DANIEL KENJI DE ALENCAR OHI

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1
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Elétrica
Trabalho de Conclusão de Curso
Análise e estudo de estabilidade em sistemas elétricos de
potência
Daniel Kenji de Alencar Ohi
Fortaleza, Junho 2011
ii
iii
DANIEL KENJI DE ALENCAR OHI
Análise e estudo de estabilidade em sistemas elétricos de potência
Monografia submetida à Universidade Federal do 
Ceará como parte dos requisitos para obtenção do 
grau de Engenheiro Eletricista.
Orientador: Prof. Dr. José Almeida do Nascimento
Fortaleza, Junho 2011
iv
Análise e estudo de estabilidade em sistemas elétricos de potência
Esta monografia foi julgada adequada para obtenção do título de Engenheiro Eletricista e aprovada 
em sua forma final pelo programa de Graduação em Engenharia Elétrica na Universidade Federal 
do Ceará.
Daniel Kenji de Alencar Ohi
Banca Examinadora:
Prof. José Almeida do Nascimento, Dr.
Prof. Tomaz Nunes Cavalcante Neto, Msc.
Profª. Gabriela Helena Sergio Bauab, Dr.
Fortaleza, Junho 2011
v
vi
Ohi, D.K.A. “Análise e estudo de estabilidade em sistemas elétricos de potência“, 
Universidade Federal do Ceará – UFC, 2011, 110p.
O presente trabalho busca analisar a estabilidade de sistemas elétricos de potência a partir de 
ferramentas computacionais e modelos matemáticos simplificados dos elementos de potência como 
geradores, conversores, consumidores e reguladores. A análise foi realizada em fundamentos 
matemáticos que foram alimentados em ferramentas especialistas com diferentes graus de liberdade 
quanto ao tipo de modelo usado, em seguida os resultados dos diferentes softwares foram 
comparados quanto a sua coesão ao tipo de falha e resultado obtido, as diferenças sendo devidas ao 
tipo de modelo que cada ferramenta possuí. Finalmente uma análise e demonstração comum é 
realizada em ANAREDE/ANATEM e MATLAB/MATPOWER/MATDYN, sendo discutido o 
procedimento de operação dos softwares e os resultados obtidos.
Palavras chave: MATPOWER, MATDYN, ANAREDE, ANATEM, Sistemas Elétricos de Potência,
Estabilidade, Análise de potência, Elementos FACTS
vii
Ohi, D.K.A. “Analysis and study os stability in electrical power systems”, Universidade 
Federal do Ceará – UFC, 2011, 110p.
The objectives of this work is to study the stability in electrical power systems in light of 
some mathematical tools and simplified models of power elements such as generators, converters, 
consumers and regulators. The analisys was conducted using mathematical background which were 
fed in specialized software using several aproximations depending on the model used, the related 
results were compared with the estimated values, the difference being the related to software 
specific errors. Finally a analysis is made and demonstrated using ANAREDE/ANATEM and 
MATLAB/MATPOWER/MATDYN, discussing the overall procedure to use the tools and results.
Keywords: MATPOWER, MATDYN, ANAREDE, ANATEM, Electrical power systems, stability, 
FACTS elements, Power analysis.
viii
Sumário
Introdução.............................................................................................................................................1
Capítulo 02
Representação de máquinas síncronas em estudos de estabilidade......................................................4
2.1 A máquina síncrona....................................................................................................................4
2.1.1 A parte elétrica...................................................................................................................7
2.1.2 A parte mecânica................................................................................................................7
2.1.3 A turbina e sistema governador..........................................................................................7
2.1.4 Excitação............................................................................................................................8
2.2 Equação de oscilação de uma máquina síncrona.......................................................................8
2.3 Modelo da máquina síncrona, fluxo principal constante.........................................................12
Capítulo 03
Elementos de compensação de sistemas elétricos de potência...........................................................13
3.1 Elementos FACTS...................................................................................................................14
3.1.1 SVC - Static VAR compensator.......................................................................................15
3.1.2 STATCOM - Static Synchronous Compensator...............................................................16
3.1.3 SSSC - Static Synchronous Series Compensator.............................................................16
3.1.4 TCSC - Thyristor Controlled Series Capacitor/Inductor..................................................17
3.1.5 UPFC - Unified Power Flow Controller..........................................................................17
3.1.6 OLTC - On Load Tap Changers (Phase Shifting or Regulating).....................................17
3.2 Elementos de carga..................................................................................................................17
3.2.1 Controle variável de velocidade para máquinas AC........................................................17
3.3 Cargas não lineares.............................................................................................................18
3.4 Elementos auxiliares................................................................................................................19
3.4.1 PSS - Power System Stabilizer........................................................................................19
3.4.2 Transformadores...............................................................................................................19
Capítulo 04
Comparação das ferramentas..............................................................................................................20
4.1 Solução numérica no MATLAB..............................................................................................21
4.1.1 Restrições de carga...........................................................................................................22
4.1.2 Restrições de operação.....................................................................................................22
4.1.3 Restrições de segurança...................................................................................................22
4.2 Método linearizado..................................................................................................................22
4.3 Descrevendo o problema.........................................................................................................24
4.4 Primeira solução......................................................................................................................26
4.5 Segunda solução......................................................................................................................30
4.5.1 Caso CHESF Oeste simplificado.....................................................................................31
4.5.2 Resultados para CHESF Oeste simplificado....................................................................32
4.5.3 Caso MATDYN para CHESF Oeste simplificado...........................................................34
4.5.4 Análise da estabilidade para o caso estacionário..............................................................35
4.5.5 Análise da estabilidade para um conjunto de falhas programadas...................................37
4.5.6 Caso MATPOWER para IEEE 9 Bus - P.M.Anderson....................................................424.5.7 Resultados para caso IEEE 9 Bus - P.M.Anderson..........................................................42
4.5.8 Caso MATDYN para IEEE 9 Bus....................................................................................44
4.5.9 Análise da estabilidade para o caso estacionário..............................................................45
4.5.10 Análise da estabilidade para um conjunto de falhas programadas.................................47
4.6 Terceira Solução.......................................................................................................................51
4.6.1 Caso ANAREDE para Sistema CHESF Oeste simplificado............................................51
4.6.2 Resultados do caso CHESF Oeste Simplificado..............................................................53
9
4.6.3 Caso ANAREDE para Sistema IEEE 9 Barras................................................................57
4.6.4 Resultados do caso IEEE 9 Barras...................................................................................59
Capítulo 5
Conclusões comparativas...................................................................................................................63
Conclusões..........................................................................................................................................66
Bibliografia.........................................................................................................................................67
ANEXO A
Redes de múltiplas portas.....................................................................................................................1
 Rede de duas portas........................................................................................................................1
 Rede de n portas..............................................................................................................................1
ANEXO B
Transformação de Park.........................................................................................................................3
x
Lista de Figuras
Figura 1: Grandes grupos de máquinas síncronas................................................................................5
Figura 2: Máquina síncrona ideal.........................................................................................................5
Figura 3: Modelo equivalente gerador síncrono...................................................................................6
Figura 4: Diagrama fasorial gerador síncrono......................................................................................6
Figura 5: Relação angular entre referências e ângulo de abertura d.....................................................9
Figura 6: Máquina(E) ligada a barramento infinito(V)......................................................................12
Figura 1: Esquemático de um SVC capacitivo ligado a transformador linear..................................15
Figura 2: Esquemático de um SVC reativo ligado a transformador linear........................................15
Figura 3: Esquemático de um STATCOM exemplo no MATLAB....................................................16
Figura 4: Motor Assíncrono controlado por PWM.............................................................................18
Figura 5: Esquemático de uma carga não linear programável............................................................18
Figura 6: Esquemático para observação de uma carga não linear .....................................................19
Figura 1: Estrutura de mudança de estados para o sistema elétrico de potência operando em tempo 
real......................................................................................................................................................21
Figura 2: Diagrama unifilar do sistema IEEE 9 Bus..........................................................................25
Figura 3: Diagrama unifilar do sistema CHESF Oeste simplificado - Modificado............................25
Figura 4: Entrada dos dados do caso CHESF Oeste simplificado para o MATPOWER...................32
Figura 5: Resumo das características do sistema CHESF Oeste Simplificado..................................33
Figura 6: Resultados da situação das barras do sistema CHESF Oeste simplificado.........................33
Figura 7: Resultados dos fluxos de potência entre barras do sistema CHESF Oeste simplificado....34
Figura 8: Entrada de dados dinâmicos para MATDYN......................................................................35
Figura 9: Ângulos dos geradores........................................................................................................35
Figura 10: Tensão de excitação das máquinas síncronas do sistema (o swing é tomado na referência)
............................................................................................................................................................36
Figura 11: Velocidade de rotação dos geradores................................................................................36
Figura 12: Potência útil entregue a turbina para geração...................................................................37
Figura 13: Tensão em todos os barramentos do sistema.....................................................................37
Figura 14: Entrada de dados de barramentos, linhas e geradores, arquivo MATPOWER.................38
Figura 15: Entrada de dados de geradores, governadores, excitadores e estabilizadores, arquivo 
MATDYN...........................................................................................................................................39
Figura 16: Entrada de falhas, arquivo MATDYN.............................................................................39
Figura 17: Ângulos dos geradores......................................................................................................40
Figura 18: Tensão de excitação das máquinas síncronas do sistema (o swing é tomado na referência)
............................................................................................................................................................40
Figura 19: Velocidade de rotação dos geradores...............................................................................41
Figura 20: Potência útil entregue a turbina para geração...................................................................41
Figura 21: Tensão em todos os barramentos do sistema....................................................................41
Figura 22: Entrada dos dados do caso IEEE 9 Bus - P.M.Anderson para o MATPOWER................42
Figura 23: Resumo das características do sistema IEEE 9 Bus - P.M.Anderson...............................43
Figura 24: Resultados da situação das barras do sistema IEEE 9 Bus - P.M.Anderson.....................43
Figura 25: Resultados dos fluxos de potência entre barras do sistema IEEE 9 Bus - P.M.Anderson 44
Figura 26: Entrada de dados dinâmicos para MATDYN...................................................................45
Figura 27: Ângulos dos geradores......................................................................................................45
Figura 28: Tensão de excitação das máquinas síncronas do sistema (o swing é tomado na referência)
............................................................................................................................................................46
Figura 29: Velocidade de rotação dos geradores................................................................................46
Figura 30: Potência útil entregue a turbina para geração...................................................................47
Figura 31: Tensão em todos os barramentos do sistema.....................................................................47
11
Figura 32: Entradade dados de barramentos, linhas e geradores, arquivo MATPOWER.................48
Figura 33: Entrada de dados de geradores, governadores, excitadores e estabilizadores, arquivo 
MATDYN...........................................................................................................................................48
Figura 34: Entrada de falhas, arquivo MATDYN..............................................................................49
Figura 35: Ângulos dos geradores.....................................................................................................49
Figura 36: Tensão de excitação das máquinas síncronas do sistema (o swing é tomado na referência)
............................................................................................................................................................50
Figura 37: Velocidade de rotação dos geradores................................................................................50
Figura 38: Potência útil entregue a turbina para geração...................................................................50
Figura 39: Tensão em todos os barramentos do sistema.....................................................................51
Figura 40: Entrada de dados do sistema CHESF no ANAREDE.......................................................52
Figura 41: Entrada de dados do sistema CHESF no ANATEM.........................................................53
Figura 42: Relatório de fluxo de potências nas linhas........................................................................54
Figura 43: Ângulos dos geradores em relação a referência................................................................55
Figura 44: Tensão de campo dos geradores........................................................................................55
Figura 45: Oscilação da tensão de campo do gerador equivalente de Tucuruí..................................56
Figura 46: Potências mecânicas entregues aos geradores..................................................................56
Figura 47: Tensão em todos os barramentos do sistema.....................................................................56
Figura 48: Entrada de dados do sistema IEEE 9 Barras no ANAREDE............................................58
Figura 49: Entrada de dados do sistema IEEE 9 Barras no ANATEM..............................................59
Figura 50: Relatório de fluxo de potências nas linhas........................................................................60
Figura 51: Ângulos dos geradores em relação a referência...............................................................60
Figura 52: Tensão de campo dos geradores........................................................................................61
Figura 53: Oscilação da frequência do sistema IEEE 9 barras...........................................................61
Figura 54: Potências mecânicas entregues aos geradores..................................................................61
Figura 55: Tensão em todos os barramentos do sistema.....................................................................62
xii
Lista de Tabelas
Tabela 1: Informação simplificada de geração do sistema CHESF Oeste simplificado - Modificado
............................................................................................................................................................26
Tabela 2: Informação simplificada de consumo do sistema CHESF Oeste simplificado - Modificado
............................................................................................................................................................26
Tabela 3: Informação simplificada de reatância do sistema CHESF Oeste simplificado - Modificado
............................................................................................................................................................27
Tabela 4: Comparação das potências nos barramentos antes do fluxo e depois do fluxo de potência.
............................................................................................................................................................27
Tabela 5: Relação de ângulos nos barramentos após execução do fluxo de potências.....................27
Tabela 6: Informação simplificada de impedância do sistema CHESF Oeste simplificado - 
Modificado.........................................................................................................................................28
Tabela 7: Informação simplificada de consumo do sistema CHESF Oeste simplificado - Modificado
............................................................................................................................................................28
Tabela 8: Comparação das potências nos barramentos antes do fluxo e depois do fluxo de potência.
............................................................................................................................................................28
Tabela 9: Relação de ângulos nos barramentos após execução do fluxo de potências......................29
Tabela 10: Fluxo de potências para o caso base.................................................................................29
Tabela 11: Fluxo de potências para o caso simples............................................................................30
xiii
Lista de equações
Equação 1.............................................................................................................................................6
Equação 2.............................................................................................................................................6
Equação 3.............................................................................................................................................7
Equação 4.............................................................................................................................................7
Equação 5.............................................................................................................................................7
Equação 6.............................................................................................................................................7
Equação 7.............................................................................................................................................7
Equação 8.............................................................................................................................................7
Equação 9.............................................................................................................................................8
Equação 10...........................................................................................................................................8
Equação 11............................................................................................................................................8
Equação 12...........................................................................................................................................8
Equação 13...........................................................................................................................................8
Equação 14...........................................................................................................................................8
Equação 15...........................................................................................................................................8
Equação 16...........................................................................................................................................8
Equação 17...........................................................................................................................................8Equação 18...........................................................................................................................................9
Equação 19...........................................................................................................................................9
Equação 20...........................................................................................................................................9
Equação 21...........................................................................................................................................9
Equação 22...........................................................................................................................................9
Equação 23...........................................................................................................................................9
Equação 24...........................................................................................................................................9
Equação 25...........................................................................................................................................9
Equação 26.........................................................................................................................................10
Equação 27.........................................................................................................................................10
Equação 28.........................................................................................................................................10
Equação 29.........................................................................................................................................10
Equação 30.........................................................................................................................................10
Equação 31.........................................................................................................................................10
Equação 32.........................................................................................................................................10
Equação 33.........................................................................................................................................10
Equação 34.........................................................................................................................................10
Equação 35..........................................................................................................................................11
Equação 36..........................................................................................................................................11
Equação 37..........................................................................................................................................11
Equação 38..........................................................................................................................................11
Equação 39..........................................................................................................................................11
Equação 40.........................................................................................................................................12
Equação 41.........................................................................................................................................12
Equação 42.........................................................................................................................................12
Equação 43.........................................................................................................................................12
Equação 44.........................................................................................................................................12
Equação 45.........................................................................................................................................12
Equação 46.........................................................................................................................................12
Equação 47.........................................................................................................................................12
Equação 1...........................................................................................................................................14
14
Equação 2...........................................................................................................................................14
Equação 3...........................................................................................................................................14
Equação 4...........................................................................................................................................14
Equação 5...........................................................................................................................................14
Equação 6...........................................................................................................................................14
Equação 7...........................................................................................................................................14
Equação 8...........................................................................................................................................14
Equação 1...........................................................................................................................................22
Equação 2...........................................................................................................................................22
Equação 3...........................................................................................................................................22
Equação 4...........................................................................................................................................22
Equação 5...........................................................................................................................................23
Equação 6...........................................................................................................................................23
Equação 7...........................................................................................................................................23
Equação 8...........................................................................................................................................23
Equação 9...........................................................................................................................................23
Equação 10.........................................................................................................................................23
Equação 11..........................................................................................................................................23
Equação 12.........................................................................................................................................23
Equação 13.........................................................................................................................................24
Equação 14.........................................................................................................................................24
Equação 15.........................................................................................................................................24
Equação1.............................................................................................................................................1
Equação 2.............................................................................................................................................1
Equação 3.............................................................................................................................................1
Equação 4.............................................................................................................................................1
Equação 5.............................................................................................................................................1
Equação 6.............................................................................................................................................2
Equação 7.............................................................................................................................................2
Equação 1.............................................................................................................................................3
Equação 2.............................................................................................................................................3
Equação 3.............................................................................................................................................3
Equação 4.............................................................................................................................................3
Equação 5.............................................................................................................................................3
Equação 6.............................................................................................................................................3
Equação 7.............................................................................................................................................3
Equação 8.............................................................................................................................................3
Equação 9.............................................................................................................................................3
Equação 10...........................................................................................................................................3
Equação 11............................................................................................................................................3
Equação 12...........................................................................................................................................4
Equação 13...........................................................................................................................................4
Equação 14...........................................................................................................................................4
xv
Lista de Abreviaturas
Tabela 1 : 
AC Alternated Current
%alfa aceleração angular mecânica
ATC Available Transfer Capability
B matriz de admitâncias nodais linear
CHESF Companhia Hidroelétrica do São Francisco
DC Direct Current 
%delta ângulos de abertura
E_d fluxo direto
EFD campos de excitação
EHV Extra-High Voltage
EMF field
E Tensão elétrica no gerador
F frequência
FACTS Flexible AC Transmission Systems
GTO Gate Turn-Off Thyristor
H constante de inércia
HV High Voltage
I momento de inércia
IEEE Institute of Electrical and Electronic Engineers
IGBT Insulated Gate Bipolar Transistor
LV Low Voltage
MOSFET Metal Oxide Semiconductor Field Effect
Transistor
MV Medium Voltage
O_e elétricos
OLTC On Load Tap Changers
O_m graus mecânicos
ONS Operador Nacional do Sistema
OPF Optimal Power Flow
P Potência ativa
P_BASE potência na base escolhida
PEN Plano Energético Nacional
P_m potência mecânica
PSS Power System Stabilizer
16
PWM Pulse Width Modulation
Q Potência reativa
R resistência
SSSC Static Synchronous Series Compensator
Statcom Static Synchronous Compensator
SVC Static VAR compensator
TCSC Thyristor Controlled Series Capacitor/Inductor
T_m torque mecânico
UPFC Unified Power Flow Controller
V velocidade nominal
V tensão
X reatância
Z impedância do sistema
1
Capítulo 1
Introdução
O sistema elétrico de potência é fundamentalmente constituído por três segmentos: geração, 
transmissão e consumo. Os conceitos abordados neste trabalho tratarão da geração e transmissão 
para diferentes perfis de consumo, objetiva-se construir um modelo de sistema gerador (máquina 
síncrona) ligado a um barramento infinito por meio de uma rede de transmissão de características 
conhecidas, tal modelo servirá como instrumento de análise da estabilidade de um sistema 
interligado de geração e transmissão.
Uma motivação complementar é a análise de diferentes condições de operação, com 
consumo variante e perdas de carga ou linhas de transmissão. Esse conjunto de análises reflete um 
estudo da estabilidade para sistemas de potência. Em [APC03] são descritos 3 agentes 
fundamentais da qualidade de energia elétrica desejada em sistemas de potência:
● A qualidade percebida da energia elétrica;
● A interrupção do serviço por motivos não relacionados à capacidade produtiva;
● A habilidade dos sistemas de se recuperar a falhas na transmissão de potência.
Porém os agentes observáveis do serviço prestado precisam ser complementado por critérios 
de segurança e custo, afinal não é de interesse social oferecer energia elétrica sob condições 
dispendiosas em exagero ou que ofereçam riscos.
De acordo com [PMA77] “A operação satisfatória de um sistema elétrico de potência 
depende da capacidade do engenheiro de manter um serviço confiável e ininterrupto aos 
consumidores...[ o operador de sistemas de potência deve manter um nível de qualidade muito alto 
quanto a continuidade do serviço prestado... ] um segundo requisito de operação confiável é manter 
a integridade da rede de potência.”
Satisfazer as condições de operação do sistema elétrico de maneira confiável e ininterrupto 
aos usuários e vislumbrando a integridade da rede requer que características admissíveis sejam 
observadas na rede e em cada equipamento individual, sejam elas intrínsecas à rede ou aos 
equipamentos.
Dentro de sistemas de potência algumas ações devem ser tomadas, conforme elencadas em 
[ElHawary]:
● Manter o balanço energético entre geração e demanda;
● Manter o balanço de reativos para controlar o perfil de tensão;
● Manter a condição ótima de geração com relação ao custo e efeito ambiental;
2
● Garantir a segurança do sistema quanto a contingências possíveis.
Em [WDJ95] foram reconhecidos alguns problemas relativos a sistemas elétricos de 
potência que precisam de solução por parte de um operador:
● Problemas de controle;
○ Computação em tempo real da capacidade disponível de transferência 
de potência (ATC - Available Transfer Capability);
○ Controle de fluxo de potência em tempo real;
○ Ferramentas para rearranjo estrutural da distribuição de potências, 
justificável economicamente;
○ Ferramentas para reorganização da distribuição de potências durante 
defeitos ou manutenções programadas;
○ Ferramentas para otimização da ação de contingências a falhas em 
sistemas de potência.
● Problemas econômicos;
○ Serviços de estimativa de custo e relação preço/risco em tempo real;
○ Ferramentas para operação ótima dos recursos de geração e 
distribuição de sistemas de potência;
○ Instrumentosde avaliação de custos para operação de sistemas de 
potência;
○ Métodos para precificação de obras estruturais em termos de 
necessidade e flexibilidade;
● Problemas de simulação.
○ Modelos de simulação de mercados;
○ Ferramentas de comunicação e apresentação da informação concreta 
para amparar projetos e acompanhamento dos sistemas de potência.
Os elementos que formam um sistema de potência costumam ter embutidos equipamentos 
para manobra, medição, proteção e controle. Assim compensadores controlados (síncronos ou 
estáticos), transformadores multi-taps e outros equipamentos auxiliares fazem parte do universo de 
sistemas de potência modernos.
O planejamento de sistemas de potência “... é um ato de sabedoria” [Ackoff], o operador é 
peça central pois dele depende a sabedoria para prever consequências de longo prazo e sensibilizar 
equacionamentos matemáticos para compatibilizar perdas de curto prazo para operar em margens de 
segurança a longo prazo.
Os critérios de planejamento inserem uma dimensão analítica extra ao problema de 
3
estabilidade, é inconcebível ao engenheiro estabelecer soluções estritamente técnicas, é inerente a 
formação profissional dos responsáveis por estes estudos o equilíbrio técnico financeiro de suas 
análises.
O primeiro capítulo deste trabalho inicia o estudo de máquinas síncronas como a base do 
sistema gerador de potência. Conforme [WDJ95] a importância do gerador síncrono é basilar pois 
“Os custos associados com sistemas de potência dependem de muitos fatores, mas em geral podem 
ser atribuídos aos custos da potência gerada (megawatts) em cada gerador”, portanto determinam 
uma faceta econômica que não pode ser ignorada.
O segundo capítulo transita nos elementos auxiliares do sistema de potência (Elementos 
FACTS - Flexible AC Transmission Systems), os elementos de transporte de potência e os 
consumidores são analisados quanto sua importância num modelo de fluxo de potências otimizado 
(OPF - Optimal Power Flow).
O terceiro capítulo discursa dos modelos aplicados ao estudo dos instrumentos de OPF 
enquanto facilitadores da análise, acompanhamento e planejamento das projeções de sistemas 
elétricos de potência, versa ainda do estudo da estabilidade de tais sistemas, integrando os 
conhecimentos do primeiro capítulo acerca dos geradores quando inseridos no fluxo de potências 
obtido do OPF.
O quarto capítulo demonstra diferentes estudos de casos em diversas plataformas de análise 
da estabilidade de sistemas de potência, tratando exclusivamente das capacidades técnicas das 
ferramentas para amparar o operador do sistema elétrico no seu papel de administrador e planejador. 
Ao fim de cada análise um cenário técnico é produzido, o qual deve ser analisado quanto a sua 
viabilidade financeira, assim não se costuma produzir apenas a “melhor solução” mas um conjunto 
de oportunidades equilibradas que atendam da melhor maneira possível o problema em questão, 
oferecendo suficiente relativização para um estudo econômico dos cenários.
Finalmente a conclusão introduz comentários do papel da análise e estudo de estabilidade 
em sistemas de potência, em especial relação aos problemas discutidos por [WDJ95], para os 
modernos mercados de energia elétrica e introduz novos questionamentos que podem ser discutidos 
em complemento, como a análise da qualidade da energia.
4
Capítulo 02
Representação de máquinas síncronas em estudos de estabilidade
O primeiro passo do estudo de estabilidade é produzir modelos matemáticos do sistema 
antes, durante e após o transiente, para tanto devem ser conhecidos e determinados:
● A rede; antes, durante e após o defeito;
● As cargas e suas características;
● Os parâmetros das máquinas síncronas;
○ Os sistemas de excitação das máquinas síncronas;
○ A turbina mecânica e o sistema de controle de velocidade;
○ Outros componentes influentes do torque mecânico da planta.
● Sistemas auxiliares de controle da rede, das tensões e dos mecanismos envolvidos na 
transmissão da energia.
Algumas características do sistema devem ser observados para uma boa aproximação 
matemática:
• tensões de excitação constante;
• ângulos mecânicos e elétricos estão em sincronia e em velocidade constante.
Com estas considerações observa-se um equilíbrio dentre todas as fases e sequência 
estritamente positiva.
Características intrínsecas como tensão nas máquinas síncronas e máxima abertura de 
entrada de fluídos nas turbinas geradoras tornam-se importantes critérios da qualidade percebida do 
serviço prestado, tal qualidade reflete-se na estabilidade total do sistema.
A estabilidade está relacionada à capacidade dos geradores síncronos de responderem às 
demandas de energia dos consumidores e às perdas inerentes aos componentes elétricos, assim o 
gerador é o ponto inicial de estudo.
2.1 A máquina síncrona
“Máquinas síncronas são a principal forma de gerador de corrente alternada (AC - 
Alternated Current), oferecem a energia elétrica necessária para todos os setores da sociedade 
moderna: indústrias, comércio, agricultura e uso doméstico.”[Wikipedia] Algumas das maneiras 
com que tais máquinas contribuem para esta oferta de energia são: sob a forma de geradores de 
velocidade constante ou compensadores de reativos em grandes sistemas de potência.
As máquinas do tipo síncrono costumam ser usados como geradores elétricos conectados as 
mais diversas fontes de energia mecânica, desde turbinas a gás de alta velocidade até fontes 
5
hidráulicas de potencial energético elevado e baixas velocidades de operação, em todo caso o 
gerador síncrono procura manter uma velocidade de rotação constante. [Wikipedia]
Figura 1: Grandes grupos de 
máquinas síncronas.
Dois grandes grupos de máquinas síncronas existem (Figura 1), as de armadura rotativa e 
as de campo rotativo. O primeiro tipo sendo raramente usado, dada a dificuldade em transmitir 
grandes potências por meio de anéis coletores, já o segundo tipo é universalmente aceito como 
gerador elétrico padrão, dada sua grande capacidade de geração [F553m]. As máquinas do tipo 
campo rotativo dividem-se quanto ao tipo de rotor usado, podendo ser do tipo polos lisos ou polos 
salientes, a primeira opera a altas velocidades e possuí poucos polos no rotor, ao passo que o 
segundo tipo possuí muitos polos e opera a velocidade menores. Usualmente as máquinas de polos 
salientes possuem integrados ao rotor uma estrutura “gaiola de esquilo” que permite melhor 
controle de corrente alternada e assim mais estabilidade.
Figura 2: Máquina síncrona 
ideal
Quando um gerador síncrono é alimentado por uma corrente de campo e sua rotação é 
mantida constante, uma tensão equivalente é produzida na armadura se uma carga balanceada é 
conectada aos terminais deste gerador. Então uma corrente equilibrada passa a existir nos 
enrolamentos da armadura, passando pelos enrolamentos produz um campo eletromagnético (EMF - 
Electromagneto field).
A frequência do campo eletromagnético relaciona-se à velocidade do rotor [Zhu], já a 
velocidade do campo magnético girante da armadura depende da frequência da corrente gerada, 
desta forma ocorre uma sincronização destas frequências, ou seja, incrementos na velocidade do 
rotor causam aumentos na frequência do campo eletromagnético que, por sua vez, altera a 
6
frequência da corrente.
Aspectos como limites máximo e mínimo de tensão e frequência nos equipamentos 
auxiliares do gerador síncrono, mínima potência gerada, máxima corrente suportada e condições deoperações mecânicas e físicas dos elementos constituem um nível importante de agente limitador 
do uso realista dos equipamentos e devem ser considerados em qualquer instalação de engenharia.
Para uma análise de um sistema no estado estacionário de operação observa-se que os 
efeitos da reação de armadura e das perdas nos enrolamentos devem ser consideradas e causam uma 
queda de tensão na reatância síncrona equivalente, enquanto a excitação do campo é formado por 
um gerador elétrico de corrente contínua (Direct Current - DC), a impedância total equivalente pode 
então ser descrita como 
Equação 1
, onde R é relativa as perdas de resistência da própria 
armadura. (Figura 3)
Figura 3: Modelo equivalente gerador 
síncrono
Figura 4: Diagrama fasorial 
gerador síncrono
A equação do modelo de segunda ordem é dada por:
Equação 2
Tal modelo é suficiente para análises preliminares, entretanto encontra cada vez menos 
validade nos modernos sistemas de potência em que os reguladores de tensão são cada vez mais 
rápidos.
Observa-se do diagrama fasorial (Figura 4), para o caso da referência ser colocada na tensão 
terminal, o ângulo de abertura para a tensão no gerador.
Em [HLZ] são consideradas três partes componentes no modelo de uma máquina síncrona: 
Z S=R jX S
V Gerador=V TerminalR jX  I
7
A parte mecânica, a parte elétrica, a turbina e o governador de potência. Cada uma das partes 
possuí uma diferente relevância no estudo da máquina síncrona e uma diferente influência no estudo 
de sistemas de potência.
2.1.1 A parte elétrica
Duas tensões em quadratura podem ser definidas quanto ao modelo elétrico, conforme 
Figura 2, as equações são definidas em [PMA77],[Wikipedia] e [HLZ]:
Equação 3
A Equação 3 determina a relação do campo em eixo direto do gerador síncrono quanto a 
seus termos de reatância em quadratura.
Equação 4
A Equação 4 determina a relação do campo em eixo de quadratura com os termos gerais de 
eixo direto equivalente e da tensão de campo a que se submete o gerador.
O conhecimento da parte elétrica é fundamental para análise da reação rápida do gerador 
síncrono, apesar da inércia da máquina ser a primeira relação de resposta as instabilidades do 
sistema, são os elementos elétricos quem produzem acréscimo de potência na máquina para atender 
mudanças na demanda.
A abertura angular percebida pela transformada Park ANEXO B Transformação de Park) 
reflete-se diretamente nos campos elétricos em eixo direto e quadratura, ou seja, a mudança da 
tensão de eixo em quadratura (estator) é causada pela atuação do sistema de excitação na tensão em 
eixo direto (rotor) e vice versa, acelerando ou reduzindo os campos magnéticos através das 
alterações de magnitude dos campos elétricos da transformada Park.
2.1.2 A parte mecânica
A relação entre o ângulo mecânico e as potências transferidas é fundamental no estudo 
de estabilidade das máquinas síncronas, tais relações são discutidas em [PMA77],[HLZ] e [CTF] 
como sendo:
Equação 5
A velocidade angular vista na Equação 5 relaciona-se com o efeito de amortecimento D e 
Ed '=
xd '−xq
1sT q0
I q
Eq '=
xd '−xd
1sT d0
I d
E fd
1sT d0
= 1
DsM
Pm−Pe 
8
momento M a que se submete a máquina, assim produzindo uma diferença de potência entre a 
mecânica e a elétrica disponível.
Equação 6
A relação da Equação 6 apresenta o ângulo de abertura da máquina síncrona em suas 
velocidade nominal de operação e ao slip característico da máquina.
As relações mecânicas de um gerador síncrono são nominais à máquina, assim a velocidade 
e ângulo de abertura mudam de acordo com as características do sistema e cada máquina reage de 
acordo com suas características de amortecimento e momento mecânico às mesmas condições de 
distúrbios. Assim o controle mecânico se dá indiretamente sobre os efeitos de torque controlados 
pelo sistema governador da turbina.
2.1.3 A turbina e sistema governador
Diversos elementos de controle funcionam em paralelo ao gerador síncrono, lidando desde o 
volume de fluído (potência mecânica disponível) até a tensão DC disponível nos enrolamentos de 
campo do gerador, conforme [PMA77] e [HLZ]:
Equação 7
A potência relativa a ação do governador é determinada por uma constante direta a 
velocidade e a relação de tempo do estator.
Equação 8
A potência de eixo direto da turbina relaciona-se com a potência que o governador passa à 
turbina e a uma constante de tempo do motor acoplado.
Equação 9
A potência elétrica é relacionada a potência do eixo direto da turbina e a constante de tempo 
do sistema hidráulico.
Equação 10
=0

s
P r=
K G
1sT SR

Ph=
1
1sT SM
P r
Pc=
1
1sT CH
Ph
Pm=
sK RH T RH
1sT RH
P c
9
A potência mecânica é relação direta da potência elétrica no caso motor e vice versa no caso 
gerador, o conjunto de equações representativas do efeito mecânico orientam a reação linear do 
conjunto turbina rotor.
A partir da continuidade do distúrbio ou aumento de carga o sistema governador é a última 
base de atuação do gerador síncrono, por sua velocidade de resposta mais lenta e pela capacidade de 
restabelecer grandes quantidades de potência, o sistema governador da turbina atua sobre condições 
de cargas bastante peculiares, do volume de fluído que é admitido às pás da turbina, a quantidade de 
torque que se permite dar ao eixo da turbina ligado ao rotor até a potência elétrica e mecânica que 
são distribuídas dentre os elementos.
2.1.4 Excitação
Os campos de excitação seguem uma modelagem descrita por [HLZ].
Equação 11
A tensão de campo, responsável pela geração do campo magnético de excitação é devida a 
tensão de eixo direto menos as perdas diretas e reatância direta. Igualmente a tensão em quadratura 
é relação da tensão deslocada em quadratura e das perdas e reatância de quadratura.
Equação 12
Equação 13
A potência, então é determinada das relações de correntes e tensões para mover o sistema 
direto (rotor) e quadratura (estator).
2.2 Equação de oscilação de uma máquina síncrona
O fator relevante para uma máquina girante é o torque mecânico aplicado ao rotor, 
matematicamente definido:
Equaçã
o 14
Lei mecânica, dados α a aceleração angular mecânica do eixo e I o momento de inércia do 
eixo.
A teoria de máquinas síncronas oferece uma relação entre graus mecânicos no rotor e graus 
elétricos correspondentes:
E fd=Ed '−Ra I d−xd ' I q
V tq=E q '−Ra I q−xd ' I d
Pe=Ed ' I dEq ' I q
T 1= I
10
Equação 
15
Graus elétricos se relacionam com polos sobre 2 graus mecânicos.
Como a frequência da rotação é dada por [PMA77][Zhu][ElHawary]:
Equação 16
Equação 17
Esses ângulos são medidos com relação uma referência estacionária, usualmente o plano do 
solo. É interessante definir um plano rotativo de potência conhecida, pois a partir dele é direto 
reconhecer incrementos nos ângulos de abertura.
Figura 5: Relação angular entre 
referências e ângulo de abertura d
Assim cada um dos vetores angulares possui uma velocidade rotativa e aceleração angular, 
tais que:
Equação 18
Equação 19
Como:
Equação 
20
f = P
2
rpm
60
e=
60f
rpm
m
d 
dt
=
de
dt
−0
d 2
dt2
=
d 2e
dt2
e=
P
2
m
d 2m
dt 2
=
11
E:
Equação 21
Então
Equação 22
Equação 23
Equação 24
Equação 25
Como: 
Equaçã
o 26
Equação 27
Cujo interesse até este ponto é encontrar um valor de torque em p.u.
Equação 28
Equação 29
Torque em p.u. é a potência na base escolhida sobre a velocidade nominal para esta potência.
Equação 30
d 2
dt2
=
d 2 60f
rpmm
dt 2
d 2
dt2
= 60f
rpm
d 2m
dt 2
d 2 rpm
dt260f
=
d 2m
dt 2
=
rpm d 2
60f dt2
T 1= I
T 1=
rpm
60f
I d
2
dt 2
T  pu=
PBASE

=2 rpm
60
T 1 pu =
T 1
T BASE
e=
60f
rpm
m
12
Equação 31
Equação 32
Na literatura [PMA77] costuma-se definir um termo Hconhecido como constante de 
inércia para máquinas rotativas, definido como:
Equação 33
O que leva a um novo equacionamento para o torque líquido na ponta da máquina síncrona:
Equação 34
Entretanto, sabe-se que o torque líquido na ponta da máquina é resultado da transformação 
do torque mecânico total aplicado em “torque” elétrico, de tal sorte que:
Equação 35
Equação 36
Em p.u. torque e potência respeita a mesma proporcionalidade, logo é possível analisar a 
variação do ângulo de abertura para diferentes condições de operação:
Equação 37
Analisando a Figura 4 é possível determinar a potência elétrica do sistema, seja:
Equação 38
Conhecida a tensão terminal e a impedância do sistema, para uma resistência insignificante, 
que é o tipo de projeto mais comum:
T 1 pu =
rpm
60f
I d
2
dt2
PBASE
2 rpm
60
T 1 pu =
2 I  rpm2 d 2
f PBASE 3600 dt
2
H=
1
2
I  2 rpm
60

2
P BASE
T 1 pu =
H d 2
 f dt 2
T 1=T m−T e
T m  pu−T e  pu=
H d 2
 f dt2
d 2
dt2
=
 f
H
Pm  pu−Pe  pu 
P e=V I sin 
13
Equação 39
Raramente um gerador síncrono operará isolado, um conjunto de geradores operam em 
paralelo para fornecer energia a rede elétrica, assim eles devem operar em sincronia, tal fato é 
modelado por uma conexão de cada gerador a um barramento infinito.
Uma definição da estabilidade de tais máquinas é suficiente para este trabalho, da literatura 
[PMA77][WDJ95][F553m] tem-se que uma condição de estabilidade fundamental é que as 
máquinas síncronas permaneçam sincronizadas, de acordo com [PMA77] “Se a resposta oscilatória 
de um sistema de potência durante um transiente subsequente a um distúrbio for amortecido 
[estabilidade assintótica] e o sistema estabilize em um tempo finito numa nova condição de 
operação estacionária, dizemos que o sistema é estável.”
Um defeito causa duas reações distintas nas máquinas síncronas, uma relativa ao efeito do 
fluxo direto da máquina e outro relativo as correntes de excitação, qualquer defeito prontamente 
modifica os termos de correntes, enquanto a reação de fluxo magnético leva na ordem de um 
segundo [Zhu] para ser sentido na reação da máquina, assim um modelo que leve em consideração 
uma máquina de fluxo principal constante pode ser usado na maioria das análises.
2.3 Modelo da máquina síncrona, fluxo principal constante
A construção do modelo de uma máquina síncrona está ligada a ação dos fluxos magnéticos 
internos e suas reações no ângulo e módulo de tensão terminal, ao se desprezar as mudanças 
causadas no fluxo direto, um bom modelo pode ser descrito.
Figura 6: Máquina(E) ligada 
a barramento infinito(V)
No modelo simplificado da Figura 6 é possível analisar os efeitos de uma máquina de fluxo 
magnético constante ligado a um barramento infinito por uma reatância constante.
Equação 
40
P e=E
V t
X
sin =Pmsin 
E=E∨
14
Equação 
41
Equação 
42
Equação 43
Equação 44
Equação 45
Equação 
46
Equação 47
V=V∨0
X=X∨
V−E=X I
I∨=V∨0−E∨
X∨
I∨=V
X
∨−− E
X
∨−
P=E I '
P= EV
X
∨−
E2
X
∨
15
Capítulo 03
Elementos de compensação de sistemas elétricos de potência
Linhas de transmissão não ideais incluem elementos capacitivos e indutivos em sua 
representação junto ao sistema elétrico de potência causando relevantes distúrbios na distribuição 
energética. Os efeitos nocivos destas impedâncias de linha precisam ser combatidos, assim diversos 
termos foram desenvolvidos para melhorar o aspecto de potência transmitida por uma linha de 
energia. O sistema elétrico padrão é composto por elementos geradores, cujas tensões de saída são 
elevadas para termos ultra altos de tensão (Extra-High Voltage - EHV) e transmitidos de uma área 
produtora para outra consumidora.
Na unidade consumidora as tensões são reduzidas a alta tensão (High Voltage - HV), onde 
os consumidores de maior porte estão conectados (indústrias, shoppings etc), e média tensão 
 (Medium Voltage - MV) que finalmente distribuí energia para as cargas menores (residenciais, 
comerciais etc) num último ramal de baixa tensão (Low Voltage - LV).
As dificuldades de um sistema de potência produzem muito mais complexidades do que a 
simples tríade: geração, transmissão e consumo fazem parecer, durante a geração as máquinas 
podem sair de sincronia podendo causar prejuízos financeiros e transtornos sociais inadmissíveis. 
As linhas de transmissão produzem efeitos de perdas (ativas e reativas) que reduzem níveis de 
tensão e alteram os ângulos das cargas trazendo problemas de sincronia e estabilidade em longas 
linhas. O consumo cada vez maior de cargas não lineares exigem potências do sistema de uma 
maneira imprevisível. Todos estes efeitos existem nos modernos sistemas de potência e precisam ser 
combatidos.
A segurança da operação requer dispositivos de controle bastante precisos, porém a última 
linha de defesa para sistemas de potência são os elementos de proteção, há uma relação peculiar 
entre controle e proteção, haja visto que ambas devem agir em oposição a perda de uma condição 
ideal de operação, em [SAC] refere-se aos sistemas de proteção como atuadores locais que não 
possuem relação com elementos de controle naquele trecho localizado do sistema, entretanto a 
vulnerabilidade de atuação de controles ao invés de proteção ou vice versa é um problema de 
extrema complexidade.
Elementos diversos são usados no controle da distribuição de energia do sistema: reatores e 
capacitores fixos ou ajustáveis são posicionados em certos pontos do sistema melhorando a 
flexibilidade de operação da rede. Para aumentar o desempenho nas barras de alta, média e extra 
altas tensões diversos dispositivos foram criados: transformadores de TAP variável, 
transformadores reguladores e diversos outros equipamentos que produzam uma relação mais 
16
flexível de reativos nas linhas são usados, os mais modernos são chamados de tipo sistema de 
transmissão AC flexível (Flexible AC Transmission System - FACTS ).
3.1 Elementos FACTS
Segundo o IEEE (Institute of Electrical and Electronic Engineers) elementos FACTS são 
[IEEET]“Sistemas baseados em eletrônica de potência e outros equipamentos estáticos que 
proporcionam controle de um ou mais parâmetros de sistemas de transmissão AC visando melhorar 
a controlabilidade e incrementar a capacidade de transferência de potência.”. Seja um caso de 
linha de transmissão sem perdas, a magnitude da tensão no começo da linha deve ser igual a tensão 
terminal da linha, assim apenas um atraso de ângulo deve ser observado dada a reatância da linha.
Equação 1
Equação 2
Equação 3
A corrente e as potências podem ser determinadas, para uma linha de transmissão sem perdas.
Equação 4
Equação 5
Equação 
6
Equação 7
Equação 8
V s=V t=V
V s=V cos 

2
 j V sin  
2

V t=V cos 

2
− j V sin 
2

I=
V t−V s
jX
I=
2V cos 
2

jX
S=VI−1
P=V cos  
2

2Vsin  
2

X
Q=V sin  
2

2V sin 
2

X
17
Busca-se pela inserção dos elementos FACTS modificar o termo de reatância da Equação 7 e 
Equação 8, melhorando o perfil de potência do sistema de transmissão.
3.1.1 SVC - Static VARcompensator
Um compensador estático é um instrumento de inserção de reativos em sistemas de alta 
tensão de maneira rápida. [JDK04] SVCs fazem parte dos elementos flexíveis para transmissão AC, 
agindo no sentido de regular tensões e estabilizar o sistema de potência, o termo estático (static) 
provém da inexistência de partes móveis, ao passo que realizam a mesma tarefa das máquinas 
condensadores síncronas [DAK].
O aspecto fundamental para uso de um SVC é automatizar o casamento de impedâncias, 
mantendo o sistema próximo da condição unitária de fator de potência, assim se a tendência de 
operação é de incremento de cargas capacitivas o SVC usará reatores controlados por tiristores para 
consumir o excedente de Vars do sistema, ou no caso da presença predominante de cargas reativas 
os tiristores ligam capacitores ao sistema.
Figura 1: Esquemático de um SVC capacitivo ligado a transformador linear
Figura 2: Esquemático de um SVC reativo ligado a transformador linear
18
A presença do compensador estático modifica a reatância da rede, melhorando as 
características do perfil de potência.
3.1.2 STATCOM - Static Synchronous Compensator
É um elemento de potência utilizado na compensação de potência reativa provendo suporte de 
tensão em áreas críticas do sistema, é o sucessor natural das máquinas síncronas que eram usadas 
exclusivamente para alimentar reativos no sistema, porém com vantagens no tempo de resposta, 
sem instabilidade mecânica rotacional, com elevada impedância de curto circuito e menos 
susceptível a manutenções frequentes.
3.1.3 SSSC - Static Synchronous Series Compensator
O compensador estático síncrono série é um conversor com fonte de tensão e transformador 
ligados em série com a linha de transmissão, assim o SSSC injeta tensão em diferentes magnitudes 
numa relação de quadratura com a corrente de linha, tal qual causaria um reatância indutiva ou 
capacitiva. A presença deste termo modificador da reatância da linha influencia a potência elétrica 
transmitida.
Figura 3: Esquemático de um STATCOM exemplo no MATLAB
19
3.1.4 TCSC - Thyristor Controlled Series Capacitor/Inductor
Capacitor/Indutor série controlado por tirístor opera com os tiristores modificando um 
ângulo de gatilhamento de variação conhecida, a operação destes elementos deve ser restrita a 
ângulos que evitem a superposição do gatilhamento com possíveis ressonâncias, cada aumento do 
ângulo de gatilhamento produz maior transferência de potência. Para mudar o modo de operação 
(indutivo, capacitivo ou manual) uma chave de controle costuma ser usada no elemento.
3.1.5 UPFC - Unified Power Flow Controller
Um controlador de fluxo de potência universal é a união de dois conversores 
complementares, o STATCOM e do SSSC, o controle da tensão das barras é realizado pela absorção 
ou geração de reativos na barra enquanto permite transferência de potência ativa do conversor série.
3.1.6 OLTC - On Load Tap Changers (Phase Shifting or Regulating)
A regulação de tensão é realizada por um transformador de relações de enrolamento variável, 
conectando cada fase a um enrolamento de regulação em série com um enrolamento de potência 
escolhida, a variação de taps produz diferentes relações de transformação.
A inversão das chaves de conexão permitem controlar o efeito aditivo ou subtrativo dos taps 
variáveis em torno do valor central de regulação.
3.2 Elementos de carga
3.2.1 Controle variável de velocidade para máquinas AC
Controlar a velocidade de máquinas elétricas AC requerem instrumentos de comutação forçada 
como chaves IGBT (Insulated Gate Bipolar Transistor), MOSFET(Metal Oxide Semiconductor 
Field Effect Transistor) ou GTO (Gate Turn-Off Thyristor). Máquinas assíncronas alimentadas por 
pulsos de largura modulada (PWM - Pulse Width Modulation) geradas em fontes conversoras de 
potência são instrumentos cada vez mais comuns, substituindo motores DC e ponte de tiristores. 
Com o PWM e modernas técnicas de controle como controle de fluxo orientado ou direto de torque 
obtém-se uma liberdade de controle antes só atingida em máquinas DC.
20
3.3 Cargas não lineares
Cargas não lineares são comuns em ambientes de potências, soldas a arco, varistores, indutores 
saturáveis e novos tipos de motores apresentam características não lineares, um bom modelo deste 
tipo de equipamento é importante na moderna análise de sistemas de potência, sua estabilidade e 
especialmente em relação à qualidade do sinal de potência.
Figura 4: Motor Assíncrono controlado por PWM
Figura 5: Esquemático de uma carga não linear programável
21
3.4 Elementos auxiliares
3.4.1 PSS - Power System Stabilizer
Um sistema PSS serve como amortecimento para oscilações de máquinas síncronas pelo 
controle de sua excitação, distúrbios do sistema de potência induzem oscilações eletromecânicas 
dos geradores elétricos, tais oscilações (power swings) devem ser controlados para manter a 
estabilidade do sistema.
Usualmente um PSS é controlado por contínua análise do desvio da velocidade da máquina 
ou pela aceleração da geração de potência útil e produz como fator de controle um sinal de tensão 
de estabilidade.
3.4.2 Transformadores
Usualmente a geração em máquinas síncronas realiza-se a tensões relativamente baixas por 
questões econômicas, enquanto a transmissão é beneficiada por valores elevados de tensão pelos 
mesmos motivos, para solucionar este impasse técnico financeiro os transformadores de potência 
atuam no sentido de aumentar e diminuir tensões elétricas nos elementos.
Figura 6: Esquemático para observação de uma carga não linear 
22
Capítulo 04
Comparação das ferramentas
A análise de problemas reais é multifacetada, uma boa solução precisa congregar pelo 
menos três características: qualidade, economia e segurança [ElHawary], os capítulos anteriores 
dispuseram elementos necessários ao suporte desta tríade.
Poucos itens detalham as possibilidades de controle de um sistema de potência, são elas:
● A tensão das máquinas síncronas.
● A produção de energia ativa.
● As variáveis ajustáveis de todos os elementos formadores do sistema de potência.
○ Ajustes de controle f/P (frequência/Potência ativa): válvulas, 
reguladores de frequência e geração de potência ativa.
○ Ajustes de controle V/Q(tensão/Potência reativa): excitação das 
máquinas síncronas e de elementos ajustáveis.
Outros elementos são objetos do estudo de estabilidade:
● Magnitude de tensão nas barras.
● Ângulo de tensão nos barramentos.
● Fluxos de potências ativa e reativa nas linhas e transformadores.
● Perdas.
● Potência reativa gerada ou absorvida nas barras controladas.
Soma-se ao efeito sobre as possibilidades de itens controláveis, a opção de planejamento 
financeiro que nunca pode ser abandonada na boa constituição de solução de engenharia, assim 
elementos de custos devem sempre ser lembrados e considerados em qualquer análise realizada a 
sistemas de potência como a qualquer outro instrumento de engenharia.
A atual situação do sistema interligado nacional está descrito pelo Operador Nacional do 
Sistema - ONS no Plano Energético Nacional - PEN 2010 “nos próximo 5 anos deverão ser 
implementados cerca de 27 GW (cerca de 50% provenientes de fontes térmicas), evoluindo a 
potência instalada no Sistema Interligado Nacional, de aproximadamente 104 GW, em dezembro de 
2009, para 130 GW em dezembro de 2014. O PEN 2010 traz diversas recomendações, como a 
indicação da necessidade de estudos para a ampliação da Interligação Norte Sul e da capacidade 
de exportação de energia da Região Nordeste, devido à grande concentração da expansão da 
ofertatérmica nessa região a partir de 2012.”
23
4.1 Solução numérica no MATLAB
Uma solução matemática ao problema deve ter limites definidos para sua correta execução. 
No caso de sistemas elétricos de potência alguns agentes limitantes são o de carga e de operação.
A correta operação do sistema se dá enquanto os limites de carga e operação estejam sendo 
obedecidos, entretanto existem diversas condições de estado de operação normal estando o 
sistema dinamicamente variando de um estado normal a outro.
Efeitos mais críticos sobre o circuito analisado podem causar a passagem do sistema para 
um estado de emergência, cujo retorno a uma condição de normalidade pode não ser observada. 
Entretanto o estado de emergência pode causar modificações na estrutura da rede, por 
desligamentos de dispositivos, atuações de elementos de controle e segurança dentre outras 
estruturas da rede, levando a uma condição de estado restaurativo de operação.
Figura 1: Estrutura de mudança de 
estados para o sistema elétrico de 
potência operando em tempo real
O interesse do operador de sistemas elétricos de potência é manter o estado normal sempre. 
Assim os elementos de segurança devem agir na transição entre estados normais de atuação sem 
requerer estados emergenciais ou restaurativos, logo um conjunto de restrições de segurança 
precisa ser determinado.
Os aspectos de segurança do sistema são descritos em [Delgado] quanto a três condições 
práticas que devem ser observada:
● Monitoração de segurança, o sistema é continuamente verificado quanto a sua 
condição de solução dentro das restrições de segurança, provendo uma análise 
situacional da segurança do SEP;
● Análise de contingências, a todo instante o modelo do SEP é submetido a um 
conjunto pré-determinado de contingências mais prováveis, o resultado da resposta 
oferece uma figura em tempo real da segurança;
● Controle preventivo, caso o SEP saia do seu estado normal seguro uma série de 
ações deve ser tomada de maneira a otimamente retornar a segurança;
24
4.1.1 Restrições de carga
São restrições de igualdade referidas a necessidade de equilíbrio entre geração e consumo 
nos sistemas elétricos.
Equação 1
As funções não lineares g são um tipo de equação com um vetor de variáveis dependentes 
(x) e outro vetor de variáveis de controle (u) correspondente aos fluxos de potência em regime 
permanente do sistema.
4.1.2 Restrições de operação
São restrições de operação, os limites operacionais dos equipamentos, sendo, portanto, 
equações de desigualdade.
Equação 2
Cujo h é um conjunto de funções também não lineares cujos termos dependentes e de 
controle são vetoriais.
4.1.3 Restrições de segurança
São restrições relevantes a manutenção do sistema em um estado normal de operação frente 
contingências que se avultem sobre o sistema de potência.
Equação 3
Enquanto a condição das funções não lineares estiverem satisfeitas o sistema estará numa 
condição normal segura para o conjunto de contingências vislumbrado em s, caso seja inobservada 
a restrição de segurança o sistema passará a condição de alerta.
4.2 Método linearizado
O método linearizado é tal que algumas características devam ser tomadas verdadeiras:
● As magnitudes de tensão em todas as barras são nominais, ou seja, 1.0 p.u;
● As aberturas angulares na rede sejam pequenas, tais que:
Equação 4
● As resistências série nas linhas sejam desprezíveis.
Sob estas hipóteses é possível tomar:
g  x ,u=0
h x , u ≤0
s x , u ≤0
sin  j−i= j−i
25
Equaçã
o 5
A potência injetada (P) nos nós é o produto da matriz de admitâncias nodais linear (B) 
multiplicada pelo vetor de ângulos nodais. (δ)
Os elementos da matriz de admitâncias nodais são semelhantes ao original, exceto pela 
eliminação dos termos reais, tal que:
Equação 6
Nas barras adjacentes a barra k:
Equação 7
Caso as admitâncias sejam mudadas em qualquer das barras/linhas, então a matriz precisa 
ser modificada coerentemente, uma mudança que ocorra na linha k-l deve produzir modificações 
apenas em termos específicos da matriz de admitâncias nodais (k-k, k-l, l-k e l-l).
Para que seja possível descrever as mudanças na matriz de admitâncias conforme:
Equação 8
Deve-se considerar que uma matriz de auxílio M, representativa do vetor unitário na direção 
k-l seja determinado:
Equaçã
o 9
Equação 10
Onde é um vetor nulo exceto, e , então:
Equação 11
Generalizado para múltiplas linhas modificadas:
Equação 12
P=B
B k−l=−Y kl se k≠ l
B k−k=∑ Y kk
B=B0B
M=ekl
Y=Y kl
B=M Y M T
M=[ek1 l1 ek2 l 2... ek n ln]
26
Equação 13
4.3 Descrevendo o problema
As matrizes de geradores, linhas de transmissão e transformadores servem de ponto inicial 
para análise da matriz de impedâncias do sistema. Para uma análise de fluxo de potência poucos 
itens estão disponíveis ao operador para corrigir problemas, são eles:
● Velocidade das turbinas e valores de excitação dos geradores síncronos;
● Bancos de capacitores, reatores shunt e compensadores estáticos;
● Controle dos taps e regulação de transformadores;
● Controle dos elementos FACTS.
A relação da velocidade da turbina (prime mover) e de excitação estão relacionados a 
potências ativa e reativa do gerador síncrono.
A relação entre potência ativa e reativa é determinada pelo ângulo de potência . Do ponto 
de vista operacional a atuação sobre a velocidade da turbina geradora sob condição de tensão de 
excitação constante produzirá aumento proporcional do ângulo de potência,
Equação 14
, e por 
conseguinte a potência útil ativa ao mesmo tempo que a relação de potência reativa se reduz.
Já o termo reativo é susceptível a mudanças da tensão de excitação, fato observado na 
equação 
Equação 15
, do ponto de vista operacional um aumento da excitação sob 
condição de rotação do rotor constante causa redução do ângulo de potência, pois a potência ativa 
deve permanecer constante enquanto os reativos aumentam sob forma de corrente induzida no 
estator e por conseguinte elevação da tensão do barramento ligado ao gerador.
O efeito da adição de um banco de capacitor shunt é semelhante a mudança da tensão no 
barramento, o capacitor atua como fonte de reativos para o sistema, ao passo que o reator shunt age 
no sentido oposto.
Para todos os exemplos de códigos usados os sistemas base utilizados: IEEE 9 bus (figura 
20) e Sistema CHESF (Companhia Hidroelétrica do São Francisco) Oeste simplificado (figura 21 ).
Y=[Y k1 l1 0 ... 00Y k2 l 2... 00 0 ...Y k n ln]
P= EV
X
sin 
Z=V
X
E cos −V 
27
Figura 2: Diagrama unifilar do sistema IEEE 9 Bus
Figura 3: Diagrama unifilar do sistema CHESF 
Oeste simplificado - Modificado
Antes de prosseguir na análise do problema é preciso descrevê-lo, no MATLAB foi 
desenvolvido uma sequência de códigos que implementa níveis de complexidade crescente do 
problema, a primeira solução determina-se por um sistema de entrada de informações superficiais 
de geradores, cargas e linhas e realiza uma análise linear do fluxo de potência.
O segundo sistema desenvolvido em MATLAB permite uma entrada mais completa de 
dados de linhas, geradores e cargas, realizando uma aproximação pelo método de Newton-Raphson 
28
modificado para fluxo de potência através dos toolboxes MATPOWER e MATDYN.
O terceiro sistema utiliza as ferramentas do SIMULINK para construir um modelo gráfico 
do problema, com geradores, transformadores, linhas e cargas bem definidas, a solução pode ser 
analisada por um conjunto de ferramentas que compõem o TOOLBOX