de transmissão de 
movimento 











sec
sec
2 lfd
dfldF
T
m
mm
R
 Ângulo 
do filete 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
16 
Para o binário de desaperto, TL , virá: 
Sendo que a condição de auto-
imobilização, a partir da equação 
anterior para TL , é dada por: 
[Shigley] 
Parafusos 
A mecânica dos parafusos de transmissão de 
movimento 
Estas roscas (trapezoidais e Acme) não são tão eficientes 
(devido ao maior efeito do atrito – „efeito de cunha‟) como 
as roscas quadradas; 
São, todavia, as preferíveis: 
• São mais fáceis de maquinar e 
• Permitem a utilização de porcas ajustáveis, que podem 
 compensar o desgaste. 
 costan f











sec
sec
2 lfd
ldfFd
T
m
mm
L
 Ângulo 
do filete 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
17 
Em muitos casos é ainda considerada uma terceira componente de 
binário. Quando o parafuso é carregado axialmente, pode-se utilizar 
uma chumaceira axial entre as partes rotativa e estacionária a fim de 
suportar a componente axial. 
Na figura mostra-se uma situação típica 
em que se supõe que a carga está 
concentrada no diâmetro médio do colar 
da chumaceira (dc). 
Se fc for o coeficiente de atrito na 
chumaceira, o binário necessário para 
vencer o atrito é: 
 Quando Tc é significativo, o binário total 
aplicado será: (para subida) e (para descida). 
2
cc
c
dfF
T 
cR TT  cL TT 
[Shigley] 
Parafusos 
A mecânica dos parafusos de transmissão de 
movimento 
Colar 
Porca 
dc 
Chumaceira 
 axial 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
18 
Tensões nos parafusos 
As tensões nominais nos parafusos de transmissão de movimento estão 
relacionadas com os parâmetros das roscas. A máxima tensão de corte 
( ) à torção do corpo do parafuso pode ser expressa por: 
 
 
 
 
sendo dr o diâmetro da raiz da rosca. A tensão axial (σ ) no corpo do 
parafuso, devido à força F , é dada por: 
3
16
rd
T

 
2
4
rd
F
A
F

 
[Shigley] 
Parafusos 
A mecânica dos parafusos de transmissão de 
movimento 
dr 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
19 
Parafusos 
Alguns exemplos de aplicação dos parafusos de 
transmissão de movimento 
Alguns exemplos adotados a partir de 
www.roton.com 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
20 
Introdução – Um fuso de esferas é um mecanismo que permite 
converter o movimento de rotação em translação e vice-versa, por meio 
de transmissão por esferas. 
Para se conseguir um movimento contínuo é necessário ter um circuito de re-circulação (ou por fora da 
porca com pistas de reenvio ou por dentro da porca com caminho também helicoidal). 
Parafusos 
Fusos de esferas 
Vantagens da utilização do fuso de esferas 
relativamente aos fusos de rosca trapezoidal: 
1- Elevado rendimento mecânico (até 98%); 
2- Duração mais longa; 
3- Menor atrito; 
4- Menor potência de acionamento; 
5- Simplificação construtiva; 
6- Ausência do efeito Stick-Slip; 
7- Posicionamento mais preciso; 
8- Maior velocidade de translação; 
9- Menor aquecimento, e 
10- (Devido ao seu elevado rendimento) Os 
fusos de esferas não são auto-imobilizados. 
Figuras adotadas da revista 
“Mecatrónica Actual”, Nº. 3, 2002. 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
21 
Exemplos de conversão de movimento: 
Rendimento: 
Informação extraída de Danaher 
Motion, “Precision Ball Screws”, 2003. 
Parafusos 
Fusos de esferas 
Binário aplicado ao parafuso (não se desloca axialmente) 
  
 A porca não roda e desloca-se linearmente 
Força axial aplicada à porca (que não roda e se desloca) 
  
 o parafuso roda e não se desloca linearmente 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
22 
Pré-carga – Estes sistemas são normalmente pré-carregados por forma 
a eliminar a folga axial, aumentar a rigidez total do conjunto e melhorar 
a precisão do posicionamento. 
Pré-carga de porcas simples 
Pré-carga de porcas duplas Informação extraída de Korta, “Ballscrews Technical Catalogue”. 
Parafusos 
Fusos de esferas 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
23 
Equações: 
Conversão de movimento rotativo em linear Conversão de movimento linear para rotativo 
A partir da equação anterior, referente ao rendimento, 
 
 
 
 
retira-se o binário: 
 
 
 
 
Para =90%, virá: 
 
 
 
A potência (de accionamento) será dada por: 
aT
lF


2

lFTa  177.0
60
2 n
TP a


O binário de saída vem dado por: 
 
 
 
 
Para =90%, virá: 
 
 
 
 
e a potência obtida será dada por: 


2
lF
Te 
lFTe  143.0
60
2 n
TP e


Dados coletados a partir de: 
[1] Korta, “Ballscrews Technical Catalogue”. 
[2] Danaher Motion, “Precision Ball Screws”, 2003. 
[3] Danaher Motion, “Ball & Lead Screws”, 2004. 
Parafusos 
Fusos de esferas 
2
lF
Ta 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
24 
Campos de aplicação: 
• Máquinas-ferramentas (incluindo as 
CNC); 
• Estações de trabalho robotizadas; 
• Sistemas de elevação; 
• Equipamentos médicos; 
• Instrumentos de medição; 
• Aviação (incluindo também o campo 
aeroespacial); 
• Reatores nucleares; 
• Etc. 
Figuras adotadas da revista “Mecatrónica Actual”, Nº. 3, 2002. 
Fuso trapezoidal numa máquina-ferramenta. 
Fuso de esferas numa outra máquina-
ferramenta, onde se identifica, também, uma 
transmissão por correia dentada. 
Parafusos 
Fusos de esferas 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
25 
Parafusos 
Introdução aos parafusos de ligação 
25 
Órgãos de Máquinas I 
 
2.2 Parafusos de ligação 
Escolade Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
26 
Tipos de peças roscadas para ligações: 
Parafuso e porca Parafuso e peça 
roscada 
Perno 
Parafusos 
Introdução aos parafusos de ligação 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
27 
Parafuso e peça roscada Perno 
Tipos de peças roscadas para ligações: 
Parafusos 
Introdução aos parafusos de ligação 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
28 
Rosca métrica: 
Principais dimensões. 
Parafusos 
Introdução aos parafusos de ligação 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
29 
Alguns parafusos de rosca métrica 
de utilização geral: 
Principais dimensões. 
Parafusos 
Introdução aos parafusos de ligação 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
30 
Nas ligações aparafusadas de caráter não permanente, por vezes, é 
necessário assegurar resistência não só a cargas exteriores de tração 
mas também a esforços de corte. 
O parafuso deverá não só 
suportar a força exterior aplicada 
(P ), como ainda comprimir as 
peças/membros a ligar com uma 
força inicial de aperto (ou pré-
tensão inicial) designada por Fi . 
LG é a espessura da zona de ligação (Shigley). 
Parafusos 
Pré-esforçamento de ligações aparafusadas 
P /2 P /2 
P /2 P /2 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
31 
Designa-se por constante de mola ou constante de rigidez de uma 
peça, por exemplo, um parafuso, a relação existente entre a força 
que lhe é aplicada e a deformação que produz. 
 
Sabendo que a deformação de uma barra submetida à tração é: 
 
 
 
a constante de rigidez resulta como sendo: 
Parafusos 
Rigidez do parafuso de ligação 
EA
lF
l
E
A
F
l
e
A
F
E   ;;l 
l
EAF
k 
 l 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
32 
As espigas dos parafusos podem ser completamente roscadas ou só 
uma das zonas ser roscada. Deve ter-se em conta este aspeto no cálculo 
da rigidez do parafuso (k ), considerando-se a constante de rigidez do 
parafuso como a equivalente à rigidez de duas molas em série para as 
duas zonas, ou seja: 
21
21
21
111
kk
kk
k
kkk 

Sendo a constante de rigidez do parafuso 
para a zona roscada, definida na zona de 
ligação/aperto dos membros, dada por: 
(Shigley) 
Parafusos 
Rigidez do parafuso de ligação 
t
t
t
l
EA
k 
lt 
ld ou 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
33 
e para a zona lisa por: 
 
 
sendo: At - área resistente do parafuso - tabela 3 (pag. 12 do texto apoio ou diapositivo seguinte) 
 lt - comprimento da zona roscada do parafuso sujeita a esforço 
 Ad - área de maior diâmetro do parafuso (correspondente à 
 zona lisa, não-roscada, dada por: com d 
 diâmetro nominal) 
 ld - comprimento da zona lisa 
 E - módulo de elasticidade do material do parafuso 
 
Substituindo na equação anterior para k , a constante de rigidez do 
parafuso para a zona de ligação (kb ) virá como sendo: 
4/)( 2dAd 
Parafusos 
Rigidez do parafuso de ligação 
d
d
d
l
EA
k 
dttd
td
b
lAlA
EAA
k


Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
34 
Parafusos 
Rigidez do parafuso de ligação 
Rosca métrica: 
Parafusos, porcas e pernos; 
dimensões e áreas 
(passo grosso e passo fino) 
At At Ar Ar 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
35 
 É ainda possível definir que: 
 LG é a espessura da zona de ligação 
 ld = L – LT (ld , comprimento da zona lisa do parafuso) 
 lt = LG - ld (lt , comprimento da zona roscada sujeita a esforço) 
 L > LG + H (L , comprimento da espiga do parafuso; H , altura da 
 porca). 
Para as séries métricas, LT vem dado 
como sendo: 









mmLmmd
mmLmmd
mmdLmmd
LT
200,252
200125,122
48,125,62
Parafusos 
Rigidez do parafuso de ligação 
LG 
(Shigley) 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
36 
Uma outra forma de ligação aparafusada está representada na figura 
seguinte. Enquanto que no caso anterior o parafuso estabelece a ligação 
por intermédio de uma porca, neste caso o parafuso é roscado 
diretamente no segundo membro de ligação, colocado mais à direita. 
Nesta situação é possível definir as seguintes relações: 
L‟G , como a espessura efetiva da zona de ligação, 
dada por: 
 
 
 
 
 
 
 ld = L - LT 
 lt = L‟G- ld e 
 L > h + 1.5 d 
(Shigley) 
Parafusos 
Rigidez do parafuso de ligação 









dt
d
h
dt
t
h
L G
2
2
2
2
2
'
L‟G 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
37 
Parafusos 
Rigidez do parafuso de ligação 
Dimensões das 
porcas 
hexagonais 
(Shigley) 
Dimensões preferíveis e números de Renard (Shigley) 
 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
38 
Numa união de membros com várias constantes de rigidez, a constante 
de rigidez total (km ) dos membros/peças ligadas vem expressa por: 
 
 
 
 
 
Se um dos membros a ligar tiver uma rigidez muito mais pequena do 
que a dos outros membros, deve considerar-se, para efeitos de cálculo, 
apenas a rigidez do membro mais macio, ou seja: 
im k
...
kkkk
11111
321

1
1
11
kk
kk
m
i Se
Parafusos 
Rigidez das peças 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
39 
O cálculo da rigidez das peças/membros a ligar é muito difícil de efetuar, 
dado que a área de compressão não é uniforme e porque não se 
consegue determinar com exatidão a área da secção resistente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como solução de cálculo podemos considerar o método do cone de pressão presente nas 
figuras, em que se assume que as tensões induzidas na ligação são uniformes na zona 
próxima do furo do parafuso. Para dois membros ou peças na ligação, esta região é 
representada por dois troncos de cone, de ângulo  (metade do ângulo do cone), juntos 
pela base maior. 
(Shigley) (Ugural) 
Parafusos 
Rigidez das peças 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
40 
A partir da figura seguinte, e para  = 30º (adotado por Shigley), a 
constante de rigidez vem dada como sendo: 
Esta equação deve ser resolvida 
isoladamente para cada membro, ou 
peça, na ligação. Os valores obtidos são 
então agrupados na equação de km para 
a determinação da constante de rigidez 
dos membros a ligar: 
im k
...
kkkk
11111
321

(1) 
(Shigley) 
Parafusos 
Rigidez das peças 
  
  dDdDt.
dDdDt.
dE
k



1551
1551
ln
0.5774
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
41 
Se os membros na ligação forem do mesmo material (mesmo módulo de 
elasticidade, E ), e agrupados de forma semelhante à apresentada na 
figura (membros da mesma espessura, L /2), os membros comportam-se 
comoduas molas em série. 
  
  ddddαl
ddddαl
αdEπ
ww
ww



tan
tan
ln2
tan
km
Sabendo que, nestas circunstâncias, km= k /2, e 
considerando que a espessura de ligação é l =2t 
(ou seja, t=l /2 em que l é a espessura total dos 
membros a ligar) e que dw é o diâmetro da face 
da cabeça do parafuso, determina-se que a 
constante de rigidez dos membros virá dada 
como sendo: 
(Ugural ) 
Parafusos 
Rigidez das peças 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
42 
Para parafusos normalizados de cabeça sextavada, o diâmetro da face 
da cabeça do parafuso (dw ) é aproximadamente 50% maior do que o 
diâmetro nominal do parafuso; assim, e considerando que dw =1.5 d e 
 = 30º, a equação anterior virá: 
 
 
 
 
 
Resolvendo a equação, do diapositivo anterior, em ordem a km /Ed 
temos: 









d.l.
d.l.
dEπ.
km
5257740
5057740
5ln2
57740
  
  







ddddαl
ddddαl
απ
dE
k
ww
ww
m
tan
tan
ln2
tan
Parafusos 
Rigidez das peças 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
43 
Nesta abordagem foi usado  =30º como o valor recomendado para 
membros em aço temperado, ferro fundido ou alumínio. 
Wileman, Choudury e Green 
estudaram este problema 
envolvendo a análise por 
elementos finitos. Os resultados, 
que se mostram na figura, 
validam a recomendação de 
 =30º, coincidindo exatamente 
para d / l = 0.4, tendo ainda 
apresentado uma aproximação 
exponencial do tipo: 
 l/dBA
dE
km exp
(Shigley) 
Parafusos 
Rigidez das peças 
Análise por elementos finitos 
 = 30º 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
44 
Esta equação permite determinar a rigidez dos membros a ligar km , para 
parafusos normalizados e membros do mesmo material: 
 
 
 
Constantes A e B, presentes nesta equação, para vários materiais: 
 l/dBA
dE
km exp
A equação (1) continua a ser a base de abordagem do problema aqui 
exposto, ou seja: 
  
  dDdDt.
dDdDt.
dEπ.
k



1551
1551
ln
57740
(Shigley) 
Parafusos 
Rigidez das peças 
(1) 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
45 
O cone de pressão que se refere a outra situação já definida (parafuso 
roscado diretamente no segundo membro) está representado na 
figura. Convém realçar que a dimensão l é a espessura efetiva da zona 
de ligação (indicada anteriormente por L‟G), em que as bases dos 
cones (D1 e D2 ) são dadas por: 
d.dD
l.d.αldD
w
w
51
577051tan
2
1


(considerando dw = 1.5 d e  = 30º) 
(Shigley) 
Parafusos 
Rigidez das peças 
e 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
46 
Verifiquemos o que acontece quando se aplica uma força exterior, P, a 
uma ligação aparafusada como a da figura. 
 
Considere-se a nomenclatura seguinte: 
P – carga exterior aplicada à ligação 
Fi – pré-tensão (ou pré-carga) aplicada ao parafuso por aperto 
Pb – parte da carga P suportada pelo parafuso 
Pm – parte da carga P suportada pelos membros 
Fb – carga resultante no parafuso (Fb = Pb +Fi ) 
Fm – carga resultante nos membros (Fm = Pm - Fi ) 
C – fração da carga exterior suportada pelo parafuso 
(1 – C ) – fração da carga exterior suportada pelos membros 
(Shigley) 
Parafusos 
Parafusos com pré-tensão (ou pré-carga) 
P /2 
P /2 
P /2 
P /2 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
47 Parafuso: acréscimo de extensão Peças: decréscimo de deformação 
Pré-tensão (ou pré-carga) 
Quando se aplica uma força exterior P a uma ligação pré-esforçada 
resulta uma variação na deformação ( ) do parafuso e também na dos 
membros (ou peças) ligados: 
b
b
k
P
δ 
m
m
k
P
δ 
Parafusos 
Parafusos com pré-tensão 
 
Extensão do parafuso = redução na contração da junta 
Deflexão 
C
a
rg
a
 
Fb 
P = aumento em Fb e decréscimo em Fm 
P/2 
Fm 
Fi 
(com Fi o parafuso aumenta de comprimento 
 e os membros diminuem de espessura) 
P/2 
P/2 P/2 
Fb 
Fm 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
48 
Admitindo-se que as peças não chegam a separar-se, a deformação 
(de tração) do parafuso é igual à das peças: 
 
 
 
Por outro lado, como P = Pb + Pm , ou seja, Pm = P – Pb , temos: 
 
 
 
em que: 
 
 
 
também designada por constante de rigidez da junta (de ligação). 
b
m
bm
k
k
PP 
PC
kk
Pk
P
mb
b
b 


Parafusos 
Parafusos com pré-tensão 
b
b
k
P
δ 
m
m
k
P
δ 
 
mb
b
kk
k
C


Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
49 
sendo ainda possível de definir que: 
 
 
 
A carga resultante no parafuso vem dada por: 
 
 
 
e a carga resultante nos membros por: 
 
 
De acordo com as condições apresentadas, estes resultados são 
válidos desde que os membros estejam a trabalhar à compressão 
(Fm  0). 
 PCPPP bm  1
0 miibb FFPCFPF
  01  miimm FFPCFPF
Parafusos 
Parafusos com pré-tensão 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
50 
• Medindo o alongamento resultante no parafuso devido a Fi (método 
pouco viável, pois nem sempre as extremidades do parafuso estão 
acessíveis): 
 
 
• Uma pré-tensão adequada pode ser obtida rodando a porca mais 
meia-volta (180º) depois da ligação estar ajustada; método expedito 
mas pouco preciso relativamente ao valor de Fi . 
• Utilização de uma chave dinamométrica (processo mais corrente e 
que permite determinar o binário aplicado no aperto). 
l
EA
F ii 
Parafusos 
Estabelecimento da pré-tensão aos parafusos de 
ligação 
http://www.beta-tools.com/ 
l 
lt 
Formas de estabelecer a pré-tensão nos parafusos de ligação: 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
51 
A maneira mais corrente de se controlar o pré-esforço duma ligação 
aparafusada é usar-se uma chave dinamométrica e relacionar o binário, 
T , aplicado com a força Fi resultante. Pode obter-se uma boa 
estimativa do binário necessário usando as equações já analisadas, ou 
seja: 
 
 
 
Como 
 
 
e dividindo ambos os membros do primeiro termo por  dm obtém-se: 
2sec
sec
2
cci
m
mmi dfF
lfd
dfldF
T 







 

mdπ
l
λ tan
2sectan1
sectan
2
ccimi dfF
αλf
αfλdF
T 








Parafusos 
Relação entre binário de aperto e a força de pré- 
-tensão 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
52 
Para parafusos correntes, o diâmetro externo da superfície de contacto 
da porca é 1.5  diâmetro nominal: Assim, o diâmetro médio do colar 
(dc ) será: 
 
 
 
 
 
 
donde, 
 
 
definindo-se como coeficiente de binário (K) a expressão: 
d.
d.d
dc 251
2
51



dFf.
αλf
αfλ
d
d
T ic
m

























 6250
sectan1
sectan
2
c
m f.
αλf
αfλ
d
d
K 6250
sectan1
sectan
2














Parafusos 
Relação entre binário de aperto e a força de pré- 
-tensão 
1.5 d 
d 
dc 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
53 
o binário de aperto virá como sendo: 
 
 
O coeficiente de atrito depende do tipo de acabamento superficial, 
precisão e grau de lubrificação. Em termos médios, tanto f como fc são 
cerca de 0.15. Um facto interessante acerca da equação do coeficiente 
de binário é que K ≈ 0.20 para f = fc = 0.15, seja qual for o tamanho 
do parafuso ou da rosca (normal ou fina). 
dFKT i
A tabela ao lado apresenta 
alguns valores recomendados, 
por um grande fabricante de 
parafusos citado por Shigley, 
para o coeficiente K : 
(Shigley) 
Parafusos 
Relação entre binário de aperto e a força de pré- 
-tensão 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
54 
As equações 
 
 
 
permitem a determinação das forças numa ligação aparafusada com 
pré-tensão. A tensão no parafuso vem dada como sendo: 
 
 
 
O valor limite de σb é a designada tensão de prova, Sp . Introduzindo 
um fator de carga, n , a equação anterior vem dada como sendo: 
 
 
 
(n > 1 garante que a tensão no parafuso é menor do que a tensão de 
prova.) 
0 miibb FFPCFPF
  01  miimm FFPCFPF
t
i
tt
b
b
A
F
A
CP
A
F
σ 
p
t
i
t
S
A
F
A
PnC

PC
FAS
n
itp 

 
Parafusos 
Análise estática do parafuso 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
55 
Outra forma de garantir que a ligação nunca se separa é fazer com que 
a carga exterior aplicada seja menor do que a necessária para 
promover a separação dos membros. Se ocorre a separação, a carga 
exterior imposta será suportada pelo parafuso. Se P0 for o valor da 
carga exterior aplicada que provocaria a separação da junta de ligação, 
na separação Fm =0 e, pela equação anterior: 
 
 
pode-se escrever: 
 
Se o coeficiente de segurança (n0) contra a separação dos membros a 
ligar for dado por: 
  iimm FPCFPF  1
  01 0  iFPC
P
P
n 00 
e substituindo P0 = n0 P na equação (2) virá: 
(2) 
 CP
F
n i


1
0
como o fator de carga contra a separação da junta de ligação. 
Parafusos 
Análise estática do parafuso 
Se n0 > 1 (ou seja P0> P), os membros não se separam 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
56 
A pré-tensão é o “músculo” da ligação e o seu valor é determinado pela 
resistência do parafuso. Parafusos de boa qualidade podem ser pré-
tensionados com valores dentro do domínio plástico de forma a 
garantirem uma maior resistência. Para carregamentos estáticos e de 
fadiga são recomendados os seguintes valores de pré-tensão: 
 
 
 
 
 
em que Fp é a força de prova dada por: 
 
 
Os valores de Sp encontram-se listados seguidamente, e para materiais 
que não se encontrem tabelados usa-se, com boa aproximação: 



 

spermanenteligaçõespara
spermanentenãoligaçõespara
p
p
i
F
F
F
90.0
75.0
ptp SAF 
yp SS 85.0
Parafusos 
Análise estática do parafuso 
tensão de cedência 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
57 (Shigley) 
Parafusos 
Análise estática do parafuso 
(Sp) (Sut) (Sy) 
. 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
58 
Uma situação frequente que se encontra é a de carga flutuante, entre 
carga nula e carga máxima de tração P . É, por exemplo, a situação que 
acontece num cilindro de pressão. Neste caso, e considerando a 
nomenclatura apresentada anteriormente, é possível definir que: 
i
bmáx
FF
FF


min
e que a componente alternada da 
força é dada por: 
22
min ibmáx
a
FFFF
F




Pré-tensão 
(Shigley) 
Parafusos 
Parafusos solicitados à fadiga 
e 
P/2 
P/2 
P/2 
P/2 
C
a
rg
a
 
Deflexão 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
59 
Dividindo por At , e utilizando a equação 
iibb FPCFPF 
na expressão anterior, obtém-se a 
componente da tensão alternada no 
parafuso: 
 
tt
ii
t
ib
a
A
CP
A
FFCP
A
FF
222





A tensão média é igual à componente 
alternada mais a tensão mínima, 
σi = Fi /At , donde resulta que: 
Pré-tensão 
t
i
t
m
A
F
A
PC

2

Parafusos 
Parafusos solicitados à fadiga 
P/2 
P/2 
P/2 
P/2 
C
a
rg
a
 
Deflexão 
 
 = Extensão do parafuso = redução na contração da junta 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
60 
Relativamente ao diagrama de Goodman que se mostra seguidamente 
(em que B define o ponto de funcionamento em segurança, e C o ponto 
em que se dá a rotura), a reta de carga é dada por: 
iam  
O passo seguinte é determinar as 
componentes Sa e Sm do ponto 
de rotura por fadiga (C ) e que 
dependem do critério a usar: 
 
  Goodman; 
 
  Gerber, e 
 
  ASME-elítico. 
(Shigley) 
Parafusos 
Parafusos solicitados à fadiga 
tensão limite de fadiga corrigida (endurance strength – valor tabelado) 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
61 
Goodman: 
1
ut
m
e
a
S
S
S
S
Gerber: ASME-elítico: 
1
22















p
m
e
a
S
S
S
S
Tensão limite de fadiga corrigida (Se ) 
[Shigley]: 
(Shigley) 
Parafusos 
Parafusos solicitados à fadiga 
1
2







ut
m
e
a
S
S
S
S
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
62 
As soluções obtidas, considerando a equação 
 
 
 
como Sm = Sa + σi , e cada uma das equações apresentadas para cada 
um dos critérios, virão: 
 
Goodman 
 
 
 
 
Gerber 
iam  
 
iam
eut
iute
a
SS
SS
SS
S






  
iam
eiutieeutut
e
a
SS
SSSSSS
S
S



 24
2
1 22
Parafusos 
Parafusos solicitados à fadiga 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
63 
ASME-elítico 
 
 
 
 
 
 
O coeficiente de segurança à fadiga (nf) é dado por: 
 
 
 
 
devendo-se também verificar a cedência, usando a tensão de prova: 
 
iam
eiiepp
ep
e
a
SS
SSSS
SS
S
S





 222
22
a
a
f
S
n
σ

am
p
p
S
n
σσ 

Parafusos 
Parafusos solicitados à fadiga 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
64 
F 
F 
I
cM 

Flexão 
Corte 
Rotura à tração de 
uma das peças 
As ligações aparafusadas que trabalham ao corte analisam-se do mesmo 
modo que as ligações rebitadas (outros exemplos, além dos citados, 
encontram-se assinalados nos textos de apoio): 
Parafusos 
Algumas ligações aparafusadas ao corte 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
65 
Uma situação típica de carregamento excêntrico: 
Se os parafusos forem todos iguais e 
dispostos de uma maneira simétrica, 
o centróide é o centro geométrico. 
(Shigley)Parafusos 
Carregamento excêntrico 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
66 
Diagrama de carga dos parafusos: 
...rr
rM
F,undárioseccortedeEsforço
)parafusosdenúmeronsendo(
n
V
F,primáriocortedeEsforço
2
B
2
A
i"
i
'




(Shigley) 
(Shigley) 
Parafusos 
Carregamento excêntrico 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
67 
Determinação do centróide para o caso geral: 








n
1
i
n
1
ii
n
1
i
n
1
ii
A
yA
y
A
xA
x
Centróide (x, y) 
Sendo: Ai - áreas das secções dos parafusos, e 
 x, y - sistema de eixos ortogonais qualquer. 
Parafusos 
Carregamento excêntrico 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
68 
Parafusos 
Alguns exemplos de aplicação de parafusos 
Diferentes tipos de parafusos 
Acoplamentos flexíveis 
(bipartido com centro elástico) 
Na informática… 
Nos motores eléctricos… 
Nos motores dos carros… 
Elementos estruturais 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
Escola de Engenharia 
Universidade do Minho 
69 
Parafusos 
Alguns exemplos de aplicação de parafusos 
… na fixação de suspensões … na fixação de sistemas 
de transmissão de movimento