Lista de Exercícios 2 - Estrutura de Sólidos Cristalinos

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Exercícios Estrutura de Sólidos Cristalinos 
 
 
1) Qual é a diferença entre estrutura atômica e estrutura cristalina? 
 
2) Qual é a diferença entre uma estrutura cristalina e um sistema cristalino? 
 
3) Se o raio atômico do alumínio é de 0,143 nm, calcule o volume de sua célula unitária em 
metros cúbicos. 
 
4) Mostre que para a estrutura cristalina cúbica de corpo centrado o comprimento da aresta 
da célula unitária a e o raio atômico R estão relacionados através da expressão . 
 
5) Para a estrutura cristalina HC, mostre que a razão c/a ideal é de 1,633. 
 
6) Mostre que o fator de empacotamento atômico para a CCC é de 0,68. 
 
7) Mostre que o fator de empacotamento atômico para a HC é de 0,74. 
 
8) O ferro possui uma estrutura cristalina CCC, um raio atômico de 0,124 nm, e um peso 
atômico de 55,85 g/mol. Calcule e compare a sua densidade com o valor experimental 
encontrado na contracapa deste livro. 
 
9) Calcule o raio de um átomo de irídio dado que o Ir possui uma estrutura cristalina CFC, uma 
densidade de 22,4 g/cm3, e um peso atômico de 192,2 g/mol. 
 
10) Calcule o raio de um átomo de vanádio, dado que o V possui uma estrutura cristalina CCC, 
uma densidade de 5,96 g/cm3, e um peso atômico de 50,9 g/mol. 
 
11) Um metal hipotético possui a estrutura cristalina cúbica simples. Se o seu peso atômico é 
de 70,4 g/mol e o raio atômico é de 0,126 nm, calcule a sua densidade. 
 
12) O zircônio possui uma estrutura cristalina HC e uma densidade de 6,51 g/cm3. 
(a) Qual o volume da sua célula unitária em metros cúbicos? 
(b) Se a razão c/a é de 1,593, calcule os valores de c e de a. 
 
13) Usando os dados de peso atômico, estrutura cristalina e raio atômico tabulados na 
contracapa deste livro, calcule as densidades teóricas para o chumbo, o cromo, o cobre e o 
cobalto, e então compare esses valores com as densidades medidas listadas nesta mesma 
tabela. A razão c/a para o cobalto é de 1,623. 
 
14) O ródio possui um raio atômico de 0,1345 nm (1,345 Á) e uma densidade de 12,41 g/cm3. 
Determine se ele possui uma estrutura cristalina CFC ou CCC. 
 
15) Abaixo estão listados o peso atômico, a densidade e o raio atômico para três ligas 
hipotéticas. Para cada uma determine se a sua estrutura cristalina é CFC, CCC ou cúbica 
simples, e então justifique a sua determinação. 
 
 
 
 
16) A célula unitária para o estanho possui uma simetria tetragonal, com os parâmetros de 
rede a e b de 0,583 e 0,318 nm, respectivamente. Se a sua densidade, peso atômico e raio 
atômico são de 7,30 g/cm3, 118,69 g/mol e 0,151 nm, respectivamente, calcule o fator de 
empacotamento atômico. 
 
17) O iodo possui uma célula unitária ortorrômbica, para a qual os parâmetros de rede a, b e c 
são 0,479, 0,725 e 0,978 nm, respectivamente. 
(a) Se o fator de empacotamento atômico e o raio atômico são de 0,547 e 0,177 nm, 
respectivamente, determine o número de átomos em cada célula unitária. 
(b) O peso atômico do iodo é de 126,91 g/mol; calcule a sua densidade. 
 
18) O titânio possui uma célula unitária HC para a qual a razão dos parâmetros de rede c/a é 
de 1,58. Se o raio do átomo de Ti é de 0,1445 nm: 
(a) determine o volume da célula unitária, 
(b) calcule a densidade do Ti e a compare com o valor encontrado na literatura. 
 
19) O zinco possui uma estrutura cristalina HC, uma razão c/a de 1,856 e uma densidade de 
7,13 g/cm3. Calcule o raio atômico para o Zn. 
 
20) O rênio possui uma estrutura cristalina HC, um raio atômico de 0,137 nm e uma razão c/a 
de 1,615. Calcule o volume da célula unitária para o rênio. 
 
21) Esboce uma célula unitária para a estrutura cristalina ortorrômbica de corpo centrado. 
 
22) Desenhe uma célula unitária ortorrômbica, e dentro desta célula represente uma direção 
[121] e um plano (210). 
 
23) Esboce uma célula unitária monoclínica, e dentro desta célula represente uma direção 
[011] e um plano (002). 
 
24) Aqui estão representadas as células unitárias para dois metais hipotéticos: 
(a) Quais são os índices para as direções indicadas pelos dois vetores na figura (a)? 
 
(b) Quais são os índices para os planos indicados na figura (b)? 
 
25) Determine os índices de Miller para os planos mostrados na seguinte célula unitária: 
 
 
26) Determine os índices de Miller para os planos mostrados na seguinte célula unitária: 
 
 
27) Determine os índices de Miller para os planos mostrados na seguinte célula unitária: 
 
 
28) Esboce os planos (1101) e (1120) em uma célula unitária hexagonal. 
 
29)Determine os índices para os planos mostrados nas células unitárias hexagonais mostradas 
baixo. 
 
 
30) Esboce dentro de uma célula unitária cúbica os seguintes planos: 
(a) (0,-1,-1); 
(b) (1,1,-2); 
(c) (1,0,-2); 
(d) (1,-3,1); 
(e) (-1,1,-1); 
(f) (1,-2,-2); 
(g) (-1,2,-3); 
(h) (0,-1,-3). 
 
31) Esboce o empacotamento atômico do (a) plano (100) para a estrutura cristalina CFC e do 
(b) plano (111) para a estrutura cristalina CCC (semelhante às Figuras 3.9b e 3.10b). 
 
32) Considere a célula unitária representada por esferas reduzidas na figura abaixo, que tem a 
origem do sistema de coordenadas posicionada no átomo identificado com um O. Para os 
seguintes conjuntos de planos, determine quais são equivalentes: 
 
(a) (100), (0,-1,0) e (001). 
(b) (110), (101), (011) e (-1,1,0). 
(c) (111), (1,-1,1), (1,1,-1) e (-1,1,-1). 
 
33) Cite os índices da direção que resulta da interseção de cada um dos seguintes pares de 
planos dentro de um cristal cúbico: (a) planos (110) e (111); (b) planos (110) e (1,-1,0); e (c) 
planos (1,0,-1) e (001). 
 
34) Calcule e compare as densidades lineares das direções [100], [110] e [111] para a estrutura 
cristalina CFC. 
 
35) Calcule e compare as densidades lineares das direções [110] e [111] para a estrutura 
cristalina CCC. 
 
36) Calcule e compare as densidades planares dos planos (100) e (111) para a estrutura 
cristalina CFC. 
 
37) Calcule e compare as densidades planares dos planos (100) e (110) para a estrutura 
cristalina CCC. 
 
38) Calcule a densidade planar do plano (0001) para a estrutura cristalina HC. 
 
39) Aqui estão mostrados os esquemas de empacotamento atômico para várias direções 
cristalográficas diferentes para um metal hipotético. Para cada direção, os círculos 
representam apenas aqueles átomos que estão contidos dentro de uma célula unitária, cujos 
círculos estão reduzidos do seu tamanho real. 
(a) A qual sistema cristalino pertence a célula unitária? 
(b) Como seria chamada essa estrutura cristalina? 
 
 
 
 
40) Abaixo estão mostrados três planos cristalográficos diferentes para uma célula unitária de 
um metal hipotético; os círculos representam átomos: 
 
 
(a) A qual sistema cristalino pertence a célula unitária? 
(b) Como seria chamada essa estrutura cristalina? 
(c) Se a densidade desse metal é de 8,95 g/cm3, determine o seu peso atômico. 
 
41) Explique porque as propriedades dos materiais policristalinos são mais frequentemente 
isotrópicas. 
 
42) Usando os dados para o molibdênio listados na Tabela 3.1, calcule o espaçamento 
interplanar para o conjunto de planos (111). 
Ciências dos Materiais 
Lista 02 – Estrutura de Sólidos Cristalinos 
 
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Nome: Marcos Oliveira de Luna 
 
Lista 2 – Ciência dos Materiais 
 
1) A estrutura atômica está relacionada ao número de prótons e nêutrons no núcleo de um átomo, 
bem como ao número e às distribuições de probabilidade dos elétrons constituintes. Por outro 
lado, a estrutura cristalina pertence ao arranjo dos átomos no material sólido cristalino. 
2) Uma estrutura de cristal é descrita pela geometria e pelos arranjos atômicos dentro da célula 
unitária, enquanto um sistema cristalino é descrito apenas em termos da geometria da célula 
unitária. Por exemplo, cúbica centrada na face e cúbica centrada no corpo são estruturas 
cristalinas que pertencem ao sistema de cristal cúbico. 
3) Sabendo que oalumínio apresenta uma estrutura cristalina cúbica de face centrada (CFC). 
 
4) 
 Aplica-se Pitágoras no triângulo NOP e no triângulo NPQ 
𝑁𝑁𝑁𝑁����2 = 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎2 = 2𝑎𝑎2 𝑁𝑁𝑁𝑁����2 = 𝑁𝑁𝑁𝑁����2 + 𝑁𝑁𝑁𝑁����2 
Contudo, 𝑁𝑁𝑁𝑁����= 4R. Além disso, 𝑁𝑁𝑁𝑁���� = a. Logo: 
(4𝑅𝑅)2 = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎2 
 
𝑎𝑎 =
4𝑅𝑅
√3
 
5) A figura a seguir ilustra um terço de uma célula unitária HC. 
Considere o tetraedro JKLM a seguir: 
 
O átomo no ponto M está no meio do caminho entre as faces superior e inferior da célula unitária 
- ou seja, 𝑀𝑀𝑀𝑀����� =𝑐𝑐 2⁄ . E, como os átomos nos pontos J, K e M, todos se tocam 
(𝐽𝐽𝑀𝑀����)2 = (𝐽𝐽𝑀𝑀����)2 + (𝑀𝑀𝑀𝑀�����)2 
 
 
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𝑎𝑎2 = (𝐽𝐽𝑀𝑀����)2 + �
𝑐𝑐
2
�
2
 
Agora, podemos determinar o comprimento JH considerando o triângulo JKL, que é um triângulo 
equilátero. 
 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 30° =
𝑎𝑎 2⁄
𝐽𝐽𝑀𝑀
=
√3
2
 
(𝐽𝐽𝑀𝑀����) =
𝑎𝑎
√3
 
 
Substituir este valor por JH na expressão acima resulta: 
𝑎𝑎2 = �
𝑎𝑎
√3
�
2
+ �
𝑐𝑐
2
�
2
=
𝑎𝑎2
3
+
𝑐𝑐2
4
 
e, resolvendo para 𝑐𝑐 𝑎𝑎⁄ : 
𝑐𝑐
𝑎𝑎
= �
8
3
= 1,633 
6) O fator de empacotamento atômico é definido como a razão entre o volume da esfera e o volume 
total da célula unitária, ou: 
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 =
𝑉𝑉𝑠𝑠
𝑉𝑉𝑐𝑐
 
Uma vez que existem duas esferas associadas a cada célula unitária na estrutura CCC: 
𝑉𝑉𝑠𝑠 = 2𝑉𝑉𝑐𝑐𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝐹𝐹𝑐𝑐𝐸𝐸𝑉𝑉𝐸𝐸𝑎𝑎 = 2�
4𝜋𝜋𝑅𝑅3
3
� =
8𝜋𝜋𝑅𝑅3
3
 
Além disso, a célula unitária tem simetria cúbica, ou seja, 𝑉𝑉𝑐𝑐 = 𝑎𝑎3. Mas 𝑎𝑎 depende de R de acordo 
com a Equação 3.3, e 
𝑉𝑉𝑐𝑐 = �
4𝑅𝑅
√3
�
2
=
64𝑅𝑅3
3√3
 
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 =
𝑉𝑉𝑠𝑠
𝑉𝑉𝑐𝑐
=
8𝜋𝜋𝑅𝑅3
3�
64𝑅𝑅3
3√3�
= 0,68 
 
7) O FEA é apenas a relação volume total da esfera por unidade de volume da célula. Para HC, há o 
equivalente a seis esferas por célula unitária e, portanto, 
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𝑉𝑉𝑠𝑠 = 6 �
4𝜋𝜋𝑅𝑅3
3
� = 8𝜋𝜋𝑅𝑅3 
Agora, o volume da célula unitária é apenas o produto da área da base vezes a altura da célula, 
c. Esta área de base tem apenas três vezes a área do paralelepípedo ACDE mostrado abaixo. 
A área de ACDE é apenas o comprimento de 𝐶𝐶𝐶𝐶���� vezes a 
altura de 𝐵𝐵𝐶𝐶����. Mas 𝐶𝐶𝐶𝐶���� é apenas 𝑎𝑎 ou 2R, e 
𝐵𝐵𝐶𝐶���� = 2𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(30°) =
2𝑅𝑅√3
2
 
Assim, a área de base é apenas 
Á𝑅𝑅𝐹𝐹𝐹𝐹 = (3)(𝐶𝐶𝐶𝐶����)(𝐵𝐵𝐶𝐶����) = (3)(2𝑅𝑅) �
2𝑅𝑅√3
2
� = 6𝑅𝑅2√3 
e uma vez que 𝑐𝑐 = 1,633𝑎𝑎 = 2𝑅𝑅(1,633) 
𝑉𝑉𝐶𝐶 = �Á𝑅𝑅𝐹𝐹𝐹𝐹�(𝑐𝑐) = 6𝑅𝑅2𝑐𝑐√3 = (6𝑅𝑅2�3)(2)(1,633)𝑅𝑅3 
 Assim: 
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 =
𝑉𝑉𝑠𝑠
𝑉𝑉𝑐𝑐
=
8𝜋𝜋𝑅𝑅3
12√3(1,633)𝑅𝑅3
 
8) 
 
 
 
 
9) 
 
 
 
 
 
 
10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11) 
 
 
 
 
12) a) 
 
13) 
 
 
 b) 
 
 
 
 
13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14) Para determinar se o elemento possui uma estrutura cristalina FCF ou CCC, é preciso calcular sua 
densidade para cada uma das estruturas e comparar o valor. Para FCF, 𝑛𝑛 = 4 e 𝑎𝑎 = 2𝑅𝑅√2. Além 
disso, apresenta um peso atômico de 102,91 g/mol. 
 
 
 
 
 
 
 
15) Para cada uma dessas três ligas, é preciso, por tentativa e erro, calcular a densidade usando a 
Equação 3.5 e compará-la com o valor citado no problema. Para estruturas cristalinas CS, CCC e 
CFC, os respectivos valores de n são 1, 2 e 4, enquanto as expressões para a (uma vez que 𝑉𝑉𝑐𝑐 =
 𝑎𝑎3) são 2𝑅𝑅, 2𝑅𝑅√2 e 4𝑅𝑅
√3
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( CS) 
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16) 
 
 
 
 
 
 
 
17) 
 
 
 
 
 
 
 
18) 
 
 
 
 
 
 
( CFC) 
( CS) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19) 
 
 
 
 
 
 
 
20) 
 
 
 
 
21) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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22) 
23) 
24) a) Para a direção 1, a projeção no eixo x é zero (uma vez que está no plano y-z), enquanto as 
projeções nos eixos y e z, b/2 e c, respectivamente. A direção 1 [012] pode ser resumida pela 
tabela a seguir: 
A direção 2 [112�] pode ser resumida pela tabela a seguir: 
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 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 
Projeções 𝑎𝑎/2 𝑏𝑏/2 −𝑐𝑐 
Projeções em termos de 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐 1/2 1/2 −1 
Redução para inteiros 1 1 −2 
Resultado [112�] 
 
b) O plano 1 é um plano (020). A determinação de seus índices está resumida na tabela a seguir: 
 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 
Projeções ∞2 𝑏𝑏/2 ∞𝑐𝑐 
Projeções em termos de 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐 ∞ 1/2 ∞ 
Redução para inteiros 0 2 0 
Resultado (020) 
 
O plano 2 é um plano (22�1), conforme resumido na tabela abaixo: 
 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 
Projeções 𝑎𝑎/2 −𝑏𝑏/2 𝑐𝑐 
Projeções em termos de 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐 1/2 −1/2 1 
Redução para inteiros 2 −2 1 
Resultado (22�1) 
 
25) Para o plano A, deixaremos a origem na célula unitária como no enunciado; este é um plano 
(403), conforme resumido abaixo. 
 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 
Projeções 𝑎𝑎/2 ∞𝑏𝑏 2𝑐𝑐/3 
Projeções em termos de 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐 1/2 ∞ 2/3 
Recíprocos de interceptações 2 0 3/2 
Redução 4 0 3 
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Resultado (403) 
 
Para o plano B, moveremos a origem da célula unitária uma distância de célula unitária para a 
direita ao longo do eixo y, e uma distância de célula unitária paralela ao eixo x; portanto, este é 
um plano (1�1�2), conforme resumido abaixo. 
 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 
Projeções −𝑎𝑎 −𝑏𝑏 𝑐𝑐/2 
Projeções em termos de 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐 −1 −1 1/2 
Recíprocos de interceptações −1 −1 2 
Resultado (1�1�2) 
 
26) Para o plano A, moveremos a origem do sistema de coordenadas uma distância de célula unitária 
para cima ao longo do eixo z; portanto, este é um plano (322�), conforme resumido abaixo. 
 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 
Projeções 𝑎𝑎/3 𝑏𝑏/2 −𝑐𝑐/2 
Projeções em termos de 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐 1/3 1/2 −1/2 
Recíprocos de interceptações 3 2 −2 
Resultado (322�) 
Para o plano B, moveremos o original do sistema de coordenadas na distância da célula unitária 
ao longo do eixo x; portanto, este é um plano (1�01), conforme resumido a seguir. 
 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 
Projeções −𝑎𝑎/2 ∞𝑏𝑏 𝑐𝑐/2 
Projeções em termos de 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐 −1/2 ∞ 1/2 
Recíprocos de interceptações −2 0 2 
Redução −1 0 1 
Resultado (1�01) 
 
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27) Para o plano A, uma vez que o plano passa pela origem do sistema de coordenadas como 
mostrado, moveremos a origem do sistema de coordenadasuma distância de célula unitária para 
a direita ao longo do eixo y; portanto, este é um plano (32�4), conforme resumido a seguir. 
 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 
Projeções 2𝑎𝑎/3 −𝑏𝑏 𝑐𝑐/2 
Projeções em termos de 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐 2/3 −1 1/2 
Recíprocos de interceptações 3/2 −1 2 
Redução 3 −2 4 
Resultado (32�4) 
Para o plano B, deixaremos a origem na célula unitária como mostrado; este é um plano (221), 
conforme resumido abaixo. 
 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 
Projeções 𝑎𝑎/2 𝑏𝑏/2 𝑐𝑐 
Projeções em termos de 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐 1/2 1/2 1 
Recíprocos de interceptações 2 2 1 
Resultado (221) 
 
28) Para (11�01) os recíprocos de h, k, i e l são, respectivamente, 1, –1, ∞ e 1; assim, este plano é 
paralelo ao eixo a3 e cruza o eixo a1 em a, o eixo a2 em –a, e o eixo z em c. O plano com essas 
interseções é mostrado na figura abaixo: 
 
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Para (112�0) os recíprocos de h, k, i e l são, respectivamente, 1, 1, e 1/2; assim, este plano é 
paralelo ao eixo z e cruza o eixo a1 em a, o eixo a2 em a e o eixo a3 em –a/2. O plano com essas 
interseções é mostrado na figura abaixo. 
 
29) (11�00) e (21�1�2) 
30) 
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31) a) 
b) 
32) a) A célula unitária representada por esferas reduzidas que é mostrada no Problema 3.23 é uma 
tetragonal de corpo centrado. E entre o conjunto de planos dado, (100) e (01�0) têm o mesmo 
empacotamento atômico. Porque no empacotamento atômico (001), os parâmetros de borda 
são 0,35 nm e 0,35 nm, enquanto é 0,35 nm e 0,45 nm nos planos (100) e (01�0). Portanto, os 
planos (100) e (01�0) têm o mesmo empacotamento atômico. 
 b) Entre o conjunto de planos dado, apenas (101), (011) e (1�01) têm o mesmo empacotamento 
atômico. Isso se deve à razão de que em (110), os parâmetros de borda são 0,45 nm e 0,495 nm, 
enquanto é 0,35 nm e 0,57 nm nos planos (101), (011) e (1�01). Portanto, os planos (101), (011) e 
(1�01) têm o mesmo empacotamento atômico. 
 c) Entre o dado conjunto de planos, (111), (11�1), (111�) e (1�11�) têm o mesmo empacotamento 
atômico. Isso se deve ao fato de que os parâmetros de borda são 0,57 nm e 0,495 nm em cada 
caso e possuem empacotamento triangular em cada caso. Portanto, os planos (111), (11�1), (111�) 
e (1�11�) possuem o mesmo empacotamento atômico. 
33) a) A interseção entre os planos (110) e (111) resulta em uma direção [1�10], ou equivalentemente, 
uma direção [11�0]. 
 b) A interseção entre (110) e (11�0) planos resulta em uma direção [001], ou equivalentemente, 
uma direção [001�]. 
 c) A interseção entre os planos (111�) e (001) resulta em uma direção [1�10], ou equivalentemente, 
uma direção [11�0]. 
 
 
 
 
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34) A densidade linear (DL) é definida como o número de átomos, por unidade de comprimento, 
cujos centros estão no vetor direção para uma direção cristalográfica específica; isto é: 
 
𝐷𝐷𝐷𝐷 =
𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑚𝑚 á𝑡𝑡𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑛𝑛𝑡𝑡𝑚𝑚𝑐𝑐𝑑𝑑𝑚𝑚𝑡𝑡 𝑛𝑛𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑡𝑡𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚çã𝑚𝑚
𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛𝑡𝑡𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑡𝑡𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚çã𝑚𝑚
 
 
As unidades para a densidade linear são o inverso do comprimento (por exemplo, nm–1, m–1). 
Na figura abaixo é mostrada uma direção [100] dentro de uma célula unitária CFC. 
 
Nessa direção, encontra-se um átomo em cada um dos dois cantos da célula unitária. Dessa 
forma, há 1 átomo centrado no vetor direção. Como 𝑐𝑐 = 2𝑅𝑅√2, então: 
𝐷𝐷𝐷𝐷 =
1
2𝑅𝑅√2
 
 
Na figura abaixo é mostrada uma direção [110] dentro de uma célula unitária CFC. 
Há 2 átomos centrados no vetor direção. Além disso, pela teorema de pitágoras: 
𝑥𝑥 = ��2𝑅𝑅√2�
2
+ �2𝑅𝑅√2�
2
= 4𝑅𝑅 
𝐷𝐷𝐷𝐷 =
2
4𝑅𝑅
 
Uma célula de unidade CFC dentro da qual é desenhada uma direção [111] é mostrada abaixo. 
Há 1 átomo centrado no vetor direção. Além disso, como calculado anteriormente, 𝑥𝑥 = 4𝑅𝑅 . 
Novamente, pelo teorema de pitágoras: 
𝑦𝑦 = �(4𝑅𝑅)2 + �2𝑅𝑅√2�
2
= 2𝑅𝑅√6 
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𝐷𝐷𝐷𝐷 =
1
2𝑅𝑅√6
 
35) Na figura abaixo é mostrada uma direção [110] dentro de uma célula unitária CCC. 
 
Nessa direção, encontra-se um átomo em cada um dos dois cantos da célula unitária. Dessa 
forma, há 1 átomo centrado no vetor direção. Além disso, como 𝑐𝑐 = 4𝑅𝑅
√3
, pela teorema de 
pitágoras: 
𝑥𝑥 = ��
4𝑅𝑅
√3
�
2
+ �
4𝑅𝑅
√3
�
2
= 4𝑅𝑅�
2
3
 
𝐷𝐷𝐷𝐷 =
1
4𝑅𝑅�23
=
√3
4𝑅𝑅√2
 
Na figura abaixo é mostrada uma direção [111] dentro de uma célula unitária CCC. 
Há 2 átomo centrado no vetor direção. Além disso, como calculado anteriormente, 𝑥𝑥 = 4𝑅𝑅�2
3
 e 
𝑐𝑐 = 4𝑅𝑅
√3
. Novamente, pelo teorema de pitágoras: 
𝑦𝑦 = ��4𝑅𝑅�
2
3
�
2
+ �
4𝑅𝑅
√3
�
2
= 4𝑅𝑅 
𝐷𝐷𝐷𝐷 =
2
4𝑅𝑅
=
1
2𝑅𝑅
 
 
36) A densidade planar (DP) é definida como o número de átomos por unidade de área que estão 
centrados em um plano cristalográfico particular, ou seja: 
 
Ciências dos Materiais 
Lista 02 – Estrutura de Sólidos Cristalinos 
 
 
__________________________________________________________________________________________ 
 
𝐷𝐷𝑃𝑃 =
𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑚𝑚 á𝑡𝑡𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑛𝑛𝑡𝑡𝑚𝑚𝑐𝑐𝑑𝑑𝑚𝑚𝑡𝑡 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑢𝑢𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑛𝑛𝑚𝑚
á𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑛𝑛𝑚𝑚
 
As unidades para a densidade planar são o inverso da área (por exemplo, nm–2, m–2). 
Na figura abaixo é mostrado um plano (100) para uma célula unitária CFC. 
Nesse plano, há um atomo em cada um dos quatros cantos do cubo, sendo que cada um dos 
quais e compartilhado com quatro células unitárias adjacentes, enquanto o átomo central está 
inteiramente dentro da célula unitária. Assim, existe a equivalência de 2 átomos associados a 
este plano CFC. Como a seção planar representa um quadrado, tem-se que: 
𝑐𝑐 = 2𝑅𝑅√2 
𝐷𝐷𝑃𝑃 =
2
�2𝑅𝑅√2�
2 =
2
8𝑅𝑅2
=
1
4𝑅𝑅2
 
 
Na figura abaixo é mostrado um plano (111) para uma célula unitária CFC. 
Existem seis átomos cujos centros estão neste plano, que são rotulados de A a F. Um sexto de 
cada um dos átomos A, D e F estão associados a este plano (produzindo uma equivalência de 
meio átomo), com um metade de cada um dos átomos B, C e E (ou uma equivalência de um 
átomo e meio). 
Assim, há uma equivalência total de dois átomos. Agora, a área do triângulo mostrada na figura 
acima é igual a metade do produto do comprimento da base pela altura, h. Se considerarmos a 
metade do triângulo, então: 
(2𝑅𝑅)2 + ℎ2 = (4𝑅𝑅)2 
ℎ = 2𝑅𝑅√3 
 
 
Ciências dos Materiais 
Lista 02 – Estrutura de Sólidos Cristalinos 
 
 
__________________________________________________________________________________________ 
 
Dessa forma, a área será: 
á𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐 = +
4𝑅𝑅ℎ
2
=
4𝑅𝑅 ∗ (2𝑅𝑅√3)
2
= 4𝑅𝑅2√3 
𝐷𝐷𝑃𝑃 =
2
4𝑅𝑅2√3
 =
1
2𝑅𝑅2√3
 
 
37) Na figura abaixo é mostrado um plano (100) para uma célula unitária CCC. 
Nessa direção, encontra-se um átomo em cada um dos quatro cantos da célula unitária. Dessa 
forma, há 1 átomo centrado no plano. Além disso, como 𝑐𝑐 = 4𝑅𝑅
√3
, tem-se: 
𝐷𝐷𝑃𝑃 =
1
�4𝑅𝑅
√3
�
2 =
1
16𝑅𝑅
3
2 =
3
16𝑅𝑅2
 
Na figura abaixo é mostrado um plano (110) para uma célula unitária CCC. 
Há 2 átomos centrados no plano. Além disso, sabe-se que 𝑥𝑥 = 4𝑅𝑅
√3
 e 𝑧𝑧 = 4𝑅𝑅, e pelo teorema de 
pitágoras: 
𝑦𝑦 = �𝑥𝑥2 + 𝑧𝑧2 = ��
4𝑅𝑅
√3
�
2
+ (4𝑅𝑅)2 =
4𝑅𝑅√2
√3
 
Dessa forma:𝐷𝐷𝑃𝑃 =
2
�4𝑅𝑅
√3
� �4𝑅𝑅√2
√3
�
 =
2
16𝑅𝑅2√2
3
=
6
16𝑅𝑅2√2
=
3
8𝑅𝑅2√2
 
 
Ciências dos Materiais 
Lista 02 – Estrutura de Sólidos Cristalinos 
 
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38) Um plano (0001) para uma célula de unidade HC é mostrado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Cada um dos 6 átomos de perímetro neste plano é compartilhado com outras três células 
unitárias, enquanto o átomo central não é compartilhado com nenhuma outra célula unitária; 
isso dá origem a três átomos equivalentes pertencentes a este plano. 
Em termos do raio atômico R, a área de cada um dos 6 triângulos equiláteros que foram 
desenhados é 𝑅𝑅2√3, ou a área total do plano mostrado é 6𝑅𝑅2√3. E a densidade plana para este 
plano (0001) é igual a: 
𝑁𝑁𝐶𝐶0001 =
𝑁𝑁ú𝑉𝑉𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑉𝑉 á𝑡𝑡𝑐𝑐𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑉𝑉𝑛𝑛𝑡𝑡𝐸𝐸𝑎𝑎𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑉𝑉𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐 (0001)
Á𝐸𝐸𝑉𝑉𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑉𝑉𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐 (0001)
 
= 
3 á𝑡𝑡𝑐𝑐𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐
6𝑅𝑅2√3
=
1
2𝑅𝑅2√3
 
39) Abaixo é construída uma célula unitária usando as seis direções cristalográficas que foram 
fornecidas no problema. 
 
 a) Esta célula unitária pertence ao sistema tetragonal uma vez que a = b = 0,40 nm, c = 0,50 nm 
e α = β = γ = 90 °. 
 b) Essa estrutura cristalina seria chamada de tetragonal centrada na face, uma vez que a célula 
unitária tem simetria tetragonal e um átomo está localizado em cada um dos cantos, bem como 
no centro de todas as seis faces da célula unitária. Na figura acima, os átomos são mostrados 
Ciências dos Materiais 
Lista 02 – Estrutura de Sólidos Cristalinos 
 
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apenas nos centros das três faces; entretanto, os átomos também estariam situados em faces 
opostas. 
40) As células unitárias construídas abaixo mostram os três planos cristalográficos fornecidos na 
definição do problema. 
a) Esta célula unitária pertence ao sistema de cristal ortorrômbico uma vez que a = 0,30 nm, b = 
0,40 nm, c = 0,35 nm e α = β = γ = 90°. 
 b) Esta estrutura cristalina seria chamada de ortorrômbica centrada no corpo, uma vez que a 
célula unitária tem simetria ortorrômbica e um átomo está localizado em cada um dos cantos, 
bem como no centro da célula. 
 
c) 
 
 
 
 
41) Embora cada grão individual em um material policristalino possa ser anisotrópico, se os grãos 
tiverem orientações aleatórias, o agregado sólido dos muitos grãos anisotrópicos se comportará 
isotropicamente. 
42) Da Tabela 3.1, o molibdênio tem uma estrutura cristalina CCC e um raio atômico de 0,1363 nm. 
Usando a Equação (3.3), o parâmetro de rede a pode ser calculado como: 
 
 
Agora, o espaçamento interplanar d111 pode ser determinado usando a Equação 3.14: