Cap.4 Equacao Fundamental

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4. EQUAÇÃO FUNDAMENTAL 
As máquinas hidráulicas podem ser estudadas, e os cálculos relativos a estes equipamentos podem ser feitos 
utilizando vários métodos, dentre os quais se destacam dois. O primeiro e mais antigo tem como hipótese que o 
rotor tem um número infinito de pás, que teriam de ser infinitamente finas. Na segunda abordagem a representação 
é feita a partir da análise de uma única pá, para daí então aproximar para o caso real. Esta apostila utiliza o primeiro 
método, que parte da hipótese de “escoamento congruente nas pás”. 
4.1 EQUAÇÃO DE EULER 
A equação de Euler é a equação básica para o desenvolvimento/estudo de bombas, ventiladores e turbinas. 
Expressa o intercâmbio de energia entre o rotor e o fluido. 
Para iniciar as análises são feitas as seguintes hipóteses simplificadoras, considerando uma máquina ideal: 
 Número infinito de pás 
 Espessura infinitesimal das pás 
 Fluido incompressível 
 Sem atrito (fluido ideal) 
 Isento de choque na entrada 
 Regime permanente 
 
Considerando agora o princípio da conservação da quantidade de movimento angular (QMA) aplicado ao 
volume de controle (Figura 4.2) tendo como base o eixo do rotor: 
 
 (4.1) 
 
Desconsiderando os torques devido às forças de superfície e de corpo (do campo gravitacional), e 
considerando regime permanente, resulta: 
 
 (4.2) 
 
 
Figura 4.1 – Visão em corte do rotor (Fonte: Turton, 1995) 
  

  



controle de superfície pela
QMA de líquido Fluxo
controle de volumeno 
QMA de temporalVariaçãoeixo
Torque
nalgravitacio campo
devido força da Torque
superfície
de força
da Torque
. 

SCVCeixoVCs
AdCCxrdVCxr
t
TdVgxrFxr 
 SCeixo AdCCxrT
 .
2 
 
 
Figura 4.2 – Volume de controle para rotor de máquina geradora 
 
 
Considerando uma máquina geradora e usando as relações do triângulo de velocidades na entrada (4): 
44
4
4 4
4  senCC
C
C
sen u
u  
  44
4
44
0 coscos180cos
4
4  CC
C
C
m
m  
E a partir do triângulo de velocidades na saída (5): 
555
5
5
5  senCC
C
C
sen u
u  
55
5
5 coscos 5
5  CC
C
C
m
m  
Aplicando a Eq.(4.2) ao rotor da Figura 4.2, que representa o rotor de uma máquina geradora, 
  54 .. SCSCeixo AdCCxrAdCCxrT
  
Considerando o módulo do torque, com Teixo>0 em máquinas geradoras, usando o sub índice “t” para indicar 
um valor teórico, e o sub índice “∞” para indicar que foi obtido com a premissa de rotor com número infinito de pás, 


  54
0 )cos(180cos(
SC
CC
SC
CC
t AdCsenCrAdCsenCrT
mumu





  


  
Lembrando que “θ” é o ângulo formado entre “r” e “C”, 

 m
mu
m
mut ACCrACCrT

  44445555  
3 
 
Assim, o torque teórico para máquinas geradoras é expresso por, 
 (4.3) 
 
De forma similar, para máquinas motoras, 
 
(4.4) 
 
Pode-se deixar as Eqs. (4.3) e (4.4) na forma genérica para máquinas hidráulicas geradoras e motoras1. 
(4.5) 
 
 “+” indica máquinas geradoras 
 “-“ indica máquinas motoras 
 
A potência hidráulica (Ph) é definida como o produto do torque (T) pela velocidade angular (ω). 
Considerando que esta potência é a hidráulica (Ph) teórica (subscrito “t”) de um rotor com número infinito (subscrito 
“∞”), resulta: 
    44554455 . uuthru
T
uuth CuCumPCrCrmP
t
  



  
 
A potência hidráulica também pode ser obtida pelo produto do peso específico (ϒ) pela vazão (Q) pela 
energia por unidade de peso (H) fornecida/recebida pelo rotor para/do fluido. Assim: 
gm
P
H
Q
P
HQHP tht
gmgCAQth
ttth 
 


  


 
Logo: 
 
(4.6) 
 
A Eq.(4.6) é conhecida por equações de Euler2, ou equação fundamental das máquinas de fluxo 
(fundamental equation of turbomachines), válida para máquinas radiais e axiais. Vale observar que é válida também 
para o caso em que a massa específica varie ao longo do rotor, pois a massa específica não aparece na equação. 
Casos especiais (simplificações): 
 Para máquinas axiais: u4=u5 e Cm4=Cm5 
 Nas turbinas hidráulicas para reduzir as perdas por atrito no tubo de sucção busca-se Cu5=0 
resultando α5=90º . 
 Para máquinas geradoras desprovidas de pás diretrizes, como bombas e ventiladores centrífugos, 
normalmente assume-se α4=90º e Cu4=0. Neste caso o escoamento entra no rotor na direção radial. 
 
1 Esta convenção será adotada a partir de agora neste capítulo 
2 Segundo Pfleiderer (1979, p.21), a eq.(4.6) foi deduzida por Leonard Euler em 1754. 
 4455 uut CrCrmT  
 5544 uut CrCrmT  
  4455 uut CrCrmT  
 44551 uut CuCugH 
4 
 
OUTRAS FORMAS DA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL IDEAL DAS MÁQUINAS DE FLUXO 
A partir do triângulo de velocidades pode-se tirar as seguintes relações: 
 
 
(4.7) 
 
 
Substituindo as eqs. (4.7) na equação fundamental (4.6) obtida anteriormente, resulta: 
 
(4.8) 
 
 
A eq.(4.8) é outra forma da equação fundamental das máquinas de fluxo. Representa a energia teórica 
entregue/recebida ao/pelo fluido pelas pás (espessura desprezível) do rotor (com número infinito de pás). 
Pode-se ainda calcular a altura teórica com número infinito de pás usando Bernoulli no canal do rotor, 



  45
2
4
2
545
2
zz
g
ccppH t 
 
Fazendo z5≈z4: 
 
(4.9) 
 
 
Comparando a eq.(4.9) à eq. (4.8) pode-se definir duas energias de pressão. A energia de pressão estática, 
que o fluido recebe ao passar pelo rotor de uma máquina de fluxo pode ser expressa por: 
 
(4.10) 
 
 
onde o termo “I” representa o aumento da pressão decorrente da ação da força centrífuga sobre as partículas 
fluidas, provocado pela diferença de velocidade tangencial na entrada e saída como consequência do movimento do 
rotor. Vale observar que no caso do rotor axial a velocidade tangencial na entrada e saída são iguais e este termo é 
nulo. O termo “II” deve-se a transformação de energia de velocidade em energia de pressão, decorrente da 
diminuição da velocidade relativa entre a entrada e a saída, no interior dos canais em forma de difusores, 
constituídos pelas pás do rotor. 
 2525255525552525 2
12 wuccuucucw uu 
 2424244424442424 2
12 wuccuucucw uu 



  g
cc
g
ww
g
uuH t 222
2
4
2
5
2
5
2
4
2
4
2
5



  g
ccppH t 2
2
4
2
545














 

III
est g
ww
g
uuppH
22
2
5
2
4
2
4
2
545

5 
 
E por fim a energia de pressão dinâmica. Além do aumento da energia de pressão estática, há o aumento da 
energia de pressão dinâmica, devido à variação da energia cinética do fluido ao escoar da entrada para a saída do 
rotor. 
 
(4.11) 
 
CONCEITOS DE AÇÃO E REAÇÃO 
A interpretação dos conceitos de ação e reação tem por base o conceito de energia de pressão estática dada 
pela eq. (4.10). E as máquinas de ação e reação são classificadas conforme segue: 
Hest=0 → máquina de ação ou pressão constante 
Hest>0 → máquina de reação 
 
Existe um número adimensional chamado de grau de reação (degree of reaction), que indica como cada uma 
destas máquinas transforma a energia. Quando a avaliação é feita sob o escoamento ideal, sem perdas, esta 
grandeza é denominada grau de reação teórico e é dada por, 
 
(4.12) 
 
 
(4.13)Exemplo 1: Um rotor de bomba centrífuga de 200 mm de diâmetro de saída gira a 3500 rpm. O ângulo das 
pás na saída é igual a 22º e a componente meridiana da velocidade absoluta na saída é igual a 3,6 m/s. Determinar a 
altura teórica para número infinito de pás. Considere escoamento com entrada radial. (R. 103,64 mca) 
 
Exemplo 2: Uma bomba centrífuga opera a 2,0 m3/min e rotação de 1200 rpm. A altura da pá na saída é de 
20 mm. O ângulo construtivo das pás na saída é de 25º. A componente meridiana da velocidade absoluta na saída é 
de 2,5 m/s. Determine: a) as alturas e potência teórica para número infinito de pás; b) as expressões das alturas e 
potências em função da vazão; c) o gráfico H-Q e P-Q de 0 a 4,0 m3/min. (R. a) 10,8 mca e 3,6kW; b)Ht∞[mca]=18,1-
218,6.Q[m3/s], e Pht∞[kW]=177,6Q[m3/s]-2144,6.Q2[m3/s]) 
 
Exemplo 3: Uma bomba centrífuga opera a 0,005 m3/s e rotação de 1500 rpm. O diâmetro do rotor na 
entrada é de 100 mm e na saída 200 mm. As alturas da pá na entrada e saída são 10 mm e 5 mm respectivamente. 
Determine a energia de pressão transmitida pelo rotor em termos de altura equivalente. O ângulo construtivo das 
pás na saída é de 30º. (R. 12,18 mca) 
 



 
g
ccH din 2
2
4
2
5
motoras
u
Cu
H
H
t
est
t 
4
4
2
1
geradoras
u
Cu
H
H
t
est
t 


5
5
2
1
6 
 
EQUAÇÃO FUNDAMENTAL – EFEITO DO NÚMERO FINITO DE PÁS 
Das condições iniciais estipuladas, duas afetam o rendimento de forma mais significativa, o atrito e o 
número finito de pás. No caso do atrito atribui-se um rendimento hidráulico que considera estas perdas, já o número 
finito de pás altera o triângulo de velocidades devido ao fenômeno conhecido por “escorregamento“. 
ESCORREGAMENTO 
A primeira característica que altera a carga (Ht∞) definida na concepção ideal do rotor é o escorregamento. 
Ao se deslocar pelo rotor a partícula, devido à sua inércia, tende a manter sua orientação com relação aos eixos 
fixos, criando um movimento circulatório em relação ao canal, conhecido como vórtice relativo (relative circulation). 
Na Figura 4.3 uma partícula fluida genérica foi representada por uma circunferência cortada por uma reta 
“AB”. Devido à inexistência de atrito, a partícula atingirá a seção de saída do rotor (III) com a mesma direção que 
entrou (I). Porém, enquanto a partícula atravessa o rotor, este está em movimento, arrastando a partícula 
tangencialmente. Um observador, solidário ao rotor, verá a partícula num movimento radial, mas com certa rotação 
ao se mover (vórtice relativo). 
 
Figura 4.3 - Origem do vórtice relativo (Fonte: Silva, 2000) 
 
 O movimento através do rotor pode ser considerado então como uma composição de movimentos da 
corrente de passagem e do vórtice relativo (Figura 4.4). 
 
Figura 4.4 – Composição da corrente de passagem (Fonte: Silva, 2000) 
 
O vórtice relativo produz uma corrente radial com sentido centrípeto junto à face de ataque da pá, em 
sentido contrário à corrente de passagem, resultando em uma redução da velocidade relativa nesta região. No dorso 
da pá (nas costas da pá) o sentido das duas correntes é o mesmo, e ocorre um aumento da velocidade relativa nesta 
região. Isto gera um gradiente de pressão através do canal com sobre pressão na face de ataque e depressão no 
dorso. 
7 
 
 
Figura 4.5 – Vórtice relativo e distribuição de pressão nas pás3 
 
Esta diferença de pressão gera um “tombamento” da velocidade relativa de saída do rotor na direção do 
dorso da pá, fazendo que a inclinação da velocidade relativa seja menor que o ângulo construtivo das pás do rotor. 
Conforme pode-se ver no triângulo de velocidades da Figura 4.6, a consideração de número finito de pás 
aumenta a velocidade relativa (W5#) se comparada ao que haveria se a consideração fosse com número infinito de 
pás (W5∞). Como a velocidade tangencial (u5) é a mesma e a vazão não se altera, ou seja Cm5#= Cm5∞, ocorre uma 
redução em C5∞ e consequentemente em Cu5∞. Reduzindo Cu5∞ ocorre automaticamente uma redução na altura 
(Ht∞) entregue ou recebida pelo rotor. 
 
 
Figura 4.6 – Representação dos triângulos de velocidades na saída (Fonte: Alé, 2011) 
 
 
 
 
 
3 Fonte: http://www.nzdl.org/gsdlmod?e=d-00000-00---off-0hdl--00-0----0-10-0---0---0direct-10---4-------0-1l--11-en-50---20-about---00-0-1-00-0-0-11-
1-0utfZz-8-00-0-0-11-10-0utfZz-8-00&a=d&c=hdl&cl=CL1.11&d=HASH011f05bf8734d88d1a080257.14.3 
8 
 
A Figura 4.7 apresenta os triângulos de velocidade na saída de máquinas geradoras com rotores de 
diferentes ângulos construtivos. 
 
 
Figura 4.7 – Triângulos de velocidade na saída considerando o número finito de pás para vários tipos de ângulos construtivos 
 
CORREÇÃO DA ALTURA (Ht) DEVIDO AO NÚMERO FINITO DE PÁS 
Conforme discutido na seção anterior, o escorregamento gera uma redução na componente tangencial da 
velocidade absoluta, resultando em redução da carga do rotor. Será visto a seguir como quantificar isto. 
Os cálculos para definição da carga serão feitos considerando o escoamento congruente com as pás, ou seja, 
com número infinito de pás. Enquanto para as turbinas este procedimento é geralmente adequado e este valor pode 
ser usado como aproximação, no caso de bombas e ventiladores devem ser realizados alguns procedimentos para 
correção. A não correção neste último caso poderia levar a erros de até 35%. 
Como o número finito de pás pode alterar o triângulo de velocidades na saída, deve-se considerar estas 
variações para o cálculo da altura teórica para número finito de pás (Ht). Para máquinas motoras (turbinas) essas 
alterações podem ser desconsideradas e a altura teórica para número finito de pás (Ht) resulta: 
 tt HH (4.14) 
Já nas geradoras (bombas e ventiladores) estes efeitos diminuem a altura teórica sendo necessária uma 
correção: 
tttt aHHHH   (4.15) 
onde o fator “a” é um termo de correção, que Henn (2012) chama de fator de deficiência de potência (slip fator). 
Deve-se observar que não é um rendimento, pois não considera as perdas energéticas, mas sim a impossibilidade de 
atingir a situação idealizada, ou seja, a máquina teórica com número finito de pás entregará (ou receberá) menos 
energia que o quantificado para máquina teórica ideal (teórica com número infinito de pás). 
 
9 
 
Um dos métodos para definir esse fator de deficiência de potência é dado por Pfleiderer, 
2
5
41
121





r
rZ
a 
 (4.16)
  “Z” é o número de pás 
 “ψ” é o fator de correção de Pfleiderer, um coeficiente experimental (Tabela 4.1) 
 
Tabela 4.1 – Valor de “ψ” em função do ângulo “β5” 
Ângulo construtivo da pá na saída (β5) 20º 23º 25º 30º 35º 40º 
Ψ (pás com guias) 0,76 0,80 0,81 0,85 0,90 0,94 
Ψ (pás sem guias) 0,86 0,90 0,91 0,95 1,00 1,04 
 
Exemplo 4: Um rotor de bomba centrífuga tem diâmetros de 150 mm e 300 mm na entrada e saída 
respectivamente. As alturas das pás são de 75 mm e 50 mm na entrada e saída. Os ângulos construtivos das pás na 
entrada e saída são 20º e 25º. A bomba gira a 1450 rpm e opera com água. Pede-se: a) altura teórica para número 
infinito de pás; b) considerando que a bomba tem 7 pás determine a altura teórica para número finito de pás 
(bomba sem pás guias). (R. Ht∞=37,41 e Ht=27,77mca). 
 
EFEITO DA ESPESSURA DAS PÁS 
A seguir serão feitas considerações sobre o efeito da espessura das pás no triângulo de velocidades. 
Considera-se que no capítulo anterior, de triângulo de velocidades, os cálculos usando a espessura das pás já foram 
apresentados. 
Considerando pás de espessura finita (espessura não desprezível), a área da seção transversal disponível 
para a passagem do escoamento é reduzida, se comparada à áreaexistente antes das pás do rotor. Como isto não 
implica em variação de energia, a componente tangencial da velocidade absoluta (Cu) não varia. A componente da 
velocidade que será afetada é aquela relacionada à vazão, que é a velocidade meridiana (Cm). 
 
Figura 4.8 – Considerações do rotor com pás de espessura finita 
10 
 
Conforme pode ser visto na Figura 4.8 (a) a área da região 6 não é afetada pelas pás e sua espessura, já a 
área da região 5 tem sua magnitude reduzida, em relação a área da região 6, pela área ocupada pelas pás. 
Expressando matematicamente, com base na Figura 4.8 (b), 
44444
443
tSZbbDA
bDA




 
5555
556
5 tSZbbDA
bDA




 
Considerando que a vazão é dada por: 
434433
43
mm
AA
mm CCACACQ  
 
565566
56
mm
AA
mm CCACACQ  
 
Lembrando que o sub índice “3” indica a região imediatamente antes do fluido entrar no rotor, o “4” indica a 
região imediatamente após o fluido entrar no rotor. O sub índice “5” é a região imediatamente antes do fluido sair 
do rotor e o “6” a região imediatamente após o fluido deixar o rotor. E os triângulos de velocidades considerando a 
espessura das pás ficam, 
 
 
Figura 4.9 – Triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor, ao considerar pás de espessura finita 
 
 
 
 
Figura 4.10 – Efeito do número finito de pás e de suas espessuras 
 
 
11 
 
Na Figura 4.10 os triângulos na saída são representados: 
 por linha cheia para o caso em que o escoamento é congruente com a pá (uma das consequências da 
hipótese de número infinito de pás), e a velocidade meridiana (Cm) foi calculada descontando a área 
ocupada pelas pás (pá com espessura não desprezível). 
 por linha tipo “traço-ponto” para o caso em que o escoamento sofre o efeito do escorregamento e 
não é congruente com a pá (uma das consequências da hipótese de número finito de pás) e a 
velocidade meridiana foi calculada descontando a área ocupada pelas pás (pá com espessura não 
desprezível). 
 Por linha tracejada para o caso do escoamento já fora do rotor, onde não há a restrição de área 
devido à presença das pás, o que reduz a velocidade meridiana (Cm). 
 
PERDAS e RENDIMENTOS 
Na transformação da energia hidráulica em trabalho mecânico, ou vice-versa, nem toda energia é realmente 
convertida de uma forma em outra, como seria o ideal, existindo uma parcela desta energia que acaba sendo 
perdida em processos irreversíveis, que degradam formas de energia mais nobres (mecânica) em formas de energia 
de qualidade inferior (calor e energia interna). 
Estas perdas que ocorrem nas máquinas hidráulicas podem ser classificadas como internas e externas. As 
internas estão localizadas no interior da carcaça da máquina, resultado da movimentação do fluido nesta região. As 
externas são as encontradas fora da carcaça, como o atrito do eixo com mancais, anéis de vedação e outras, que não 
estão relacionadas com o movimento do fluido em seu interior. 
Dentre as possíveis perdas que ocorrem, as mais significativas são: 
 Hidráulicas (perda interna) 
 Volumétricas (perda interna) 
 Mecânicas (perda externa) 
Perdas Hidráulicas 
Esta é a principal perda dentro da máquina hidráulica. Suas fontes são o atrito e as variações de seção e de 
velocidade, que em geral reduzem a pressão. São também conhecidas por “perdas nas pás” pois ocorrem 
principalmente nos canais. Serão representadas aqui por “Jh”, tendo por unidade a energia por unidade de peso. 
Ocorrem dentro das máquinas hidráulicas desde a seção de entrada até a de saída e são provocadas pelo: 
 atrito de superfície entre o fluido e as paredes da máquina (canais de rotor e sistema diretor); 
 deslocamento de camada limite provocado pela forma dos contornos internos das pás, aletas e outras 
partes constitutivas; 
 pela dissipação de energia por mudança brusca de seção e direção dos canais que conduzem o fluido 
através da máquina; e 
 pelo choque do fluido contra o bordo de ataque das pás, que ocorre quando a máquina funciona fora do 
ponto nominal (ponto de projeto). 
Nas bombas/ventiladores o trabalho dessa perda deve ser fornecido pelas pás ao fluido de trabalho, e nas 
turbinas esse trabalho é fornecido pelo fluido. 
12 
 
Estas perdas devem ser consideradas nos cálculos das alturas de elevação/queda (H), 
ht JHH  (4.17) 
 
 “Ht“ é a altura teórica (com rotor considerado como tendo número finito de pás) desenvolvida pelo rotor; 
 “H” é a altura de elevação/queda; e 
 “Jh” é a energia perdida por perdas hidráulicas dentro da máquina. 
 
Como é muito difícil a obtenção do termo “Jh” na eq.(4.18), faz-se uma relação que define o rendimento 
hidráulico (hydraulic efficiency) o que permite avaliar as perdas. 
1





t
h H
H

 (4.18) 
Esse rendimento varia de 0,5 em bombas pequenas até 0,90 em grandes bombas. Em geral, para efeitos de 
projeto considera-se esse valor entre 0,85 e 0,88. Quando trabalham no ponto de projeto, as máquinas de fluxo têm 
esse rendimento entre 0,85 e 0,93 (orientativo). 
Perdas Volumétricas e Rendimento Volumétrico 
São as perdas que ocorrem devido à “fuga” de fluido pelos espaços entre o rotor e a carcaça, e entre a 
carcaça e o eixo, nos labirintos das turbomáquinas. Estas perdas não afetam muito a altura de elevação. 
 
Figura 4.11 – Esquema de labirinto em bomba centrífuga 
 
Os labirintos são os espaços entre o rotor/carcaça e eixo/carcaça da máquina, sendo sua função evitar o 
atrito sólido (contato) entre estas partes e ao mesmo tempo minimizar a fuga de fluido. São formados por anéis de 
desgaste renováveis, alojados na parte fixa da máquina ou no rotor, ou em ambos. Estes anéis permitem diminuir a 
folga e substituição destas partes quando gastos, sem que esse desgaste afete diretamente as partes fixas e móveis 
da máquina. Os anéis de desgaste são em geral de materiais menos resistentes que o da máquina. 
 
Figura 4.12 – Alguns tipos de labirintos 
 
13 
 
Verificando a Figura 4.13 é possível identificar dois pontos de fuga de fluido. Uma parcela (qe) se dá pelo 
labirinto “Lae” para fora da máquina (eixo/carcaça), e em geral é muito pequena dependendo do labirinto utilizado 
entre o eixo e a caixa da máquina (engaxetamento ou selo mecânico), podendo ser muitas vezes desprezada. A 
outra perda (qi) se dá pelo labirinto (Lai) entre o rotor e a carcaça. Esta fuga ocorre no sentido da região de alta 
pressão para a de baixa pressão, após passar o rotor, retornando para o tubo de sucção, sendo novamente 
bombeado, exigindo maior potência de acionamento da bomba. 
 
Figura 4.13 – Esquema de perdas por fuga de fluido pelos labirintos nas máquinas de fluxo 
 
Desta forma a vazão que realmente passa pelo rotor (Figura 4.13) e participa efetivamente das trocas de 
energia: 
it qQQ  , (4.19) 
 “Qt“ é a vazão teórica 
 “Q” é a vazão considerada no cálculo das alturas de queda e elevação 
 “qi” é a vazão perdida internamente 
Rendimento volumétrico 
Considera as perdas por fuga de fluido e para determinar isto usa-se o rendimento volumétrico (volumetric 
efficiency): 
11 










ti
v Q
Q
qQ
Q
 (4.20) 
Perdas mecânicas 
São as perdas externas e representam principalmente as perdas por atrito em mancais, gaxetas e atrito do ar 
nos acoplamentos e volantes de inércia. As perdas nos mancais são função do peso da parte rotativa que ele 
suporta, da velocidade tangencial do eixo e do coeficiente de atrito entre as superfícies de contato. No caso das 
gaxetas deve-se considerar a velocidade tangencial do eixo, o coeficiente de atrito, da superfície de atrito e do grau 
de aperto da sobreposta da gaxeta, quanto maior este aperto maiores as perdas mecânicas.Rendimento mecânico 
É o rendimento que considera as perdas externas e sua relação é dada por: 
14 
 
1









ef
i
m P
P
 (4.21) 
 
Seu valor varia de 0,92 a 0,95 nas bombas mais recentes, sendo maiores nas de maior dimensão. Quando 
trabalham no ponto de projeto, as máquinas de fluxo têm rendimento mecânico na ordem de 0,99 (valor 
orientativo. 
Rendimento total 
A potência efetiva relaciona-se com a potência hidráulica através do rendimento total (total efficiency ou 
gross efficiency) da instalação. 
 
mhtmvh
ef
h
t
v
P
P   ... 1
1








 

 (4.22) 
 
Nas grandes bombas centrífugas esse rendimento passa de 85%. Nas pequenas, dependendo do tipo e 
condições de operação pode baixar a menos de 40%. Um valor razoável para o caso de estimativas é 60% para 
bombas pequenas e 75% para bombas médias. Quando trabalham no ponto de projeto, as máquinas de fluxo têm 
esse rendimento entre 80% e 90% (orientativo). 
POTÊNCIAS 
A potência é efetivamente a grandeza mais importante em termos de custos envolvidos em uma instalação, 
tanto de máquinas geradoras como máquinas motoras. Esta grandeza define a quantidade de energia por unidade 
de tempo (taxa de energia) consumida por máquinas geradoras (bombas e ventiladores). 
Potência eficaz (efetiva ou total) 
Conforme já mencionado é natural que ocorram perdas hidráulicas no interior das máquinas hidráulicas e 
perdas mecânicas pelo atrito mecânico que ocorrem externamente entre as suas partes fixas e girantes. Assim, nem 
toda energia cedida ou recebida pelo fluido pode ser transformada em trabalho mecânico no eixo da máquina, tem-
se então a potência eficaz ou efetiva é que expressa pela potência entregue/recebida do fluido, mais as potências 
perdidas no processo. 
pmief PPP  (4.23) 
 “Pef“ é a potência eficaz no eixo da máquina 
 “Pi“ é a potência interna 
 “Ppm” é a potência mecânica perdida 
 
Para o caso de bombas, a potência efetiva ou eficaz (Pef) é definida como sendo a potência entregue pelo 
motor no eixo da bomba. Também conhecida por potência motriz e BHP (Break Horse Power). 
Todas as perdas internas e externas produzem uma perda de potência que reduz a entrega, ou aumenta a 
necessidade, de potência eficaz das máquinas. 
15 
 
Potência interna (Pi) 
Considerando somente as perdas internas (hidráulica e volumétrica) obtêm-se a potência interna, que é a 
potência no eixo de entrada da bomba/ventilador, ou a potência no eixo de saída da turbina. Têm a propriedade de 
transmitir caor ao fluido de trabalho. 
   ttihi HQqQJHP   (4.24) 
Caso sejam considerados o atrito nas paredes externas do rotor, que gera uma potência de atrito no rotor 
(Pr), e a perta por troca de fluido, que gera uma potência Pa, então a potëncia interna é dada por 
 artti PPHQP   (4.25) 
 
A perda por troca ocorre devido à troca de fluido entre a região atrás do rotor e os canais das pás, que 
ocorre devido a desaceleração do escoamento, pois nesse caso a camada limite na região de saída deve fluir contra 
pressáo crescente. Ocorre então o perigo do retorno da camada limite ao rotor, ou seja, a necessidade dela ser 
novamente acelerada. Esta perda ocorre somente nas bombas e não nas turbinas. 
Potência hidráulica 
Aplicando o conceito físico, define-se a potência hidráulica como sendo o produto do peso de fluido que 
passa através da máquina, na unidade de tempo, pela altura de queda ou elevação; portanto este conceito é útil 
tanto para bombas como para turbinas hidráulicas: 
Assim pode-se escrever: 
 
gQHQHPh   (4.26) 
 
 γ:peso específico em [N/m3] 
 Q: vazão em volume [m3/s] 
 H: altura de queda ou elevação [m] 
 Ph: potência hidráulica [W] 
 g: gravidade (adota-se nesta apostila o valor de 9,81 m/s2) 
 ρ: massa específica [kg/m3] 
 
Então, potência hidráulica é a potência fornecida pela máquina geradora (bomba) para o fluido. Esta 
potência difere da potência efetiva devido a perdas que ocorrem nas transformações de energia. 
Considerando que a potência perdida interna é a produzida pelas perdas de pressão e por fuga de fluido: 
pihi PPP  (3.9) 
 “Ph“ é a potência hidráulica 
 “Ppi” é a potência perdida interna 
 
Exemplo 5: Uma bomba trabalha com uma altura manométrica igual a 22m e uma vazão igual a 20 l/s. O 
impelidor gira a 1500rpm. O diâmetro do rotor na entrada é de 135mm e na saída de 270mm. A largura da pá saída é 
de 10mm. O ângulo da pá na saída é de 30º. Considere um rotor com 7 álabes. A espessura da pá é de 3mm. 
Determinar: a) a potência teórica da bomba. 
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EXERCÍCIOS: 
1. Uma bomba com escoamento radial na entrada trabalha com uma vazão de 2,0m³/min e 1200 rpm. A altura do canal de saída do 
rotor é de 20 mm, e o ângulo construtivo de saída da pá é igual a 25º. A componente meridiana da velocidade absoluta na saída é de 
2,5m/s. Determine: a) as equações de Ht∞=f(Q) e Pht∞=f(Q) (R. Ht∞=18,1-218,6Q; Pht∞=117,56Q-2145Q
2); b) Plote as curvas obtidas 
desde vazão nula até vazão de 4,0 m3/min; c) a altura e a potência hidráulica teórica para número infinito de pás nas condições 
dadas. (Resp.: Ht∞ = 10,8m; Pht∞ = 3,53kW). 
2. Uma bomba centrífuga opera com uma rotação de 1750 rpm fornecendo uma vazão de 318 m3/h. O rotor apresenta um diâmetro 
externo igual a 356 mm e um diâmetro interno de 97 mm. A altura da pá na entrada e saída é igual a 50mm. O ângulo construtivo da 
pá na entrada e na saída é igual a 23º. Considere que o fluido entra no rotor radialmente. Determine a altura teórica para numero 
infinito de pás. (Resp.: Ht∞ = 96,1m). 
3. Uma bomba opera com água (ρ = 1000 kg/m³), rotação de 2500 rpm e vazão de 360 m³/h. O diâmetro do rotor na entrada é de 150 
mm e na saída de 300 mm. A altura da pá na entrada é de 30 mm e na saída 15 mm. O ângulo construtivo da pá na saída é 25º. 
Determinar a altura, torque e potência teórica para número infinito de pás. Demonstre também os cálculos de todas as 
componentes do polígono de velocidade. (Resp.: Ht∞ = 96,00 m; Pht∞ = 94,18 kW; Tt∞ = 361,0 Nm). 
4. Considere os dados da tabela abaixo para uma bomba centrífuga com escoamento ideal que opera a 1450 rpm com água a 15ºC. 
Determine a equação da altura teórica para número infinito de pás versus a vazão da bomba (Ht∞=f(Q)). (Resp.: Ht∞ = 53 – 106Q). 
 Entrada Saída 
Diâmetro [mm] 150 300 
Altura pá [mm] 75 50 
Ângulo construtivo 20º 25º 
5. Uma bomba opera com água, rotação de 1750 rpm e vazão de 252 m3/h. O diâmetro do rotor na entrada é de 125 mm e na saída é 
de 250 mm. A largura da pá na entrada é igual a 30 mm e na saída é 18 mm. Os ângulos construtivos das pás na entrada e na saída, 
respectivamente, são de 30º e 40º. Esta mesma bomba possui um rotor de chapa fina conformada e pás com guias. A Equação que 
representa a curva da altura teórica para número finito de pás é dada por: Ht(m) 45,618 - 167,226Q (m
3/s). Determine o número de 
pás e equação que representa a altura teórica para número infinito de pás. (Resp.: z = 14 pás; Ht∞(m) = 53,83 – 197,33Q(m
3/s)). 
6. Uma instalação com bomba hidráulica radial destinada a bombear 0,124 m3/s, apresenta uma altura teórica (considerando número 
finito de pás) de 62,61 m. Calcule a rotação da bomba para desenvolver estas grandezas de funcionamento conhecendo-se os 
seguintes dados do rotor: 
a. Entrada do rotor: diâmetro de 200 mm e altura da pá de 40 mm 
b. Saída do rotor: diâmetro de 400 mm e altura da pá de 18 mm 
c. Ângulo construtivo na saída: 24º 
d. Coeficiente de Pfleiderer: a=1,85 
Resp. n=1930 rpm 
7. Uma bomba centrífuga com entrada radial trabalha com água com vazão de 0,3 m3/s. O diâmetro do impelidor é de 250 mm e as pás 
tem 30 mm de largura na saída. Considere que as pás são radiais(β5=90º) na saída. Determine a altura teórica considerando número 
infinito de pás e a potência necessária quando a bomba trabalha com 1000 rpm. (R.17,5 m; 51,5 kW) 
8. Determinar o polígono de velocidades na entrada e na saída de uma bomba centrífuga que apresenta escoamento com entrada 
radial. O diâmetro interno do rotor é de 50 mm e o diâmetro externo do rotor é de 250 mm. A altura da pá na entrada é igual a 10 
mm e na saída é 5 mm. O ângulo construtivo da pá na entrada é igual a 20º e na saída igual a 23º. Considere que a bomba gira com 
uma rotação de 1300 rpm (b) Determinar a altura teórica, potência e torque da bomba. (R. Ht∞=27,5 m; T=3,85 Nm; Wt∞=524W) 
9. Determine o ângulo construtivo da pá na entrada do rotor e a rotação a que deverá girar. Os elementos conhecidos são os seguintes: 
a. Diâmetro do rotor na entrada: 220 mm 
b. Diâmetro do rotor na saída: 330 mm 
c. Ângulo construtivo da pá na saída: 30º 
d. Vazão na saída do rotor: 30 l/s 
e. Número de pás: 8 
f. Canais de seção (área transversal constante) 
g. Altura da pá na saída: 10 mm 
h. Altura teórica (nr.finito de pás): 17,65 m 
i. A bomba não tem aletas direcionais após o rotor 
j. Fator de estrangulamento na saída = 0,85 
(R. 1097,11rpm, 15,1º) 
10. Uma bomba radial girando a 1450 rpm trabalha com vazão de 26,7 l/s, velocidade meridiana na saída de 4,52 m/s; e altura teórica 
(nr.finito de pás) de 40,6 m. Pede-se calcular o número de pás do rotor e definir uma relação da nova altura teórica (nr.finito de pás) 
como função da vazão para o rotor girando a 1750 rpm. Os dados da bomba são: 
a. Diâmetro do rotor na entrada: 168 mm 
b. Diâmetro do rotor na saída: 360 mm 
17 
 
c. Canais de seção (área transversal constante) 
d. Altura da pá na saída: 10 mm 
e. A bomba não tem pás guias 
f. Espessura da pá = 5 mm 
g. a=1,211 
 
11. Deseja-se acoplar uma bomba hidráulica de fluxo radial, com os dados abaixo, a motores elétricos de 1150 e 1750 rpm. Pede-se para 
estas duas rotações: 
a. Determinar os valores da vazão e da altura disponível 
b. Esboçar os triângulos de velocidades em alguma escala (Ex. 0,5 cm = 1 m/s) 
A bomba não possui aletas direcionais após o rotor, calcular o coeficiente empírico da fórmula de Pfleiderer. 
Resp. H1150=22,82m; Q1150=0,056m
3/s; H1750=52,76m; Q1750=0,085m
3/s. 
 
 
 Entrada Saída 
Altura da pá 31,9 mm 19,0 mm 
Diâmetro do rotor 178 mm 381 mm 
Ângulo construtivo 18º 20º 
Coef. de estrangulamento 0,9 0,9 
Número de pás 11 
Rendimento total 72% 
Rendimento mecânico 95% 
 
12. Determinar a vazão e a altura disponível com que está trabalhando uma turbina radial, da qual são conhecidos apenas os seguintes 
dados: 
a. Potência efetiva fornecida no eixo: 15,9 CV 
b. Rendimento total: 79,5% 
c. Rendimento hidráulico: 85,8% 
d. Altura da pá na entrada: 60 mm 
e. Ângulos formados entre as velocidades absoluta e tangencial na entrada: 21,6º 
f. Coeficiente de estrangulamento na entrada do rotor: 0,937 
g. Rotação de trabalho da turbina: 750 rpm 
Resp. Q=0,15 m3/s ; H=10m 
 
13. Uma instalação de bombeamento destinada a recalcar 0,124 m3/s de água, com altura de elevação (H) de 50,21 mca, absorve uma 
potência efetiva de 109 CV, pressupondo-se que face a solução construtiva adotada, o rendimento mecânico é de 95%. Desejando-se 
reconstituir o cálculo do rotor radial da bomba, retirou-se os seguintes dados do mesmo: 
a. Entrada do rotor: diâmetro de 200 mm e altura da pá de 40 mm 
b. Saída do rotor: diâmetro de 400 mm e algura da pá de 18 mm 
c. Ângulo construtivo da pá do rotor na saída: 25º 
d. Número de pás: 12 
e. Espessura das pás: 8,5 mm 
Pede-se determinar o valor da rotação de acionamento. Para determinar o coeficiente empírico da fórmula de Pfleiderer, 
considere a inexistência de aletas direcionais. 
Resp. n=1608 rpm 
 
14. Uma turbina axial será projetada para trabalhar com H=15 [mca] e 26 pares de pólos no gerador (freqüência de 60 Hz), possuindo os 
seguintes dados construtivos preliminares: 
a. Diâmetro externo: 3 m 
b. Diâmetro interno: 1 m 
c. Ângulo construtivo na saída: 30º 
d. Rendimento hidráulico: 92% 
Determine: 
 A componente meridional (Resp. Cm=8,37 m/s) 
 A vazão (Resp. Q=52,6 m3/s) 
 O ângulo construtivo na entrada (Resp. β4=58,3º) 
 
15. Um rotor de turbina Francis deve produzir 1.185CV, com uma vazão de 5,2 m3/s. Sabendo-se que: 
a. Rendimento total: 90% 
18 
 
b. Rendimento hidráulico: 92% 
c. Rotação: 600 rpm 
d. Diâmetro do rotor na entrada: 560 mm 
e. Altura da pá na entrada: 66,4 mm 
Calcule o ângulo entre a componente tangencial e a componente relativa na entrada (Resp. 82,2º). 
 
16. São conhecidos os seguintes elementos de uma turbina de reação: 
a. Torque: 5050 Nm 
b. Altura do rotor na entrada: 0,08 m 
c. Rotação: 500 rpm 
d. Coeficiente de estrangulamento na entrada: 1,00 
e. Ângulo formado entre as velocidades absoluta e tangencial na entrada do rotor: 17,7º 
f. Rendimento hidráulico: 89,5% 
g. Canais de seção transversal constante 
Pede-se determinar a altura disponível sob a qual a máquina está transformando o máximo de energia (resp. 34,38 m). 
 
17. Uma bomba centrífuga radial com as características abaixo, deve ser utilizada para trabalhar com uma rotação de 1750 rpm. Pede-se 
determinar para esta nova situação: 
a. A vazão e a altura disponível 
b. O número de pás do rotor 
Características: 
 Vazão: 26,7 l/s 
 Diâmetro de entrada do rotor: 166 mm 
 Velocidade meridional: 4,52 m/s 
 Canal de seção constante 
 Altura disponível: 33m 
 Diâmetro de saída do rotor: 360 mm 
 Relação entre as componentes da velocidade absoluta na direção tangencial nos pontos “5” e “6”: 1,211 
 Rotação: 1450 rpm 
 Rendimento hidráulico: 0,81 
Resp. H=48,07 m; Z=11; Q=32,2 l/s 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ALÉ, A.V.A. Apostila de sistemas de bombeamento. PUC-RS, 2011. 
CAMPOS, M.C. Apostila de Máquinas Hidráulicas-UFPR. Curitiba: 1996. 
CARVALHO, D.F. Apostila de hidráulica aplicada. UFRRJ, 2011. 
GUIMARÃES, L.B. Máquinas hidráulicas. Curitiba: UFPR, 1991. 
HENN, E.A.L. Máquinas de fluido. Santa Maria: 3ª ed. UFSM, 2012. 
SILVA, J.B.C. Pré-projeto de rotores de máquinas de fluxo geradoras radiais. Ilha Solteira: Unesp, 2000. 
TURTON, R.K. Principles of turbomachinery. 2th ed. London: Chapman & Hall, 1995.