Estruturas Cristalinas e Reticulados de Bravais

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2. Cristalografia
2.1. Estruturas cristalinas
 Sistemas cristalinos
 Reticulados de Bravais
 Estrutura cúbica simples
 Estrutura cúbica de corpo centrado
 Estrutura cúbica de face centrada
 Estrutura Hexagonal compacta
2.2. Direções e Planos Cristalográficos
 Direções cristalográfica (índices de Miller)
 Planos cristalográficos
2.3. Notação de Miller-Bravais para direções e
planos do sistema hexagonal
2.4. Densidade atômica linear e planar
2.5. Direções e planos compactos
2.6. Posições intersticiais do reticulado
Conteúdo Programático
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2.1. Estruturas cristalinas
 Arranjo atômico dos materiais:
 sem ordenamento (gases)
 ordem a curta distância
(cerâmicos e polímeros = material amorfo)
ordem a longa distância
(metais, cerâmicos, semicondutores)
 Os pontos de rede (átomos) possuem um arranjo alumínio magnésio
periódico de tal forma que os vizinhos de cada
ponto seja idênticos.
 Estrutura cristalina é uma regular repetição de um arranjo
atômico cristalino
 Estrutura cristalina depende
 tamanho
 forma
 arranjo dos átomos
célula unitária
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2. Cristalografia
2.1.1. Sistemas cristalinos
 Célula unitária é a menor divisão da rede cristalina
 Parâmetros da rede cristalina
 a, b, c = comprimentos interatômicos
 , ,  = ângulos entre os eixos cristalográficos
 As estruturas cristalinas no espaço tridimensional
se formam apenas em 7 formas geométricas
diferentes. (comprovação por difração de raios-X)
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2. Cristalografia
2.1.2. Reticulados de Bravais
 Arranjo espacial dos átomos nas células unitárias
 Existem 14 possibilidades de reticulados
 Representação por pontos ou pelo modelo das esferas rígidas
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2. Cristalografia
2.1.3. Estrutura cúbica simples
 No de átomos/célula = 8 x 1/8 = 1
 No de coordenação = 6
 Fator de Empacotamento Atômico = FEA =
volume do átomo = 4/3 . . R3
parâmetro de rede = a Achar relação  a = f (R )
volume da célula = a3 a = 2R
FEACS = 0,52
 Densidade =  =
no de avogadro = 6,02.1023 átomos/mol
2.1.4. Estrutura cúbica de corpo centrado
 No de átomos/célula = 8 x 1/8 + 1 = 2
 No de coordenação = 8
 FEA
Relação a = f (R )
D = R +2R +R
d2 = a2 + a2
FEACCC= 0,68
unitáriacéluladavolume
átomo)do(volume xula)átomos/cél(no
)(n xunitária)célulada(volume
átomo)doatômica(massa xula)átomos/cél(n
o
o
deAvogadro
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2. Cristalografia
3
4Ra
2.1.5. Estrutura cúbica de face centrada
 No de átomos/célula
= 8 x 1/8 + 6 x 1/2 = 4
 No de coordenação = 12
 FEA
Relação a = f (R )
d = R +2R +R
d2 = a2 + a2
FEACFC= 0,74
 Exemplos: -Fe, V, Cr, Mo e W
 Seqüência de empilhamento dos planos
compactos (111) = ABC ABC ABC ……
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2
4Ra
2.1.6. Estrutura hexagonal compacta
 No de átomos/célula = 12 x 1/6 + 2 x 1/2 + 3 = 6
 No de coordenação = 12
 FEAHC= 0,74
 Seqüência de empilhamento dos planos
compactos (111) = AB AB AB ……
 Célula Unitária do HC
 No de átomos/célula = 4 x 1/12 + 4 x 1/6 + 1 = 2
 No de coordenação = ? (8)
 FEAHS= ?
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2.1.6. Estrutura hexagonal compacta
 Cálculo do FEAHC
ABase = 3 x área ACDE = 3 x CD x BC
CD = a = 2R
Relação entre c e a para caso ideal:
Os átomos JLMK estão juntos e formam um tetraedro
JM = JK = a = 2.R
O átomo M está na metade da altura entre as faces inferior/superior
MH = c/2
O triângulo JHM átomo M está na metade da altura entre as faces inferior/superior
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HCvolume
R.
3
4
 x6 3
FEA
2
32.R.30cos..2 0  RBC
3.6
2
32.R.).2.(3 2RRABaseHC 
2
22222
2
)(......)()()( 

 cJHaMHJHJM
2.1.6. Estrutura hexagonal compacta
 Cálculo do FEAHC
Relação entre c e a para caso ideal:
O comprimento JH é considerado como:
 Substituindo:
Retornando ao cálculo do FEA:
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Rac
a
c
cacJHa
.2.633,1.633,1......633,1
3
8
232
)(
222
22








3
......
2
3
JH
a/230cos 0 aJH 
3
2
.633,1.3.12
.3..6..6
RV
cRcAreaV
célulaHC
ACDEcélulaHC


74,0
.(1,633).R312.
R.
3
4
 x6
3
3


FEA
2.2. Índices de Direções e Planos Cristalográficos
 Sistema de coordenadas para identificar pontos,
direções e planos da rede cristalina
 Índices de Miller para direções e planos do sistema cúbico
(3 eixos coordenados x, y , z)
 Índices de Miller-Bravais para direções e planos do sistema hexagonal
(4 eixos coordenados a1, a2, a3, c)
2.2.1. Direções cristalográficas
 Determine dois pontos pertencentes a direção desejada
 Projetar os comprimentos a, b e c nos eixos coordenados
(Fazer a diminuição entre o ponto inicial -seta- menos ponto final)
 Números h, k e l são os menores valores inteiros (x ou )
 Direção negativa representada pelo sinal “-” sob o número
 Notação individual = [ h k l ]
família de direções = < h k l >
 Exemplo<100> = possui 6 direções = [100], [010], [001]
[100], [010], [001]
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2.2.2. Planos cristalográficos
 Determinar pontos do plano que interceptam os eixos
coordenados x, y, z.
 Pode-se alterar a origem para facilitar a visualização
 Fazer os inversos
 Números h, k e l menores valores inteiros
 Notação  individual = (h k l)
 família de direções (equivalência) = {h k l}
 Exemplo
 <100> = possui 3 planos = [100], [010], [001]
 planos equivalentes ou paralelos [100], [010], [001]
 Determine os planos na figura ao lado.
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2.3. Notação para células hexagonais
 Notação (índices de Miller-Bravais)
 Sistema de coordenadas com 4 eixos (a1, a2, a3 e c)
 individual = [h k i l] e (h k i l)
 família de direções e planos (equivalência) = <h k i l> e {h k i l}
 Devido a geometria espacial deste sistema: h +k = -i
 As regras utilizadas são similares ao do sistema de 3 eixos.
 Conversão entre os sistemas de três (h´ k´ l´) e quatro eixos
coordenados (h k i l):
h = 1/3 (2h´ - k´)
k = 1/3 (2k´ - h´)
i = - (h+k)
l = l´ Devido a geometria espacial deste sistema: h +k = -i
Mostre numa célula unitária:
planos basais {0001}
planos prismáticos do tipo I : {10-10}
planos prismáticos do tipo II: {11-20}
planos piramidais do tipo I: {10-11}
planos piramidais do tipo II: {11-21}
 Determine o número de planos para cada famíliade planos acima
 Fazer exercícios dos livros: Reed-Hill e Padilha.
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2.3. Células hexagonais
 Utilizar o esquema da figura abaixo para direções de Miller-Bravais
 Devido a geometria espacial deste sistema: h+k = -i
 Regra para mostrar uma determinada direção:
 deslocar o ponto central no sentido de cada eixo (a1, a2 e a3) a ligação do ponto inicial ao ponto deslocado indica a direção
 Se o índice “c” for diferente de 0, a direção estará fora do plano do
papel, e deve ser corrigido através da elevação do ponto deslocadodo valor de “c”
 Regra para identificar o índice
 desenhe a direção no sistema de 3 eixos e
determine o índice
 utilize as equações de conversão de 3 para 4
eixos
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2.4. Densidade Atômica Linear - DAL
• Análogo ao fator de empacotamento atômico, que corresponde à densidade volumétrica de
átomos, podemos definir a densidade linear atômica (DAL)
 Densidade Atômica Linear =DAL =
DAL Callister = Número de Raios na Direção/Comprimento da direção
• Exemplo
Calcule a DAL das direções <100> na rede CFC
No de  interceptados = ½ + ½ = 1
Para CFC => a = 4R/ 2
Comprimento da direção = a = 4R/ 2
DAL = 1 x 2/4R = 0,354/R átomos/nm
Callister
Número total de átomos = 1 + 1 = 2
Comprimento total de átomo = 2 x Raio de 1 átomo = 2R
Comprimento da Direção = a com a = 4R/ 2
DAL = 2R/a = 2R/ 2R 2 = 1/ 2 = 0,707 (sem unidades)
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


nm
átomos
hkll direçãodaocompriment
direçãopeladosinterceptaátomosdedeno
][

2.4. Densidade Atômica Linear - DAL
 Densidade Atômica Linear =DAL =
Direções CCC ( a = 4R/  3)
<100> DAL = 1 /a =  3/4R = 0,433/R
<110> DAL = 1/a 2 =  3/4R = 0,306/R
<111> DAL = 2 /a  3 = 2/2R = 0,5/R
Direções CFC ( a = 4R/  2)
<100> DAL = 1 / a =  2/4R = 0,354/R
<110> DAL = 2/a 2 =  2/2R = 0,707/R
<111> DAL = 1/a  3 =  2/4R  3 = 0,204/R
DETERMINE OS VALORES SEGUNDO O Callister
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


nm
átomos
hkll direçãodaocompriment
direçãopeladosinterceptaátomosdedeno
][

2.5. Densidade Atômica Planar - DAP
 Densidade Atômica Planar =DAP =
DAP Callister = DAP acima, mas mútiplica a fração átomos por R2 (admensional).
• Exemplo
Calcule a DAP dos planos {100} na rede CFC
Fração de átomos no plano = ¼ x 4 + 1 = 2 átomos
Para CFC => a = 4R/ 2
Área do Plano = a2 = 8R2
DAL = 2/8R2 = 1/4R2 = 0,25/R2 átomos/nm2
Callister
Fração de átomos no plano = ¼ x 4 + 1 = 2 átomos
Para CFC => a = 4R/ 2
Área do Plano = a2 = 8R2
DAL = 2(R2)/8R2 = /4 = 0,785 (admensional)
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2. Cristalografia


 2][ planodoárea
planoaoepertencentátomosdosfração
nm
átomos
hklp
2.5. Densidade Atômica Planar ( DAP)
 Densidade Atômica Planar =
Planos CCC ( a = 4R/ 3)
{100} DAP = (¼ x 4) /a2 = 1/16R2/3 = 0,188/R2
{110} DAP = (¼ x 4 + 1)/a . a 2 = 2/a2  2 = 2/(16R22)/3
DAP = 6/162R2 = 0,265/R2
{111} DAP = (1/6 x 3)/(b.h)/2 = (1/2)/ (16.  3/6) . R2
DAP = 3/16.  3. R2 = 0,108/R2
b = a  2
h2 = (b/2)2+ a2
h2 = (a2.2/4) + a2
h =  3/ 2 . a
A = (a  2) . ( 3/ 2 . a)/2
A = ( 3/2) . a2 = (16.  3/6) . R2
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

 2][ planodoárea
planoaoepertencentátomosdosfração
nm
átomos
hklp
2.5. Densidade Atômica Planar ( DAP)
 Densidade Atômica Planar =
Planos CFC ( a = 4R/ 2)
{100} DAP = (¼ x 4 + 1) /a2 = 2/16R2/2 = 0,250/R2
{110} DAL = (¼ x 4 + 1/2 x 2 )/a . a 2 = 2/a2 2 = 2/(16R22/2)
DAL = 4/16.2R2 = 0,177/R2
{111} DAL = (1/6 x 3 +1/2 x 3 )/ b.h/2 = (2)/ (16.  3/6) . R2
DAL = 2/4.  3. R2 = 0,289/R2
b = a  2
h2 = (b/2)2+ a2
h2 = (a2.2/4) + a2
h =  3/ 2 . a
A = (a  2) . ( 3/ 2 . a)/2
A = ( 3/2) . a2 = (4.  3) . R2
DETERMINE OS VALORES SEGUNDO O Callister
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

 2][ planodoárea
planoaoepertencentátomosdosfração
nm
átomos
hklp
2.6. Alotropia, Anisotropia
 Seqüência de empilhamento dos planos compactos
 Estruturas CFC e HC possuem FEA iguais (0,74)
 CFC os planos compactos são {111} e seqüência é ABCABCABC...
 HC os planos compactos são {0001} e seqüência é ABABAB...
 Se o no de coordenação e do FEA são iguais para as estruturas CFC e HC, então materiais com estasestruturas terão propriedades semelhantes?
 Alguns materiais podem se apresentar no estado sólido com diferentes estruturas. Este mudança é chamada
de transformação alotrópica. Ela é normalmente acompanhada por variação de temperatura (Fe é CCC
para baixas temperaturas e CFC para altas temperaturas).
 Estas diferenças no arranjo atômico das direções e dos planos compactos dos cristais promovem variações
das propriedades em função da direção da medição
Material isotrópico apresenta propriedades idênticas em qualquer direção cristalográfica da medição
Material anisotrópico é aquele cujas propriedades dependem da direção cristalográfica da medição
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2.7. Sistemas de Escorregamento
• As redes CFC e HC são as mais densas do ponto de vista volumétrico (FEA = 0,74).
• No entanto, existem planos e direções com valores diferentes de DAP e DAL.
• Para cada rede existe um certo número de planos e direções compactos, ou seja, que apresentam
maiores valore de DAP e DAL.
• As direções compactas estão contidas em planos compactos.
• Estes planos e direções serão fundamentais na deformação mecânica dos materiais, pois o processo ocorre
normalmente através do deslizamento de planos.
• O deslizamento é mais provável em planos e direções compactas porque nestes casos a distância que a
rede precisa se deslocar é mínima.
• Dependendo da simetria da estrutura, outros sistemas de deslizamento podem estar presentes.
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2.8. Sistemas de Escorregamento
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2.9. Posições Intersticiais
Posições intersticiais
 Seqüência de empilhamento dos planos compactos
Estruturas CFC e HC possuem FEA iguais (0,74)
HC os planos compactos são {0001} e seqüência é ABABAB...
CFC os planos compactos são {111} e seqüência é ABCABCABC...
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