5 Oscilações Física II

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5 – Oscilações
Física II
Prof. Roberto Claudino Ferreira
1
Universidade Estadual do 
Sudoeste da Bahia
Departamento de Estudos Básicos e 
Instrumentais
2
ÍNDICE
1. Algumas Oscilações;
2. Movimento Harmônico Simples (MHS);
3. Pendulo Simples;
4. Velocidade MHS;
5. Aceleração MHS;
6. Energia MHS;
7. MHS amortecido;
8. Oscilações Forçadas e Ressonância.
Prof. Roberto Claudino
3
OBJETIVO GERAL
Alcançar um entendimento das leis,
princípios, grandezas e unidades de
medidas que envolvem o estudo da
oscilações, assim como suas aplicações
práticas, através de abordagens
conceituais, históricas e demonstrações
matemáticas.
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4
O que é Oscilação
Efeito exprimível como uma quantidade
que repetidamente e regularmente flutua acima
e abaixo de algum valor médio.
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5
Algumas Oscilações
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Ondas.
Ondas de superfície.
O Pêndulo.
As principais formas de oscilação podem ser reduzidas 
a sistemas do tipo.
Massa - Mola.
Generalidade das Oscilações
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Movimento Harmônico Simples (MHS)
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A
BC
h
As oscilações de um corpo se
caracterizam pelo período que apresentam e
pela amplitude que alcançam.
É possível explicar o
(MHS) fazendo uma
analogia com o sistema
de pendulo simples.

8
Movimento Harmônico Simples (MHS)
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A
BC
h
O seu valor também pode ser medido
pela frequência (f), conhecendo o número
de oscilações por unidade de tempo
O período (T)
corresponde ao intervalo
de tempo de uma
oscilação completa
(vaivém).

9
Movimento Harmônico Simples (MHS)
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O período (T) tem unidade de medida no SI em
segundos (s). E a frequência (f) em hertz, onde
T = 1/f.
)cos()(   txtx m
Deslocamento
Amplitude
Frequência Angular
tempo
Ângulo de Fase
f 2
(1)
(2)
Movimento do Pêndulo Simples
cteEEE MCMBMA 
max
0
0
P
C
C
E
E
v


max
0
0
P
C
B
E
E
v


A A
B
A
BC
h
Num sistema conservativo, a energia 
mecânica total permanece constante. 
0
max
max
P
C
E
E
v
11
Analogia: Pendulo e Oscilador 
Massa - Mola
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O movimento executado pelo pêndulo
simples é semelhante ao do sistema
massa-mola.
0 0
0 0
0 0
0 0
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Velocidade do MHS
Derivando (1) obtemos a expressão da
velocidade de uma partícula em movimento harmônico
simples.
(3)
Velocidade (4)
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)]cos([
)(
)(   tx
dt
d
dt
tdx
tv m
)()(   tsenxtv m
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Aceleração do MHS
Derivando (4) obtemos a expressão da
aceleração de uma partícula em movimento harmônico
simples.
(5)
Aceleração (6)
Combinando (1) com (6), temos:
(7)
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)]([
)(
)(   tsenx
dt
d
dt
tdv
ta m
)cos(²)(   txta m
)(²)( txta 
14
A lei do MHS
Conhecendo como a aceleração de uma
partícula varia com o tempo, podemos substituí-la na
2ª lei de Newton:
(8)
(9)
(10)
A equação (10) é uma força restauradora proporcional
ao deslocamento, (Que é a Lei de Hooke).
(11)
(12)
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xmF
xmF
maF
)(
)(
2
2





2mk
kxF


15
A lei do MHS
A equação (10) pode ser uma definição alternativa
para o MHS:
O (MHS), é um movimento executado por uma
força proporcional ao deslocamento da partícula e de
sinal oposto.
Isolando a frequência angular em (12):
(13)
1º Problema: Mostre que: Combinando (13) com a
frequência, encontramos o período do oscilador linear:
(14)
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m
k

k
m
T 2
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2º Problema: Um bloco cuja massa m é 680g
está preso a uma mola cuja constante elástica k
é 65 N/m. O bloco é puxado sobre uma superfície
sem atrito por uma distância x = 11cm a partir da
posição de equilíbrio em x = 0 e liberado a partir
do repouso no instante t = 0. (a) Quais são a
frequência angular, a frequência e o período do
movimento resultante?
(b) Qual a amplitude das oscilações?
(c) Qual a velocidade máxima (vm) do bloco e
onde se encontra o bloco quando tem essa
velocidade?
(d) Qual o módulo (am) da aceleração máxima do
bloco?
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A Energia do MHS
Energia Potencial: (15)
Substituindo (1) em (15):
(16)
Energia Cinética: (17)
Substituindo (4) em (16):
(18)
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²
2
1
)( kxtU 
²
2
1
)( mvtk 
)²(cos
2
1
²
2
1
)( 2   tkxkxtU m
)²(
2
1
²
2
1
)( 22   tsenxmmvtK m
18
A Energia do MHS
Substituindo (13) em (18):
(19)
Energia Mecânica é dado por: E = K + U, substituindo
(16) e (19), temos:
(20)
(21)
(22)
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)(
2
1
)(cos
2
1 2222   senkxkxE mm
)²(
2
1
)( 2   tsenmx
m
k
tK m
)]()([cos
2
1 222   senkxE m
2
2
1
mkxE 
1
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Pendulo Simples
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T

P

mgP 
Eixo horizontal
Do movimento
F

S
L
P
x
F

P

F

S
Como θ é muito 
Pequeno h = L
L
xgm
F


Sendo: 
amF 
L
xgm
am


L
xg
a


L
g
x
a


2
T
g
L
T  2
L
g
T
2

xa 2 (7)
x
a

(22)
Período do Pêndulo Simples
20
MHS Amortecido
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Ocorre quando uma força externa reduz seu
movimento. Ex: Um pendulo tende a perder seu
movimento com o passar do tempo, devido aos
efeitos da força de atrito do ar que “rouba”
energia do pendulo.
Para um sistema massa mola com uma força
amortecedora, como o atrito com a água, temos:
b = Constante de amortecimento.
v = velocidade do bloco.
bvFa 
Força de amortecimento
KxFm 
Força exercida pela mola no bloco
(23)
(24)
21
MHS Amortecido
A força resultante no sistema fica:
Substituindo (v) e (a) por suas derivadas:
A solução desta equação fica:
Onde ω’ é a frequência angular que é dada por:
Se b=0 eq.(27) se torna eq. (1).
A energia
makxbv 
)cos()( '2/    textx mbtm
(25)
(26)
0
²
²
 kx
dt
dx
b
dt
xd
m
(27)
²4
²
'
m
b
m
k

(28)
mbt
mekxtE
/2
2
1)( 
(29)
22
3º Problema: Para um oscilador amortecido
composto de um sistema massa mola fixado num
teto e amortecido por uma palheta que fixada no
bloco, mergulha em um recipiente de água a qual
causa resistência ao movimento. Sendo m =
250g, k = 85 N/m e b = 70 g/s.
(a) Qual o período do movimento?
(b) Qual é o tempo necessário para que a
amplitude das oscilações amortecidas se reduza
à metade do valor inicial?
(c) Quanto tempo é necessário para que a
energia mecânica se reduza à metade do valor
inicial?
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Oscilações Forçadas e Ressonância
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Ocorre quando uma força externa aumenta seu
movimento. Ex: Uma criança no balanço sem que
ninguém o empurre, constitui uma oscilação livre.
Porém se alguém o empurra temos uma
oscilação forçada.
A ressonância ocorre quando a frequência
angular natural (ω) coincide com a frequência
angular da força externa (ωe). (ω=ωe). Dando
valores máximos para a velocidade e a
amplitude.
Efeitos da ressonância.
)cos()(   txtx em
(29)
Efeito do vento na estrutura de 
uma ponte incorretamente projetada.
Ponte de Tacoma (1940)
Simulação computacional do efeito do
vento na estrutura de uma ponte.Resumo das 
equações