estru..cristalina 3..fator de empacotamento..dens. linear

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ESTRUTURAS CRISTALINAS 
PUC Contagem, 19 de agosto de 2013. 
 DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
Passos a serem seguidos p/ determinação dos 3 índices direcionais: 
1. Um vetor de comprimento conveniente é posicionado na origem do 
sistema de coordenadas ou criamos um novo sistema de coordenadas na 
origem do vetor. 
2. O comprimento da projeção do vetor sobre cada um dos 3 eixos é 
determinado: os valores são medidos em termos das dimensões a, b e c 
da célula unitária 
3. Esses 3 números são multiplicados ou divididos por um fator comum 
 → menores valores inteiros. 
4. [u v w] → inteiros u, v e w correspondem às projeções reduzidas ao longo 
dos eixos x, y e z, respectivamente. 
Direção A x y z 
Projeções -a +b 0c 
Projeções em termos de a, b e c -1 1 0 
Redução aos inteiros -1 1 0 
Direção 
]101[
 EXERCÍCIOS 
Determine os índices de Miller para 
as direções da célula unitária 
mostrada. 
 EXERCÍCIOS ]110[ :A Direção ]102[ :B Direção ]112[ :C Direção ]211[ :D Direção
Determine os índices de Miller para as direções da célula unitária 
mostrada. 
 EXERCÍCIOS 
]112[ :D Direção ]111[ :C Direção ]021[ :B Direção
]100[ :A DireçãoDetermine os índices de Miller para as direções da célula unitária mostrada. 
 EXERCÍCIOS 
Esboce as seguintes direções em uma célula unitária cúbica. 
]301[ (d)
]212[ (c)
]010[ (b)
]101[ (a)
Passos a serem seguidos p/ determinação dos 3 índices do plano: 
1. Se o plano passa através da origem que foi selecionada: outro plano deve 
ser construído no interior da c.u. mediante uma translação apropriada, ou 
uma nova origem deve ser criada no vértice de uma outra c.u. 
2. Comprimento da interseção planar para cada eixo é determinado em 
termos dos parâmetros de rede a, b, e c 
3. Valores inversos destes números são calculados 
4. Conjunto de menores números inteiros 
5. (hkl) 
 PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
Plano A x y z 
Interseções a b -c 
Interseções 
 em termos de a, b e c 
1 1 -1 
Inversos 1 1 -1 
Redução aos inteiros - - - 
Plano 
 111
 EXERCÍCIOS 
Determine os índices de Miller para os planos da célula unitária 
mostrada. 
Plano X y z 
Interseções 
Interseções 
 em termos de a, b e c 
Inversos 
Redução aos inteiros 
Plano 
 EXERCÍCIOS )020( :1 Plano )122( :2 Plano
Índices de Miller-Bravais para direções em células HC 
u = (2u’-v’)/3 
v = (2v’-u’)/3 
t = −(u+v) 
w = w’ 
 HEXAGONAL COMPACTA 
 DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
)()'''( uvtwwvu 
Direção A 
Projeções em a1, a2 e z: -a,- a, c 
Projeções em termos de a e c: -1, -1, 1 
Redução aos inteiros: - 
u’, v’, w’: -1, -1, 1 
u, v, t, w: -1/3, -1/3, 2/3, 1 
Redução aos inteiros: -1, -1, 2, 3 
Direção 
]2311[
   
3
1
'1)'1)(2(
3
1
''2
3
1
 vuu
   
3
1
'1)'1)(2(
3
1
''2
3
1
 uvv
3
2
3
1
3
1
)( 





 vut
1' ww
   
3
1
'1)'1)(2(
3
1
''2
3
1
 vuu
   
3
1
'1)'1)(2(
3
1
''2
3
1
 uvv
3
2
3
1
3
1
)( 





 vut
0' ww
 0
3
2
3
1
3
1 
u’ = 1, v’=1, w’=0 
 0
3
2
3
1
3
13 
 0211
 EXERCÍCIOS 
Determine os índices de Miller–Bravais das seguintes direções: 
Os índices de Miller-Bravais para planos de células HC 
são obtidos com um sistema de coordenadas de 4 eixos 
Plano A 
1. Interseções: a1 = a2 = ∞, c = 1 
2. Inversos: 0, 0, 1 
3. i = -(h+k)= 0 
4. (0001) 
 
Plano B 
1. Interseções: a1=1, a2 = 1, c = 1 
2. Inversos: 1, 1, 1 
3. i = -(h+k)= -2 
4. 
)1211(
 HC: PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
 DETERMINAÇÃO DE ÍNDICES DE MILLER 
)(
)(
khi
hkil

Plano 
Interseções em a1, a2 e z: ∞a1, - 1a2, ∞c 
Interseções em termos de a e c: ∞, -1, ∞ 
Inversos 0, -1, 0 
h, k, l 0, -1, 0 
I = -(h+k) -(0-1)=1 
Redução aos inteiros: 0, -1, 1, 0 
Plano 
)1010(
 EXERCÍCIO 
Determine os índices de Miller-Bravais para o 
planos da estrutura cristalina hexagonal compacta. 
DEFINIÇÕES 
DENSIDADE 
Densidade Linear (1D): número de átomos por unidade de 
distância, ao longo de uma determinada direção 
Densidade Planar (2D): número de átomos por unidade de área 
que estão centrados ao longo de um determinado plano 
FATOR DE EMPACOTAMENTO 
Fator de empacotamento linear (1D): fração de uma direção ocupada por átomos 
Fator de empacotamento planar (2D): fração de um plano ocupada por átomos 
Fator de empacotamento atômico (3D): fração do volume ocupado por átomos 
y 
x 
z 
[110] ½, ½, 0 
Direção Coordenadas 
Densidade linear e fração de empacotamento 
para a direção [110] 
RR
átomos
DL
2
1
4
2
]110[ 
1
4
4
]110[ 
R
R
L
L
FEL
l
c
DENSIDADE LINEAR 
 FATOR DE EMPACOTAMENTO LINEAR 
O fator de empacotamento planar difere de um plano 
para outro dentro da célula unitária 
(020) (010) (010) (020) 
0,79 0,00 
FATOR DE EMPACOTAMENTO PLANAR 
DENSIDADE PLANAR 
Em cada plano (010) há 1 átomo no total: 
Densidade planar 
(010) 
= 
átomos por plano 
= 
1 átomo por plano 
área do plano (0,334 nm)2 
= 8,96 átomos/nm2 = 8,96 · 1014 átomos/cm2 
FATOR DE EMPACOTAMENTO PLANO 
FEP (010) = 
área de átomos por face 
= 
1 átomo (π·r2) 
área da face (a0)
2 
= 
π·r2 
= 0,79 
(2·r)2 
Exemplo: Polonio (CS, parámetro de rede a0=0,334 nm) 
DENSIDADE PLANAR 
 FATOR DE EMPACOTAMENTO PLANAR 
Densidades linear e planar são 
considerações importantes para o processo 
de escorregamento (ou deslizamento) – isto 
é, o mecanismo pelo qual os metais se 
deformam plasticamente (Seção 7.4 do 
Callister). 
Escorregamento ocorre ao longo dos planos cristalinos mais densos e, 
nesses planos, ao longo de direções que possuem o maior 
empacotamento atômico. 
POR QUE ESTAMOS ESTUDANDO ESTE ASSUNTO? 
PLANOS COMPACTOS DE ÁTOMOS 
célula hexagonal compacta célula cúbica de face centrada 
Existem geometrías de empacotamento atômico 
que atingem a densidade máxima teórica ( 74,048 % ) 
SEQUÊNCIA DE EMPILHAMENTO 
célula HC 
AB, AB, AB … 
Parte de um plano compacto de 
átomos; posições A, B e C estão 
indicadas 
célula CFC 
ABC, ABC, ABC … 
Quais as semelhanças e diferenças entre as células HC e CFC? 
CÉLULAS HC E CFC 
ING1024 – Propiedades y Resistencia de Materiales Escuela de Ingeniería – PUC 
Tabela: Planos e direções de alto empacotamento 
Estrutura Direções Planos 
SC <100> Nenhum 
BCC <111> Nenhum 
FCC <110> {111} 
HCP <100>, <110> ou <1120> (0001), (0002) 
EMPACOTAMENTO ATÔMICO 
POLIMORFISMO VS. ALOTROPIA DIAMANTE E GRAFITE 
Polimorfismo é a propriedade de materiais sólidos poderem existir sob mais de 
uma forma cristalina. Pode ser encontrado em qualquer material cristalino 
incluindo polímeros e metais. O polimorfismo de substâncias químias 
elementares é apelidado de alotropia. 
ferro 
E
X
P
A
N
S
Ã
O
 
TEMPERATURA °C 1400 °C 910 °C 
BCC 
FCC 
BCC 
POLIMORFISMO VS. ALOTROPIA