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Introdução às Séries
Temporais
Prof. Victor Hugo Prof. Victor Hugo LachosLachos DavilaDavila
AULA:AULA:
Natureza e Fonte de Dados
Existe 3 tipos de dados disponível para análise:
• Séries Temporais: quando os dados são observados em diferentes instantes do tempo, seja 
diariamente (preço de ações, relatórios meteorológicos), mensalmente (taxa de desemprego, IPC), 
trimestralmente (PIB). 
• Corte Transversal: quando os dados observados foram coletados no mesmo ponto do tempo 
(pesquisas de opinião, dados de censos)
• Dados em Painel: Aqui uma unidade em corte transversal é pesquisada ao longo do tempo. (PIB 
de cada pais sul-americano para o período de 1990 a 2008)
Exemplos de séries temporais (1)
• O valor esperado é constante
• A variância é constante
• Simétrica
• Não correlacionados entre instantes 
diferentes
Ruído Branco Gaussiano
independente e identicamente distribuídos 
(a.a.)
i.i.d ),0(~ 2σNX t
0 3 6 9
1
2
1
5
1
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9
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6
9
9
-1.41
-0.94
-0.47
0
0.47
0.94
1.41
1.88
2.35
2.82
Exemplos de séries temporais (2)
Movimento de uma partícula com relação a um ponto
• O valor esperado é constante
• A variância não é constante
• Simétrica
• Correlacionados entre instantes diferentes
Passeio Aleatório
i.i.d ),0(~ 2σNat
ttt aXX ++= −1μ
μ=0
μ=0.2
y
1
9
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18900000
21000000
23100000
25200000
27300000
29400000
31500000
33600000
35700000
37800000 A média não é constante
A população espanhola cresceu estritamente 
de década em década de maneira 
aparentemente lineal. Tendência crescenteTendência crescente
Exemplos de séries temporais (3)
População da Espanha
y
1
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1
0
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0
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9
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1
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1440000
1680000
1920000
2160000
2400000
2640000
2880000
3120000
3360000
3600000
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9
2
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-2030000
-1740000
-1450000
-1160000
-870000
-580000
-290000
0
290000
580000
870000
Se tomamos a diferença yt - yt-1 pode-se 
observar as flutuações quanto à velocidade de 
crescimento.
As séries de consumo de eletricidade 
apresentam uma clara tendência positiva que 
parece acelerar-se no final da série. 
Por outro lado a série apresenta uma marcada 
sazonalidadesazonalidade com consumos muito elevados 
nos meses de inverno devido ao efeito da 
temperatura.
A série parece ter maior dispersão na medida 
que toma maiores valores.
Se a sazonalidade é estritamente periódica 
pode eliminar-se da série com um 
componente determinista.
Um truque poderia ser estudar 
separadamente as séries correspondentes 
em períodos equivalentes.
Outra alternativa é tomar diferenças de 
ordem apropriado.
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1
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0
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560
700
840
980
1120
1260
1400
1540
1680
1820
1960
Exemplos de séries temporais (4)
Consumo elétrico
As séries de número de passageiros por mês 
em linhas aéreas apresenta sazonalidade com 
um marcado crescimento onde a variância 
aumenta na medida que toma maiores valores.
Exemplos de séries temporais (5)
Passageiros em linhas aéreas
Heteroscedasticidade
Se a variância não é constante pode-se 
normalizar transformando apropriadamente 
os dados iniciais.
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104
156
208
260
312
364
416
468
520
572
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4.75
4.94
5.13
5.32
5.51
5.7
5.89
6.08
6.27
6.46
Se observa:
• Comportamentos periódicos a nível 
semanale a nível anual.
• Mudanças de nível. 
• A influência de efeitos como feriados, 
pontes, etc.
Exemplos de séries temporais (6)
Venda diária de um jornal em uma banca
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0
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2
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0
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5
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0
5
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0
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6
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0
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0
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0
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0
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6
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0
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0
5
m
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8
d
0
8
0
16
32
48
64
80
96
112
128
144
160
Efeitos como o começo das promoções
produz um resultado em incremento 
instantãneo das vendas que se transmite 
com certo decaimento.
Exemplos de séries temporais (7)
Venda de um tipo de produto em uma temporada
y
2
0
0
4
m
0
7
d
1
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y
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0
0
4
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0
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3
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0
0
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0
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0
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0
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0
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0
y
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0
0
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d
0
4
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0
0
4
m
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0
0
5
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0
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d
0
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0
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0
0
5
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0
5
m
0
2
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2
y
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0
0
5
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2
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6
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0
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0
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0
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0
4
d
0
9
Exemplos de séries temporais (8)
1
9
9
4
1
9
9
5
1
9
9
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1
9
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1
9
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8
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0
0
0
2
0
0
1
2
0
0
2
2
0
0
3
-9.8
-4.9
0
4.9
9.8
14.7
19.6
24.5
29.4
34.3
39.2
-9.8
-4.9
0
4.9
9.8
14.7
19.6
24.5
29.4
34.3
As séries de temperaturas oscilam em torno de 
um valor central, (15º máx e 5º mín) mas 
sistematicamente alguns meses tem valores 
mais altos que outros. Por exemplo os meses 
de verão tem valores mais altos que os meses 
de inverno. 
Séries diferentes guardam altas correlações. 
Também pode-se considerar o problema de 
modelar ambas simultaneamente, como Séries 
Temporais Multivariadas.Temperatura máxima e mínima diária
Os Zt,, , t=0,1,2,3,.....n, são realizações de xt
Processos Estocásticos 
{ }Ttxt ε,
tz
Serie Temporal 
Observada
Um Processo Estocástico pode ser definido como uma coleção de variáveis aleatórias 
ordenadas no tempo ,onde T é um conjunto ordenado de índices.
Conceito de Série Temporal
Def.) Série temporal : Uma serie temporal se considera como a realização de um processo estocástico e que estão 
ordenadas em intervalos regulares de tempo (cada dia, cada mês, cada ano, etc) 
tt zzzzz ,...,,}{ 321
1
9
9
4
1
9
9
5
1
9
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6
1
9
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7
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0
0
0
2
0
0
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0
0
2
2
0
0
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-9.8
-4.9
0
4.9
9.8
14.7
19.6
24.5
29.4
34.3
39.2
-9.8
-4.9
0
4.9
9.8
14.7
19.6
24.5
29.4
34.3
8
9
-
E
n
e
8
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A
b
r
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-
J
u
l
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c
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F
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-
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-
A
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J
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M
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A
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M
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y
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M
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1
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2
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2
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0
2
-
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0
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0
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J
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0
3
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t
0
4
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E
n
e
0
4
-
M
a
y
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Os dados de séries temporais geralmente não são independentes, especialmente se os 
intervalos da amostra são curtos.
As observações próximas costumam ser mais parecidas que as mais distantes (p. ej. 
temperatura diária).
Caracterização de Processos Estocásticos
Um processo estocástico fica caracterizado se definimos a função da distribuição conjunta das variáveis aleatórias (z1,z2,.. zT) 
para qualquer valor de T. Dizemos que conhecemos a estrutura probabilística de um proceso estocástico quando 
conhecemos estas distribuições, sem embargo isto requer observar um grande número de realizações que não costumam estar 
disponíveis quando se trata de séries econômicas. 
][ tt zE=μ
Def.) Função de Médias :proporciona as esperanças das distribuições marginais de zt para cada instante
][2 tt zVar=σ
Def.) Função de variâncias do processo proporciona as variâncias em cada instante temporal.
Def.) Função de AutoCovariâncias: descreve a Covariâncias entre duas variáveis do processo em dois instantes 
quaisquer. 
)])([(),(),( jtjtttjtt zzEzzCovjtt +++ −−==+ μμγ
Def.) Função de Autocorrelaçãon: mede a dependência lineal entre os valores do processo no instante t e no 
instante t+j. Chamaremo coeficiente de correlação de orden (j) a: 
jtt
jtt zzCovjtt
+
+=+ σσρ
),(
),(
o correlograma não é mais que a representação dos coeficientes de autocorrelación em função do atraso j.
Caracterizando 
o processo 
estocástico Zt
Processos 
Estocásticos
Tipos de processos estocásticos
0
0
-
E
n
e
0
0
-
N
o
v
0
1
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S
e
p
0
2
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0
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S
e
p
0
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0
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M
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1
0
-
E
n
e
1
0
-
N
o
v
-0.64
-0.48
-0.32
-0.16
0
0.16
0.32
0.48
0.64
0.8
Processos Estacionários
Um processo estocástico Zt é estacionário quando 
as propriedades estatísticas de qualquer 
sequência finita z1,z2,.. zk de componentes de Zt
são semelhantes às da sequência z1+h,z2+h,.. zk+h
para qualquer número inteiro h
Processos Não Estacionários
Um processo estocástico Zt é não estacionário 
quando as propriedades estatísticas de ao menos 
uma sequência finita z1,z2,.. zk de componentes de 
Zt são diferentes das de sequência z1+h,z2+h,.. zk+h
para ao menos um número inteiro h
9
1
9
4
0
1
0
3
9
3
9
5
0
2
9
7
0
4
9
6
9
8
0
0
9
2
9
9
560
700
840
980
1120
1260
1400
1540
1680
1820
1960
Se existe a transformação: 
Processos Homogêneos de Orden d
Processos Estocásticos Estacionários
Def.) Processo Estocástico Estacionário em Sentido Estrito : Um processo estocástico Zt é estacionário quando as 
propriedades estatísticas de qualquer sequência finita z1,z2,.. zk de componentes de Zt são semelhantes às da sequência 
z1+h,z2+h,.. zk+h para qualquer número inteiro h. 
Um processo estocástico Zt é estacionário quando a distribuição conjunta de qualquer conjunto de variáveis não se modifica 
se transferimos as variáveis no tempo. 
),...,,(),...,( hkhjhikji xxxFxxxF +++=
Def.) Processo Estocástico Estacionário em Sentido Débil : Quando os momentos de primeira e segunda ordem do 
processo são constantes e a Covariância entre duas variáveis depende somente de sua separação no tempo 
2,1,0),(),(
)(
)(
2
±±==+=−
=
=
kkttktt
xVar
xE
k
t
t
γγγ
σ
μ
0
0
-
E
n
e
0
0
-
N
o
v
0
1
-
S
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p
0
2
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J
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M
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y
0
4
-
M
a
r
0
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-
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n
e
0
5
-
N
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v
0
6
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S
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0
7
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J
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0
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M
a
r
1
0
-
E
n
e
1
0
-
N
o
v
-0.64
-0.48
-0.32
-0.16
0
0.16
0.32
0.48
0.64
0.8
Nota: Quando um processo é
estacionário as propriedades 
estatísticas se simplificam 
notavelmente e sua 
caracterização é mais simples
Exemplos de Processos Estocásticos Estacionários
Processo Ruído Branco. ARIMA(0,0,0)
tt az =
Processo Homogêneo de orden 1. ARIMA(p,0,0)
Proceso Homogéneo de Orden 1. ARIMA(0,1,0)tt az =∇
Processo Autoregressivo de orden (p).ARIMA(p,0,0)
tptptt azzz +++= −φφ ..1
Processo Média Móvel de ordem (q).ARIMA(0,0,q) 
qtqttt aaaz −− +++= θθ ..11
Processo ARIMA(p,0,q)
qtqttptptt aaazzz −−−− ++++++= θθφφ .... 1111
Caracterização
Média de Amostra
Matriz de Covariâncias
Autocorrelações 
T
z
z
T
t t
t
∑ == 1ˆ
∑ += − −−= T kt kttt zzzzT 1 )ˆ)(ˆ(1γˆ
okkr γγ ˆˆ=
Estimação dos momentos de Processos Estacionários
Dada uma série temporal Zt nosso objetivo é construir um modelo estatístico que capture toda a informação estatística 
sistemática contida em essa série. Se consideramos Zt como uma realização de um processo estocástico podemos obter 
estimativas deseus momentos de amostras tal que: 
Def.) Estimador Média de amostra: é um estimador centrado da média populacional. 
T
z
z
T
t t
t
∑ == 1ˆ
μ=)ˆ( tzE
Def.) Estimador das Covariânçias de orden k quando a média populacional é desconhecida. É um estimador 
enviesado da autocovariâncias populacionais mas têm menores erros quadráticos de estimação que o estimador com 
média conhecida. Garante que a matriz de covariâncias seja sempre definida positiva. 
∑ += − −−= T kt kttk zzzzT 1 )ˆ)(ˆ(1γˆ
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=Γ
−−
−
−
021
201
110
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
~
γγγ
γγγ
γγγ
L
MOMM
L
L
kk
k
k
k
∑ += − −−−= T kt kttk zzkT 1 ))((1~ μμγ
Média ConhecidaMédia Desconhecida:
Def.) Estimador da matriz de covariâncias:
Def.) Estimador das autocorrelações de orden k:
okkr γγ ˆˆ= Onde é a variância do proceso oγˆ
Caracterização
A ponte entre os padrões de regularidade e os conceitos probabilísticos é transformar o reconhecimento 
intuitivo de padrões em informação estatística sistemática para ser utilizada na modelação.
Def.) Modelação Empírica: Usando modelos estatísticos descrevem-se fenômenos estocásticos observáveis
},,),({ xxxf ℜ∈Θ∈=Φ θθ
-2 -1 0 1 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0
30
60
90
120
150
0
30
60
90
120
150
0
1
0
1
0
2
0
1
0
3
0
1
0
4
0
1
0
5
0
1
0
6
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1
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7
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1
0
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0
1
0
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0
1
1
0
0
1
2
3
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6
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11
12
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
tzzzz ,...,, 321
Padrão de 
regularidade:
Histograma
Série Temporal:
tt atfz += ),( β
onde f(t,B) é uma função conhecida determinista do tempo que depende de um vetor de parâmetros B e at é uma 
sequência de variáveis aleatórias independentes de média zero e variância constante. 
Conceito de Modelação Empírica
Modelo Lineal
1. Modelo estocástico: A presença de término de error faz que a relação entre 
a variável endógena e a explicativa seja estocástica.
2. O modelo que relaciona as variáveis endógena e explicativa é lineal nos 
coeficientes beta.
3. Os coeficientes beta são constantes no tempo.
4. Existe uma relação causal desde as variáveis explicativas até as variáveis
endógenas.
5. As variáveis x são linealmente independentes. 
6. As variáveis x são deterministas.
),0(
...),( 2211
at
tkkott
RBa
axxxatfz
σ
βββββ
>−
+++++=+=
Estimador Mínimos Quadrados Ordinários
+=∂∂
∂
=⇒=∂
∂
+−=∂
′∂=∂
∂
+−=
+−=′=
−=−=
∴+=
−
defXXSR
yXXXSR
XXyXaaSR
XXyXyySR
XXyXyyaaSR
Xyyya
RBaaXy
tt
tt
tttt
ttttt
atttt
'
'
2
'1'
''''
'''''
'''''
ˆˆ
)ˆ(
)(ˆ0ˆ
)ˆ(
ˆˆˆ2ˆ
ˆˆ
ˆ
)ˆ(
)ˆˆˆ2(min)ˆ(min
ˆˆˆ2ˆˆ)ˆ(
ˆˆˆ
),0(
ββ
β
ββ
β
βββββ
β
ββββ
ββββ
β
σβ
ββ
Parâmetros desconhecidos
do meu modelo beta e 
sigma
XB
y at=Y-XB
Propriedades do Estimador MCO
Se E(at)=0T então o estimador MCO é insesgado e E(β)=β
1'21'2'1'
1'''1'1'''1'
'1'
'1''1'
'1''1'
)()()()()ˆ(
)(][)(])()[()ˆ(
)]ˆ)(ˆ[())]ˆ(ˆ))(ˆ(ˆ[()ˆ(
)(ˆ
][)(])([)ˆ(
)()()(ˆ
−−−
−−−−
−
−−
−−
==
==
−−=−−=
=−
=+=+=
+==
XXXXXIXXXVar
XXXaaEXXXXXXaaXXXEVar
EEEEVar
aXXX
aEXXXaXXXEE
aXXXXyXXX
aTa
tttt
t
tt
t
σσβ
β
βββββββββ
ββ
ββββ
ββ
))(,ˆ( 1'2 −∴ XXN aσββ
2
'
2
'
2 )ˆ(ˆ a
tt
a
tt
a kT
aaEE
kT
aa σσσ =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=−=
É necessário um estimador da variância, se demonstra que: 
Os métodos atuais de análises de séries temporais entende-se melhor se connhecemos as limitações de 
outros métodos mais simples desenvolvidos para solucionar o problema da predição.
Métodos Tradicionais
Modelo com Tendência Determinista
tt atz ++= 1βμ
Modelo com Sazonalidade Cíclica Determinista
tt awtBwtsenAz +++= )cos(.)(.μ
Modelo de Ajuste de Múltiplos Ciclos Deterministas
t
k
j
jj
k
j
jjt atwBtwsenAz +++= ∑∑
== 11
)cos()(μ
Modelo com Tendências Deterministas: 
Zt=bo+b1t+at
9
1
9
2
9
3
9
4
9
5
9
6
9
7
9
8
9
9
0
0
0
1
0
2
0
3
299000
322000
345000
368000
391000
414000
437000
460000
483000
506000
9
1
9
2
9
3
9
4
9
5
9
6
9
7
9
8
9
9
0
0
0
1
0
2
0
3
-24000
-19200
-14400
-9600
-4800
0
4800
9600
14400
19200
tott atatfz ++=+= 1),( βββ
Parâmetros Estimados 
Name Value StDs TStudent RefuseProb
B0 cte 265093.5 8403.6 31.5 6.49E-13
B1 trend 17745.6 1058.8 16.8 1.09E-09
R2 0.955771
Desv. Est. 14283.3717
Dada a série de consumo elétrico anual procedemos a representar-lo mediante um modelo estatístico consistente em uma
constante, uma tendência dependente do tempo e uma variável aleatória de média zero e variância constante. Nosso objetivo 
é realizar uma previsão de demanda de consumo para o ano seguinte. 
tzt 6.177455.265093ˆ +=
Modelo de Tendência Lineal
Para isto realizamos uma regressão lineal com os seguintes resultados 
O modelo dá um
grande ajuste !?!
Erros
MUITO 
ALTOS 
Os resíduos contém claramente 
informação, fato que nos leva a concluir 
que o modelo está mal especificado.
ttt zza ˆˆ −=
A variância não
é constante!
Um modelo para a temperatura média diária é uma estrutura harmônica no tempo da forma
onde
• μ é uma constante (nível) 
• A e B dão os desvios com respeito a μ
• é a frequência ( T = 365 dias , T=12, T=52)
Modelo com sazonalidade cíclica 
tt attsenz +++= )cos(B)(A ωωμ
Value StDs TStudent RefuseProb
μ 7.82323835 0.06754142 115.828749 0
A -2.57632028 0.09547423 -26.9844582 0
B -4.14312321 0.09556174 -43.3554605 0
T
πω 2=
Realizamos uma regressão lineal com os seguintes resultados
Os resíduos são grandes e têm
uma certa estrutura sazonal
Uma função periódica pode descompor-se como uma superposição de funções harmônicas
de distintas frequências e amplitudes
onde
• μ é uma constante (nível) 
• Aj e Bj dão os desvios com respeito a μ
• são as frequências ( T = 365 días )
Modelo com múltiplos ciclos de Fourier
t
k
j
jj
k
j
jjt attsenz +++= ∑∑
== 11
)cos(B)(A ωωμ
2/,...,2,1,2 TnnT ==
πω
O ajuste é melhor
A Sazonalidade das séries econômicas pode a vezes ser representada com ciclos de Fourier
Normalmente as séries apresentam tendências não constantes e padrões estacionais
irregulares:
Limitações dos métodos deterministas
O padrão estacional é
constante ao largo 
dos anos no consumo 
elétrico
1
9
9
2
m
0
5
d
0
1
1
9
9
2
m
0
6
d
0
1
1
9
9
2
m
0
7
d
0
1
1
9
9
2
m
0
8
d
0
1
1
9
9
2
m
0
9
d
0
1
1
9
9
2
m
1
0
d
0
1
1
9
9
2
m
1
1
d
0
1
1
9
9
2
m
1
2
d
0
1
1
9
9
3
m
0
1
d
0
1
1
9
9
3
m
0
2
d
0
1
1
9
9
3
m
0
3
d
0
1
1
9
9
3
m
0
4
d
0
1
1
9
9
3
m
0
5
d
0
1
1
9
9
3
m
0
6
d
0
1
1
9
9
3
m
0
7
d
0
1
1
9
9
3
m
0
8
d
0
1
1
9
9
3
m
0
9
d
0
1
1
9
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3
m
1
0
d
0
1
1
9
9
3
m
1
1
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0
1
1
9
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1
2
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0
1
1
9
9
4
m
0
1d
0
1
1
9
9
4
m
0
2
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0
1
1
9
9
4
m
0
3
d
0
1
1
9
9
4
m
0
4
d
0
1
1
9
9
4
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0
5
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0
1
1
9
9
4
m
0
6
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0
1
1
9
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4
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0
7
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0
1
1
9
9
4
m
0
8
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0
1
1
9
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4
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0
9
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0
1
1
9
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4
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1
0
d
0
1
1
9
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4
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1
1
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0
1
1
9
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4
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1
2
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0
1
1
9
9
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1
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1
1
9
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2
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0
1
1
9
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5
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3
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1
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5
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4
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0
1
1
9
9
5
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0
5
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0
1
1
9
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5
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0
6
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0
1
1
9
9
5
m
0
7
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0
1
1
9
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0
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0
1
1
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0
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1
1
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1
0
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0
1
1
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1
1
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1
1
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2
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1
1
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1
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0
1
1
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0
2
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0
1
1
9
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0
3
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0
1
1
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0
4
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0
1
1
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0
5
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1
1
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6
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0
1
1
9
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0
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0
1
1
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0
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1
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1
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1
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1
1
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0
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1
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6
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1
2
d
0
1
1
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7
m
0
1
d
0
1
1
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7
m
0
2
d
0
1
1
9
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7
m
0
3
d
0
1
1
9
9
7
m
0
4
d
0
1
1
9
9
7
m
0
5
d
0
1
1
9
9
7
m
0
6
d
0
1
1
9
9
7
m
0
7
d
0
1
1
9
9
7
m
0
8
d
0
1
1
9
9
7
m
0
9
d
0
1
1
9
9
7
m
1
0
d
0
1
1
9
9
7
m
1
1
d
0
1
1
9
9
7
m
1
2
d
0
1
1
9
9
8
m
0
1
d
0
1
1
9
9
8
m
0
2
d
0
1
1
9
9
8
m
0
3
d
0
1
4 9 8 0 0
5 8 1 0 0
6 6 4 0 0
7 4 7 0 0
8 3 0 0 0
9 1 3 0 0
9 9 6 0 0
1 0 7 9 0 0
1 1 6 2 0 0
1 2 4 5 0 0
Ainda que apresente
estacionalidade não
se ajusta bem aos
ciclos de Fourier
9
1
9
2
9
3
9
4
9
5
9
6
9
7
9
8
9
9
0
0
0
1
0
2
0
3
315000
336000
357000
378000
399000
420000
441000
462000
483000
504000
9
1
/
0
1
9
8
/
0
7
9
7
/
0
1
9
2
/
0
7
9
4
/
0
1
9
5
/
0
7
0
1
/
0
1
9
9
/
0
7
0
4
/
0
1
0
2
/
0
7
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1
/
0
7
9
3
/
0
1
9
4
/
0
7
9
6
/
0
1
9
9
/
0
1
9
7
/
0
7
0
4
/
0
7
0
3
/
0
1
0
1
/
0
7
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0
/
0
1
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/
0
1
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3
/
0
7
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/
0
1
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/
0
1
9
6
/
0
7
0
3
/
0
7
0
2
/
0
1
0
0
/
0
7
21000
24500
28000
31500
35000
38500
42000
45500
49000
52500
56000
9
2
9
3
9
5
9
7
9
9
0
1
0
3
6710.4
6715.2
6720
6724.8
6729.6
6734.4
6739.2
6744
6748.8
6753.6
9
1
9
4
0
1
0
3
9
3
9
5
0
2
9
7
0
4
9
6
9
8
0
0
9
2
9
9
560
700
840
980
1120
1260
1400
1540
1680
1820
1960
Tipos de períodos
A agregação nos dados sempre conduz a perda de informação. Sempre que seja possível se deve construir modelos sobre 
séries temporais com a maior profundidade de desagregação. 
Poca 
Información
Objetivo da análise das Séries Temporais
O objetivo da análise de uma série temporal consiste em elaborar um modelo estatístico que descreva adequadamente a 
procedência de dita série, de maneira que as implicações teóricas do modelo resultem compatíveis com as pautas de 
amostras observadas nas séries temporais. Depois o modelo elaborado a partir da série temporal pode ser utilizado para 
prever a evolução futura da série ou explicar a relação entre os distintos componentes do modelo.
8
9
-
E
n
e
8
9
-
A
b
r
8
9
-
J
u
l
8
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-
O
c
t
9
0
-
F
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b
9
0
-
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y
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-
A
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J
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3
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5
-
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9
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6
-
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9
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7
-
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7
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F
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b
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y
9
9
-
S
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0
-
M
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0
-
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0
-
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0
1
-
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1
-
A
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1
-
A
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0
1
-
N
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v
0
2
-
F
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b
0
2
-
J
u
n
0
2
-
S
e
p
0
2
-
D
i
c
0
3
-
M
a
r
0
3
-
J
u
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0
3
-
O
c
t
0
4
-
E
n
e
0
4
-
M
a
y
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
][ tt zE=μ
][2 tt zVar=σ
jtt
jtt zzCovjtt
+
+=+ σσρ
),(
),(
2*Sigma
-2*Sigma
10 20 30
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tot atz ++= 1ββ
tt awtRsenz +++= )( θμ
tt
p
p
t
q
qt
azBB
aBBz
=−−−
−−−=
)...1(
)...1(
1
1
φφ
θθ
tt az += μ
Pautas de Amostras Modelo Estatístico Prever, Descrever
0
5
0
6
0
7
0
8
0
9
0
9
1
0
1
1
1
2
-0.78
-0.52
-0.26
0
0.26
0.52
0.78
1.04
Modelo de séries temporais univariantes
ttt aB
BFXT
)(
)()( ϕ
θ+=
( ) ttt aFXTB
B =−)(
)(
)(
θ
ϕ
R
u
i
d
o
 
B
l
a
n
c
o
-2.75
-2.2
-1.65
-1.1
-0.55
0
0.55
1.1
1.65
2.2
Observações
Filtro
(fatores externos)
Ruído ou Noise
(fatores estruturais)
i
tit
FBF ∑= )(α
Construção do modelo
9
1
9
4
0
1
0
3
9
3
9
5
0
2
9
7
0
4
9
6
9
8
0
0
9
2
9
9
560
700
840
980
1120
1260
1400
1540
1680
1820
1960
Operadores: Diferença, Retardo, Inverso
Para poder operar com processos estacionários definimos os siguientes operadores
Uma propriedade importante dos processos estacionários é que os processos obtidos através das combinações lineares dos 
processosestacionários são também estacionários. 
Ou seja se Zt é estacionário então o processo é também estacionário.1−−= ttt zzw
Def.) Operador Retardo: um operador linear que aplicado a uma função temporal proporciona a essa função retardada um 
período. Em particular se aplicamos o operador a uma série temporal obtenemos a mesma série retardada um período. 
)1()( −= tftBf
1−= tt zzB
2211
2
21
11
)1(
..
−−
−
−−
−−=−−
==
==
=
tttt
kttt
k
ttt
zzzzBB
zBzBzB
zaBzaBaz
B
φφφφ
μμ
Def.) Operador Diferença: é o operador polinômico (1-B). O resultado de aplicar o operador diferença a uma série Zt com 
T observações é obter uma nova série com T-1 observações através 
1)1(
)1(
−−=−=∇
−=∇
tttt zzzBz
B
sttt
s
ts
ttttt
zzzBz
zzzBBzBz
−
−−
−=−=∇
+−=+−=−=∇
)1(
2)21()1( 21
222
Def.) Operadores Inversos: Verificam a propriedade que o produto por o operador inicial é a unidade. (pe. o inverso do 
operador retardo é o operador adiantado ) 
1
1
1
=
== +−
BF
zzBzF ttt
1)()()1()1(
)1(....)1(
11
1
0
22
==−−
−==++
−−
−
−
∞
=∑
BBBB
zBzBzBB tit
i
i
i
t
φφφφ
φφφφ
Operadores
9
1
9
4
9
7
0
1
0
4
9
3
9
6
9
9
0
3
0
0
9
2
9
5
9
8
0
2
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
55000
Operador B move a 
série para a direita!
A série Wt
continua tendo 
estrutura 
Aplicando, à série de consumo elétrico em períodos mensais, os distintos operadores teremos que:
4
4
−= tt zzB A série transformada têm a mesma tendência e estrutura estacional que a série original.
tt zBw )1( −= A série diferença regular é estacionária em média mas apresenta estrutura estacional.
tt zBS )1(
12−= A série diferença estacional é estacionária em média e não apresenta estrutura estacional.
Perdem-se 12 obvs.
Aplicação de Operadores
2*Sigma-2*Sigma
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
250
500
750
1000
1250
1500
1750
2000
2250
2500
2*Sigma-2*Sigma
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Processo Ruído Branco. ARIMA(0,0,0)
Def.) Processo Ruído Branco: é um processo 
estocástico onde todas as variáveis aleatórias seguem 
uma distribuição normal de média zero, variância 
constante e as covariâncias são nulas. 
tt az = 0)( =tzE
0),( =−ktt zzCov
2)( σ=tzVar
ACF
PACF
Hist. 
9
0
9
3
9
6
0
0
0
3
9
2
9
5
9
8
0
5
0
2
9
9
9
1
9
4
9
7
0
1
0
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Nota: Um processo ruído branco é estacionário em média e variância.
Processo
PROCESSOS ESTACIONÁRIOS
Autorregressivos AR(p)
Processos Autorregressivos AR(1). ARIMA(1,0,0)
)1/()( 1φ−= czE t
)1( 21
2
0 φ
σγ −=
a
Def.) Proceso Autorregressivo AR(1) : é um processo estocástico {zt} que estabelece uma 
dependência linear sobre o primeiro retardo da variável. Dizemos que uma série Zt segue um processo 
autorregressivo de primeira ordem se foi gerada por: 
...
~~
3
3
2
2
1
11
−−−
−
+++=
+=
tttt
ttt
aaaa
azz
φφφ
φ
tt
tt
az
azB
)1/(1~
~)1(
1
1
φ
φ
−=
=−
Onde –1< <1 é uma constante a determinar, at é um processo ruído branco e .1φ czz tt −=~
Def.) Função de Médias de AR(1) :Tomando esperanças de Zt e dado que E(Zt) = E(Zt-1)=cts 
posto que o processo é estacionário temos que 
já que 2222 azz σσφσ +=0
)()()(
11
11
11
>=
+=
+=
−
−−−−
−
k
azEzzEzzE
azz
kk
tkttkttkt
ttt
γφγ
φ
φ
multiplicado Zt-k e tomando esperanças onde E(at)=0 
que é a solução da equação em diferenças com 
por tanto a função de autocorrelação tende a zero com uma rápidez que depende de quanto maior seja, menor será o 
decrescimento, a condição de estacionariedade nos garante que a função de autocorrelação converge.
1φ
10 =ρ11 ≥= kkk φρ
Def.) Função de Autocovariâncias de AR(1) : se obtém como
Def.) Função de Autocorrelação de AR(1) : dividindo a função de autocovariâncias pela variância do processo
11 −= kk ρφρ
μφμ 1+= cjá que onde )1( 1φμ −=c
onde 
Processo
Caracterização
Processos Autorregressivos AR(1). ARIMA(1,0,0)
0
1
0
4
0
0
0
6
0
3
0
5
0
2
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
0
1
0
4
0
0
0
6
0
3
0
5
0
2
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
tt azB =− )9.01(
2*Sigma
-2*Sigma
10 20 30
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tt azB =+ )9.01(
k
k 9.0=ρ kk )9.0(−=ρ
ACFACF
Decrescimento lento exponencial em direção ao zero com
parâmetro positivo 
Valores próximos tem comportamentos similares e 
exibem acentuada tendência que se reflexa na ACF
A série tende a oscilar e se reflexa na função de 
autocorrelação que muda de sinal.
2*Sigma
-2*Sigma
10 20 30
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Vamos a representar duas realizações de um processo AR(1) com distintos valores do parâmetro e suas funções de 
autocorrelação teóricas. 
Alternância de sinal
2*Sigma
-2*Sigma
10 20 30
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
9
2
9
3
9
4
9
5
9
6
9
7
9
8
9
9
0
0
0
1
0
2
0
3
8100
10800
13500
16200
18900
21600
24300
27000
29700
32400
9
1
9
2
9
3
9
4
9
5
9
6
9
7
9
8
9
9
0
0
0
1
0
2
0
3
315000
336000
357000
378000
399000
420000
441000
462000
483000
504000
2*Sigma
-2*Sigma
10 20 30
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A série de consumo elétrico em períodos anuais é claramente não estacionária, com um primeiro valor do correlograma muito
próximo que indica a necessidade de tomar uma primeira diferença regular.
A série de consumo uma vez diferenciada não apresenta uma tendência clara e o correlograma apresenta valores 
positivos que se amortizam com rapidez, o que nos sugere a existência de um processo autorregressivo de ordem
1
Por tanto o modelo estatístico proposto para representar o comportamento da série consumo elétrico em períodos 
anuais é
tt
ttttt
azB
zBwaww
=∇−
−=+= −
)1(
)1(
1
11
φ
φ
Consumo Elétrico Anual AR(1)
ACF
ACF
2*Sigma
-2*Sigma
10 20 30
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
2
9
8
9
4
0
3
9
9
9
5
0
0
9
6
0
1
9
7
-9600
-6400
-3200
0
3200
6400
9600
12800
16000
19200
Dada a série de consumo elétrico em períodos mensais procedemos a representar-la através de um modelo estatístico
consistente em uma diferença regular e um processo autorregressivo de orden 1 tal que: 
tt azB =∇− )1( 1φ
Realizando uma estimativa por máxima verisimilitude
0
1
9
7
9
3
0
3
0
2
9
8
9
4
9
9
9
5
0
0
9
6
323000
342000
361000
380000
399000
418000
437000
456000
475000
494000
513000
Name Value StDs TStudent RefuseProb
RegularAR 0.88149 0.17150 5.13991 0.00061
547794.5150.8814901.881490ˆ 11 =−= −+ ttt zzz R2Coeficient 0.471662
StandardError 11451.6037
tt azBB =−− )1)(88149.01(
Predição de um período para frente é
0)( =taE
0),( =−ktt aaCov
2)( σ=taVar
Pouco ajuste !?!
Nota: O R2 é baixo mas o erro padrão é
menor que no modelo com tendência
determinista. 
ACFNão apresenta
nenhuma estrutura
Consumo Elétrico Anual AR(1)
Função de Autocorrelação Parcial
tkktkktkt
tttt
ttt
zzz
zzz
zz
.11
.2222121
,1111
...
....
..
.
ηαα
ηαα
ηα
+++=
++=
+=
−−
−−
−
),(
...
...
1111
1111
tt
tktktkt
tktktt
vuCorr
vzzz
uzzz
+++=
+++=
+−−−−
+−−−
γγ
ββ
Determinar a ordem de um processo autorregressivo a partir de sua função de autocorrelação é difícil ao ser uma mescla 
de decrescimentos exponenciais e sinusoidais, que se amortizam ao avançar o retardo e não apresenta rasgos fácilmente 
identificáveis para determinar a ordem do processo. Para resolver este problema introduz-se a função de autocorrelação 
parcial.
Def.) Coeficiente de Autocorrelação Parcial de ordem k. é o coeficiente de correlação entre 
observações separadas k períodos quando eliminamos a dependência produzida pelos valores 
intermediários.
Se elimina de Zt o efeito Zt-1, Zt-2,…, Zt-k+1
Se elimina de Zt o efeito Zt-1, Zt-2,…, Zt-k+1
Coeficiente de autocorrelação de ordem k
Processo
Esta definição é análoga a de coeficiente de correlação parcial da regressão múltipla. 
A sequência de coeficientes αii 
proporciona a função de 
autocorrelação parcial (PACF)
Em um processo AR(p) a PACF terá
os p primeiros coeficientes distintos de 
zero.
PROCESSOS ESTACIONÁRIOS
Autorregressivos AR(2)
Processos Autorregressivos AR(2). ARIMA(1,0,0)
)1/()( 21 φφ −−= czE t
)1)(1)(1(
)1(
2
21212
2
2
0
2
1120
2
20
2
10
12011
φφφφφ
σφγσγφφγφγφγ
γφγφγ
−+−−+
−=+++=
+=
a
a
Def.) Processo Autorregressivo AR(2) : é um processo estocástico {zt} que estabelece uma dependência 
linear sobre o primeiro e segundo retardo da variável. Diremos que uma série Zt segue um processo 
autorregressivo de segunda ordem se foi gerada por: 
tttt azzz ++= −− 2211 ~~~ φφ tt azBB =−− ~)1( 221 φφ
Onde , são duas constantes a determinar, at é um processo ruído branco e .1φ czz tt −=~
Def.) Função de Médias de AR(2) :Tomando esperanças de Zt e dado que E(Zt) = E(Zt-1)=cts 
posto que o processo é estacionário temos que 
1
)()()()(
2211
2211
2211
≥+=
++=
++=
−−
−−−−−−
−−
k
azEzzEzzEzzE
azzz
kkk
tkttkttkttkt
tttt
γφγφγ
φφ
φφ multiplicado Zt-k e tomando esperanças onde E(at)=0 temos 
2
2
2
1
2
2
1
1 1
2,
1
1 φφ
φρφ
φρ +−==−== kk
Def.) Função de Autocovariâncias de AR(2) : se obtém como
Def.) Função de Autocorrelação de AR(2) : dividindo a função de autocovariâncias pela variância do processo
12211 ≥+= −− kkkk ρφρφρ
onde 
Processo
Caracterização
2φ
1
1
11
21
21
2
<+
<−
<<−
φφ
φφ
φVariância do processo: para que seja positiva têm-se que 
cumprir que os parâmetros do processo estejam na região:
iicomo ρρ =−
kk
k GAGAk 22113 +=≥ ρpara para ,para 
Resolver a Equação em diferenças 
Equação em diferenças para um AR(2)
kk
k
kk
k
tttt
tt
AAk
AAk
AA
XXXX
GG
GG
X
XX
azzz
azBGBG
8.0
4.0
51.04.0
4.0
11.0
8.04.091.01
10
8.04.0
12.132.0)8.01)(4.01(
8.04.0
25.15.2
64.0
4.02.1
64.0
32.042.12.1
012.132.0
32.02.1
)1)(1(
21
21
21
2
21
1
2
1
1
2
2
21
21
+−=
+==
+==
+=
+−=−−
==
==
±=×−±=
=+−
+−=
=−−
−−
−−
ρ
ρ
Resolver a Equação em diferenças
Função de Autocorrelação para o processo AR(2)
t
t
tt
tttt
tt
aBB
BBz
BB
B
BB
B
a
BB
z
azzz
azBB
...)8.08.01(
...)4.04.01(
...8.08.01
)8.01(
1
...4.04.01
)4.01(
1
)8.01)(4.01(
1
32.02.1
)8.01)(4.01(
22
22
22
22
21
+++
+++=
+++=−
+++=−
−−=
+−=
=−−
−−
Expressão do processo AR(2) como 
soma de inovações
Raízes Reaistt azBB =−− )2.06.01( 2
Processos Autorregressivos AR(2)
Raízes Reaistt azBB =−+ )2.06.01( 2
z e r o a p a rt i r d o 
s e g u n d o r e t a r d o
S i n a l D i s t i n t o
ACF
PACF
ACF
PACF
PROCESSOS ESTACIONÁRIOS
Média Móvel MA(q)
Processo Média Móvel MA(1). ARIMA(0,0,1)
Def.) Processo Média Móvel MA(1): é um processo estocástico {zt} gerado pela combinação linear 
das duas últimas inovações.
tt
ttt
aBz
aaz
)1(~
~
1
11
θ
θ
−=
−= − )(~...)1()( 2211
0
1 ∞=+++==∑∞
=
ARazBBzBzB tt
i
t
ii
t θθθπ
onde –1< <1 é uma constante a determinar, at é um processo ruído branco e .1θ czz tt −=~
{ }BFFBB
FBBBB
aBaaz
aa
a
tttt
1
2
11
2
11
2
12
11
)1()1)(1()(
)()()()()(
)(
θθθσθθσγ
ψψψψσγ
ψθ
−++−=−−=
==
=−=
−
−
Def.) Função de Autocovariâncias de MA(1) : se obtém como
Def.) Função de Autocorrelação de MA(1) : dividindo a função de autocovariâncias pela variância do processo. 
Processo
Caracterização
Representação infinita com coeficientes que decrescem em progressão
geométrica, somente é possível a representação se 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥=
−=
+=
20
)1(
2
11
2
1
2
0
kk
a
a
γ
σθγ
θσγ
⎩⎨
⎧
>=
+−=
10
)1( 2111
kkρ
θθρ Por tanto o correlograma do processo terá unicamente um valor distinto de zero no primeiroretardo.
Def.) Função de Autocorrelação Parcial de MA(1) : utilizando as equações de Yule-Walker com
y depois de manipulações algébricas obtemos que (Box-Cox 70) 
}1/{}1{ 121
2
11
+−−−= kkkk θθθφ
Por tanto a função está dominada por um decrescimento exponencial que dependerá
do valor de . Quando é positivo a função é negativa e é negativo a função
alterna de sinal.
)1( 2111 θθρ +−=
10 >= kkρ
1θ 1θ
11 <θ
2*Sigma
-2*Sigma
5 10 15 20
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Processos Média Móvel MA(1). ARIMA(0,0,1)
tt aBz )99.01( −=
PACFPACF
Decrescimento lento exponencial em direção a zero com
parâmetro positivo 
Vamos representar duas realizações de um processo MA(1) com distintos valores de parâmetro e suas funcões teóricas de 
autocorrelação simples e parcial. 
Alternância de sinal com parâmetro negativo
2*Sigma
-2*Sigma
5 10 15 20
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2*Sigma
-2*Sigma
5 10 15 20
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2*Sigma
-2*Sigma
5 10 15 20
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4999747)1( 2111 =+−= θθρ 0.49997475)1( 2111 =+−= θθρ
ACF ACF
k
kk 1|| θφ <}1/{}1{ 121211 +−−−= kkkk θθθφ
tt aBz )99.01( +=
11 −−= ttt aaz θ 11 −−= ttt aaz θ
Ordem ARIMA(1,d,0) ARIMA(0,d,1)
comportamento ACF decai exponencialmente
comportamento PACF Decaimento exponencial
regiao de admisibilidade
Ordem ARIMA(2,d,0) ARIMA(0,d,2)
comportamento ACF
Misturas de exponenciais 
e ondas senóides 
amortecidas
comportamento PACF
Misturas de exponenciais 
e ondas senóides 
amortecidas
região de admisibilidade
Ordem 
comportamento ACF
comportamento PACF
região de admisibilidade
ARIMA(1,d,1)
Decai exponencialmente após o lag 1
Decai exponencialmente após o lag 1
011 ≠φ
01 ≠ρ
011 ≠φ
01 ≠ρ
02 ≠ρ
022 ≠φ
11 <<− φ 11 <<− θ
1
1
11
12
12
2
<+
<−
<<−
φφ
φφ
φ
1
1
11
12
12
2
<+
<−
<<−
θθ
θθ
θ
11
11
<<−
<<−
θ
φ
Comportamento das ACF e PACF de um processo
ARIMA(p,d,q)
Processos Estocásticos Não Estacionários
Def.) Processo Estocástico Não Estacionário : Um processo estocástico Zt é não estacionário quando as propriedades
estatísticas de ao menos uma sequência finita z1,z2,.. zk de componentes de Zt são diferentes das da secuencia z1+h,z2+h,.. 
zk+h para ao menos um número inteiro h.
Um processo estocásticoZt é não estacionário quando a distribuição conjunta de qualquier conjunto de variáveis se modifica 
se modificamos as variáveis no tempo. 
),...,,(),...,( hkhjhikji xxxFxxxF +++≠
Nota:A maioria das séries reais
são não estacionárias e seu nível
médio varia com o tempo, sem
embargo podem converter-se em
estacionárias tomando diferenças
8
9
-
E
n
e
8
9
-
A
b
r
8
9
-
J
u
l
8
9
-
O
c
t
9
0
-
F
e
b
9
0
-
M
a
y
9
0
-
A
g
o
9
0
-
D
i
c
9
1
-
M
a
r
9
1
-
J
u
n
9
1
-
S
e
p
9
2
-
E
n
e
9
2
-
A
b
r
9
2
-
J
u
l
9
2
-
N
o
v
9
3
-
F
e
b
9
3
-
M
a
y
9
3
-
A
g
o
9
3
-
D
i
c
9
4
-
M
a
r
9
4
-
J
u
n
9
4
-
O
c
t
9
5
-
E
n
e
9
5
-
A
b
r
9
5
-
J
u
l
9
5
-
N
o
v
9
6
-
F
e
b
9
6
-
M
a
y
9
6
-
S
e
p
9
6
-
D
i
c
9
7
-
M
a
r
9
7
-
J
u
n
9
7
-
O
c
t
9
8
-
E
n
e
9
8
-
A
b
r
9
8
-
A
g
o
9
8
-
N
o
v
9
9
-
F
e
b
9
9
-
M
a
y
9
9
-
S
e
p
9
9
-
D
i
c
0
0
-
M
a
r
0
0
-
J
u
l
0
0
-
O
c
t
0
1
-
E
n
e
0
1
-
A
b
r
0
1
-
A
g
o
0
1
-
N
o
v
0
2
-
F
e
b
0
2
-
J
u
n
0
2
-
S
e
p
0
2
-
D
i
c
0
3
-
M
a
r
0
3
-
J
u
l
0
3
-
O
c
t
0
4
-
E
n
e
0
4
-
M
a
y
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Se o nível da série não é estável no tempo podendo ter tendência crescente ou
decrescente diremos que a série não é estacionária em média.
μ≠)( txE
2)( σ≠txVar
),(),( kttktt +≠− γγ
Se a variância ou as covariâncias variam com o tempo diremos que a série não é
estacionária nas covariâncias.
Def.) Processo Integrado de Ordem h- I(h): quando ao diferenciar-lo h vezes se obtém um processo estacionário. São
processos não estacionários unicamente em média e têm a propriedade de converter-se em estacionários tomando uma
diferença. Um processo estacionário é sempre I(0) . 
Processos Estocásticos Não Estacionários
Passeio Aleatório. ARIMA(0,1,0)
tt azB =− )1(
Processo Alisamento Exponencial Simples. 
IMA(1,1).
Proceso Homogéneo de Orden 1. ARIMA(0,1,0)tt aBzB )1()1( 1θ−=−
Processos Integrados ARIMA(p,d,q)
Processos de Memória Longa
Processo ARFIMA(p,d,q)
t
q
qt
dp
p aBBzBBB )...1(~)1)(...1( 11 θθφφ −−−=−−−−
5.05.0)1( <<−=− dazB ttd
5.05.0)()( <<−=∇ daBzB tqtdp φθ
9
9
9
1
9
4
0
1
0
3
9
3
9
5
0
2
9
7
0
4
9
6
9
8
0
0
9
2
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
2*Sigma
-2*Sigma
10 20 30
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2*Sigma
-2*Sigma
10 20 30
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Passeio Aleatório. ARIMA(0,1,0)
Def.) Passeio aleatório :é um processo estocástico 
cujas primeiras diferenças formam um processo ruído
branco. 
ttt
tt
azz
az
+=
=∇
−1
0)( =tzE
)(),( 2 ktzzCov aktt −=− σ
tzVar at
2)( σ=
A variância cresce com o tempo 
ACF
PACF
Hist. 
0 25 50 75 100
100
200
300
400
500
Diminuição
muito lenta
Valor próximo a 1
Para el gráfico se ha generado un paseo aleatorio mediante una serie aleatoria en 
fechado diario de media cero y varianza la unidad. 
Processo
9
0
9
1
9
1
9
1
9
2
9
2
9
2
9
3
9
3
9
3
9
4
9
4
9
4
9
5
9
5
9
5
9
6
9
6
9
6
9
7
9
7
9
7
9
8
9
8
9
8
9
9
9
9
9
9
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
2
0
2
0
2
0
3
0
3
0
3
0
2500
5000
7500
10000
12500
2*Sigma
-2*Sigma
10 20 30
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2*Sigma
-2*Sigma
10 20 30
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Série do IBEX-35
ACF
PACFA variância do 
modelo não é
constante
A série de cotizações do IBEX_35 em períodos diários é um processo não estacionário em média e em variância. Sem
embargo no correlograma se aprecia uma estrutura muito parecida ao correlograma de um passeio aleatório, o que nos leva a 
propor esta estrutura como modelo para representar a cotização da bolsa. 
ttt
tt
aIbexIbex
aIbex
+=
=∇
−13535
35
Uma vez tomada a diferença regular (1-B) observamos que a série é estacionária em média nu=0 mas não assim em variância
que apresenta períodos de muita instabilidade. Uma representação mais adequada do processo deveria introduzir a variância do 
erro como variável explicativa (p.e.modelo GARCH), por tanto não podemos concluir que o IBEX35 seja um passeio aleatório.
0)( =taE
2)( ataVar σ≠
At não é um passeio
aleatório
0),( ≠−ktt aaCov
Def.) Processos autorregressivos integrados de média móvel ARIMA(pd,q) : É um processo
ARMA que possui uma ou várias raízes unidade no operador. 
Processo Integrado ARIMA(p,d,q)
onde at é um processo ruído branco com μ−= tt zz~
Sendo p a ordem da parte autorregressiva , q a ordem da parte média móvel e d o número de raízes unitárias. O processo
chama-se integrado porque zt obtém-se como soma infinita de wt. Por exemplo se 
tqt
d
p
t
q
qt
dp
p
aBzB
aBBzBBB
)(~)(
)...1(~)1)(...1( 11
θφ
θθφφ
=∇
−−−=−−−−
Processo
∑ −∞=− =+++=−=
−=
t
j tttt
tt
wwBBBwBz
zBw
...)1()1(~
~)1(
321
)...1()(
)...1()(
1
1
q
qq
p
pp
BBB
BBB
θθθ
φφφ
−−−=
−−−= como a equação característica do processo autorregressivo
Os obtém-se igualando os coeficientes em B desta expressão
Definimos
Duas representações alternativas do processo ARIMA como 
1.) Soma de Inovações:
2.) Soma de valores passados:
)()()(
)(~)(
)()(...
)...1()1)(()(
)()(
2211
1
1
BBB
aBzB
MAaBaaaz
BBBBB
MAaBaaz
qdp
tqtdp
ttttt
dp
dp
d
pdp
ti ititt
θψϕ
θϕ
ψψψ
ϕϕφϕ
ψψ
=
=
∞=+++=
−−−=−=
∞=+=
+
+
−−
+
++
∞
= −∑
iψ
)()()(
)(~)(
)()(
1
BBB
aBzB
ARazzzB
qdp
tqtdp
ti ititt
πθϕ
θϕ
ππ
=
=
∞=+=
+
+
∞
= −∑
Os obtém-se igualando os coeficientes em B desta expressão. iπ