capitulo 3

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Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da 
disciplina 
 
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MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
 
CAPÍTULO 3 - PRINCÍPIOS DA CONSERVAÇÃO (MASSA, QUANTIDADE DE MOVIMENTO E 
ENERGIA) NA FORMA INTEGRAL 
Neste capítulo utiliza-se a formulação de volume de controle e não de sistema para 
desenvolver as equações básicas. Esta formulação é usada porque os meios fluidos são capazes 
de distorção e deformação contínuas com o tempo. Desta forma é muito difícil identificar e seguir 
a mesma massa de fluido em todos os instantes. Também muitas vezes estamos interessados 
não no movimento de uma massa de fluido, mas no efeito deste movimento sobre algum 
dispositivo ou estrutura. Assim, é mais conveniente aplicar as leis básicas a um volume definido 
no espaço usando uma análise de volume de controle. 
 
3.1. Conservação da Massa para um sistema 
Como um sistema é, por definição, uma porção de matéria fixa, ele é constituído da mesma 
quantidade de massa em todos os instantes. A massa M do sistema é constante, então: 
0
sistemadt
dM
 
 
3.2. Conservação da Quantidade de Movimento para um sistema 
Para um sistema com M constante, a conservação da quantidade de movimento resulta no 
somatório das forças que atuam sobre o sistema. 
 
∑ �⃗� =
𝑑(𝑀. �⃗�)
𝑑𝑡
= 𝑀
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
= 𝑀�⃗� 
 
3.3. Conservação da Energia para um sistema 
A conservação da energia também é chamada de Primeira Lei da Termodinâmica. 
WQdE  
 
Na forma de variação com o tempo, a equação pode ser escrita como: 
WQ
dt
dE
sistema
 
 
Onde a energia E do sistema é a soma das energias cinética, potencial e interna do sistema 
mgz
mu
UE 
2
2 
Onde: 
U = energia interna 
u = velocidade 
m = massa 
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2 
g = aceleração da gravidade 
z = cota em relação a um referencial 
Pode-se trabalhar também com a energia E específica (por unidade de massa). Neste caso 
temos: 
gz
u
Ue 
2
2 
onde U = energia interna por unidade de massa (J/Kg) 
 
3.4. Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle 
 Vamos usar o símbolo N para designar tanto a massa, quanto a energia do sistema 
(propriedades extensivas - dependem da massa). Outro símbolo que será utilizado é a letra  para 
designar N/m, ou seja, a mesma propriedade anterior, mas agora em caráter intensivo (por 
unidade de massa). 
   


VCSCsistema
dV
t
dAnu
dt
dN  
 
 
 = é a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva (massa ou energia) do 
sistema. 
= é a taxa líquida de fluxo da propriedade N através da superfície de controle 
 
 nu

 é o produto escalar de dois vetores, sendo u o vetor velocidade e n um 
vetor unitário, normal à superfície de controle e dirigido para fora da mesma. Desta forma, 
garante-se que o vetor velocidade seja normal à superfície de controle. 
 
 n u n u 
 
 
 Observe que na seção de entrada o vetor u e o vetor n fazem um ângulo de 180º e na 
seção de saída, de 0º. O produto 
 nu

 é o produto escalar de dois vetores, e é definido como: 
cosnu

. Desta forma, o sinal do produto 
 nu

 depende do ângulo formado entre os dois 
vetores. 
 Observe que quando a velocidade não é perpendicular à área, o valor 
 u do produto 
 nu

 dependerá do ângulo . Mas o sinal será mantido. 
 Na seção de entrada, sempre teremos 0º90°. Isto significa que o 
 n sinal será sempre negativo. 
 n Na seção de saída, sempre teremos 90º<180º. Isto significa que o 
 sinal será sempre positivo. 
 u u 
 
 
é a taxa de variação da propriedade extensiva N com o tempo, dentro do volume de 
sistemadt
dN
 dAnu
SC





VC
dV
t

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controle. 
 é a propriedade intensiva que corresponde ao N, então =N/m 
dV é um elemento de massa contido dentro do volume de controle. 
 
 
 é a quantidade de N contida dentro do volume de controle. 
 
3.5. Conservação da massa para um volume de controle - Equação da Continuidade 
N = massa 
 = 1 
0
sistemadt
dM
 
   


VCSC
dV
t
dAnu  0
 
 acúmulo de massa no volume de controle 
 fluxo líquido de massa através das superfícies de controle 
 
Exercícios 
1) Considere um fluxo de água num condutor de 15 cm de diâmetro com velocidade de 8,5 cm/s. 
Em determinado ponto, há um estreitamento onde o diâmetro fica igual a 10 cm. Qual a 
velocidade da água neste estreitamento? 
 
Resposta: v=19,12 cm/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

VC
dV
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2) Os reservatórios (1) e (2) da figura são cúbicos, com dimensões de aresta respectivamente 1 m 
e 1,5 m. São enchidos pelos tubos respectivamente em 100 seg. e 500 seg. Determinar a 
velocidade da água na seção A indicada, sabendo-se que o diâmetro nesta seção é 1m. 
 
 
Resposta: v = 0,021m/s 
 
3) Um tubo admite água (ρ = 1000 kg/m³) num reservatório, com vazão de 20 L/s. No mesmo 
reservatório é trazido óleo (ρ = 800 kg/m³) por outro tubo com uma vazão de 10 L/s. A mistura 
homogênea formada é descarregada por um tubo cuja seção tem um diâmetro de 6 cm. 
Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga, a velocidade da mesma, a vazão 
volumétrica e a vazão mássica. 
 
 
Resposta: Q=30L/s, ρ=933 kg/m³ , v=10,61 m/s, 𝑚 = 28𝑘𝑔/𝑠̇ 
 
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4) Considere o escoamento incompressível e permanente através do dispositivo mostrado. 
5) Óleo escoa em uma fina camada, em regime permanente, para baixo em um plano 
inclinado. O perfil de velocidades é dado por: 







2
sen 2y
hy
g
u

 . Expresse a vazão 
mássica por unidade de largura em função de g, h, , , . 
 
Resposta: 


3
sen 32 zhg
m 
 
 
6) Água escoa em regime permanente através de um tubo de comprimento L e raio R=3 pol. 
Calcule a velocidade uniforme na entrada U, se a distribuição de velocidades na saída é 
dada por: 
Resposta: u=1/2umáx 
 
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7) Um acumulador hidráulico é projetado para reduzir as pulsações de pressão do sistema 
hidráulico de uma máquina operatriz. Para o instante mostrado, determine a taxa à qual o 
acumulador ganha ou perde óleo hidráulico. 
 
Resposta: -690 mL/s 
 
8) Ar escoa em regime permanente através do tubo longo mostrado. Levando em conta as 
pressões e temperaturas medidas, determine a velocidade média na seção 1, sabendo 
que a velocidade média do escoamento na seção 2 é 320 m/s. 
Resposta: 70,22 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
9) A figura abaixo mostra o esboço de um ejetor líquido-líquido. A área da seção transversal 
do jato d'água é 0,01 m² e a velocidade média do jato é 30 m/s. Este jato provoca o 
arrastamento da água que, inicialmente, escoa pela seção anular do tubo. A área da seção 
transversal do tubo é 0,075m². Determine a vazão de água que é arrastada pelo jato 
sabendo que a velocidade do escoamento a jusante é uniforme e igual a 6 m/s. 
 
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Resposta: 0,15 m³/s 
 
10) O tanque cilíndrico da figura abaixo é alimentado pelas seções 1 e 2 com as vazões 
indicadas na figura. Determine a 
velocidade média na seção de descarga 
do tanque, sabendo que o nível da água 
no tanque permanece constante ao longo 
do tempo. 
Resposta: 0,703m/s 
 
 
 
 
 
 
11) Uma torre de resfriamento é utilizada para 
resfriar água de 43,3ºC para 26,7ºC. A 
vazão de água de alimentação é igual a 31,5 
kg/s e de ar seco (não contém vapor de 
água) é 19,1 kg/s. Determine a taxa de 
evaporação de água (em kg/s) e a vazão em 
massa de água descarregada da torre, 
sabendo que a vazão de ar úmido 
descarregado da torre é igual a 19,8 kg/s. 
Resposta: vazão em massa de água = 30,8kg/s 
Taxa de evaporação = 0,7 kg/s 
 
 
12) A figura ao lado mostra um ejetor 
líquido-líquido que arrasta um óleo que 
apresenta densidade relativa igual a 
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0,9 A vazão de água é 1 m³/s e a mistura água-óleo apresenta densidade igual a 0,95. 
Calcule a vazão de óleo arrastada neste ejetor. 
Resposta: 1 m³/s 
 
13) Um misturador de água com álcool (d=0,8) é 
mostrado abaixo. Qual é a massa específica 
da mistura água-álcool obtida nas condições 
operacionais indicadas? 
 
Resposta: 850 kg/m³ 
 
14) Um tanque cilíndrico e selado é alimentado 
por baixo com água e deste modo expulsa 
gasolina (d=0,68) para fora do tanque. 
Determine a taxa de variação temporal da 
massa de gasolina contida no tanque sabendo 
que a vazão de água para o tanque é igual á 
100L/h. 
 
Resposta: 68 kg/h 
 
15) A seringa hipodérmica abaixo é utilizada para aplicar vacinas. Calcule a velocidade média 
do escoamento na agulha admitindo que a velocidade do êmbolo é constante e igual a 20 
mm/s e que a vazão em volume do vazamento é igual a 10% da vazão de vacina na 
agulha . Os diâmetros internos da seringa e da agulha são respectivamente iguais a 20mm 
e 0,7mm. 
 
Resposta: 14,84 m/s 
 
16) Um tanque de 0,5 m³ contém ar comprimido. Uma válvula é aberta e o ar escapa com 
velocidade de 300m/s através de uma abertura de 130mm² de área. A temperatura do ar 
passando pela abertura é -15°Ce a pressão absoluta é 350kPa. Determine a taxa de 
variação da massa específica do ar neste momento. 
Resposta: -0,37 kg/m³s 
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17) Água entra num canal plano e largo, com largura 2h e profundidade igual a z, com uma 
velocidade de 5 m/s. Na saída do canal a distribuição de velocidades é dada por: 
2
1 






h
y
u
u
máx
onde y é medido a partir da linha de centro do canal. Determine a 
velocidade na linha de centro na saída. 
Resposta: 7,5 m/s 
 
18) Uma curva redutora bidimensional 
tem um perfil de velocidades linear 
na seção 1. O escoamento é uniforme 
nas seções 2 e 3. O fluido é 
incompressível e o escoamento, 
permanente. Determine a magnitude 
e o sentido da velocidade uniforme 
na seção 3. 
 
 
Resposta: 3,33 ft/s (seção de entrada) 
 
19) Água entra num canal bidimensional de largura constante h = 75,5 mm, com velocidade 
uniforme U. O canal faz uma curva de 90º que 
distorce o escoamento, de modo a produzir o perfil 
linear de velocidade mostrado na saída, com 
umáx=2umín, Avalie umín, se U=7,5 m/s 
 
 
 
Resposta: Umín = 5 m/s 
 
 
20) Um tanque retangular usado no suprimento de água para uma experiência de número de 
Reynolds, tem profundidade de 230 mm. A sua largura e comprimento são, respectivamente, 150 
e 230 mm. A água escoa no tubo de saída (D=6,35mm) a um número de Reynolds de 2000, 
quando o tanque está cheio pela metade. Determine a taxa de variação do nível da água no 
tanque neste instante. 
Resposta: -2,89 x 10-4 m/s 
 
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21) Ar entra num tanque por uma área de 0,2 ft² com uma velocidade de 15 ft/s e uma densidade 
de 0,03 slug/ft³. Sai com uma velocidade de 5 ft/s e uma densidade igual àquela no tanque. A 
densidade inicial no tanque é 0,02 slug/ft³. O volume total do tanque é 20 ft³ e a área de saída é 
0,4 ft². Determine a taxa de variação inicial da densidade do ar no tanque. 
Resposta: 1,29( kg/m³)/s ou 0,0025 slug/ft³s 
 
22) Água é drenada de um tanque cilíndrico com 0,3m de diâmetro por um furo no fundo. No 
instante em que a profundidade da água é 0,6 m, a vazão em massa é observada como sendo 4 
kg/s. Determine a taxa de variação do nível da água neste instante. 
Resposta: -0,0566 m/s 
 
23) A figura abaixo mostra um ressalto hidráulico localizado a jusante de um vertedor. A 
profundidade do escoamento a montante do ressalto é igual a 0,18m e neste local a velocidade 
média do escoamento é igual a 5,5 m/s. Calcule a profundidade do escoamento a jusante do 
ressalto sabendo que neste local a velocidade do escoamento é igual a 1 m/s. 
 
 
24) Na figura abaixo encontre a taxa de variação de h(t), sendo água o fluido apresentado e: 
a) V1 = 10 m/s skgm /102  Q3 = 600 l/min 
b) V1 = 0 skgm /202  Q3 = 10 l/s 
 
 
 
 
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Resposta: a) 0,011m/s b) 8,85 x 10-3m/s c) -0,37mm/s 
 
25) Três tubos fornecem água em regime permanente a 20°C para um tubo maior de saída 
mostrado. A velocidade V2= 5 m/s e a vazão de saída Q4=120 m
3/h. Encontre (a) V1, (b) V3 e (c) 
V4 se sabemos que aumentando Q3 em 20% Q4 aumentará em 10%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V3 = 5,9 m/s V1= 5,45 m/s V4= 5,24 m/s1’ 
 
 
26) Água escoa em regime permanente pelo tubo da figura. A velocidade na entrada é constante, 
u=U0 e a velocidade na saída se aproxima do perfil para escoamento turbulento. Determine a 
razão 
𝑈0
𝑢𝑚𝑎𝑥
 para esse escoamento 
𝑢 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 (1 −
𝑟
𝑅
)
1
7⁄
 
 
 
 
3.6. Conservação da quantidade de movimento para um volume de controle - 2ª Lei da 
Newton 
 
N = m.u 
 = u 
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 F
dt
Pd
sistema
 
   


VCSC
dVu
t
dAnuuF  
 
 acúmulo de quantidade de movimento no volume de controle 
 fluxo líquido de quantidade de movimento através das superfícies de controle 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
27) Água escoa em regime permanente através de uma mangueira de incêndio com bocal. A 
mangueira tem diâmetro interno de 75mm e a ponta do bocal 25 mm.; a pressão 
manométrica na mangueira é 510kPa, e a corrente deixando o bocal é uniforme. A 
velocidade de saída é 32 m/s e a descarga é feita na atmosfera. . Determine a força 
transmitida pelo acoplamento entre a mangueira e o bocal. Indique se o bocal está sob 
tração ou compressão. 
Resposta: 1862 N (sob tração) 
 
28) A figura mostra um conjunto de bocal curvo que descarrega para a atmosfera. O bocal 
pesa 10 lbf e seu volume interno é 150 in³. O fluido é água. Determine a força de reação 
exercida pelo bocal sobre o acoplamento com o tubo de admissão. 
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Resposta: Rx = -119 N 
 Ry =( -574,5 N) 
 – 44,5N = -619N sobre o tubo 
de alimentação 
 
 
 
 
 
 
 
 
29) A figura mostra um cotovelo redutor de 30°. O fluido é água. Avalie a força que deve ser 
provida pelos tubos adjacentes para manter o cotovelo no lugar. 
 
 
Resposta: 
 Fx = -1035 N Fy = -666 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30) Um gás escoa em regime permanente através de um tubo poroso aquecido de área 
seccional constante e igual a 0,2m². Na entrada do tubo a pressão absoluta é 340kPa, a 
densidade 5,1kg/m³ e a velocidade média 152 m/s. O fluido passa pela parede porosa num 
sentido normal ao eixo do tubo, com vazão em massa total de 29,2 kg/s. Na saída do tubo 
a pressão absoluta é 280 kPa e a densidade 2,6 kg/m³. Determine a força axial do fluido 
sobre o tubo. 
Resposta: u2 = 242m/s Rx = 5113 N 
 
31) Uma bomba a jato de água tem 
área de 0,01 m² e velocidade do 
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disciplina 
 
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jato de 30 m/s. O jato fica dentro de uma corrente secundária de água com velocidade de 
3m/s. A área total no duto (soma das áreas do jato principal e corrente secundária) é 
0,075m². A água é totalmente misturada e deixa a bomba como uma corrente uniforme. As 
pressões do jato e da corrente secundária são iguais na entrada da bomba. Determine a 
velocidade na saída da bomba e o aumento de pressão p2 - p1 (desprezando a atrito 
viscoso). 
 
Resposta: u = 6,6 m/s P2 - P1 =84240 Pa 
 
 
32) Para o escoamento na redução de seção do tubo da figura, D1=8cm, D2=5cm e P2= 
1atm.Todos os fluidos estão a 20°C. Se V1=5m/s e a leitura do manômetro é h=8 cm, 
calcule a força total à qual os parafusos dos flanges resistem. 
Resposta: 146,3 N 
 
33) O tanque d’água da figura situa-se sobre um carrinho sem atrito e alimenta um jato de 4 
cm de diâmetro e 8 m/s de velocidade, que é defletido 60° por uma pá fixa. Calcule a 
tensão no cabo de suporte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Bx = 40,2N Rx = -40,2N (sobre o carrinho e, consequentemente, sobre o cabo). 
 
3.7. Conservação da energia para um volume de controle - 1ª Lei da Termodinâmica 
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15 
N = Energia 
 = e 
WQ
dt
dE
sistema
 
 
   


VCSC
dVe
t
dAnueWQ  
 
 acúmulo de energia no volume de controle 
 fluxo líquido de energia através das superfícies de 
controle 
 
onde e = U + u²/2 +gz (en. interna, en. cinética e en. potencial) 
 
O termo da taxa de trabalho, ou potência, pode ser subdividido em 3 termos 
ovisfluxoe WWWW cos
 
 
Wfluxo  trabalho de fluxo que é feito nos arredores para superar as 
 tensões normais na superfície de controle onde há fluxo de 
 fluido. 
 
 

W
t
p un dA
p
un dA  ( ) ( )
   
 
 Wviscoso  trabalho cisalhante que é feito nos arredores para superar 
 as tensões cisalhantes e efeitos viscosos nas superfícies de 
 controle 
  

W
t
nu
m






2
2
 
Weixo  trabalho de eixo é o trabalho recebido ou produzido por um fluido quando ele passa 
através de um equipamento e é transmitido por um eixo. 
Trabalho positivo - turbinas (produzido pelo fluido) 
Trabalho negativo - bombas, compressores, ventiladores (consumido pelo fluido) 


Q
t

 é positivo quando adicionado ao sistema, proveniente das vizinhanças 
t
W
dVe
t
dAnu
p
e
t
W
t
Q
dt
dE
vcsc
e 




   )()( 
 
onde: 
e = energia específica (por unidade de massa) 
U = energia interna específica 
u2/2 = energia cinética específica 
gz = energia potencial específica 
p/ = energia de fluxo 
Se o escoamento é estacionário: 
 ( )

un dA m uA m m   
  
1 2
 
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16 



 
Q
t
W
t
m
P P u u
g z z U U
e
 



   







2 1 2
2
1
2
2 1 2 1
2
( )
 
h = U+P/ (entalpia) 




Q
t
W
t
m
u u
g z z h he 

   







2
2
1
2
2 1 2 1
2
( ) ( )
 
 
Exercícios 
34) Ar na condição padrão (P = 1atm e T = 150C) entra em um compressor a 75m/s e sai à 
pressão e temperatura absolutas de 200kPa e 345K com velocidade de 125 m/s. A vazão em 
massa é de 1,8 kg/s. A água de refrigeração que circula em volta da carcaça do compressor 
remove 18 kJ/kg de ar. Determine a potência requerida pelo compressor. 
Resposta: -143727W 
 
35) Ar entra em um compressor a 14 psia e 80ºF , com velocidade desprezível e é descarregado 
a 70 psia e 500ºF, com velocidade de 500 ft/s. Se a potência fornecida ao compressor é 3200 hP 
e a vazão em massa é 20 lb/s, determine a taxa de transferência de calor. 
Resposta: 0,15 MW 
 
36) Ar é aspirado da atmosfera (P = 1atm e T = 150C) para dentro de uma turbomáquina. Na 
saída as condições são 500 kPa (man) e 130°C. A velocidade de saída é de 100 m/s e a vazão 
em massa é de 0,8 kg/s. O escoamento é permanente e não há transferência de calor. Calcule o 
trabalho de eixo (em magnitude e sinal) 
Resposta: -96610 W 
 
37) Uma turbina é alimentada com 0,6 m³/s de água por meio de um tubo de 0,3 m de diâmetro; o 
tubo de descarga tem diâmetro de 0,4 m. Determine a queda de pressão através da turbina se ela 
fornece 60 kW. 
Resposta: -75000 Pa 
 
38) Uma bomba retira água de um reservatório através de um tubo de aspiração de 150 mm de 
diâmetro e a descarrega para um tubo de descarga de 75 mm de diâmetro. A extremidade do tubo 
de aspiração está dois metros abaixo da superfície livre do reservatório. O manômetro no tubo de 
descarga (2 m acima da superfície do reservatório) indica 170 kPa. A velocidade média notubo 
de descarga é de 3 m/s. Se a eficiência da bomba for 75%, determine a potência necessária para 
acioná-la 
Resposta: -3430 W 
 
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17 
39) Uma bomba centrífuga de água com tubo de aspiração igual a 4 polegadas e tubo de 
descarga também de 4 polegadas de diâmetro tem uma vazão volumétrica de 300 gpm (galões 
por minuto). A pressão de entrada é de 8 " de mercúrio de vácuo e a pressão de saída é de 35 
psig. As seções de admissão e descarga estão localizadas na mesma elevação. A potência 
medida fornecida à bomba é de 9,1 hP. Determine a eficiência da bomba. 
Resposta: 75% 
 
40) Qual é a potência gerada na turbina, considerando que não há perda de carga entre as 
seções 1 e 2 indicadas na figura? Escoamento de água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 2,1 MW 
 
41) A vazão de gasolina (densidade = 0,68) é de 0,12 m³/s. A perda entre as seções 1 e 2 é 0,3 
V1
2/2. Determine a diferença entre as pressões nas seções 1 e 2 sabendo que a bomba fornece 
ao fluido uma potência de 20 kW. 
 
 
 
 
Resposta: 197200 Pa 
 
 
 
 
 
 
Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da 
disciplina 
 
18 
42) Uma bomba transfere água de 
um grande reservatório para outro. 
A diferença entre as alturas das 
superfícies livres dos reservatórios 
é 30,5 m. A perda de carga por 
atrito na tubulação é dada por 
20V2/2 (onde V é a velocidade na 
tubulação). Determine a potência 
da bomba para uma vazão de 30 
L/s e D = 5". 
Resposta: -10650 W 
 
43) A vazão de água transportada do reservatório inferior para o superior é igual a 0,071 m³/s. A 
perda de energia disponível no escoamento é dada por 657v2/2 onde v é a velocidade média do 
escoamento na tubulação. Determine a potência no eixo da bomba, sabendo que a mesma tem 
eficiência de 60%. 
 
Resposta: -204125 W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44) Para o sistema abaixo, a velocidade média na tubulação é de 10 m/s. Até o ponto A, K = 1,5, 
de B até C, K = 6,2 e a bomba tem 80% de eficiência. Se PC = 200 kPa, encontre PA, PB e a 
potência requerida pela bomba. 
 
 
Resposta: 52720W, PA=169kPa, PB=706kPa 
Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da 
disciplina 
 
19 
 
45) A vazão em massa através de uma turbina é de 20 000 Ibm/h, e a perda de calor através da 
carcaça é de 100000 Btu/h. As entalpias de entrada e saída são, respectivamente, l 000 Btu/lbm e 
800 Btu/lbm, enquanto as velocidades na entrada e na saída são 5 000 pés/min e 23 000 pés/min, 
respectivamente. Calcular a potência no eixo da turbina. 
Resposta: 1510hp 
 
 
46) Água passa permanentemente pela turbina mostrada na figura abaixo, com vazão de 8 ft³/s. 
As pressões em l e 2 são de 25 psi e -3 psi, respectivamente. Se desprezarmos a transmissão de 
calor, qual será a potência fornecida a turbina pela água? 
Resposta: 69 HP = 51523W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47) Água a 15°C é bombeada a 5,678 L/min de um reservatório inferior para um superior, como na 
figura. As perdas por atrito no tubo são aproximadas por hL = 27 V²/(2g), em que V é a velocidade 
média no tubo. Se a bomba tem 75% de eficiência, qual a potência em hp necessária para acioná-
la? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.8. Equação de Bernoulli 
 Em volumes de controle onde as condições abaixo sejam satisfeitas, pode-se aplicar a 
equação de Bernoulli. 
Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da 
disciplina 
 
20 
 
ctegz
Vp

2
2

 [m²/s²=J/kg] ou 
ctez
g
V
g
p

2
2

 [m] 
 
- escoamento em regime permanente 
- não há trabalho de eixo 
- não há troca de calor 
- escoamento invíscido (não viscoso - sem perdas) 
- não há variação de temperatura (variação de energia interna = 0) 
- se o fluxo é incompressível 
 
Modificação das hipóteses fundamentais de Bernoulli 
1. No escoamento de um gás, como em um sistema de ventilação, onde a variação de pressão é 
apenas uma pequena fração da pressão absoluta, o gás pode ser considerado incompressível. 
A equação é utilizada aplicando-se um  médio. 
2. Para um escoamento não permanente, cujas condições variam gradualmente, como o lento 
esvaziamento de um reservatório, a equação de Bernoulli pode ser aplicada sem erro 
apreciável. 
3. A equação é utilizada na análise de fluidos reais, desprezando em primeira aproximação as 
tensões viscosas para obter resultados teóricos. A equação resultante pode então ser 
modificada por um coeficiente determinado experimentalmente, que corrige a equação teórica 
para que fique em conformidade com o caso real. 
 
3.6. Pressão Estática, de Estagnação e Dinâmica 
Pressão Estática 
 A pressão estática é também chamada de pressão termodinâmica ou pressão hidrostática. 
É a pressão de um fluido estático, isto é, em repouso. Esta é a pressão que utilizamos na equação 
da Energia. 
 Por isso é importante conhecermos a pressão estática dos fluidos em movimento, para 
podermos usá-la nas equações acima. Desta forma deveríamos medir a pressão através de uma 
superfície que se movimentasse junto com o escoamento (isto é, o fluido deveria ter velocidade 
relativa à superfície nula). Entretanto não é possível utilizar um instrumento deste tipo e uma vez 
que não há variação da pressão normal às linhas de corrente se elas são retílineas, é possível 
medir a pressão estática usando uma tomada de pressão na parede do duto. A tomada de 
pressão é um pequeno orifício cuidadosamente perfurado na parede, com seu eixo perpendicular 
à superfície, sem rebarbas. Neste orifício é adaptado o medidor de pressão. 
Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da 
disciplina 
 
21 
 Se a superfície é muito irregular, ou se as linhas de corrente são curvilíneas, utiliza-se uma 
sonda de pressão estática: 
 
Pressão Dinâmica 
 A pressão dinâmica é dada pelo termo 1/2u2. Conhecendo-se a velocidade do 
escoamento pode-se determinar a pressão dinâmica, entretanto usualmente faz-se o caminho 
inverso, isto é, medimos a pressão para depois chegarmos ao valor da velocidade. Veja a seguir: 
 
Pressão Total ou de Estagnação 
 A pressão total de um escoamento é a soma da pressão estática (aquela que haveria se 
não houvesse escoamento) e da pressão dinâmica. A pressão de estagnação é obtida quando um 
fluido em movimento é desacelerado até a velocidade zero por meio de um processo sem atrito. 
 Esta medida pode ser obtida por meio de uma tomada de pressão de estagnação, 
usualmente chamada de tubo de Pitot. Este tipo de sensor tem um orifício que fica voltado 
diretamente para montante do escoamento. 
Como esta sonda mede a pressão total, então ela mede a quantidade 
p p u0
2
1
2
  
 
onde: 
p0 = pressão de estagnação 
p = pressão estática 
1/2u2 = pressão dinâmica 
 
Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da 
disciplina 
 
22 
Medida da velocidade com tubo de Pitot 
 Como citado anteriormente, utiliza-se a pressão para determinar quantidades como 
velocidade e vazão. Agora nós veremos como podemos determinar a velocidade a partir de duas 
tomadas de pressão. 
 Nós podemos colocar num escoamento um tubo de Pitote uma tomada estática. Veja 
abaixo: 
 Se aplicarmos a equação de Bernoulli no escoamento acima temos: 
p u
gz
p u
gz
A A
A
B B
B 
    
2 2
2 2
 
Como os pontos A e B estão na mesma cota, não há diferença de energia potencial e a 
equação se resume a: 
p u p uA A B B
 
  
2 2
2 2
 
 Se no ponto A é colocada uma tomada de pressão total, então pela própria construção da 
tomada, a velocidade neste ponto será zero. No ponto B temos uma tomada de pressão estática e 
a velocidade normal do escoamento. Então: 
p p uB B0
2
0
2 
  
 ,rearranjando  
u
p p
B
B

2 0

 
 Como não queremos saber o valor absoluto de p0 ou da pressão estática no ponto B, mas 
apenas a diferença entre as duas, basta usar um único manômetro ligado a ambas as tomadas de 
pressão. Desta forma pode-se medir a diferença de pressão, que é a pressão dinâmica, cujo 
valor leva à velocidade. 
 
Medida da vazão por diferença de pressão 
Os três dispositivos mais usados para medir a vazão instantânea em tubos são a placa de 
orifício, o bocal e o venturi. Cada um destes medidores opera sob o mesmo princípio: uma 
diminuição na seção transversal do escoamento provoca um aumento na velocidade que é 
acompanhada por uma diminuição na pressão . Relacionando-se a diferença de pressão a 
Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da 
disciplina 
 
23 
montante e a jusante do medidor com a vazão pode-se obter curvas de calibração para os 
medidores. 
 
 Medidor tipo placa de orifício 
Este medidor consiste em uma placa perfurada colocado na tubulação usualmente entre 
flanges. O orifício usualmente é concêntrico ao tubo, mas em algumas aplicações especiais pode 
ser excêntrico. A seção mínima do escoamento não ocorre no orifício, mas sim numa seção a 
jusante, devido à formação da vena contracta. 
 
 Medidor tipo venturi 
Consiste em um cone de entrada lisa com ângulo em torno de 20º, um cilindro de seção curta 
(comprimento igual ao diâmetro da seção estrangulada), e de um cone difusor de ângulo entre 5º 
e 7º, a fim de minimizar a perda de carga. Para uma operação satisfatória o equipamento deverá 
ser instalado a jusante de uma porção de tubo reta e uniforme, livre de conexões, 
desalinhamentos e outras causas de turbulência e tendo um comprimento de pelo menos 30D. 
 Fazendo-se um balanço de energia nas seções a montante e a jusante do medidor temos 
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
22 
P
gz
uP
gz
u

 
Como z1 = z2 e aplicando-se a equação da continuidade Q = constante = u1A1 = u2A2 

12
2
2
2
1
2
PPuu 


 
 
Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da 
disciplina 
 
24 
   

12
2
2
2
1
2
PPAQAQ 

 
 











2
2
2
1
12
11
2
AA
PP
Q

 
Esta equação necessita de correções experimentais para que se leve em conta a perda de 
carga causada pela contração, bem como a correção referente ao posicionamento da tomada de 
pressão a jusante em relação à vena contracta. 
 
Exercícios 
48) A figura abaixo mostra um medidor de venturi horizontal. Observe que ele é constituído por um 
bocal convergente e por outro divergente. Os diâmetros das seções 1 e 2 são, respectivamente 
152 e 102 mm. Determine a vazão em volume de um óleo (d=0,897) no medidor, sabendo que P 
= -20,7kPa. Admita que as perdas que ocorrem no escoamento são desprezíveis. 
Resposta: 0,062 m³/s 
 
49) Água escoa em regime permanente pelo tubo vertical de 0,1 m de diâmetro e é descarregada 
na pressão atmosférica pelo bocal com 0,05 m de diâmetro. A velocidade da corrente de saída do 
bocal deve ser de 20 m/s. Calcule a pressão manométrica mínima requerida na seção 1, 
admitindo escoamento sem atrito. 
 
 
 
 
Resposta: 226,7 kPa 
 
 
 
50) Água flui de um tanque muito grande 
através de um tubo de 2" de diâmetro. O 
líquido escuro no manômetro é mercúrio. 
Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da 
disciplina 
 
25 
Estime a velocidade no tubo e a vazão de descarga. 
 
 
Resposta: u = 6,57 m/s Q = 0,0133 m³/s 
 
51) Água escoa a uma velocidade de 3 m/s. Calcule a pressão dinâmica deste escoamento. 
Expresse sua resposta em mmHg. 
Resposta: 4500 Pa 
 
52) Calcule a pressão dinâmica que corresponde à velocidade de 100km/h em ar padrão. 
Expresse sua resposta em mmH2O 
Resposta: 473 Pa = 48 mm água 
 
53) Um tubo de Pitot estático é usado para medir a velocidade do ar nas condições padrão num 
ponto de um escoamento. A fim de assegurar que o escoamento possa ser considerado 
incompressível para cálculos com precisão de engenharia, a velocidade deve ser mantida em 
100m/s ou menos. Determine a deflexão do manômetro, em mm de água, que corresponde à 
velocidade máxima desejada. 
Resposta: 625 mm 
 
54)Um jato de ar é lançado perpendicularmente a uma parede na qual se localiza uma tomada de 
pressão. Um manômetro conectado à tomada mostra uma altura de carga de 0,14pol de mercúrio 
acima da pressão atmosférica. Determine a velocidade aproximada do ar que sai do bocal se ele 
está a 40°F e 14,7psia. 
Resposta: 27 m/s 
 
55)Um bocal de incêndio está acoplado a uma mangueira com diâmetro interno de 75 mm. O 
bocal tem perfil suave e diâmetro de saída de 25 mm. A pressão de projeto na entrada do bocal é 
689 kPa (manométrica). Avalie a máxima vazão em volume possível para o bocal. 
Resposta: 0,018 m³/s 
 
56)Um dos métodos para produzir vácuo 
numa câmara é descarregar água por um 
tubo convergente como é mostrado na 
figura. Qual deverá ser a vazão no tubo da 
figura para produzir um vácuo de 50 cmHg 
na câmara? A descarga é feita na atmosfera. 
 
Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da 
disciplina 
 
26 
 
Resposta: 5,84x10-4 m³/s 
 
 
 
57) A figura mostra um sifão. Se desprezarmos o atrito, qual será a velocidade da água que deixa 
o ponto C como um jato livre? Quais são as pressões da água no tubo em A e em B? 
Resposta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: v=6,9 m/s PA=-23805 N/m² PB=-35760 N/m² 
 
58) Se o atrito for desprezado, qual será a velocidade da água que sai do tanque como um jato 
livre? Qual será a vazão? 
 
 
 
 
 
Resposta:v=31ft/s e vazão= 6,09ft³/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da 
disciplina 
 
27 
 
59) Um jato de álcool atinge a placa vertical da figura. Uma força F = 425 N é necessária para 
manter a placa estacionária. Considerando que não há perdas no bocal, calcule (a) o fluxo de 
massa de álcool e (b) a pressão absoluta na seção 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V2= 41,4 m/s taxa de massa = 10,27 kg/s P1=659682 Pa 
 
 
60) Água a 20°C, no tanque pressurizado da figura, escapa e cria um jato vertical conforme 
mostra a figura. Considerando escoamento permanente sem atrito, determine a altura H que é 
atingida pelo jato. 
 
 
V=12,9 m/s H=8,5 m