mechatronics physics2

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F´ısica para a Mecatroˆnica
Volume 2 – Equil´ıbrio, Fluidos, Ondas e
Termodinaˆmica
Fernando C. Guesser
fernando.guesser@ifsc.edu.br
16 de junho de 2014
versa˜o atualizada dispon´ıvel em www.joinville.ifsc.edu.br/∼fernando.guesser
Suma´rio
1 Equil´ıbrio e Elasticidade 1
2 Gravitac¸a˜o 6
3 Fluidos 8
4 Oscilac¸o˜es 12
5 Temperatura e Calor 25
6 Teoria Cine´tica dos Gases 30
7 Leis da Termodinaˆmica 33
i
Por que estudar F´ısica na
Mecatroˆnica?
Muita gente diz que na˜o gosta de f´ısica, mas voceˆ ja´ parou para pensar o
quanto esta cieˆncia colabora para o desenvolvimento tecnolo´gico e cientifico,
ale´m e´ claro, de tornar muitos processos mecatroˆnicos poss´ıveis de serem reali-
zados.
A f´ısica esta´ presente em todo campo da mecatroˆnica, pois todos os princ´ıpios
de funcionamento dos diversos componentes eletroˆnicos e mecaˆnicos sa˜o regidos
por fenoˆmenos f´ısicos apresentados em experieˆncias laboratoriais.
E´ de extrema importaˆncia o conhecimento de muitos conceitos f´ısicos para
que o profissional possa entender como funcionam os diversos componentes pre-
sentes na mecatroˆnica e projetar novos dispositivos.
A f´ısica pode ser considerada como o bastidor da mecatroˆnica e das diversas
a´reas da engenharia, pois muitas tecnologias e componentes empregados no
cha˜o de fa´brica tais como, motores, soleno´ides, sensores, resistores, prensas e
etc, utilizam princ´ıpios f´ısicos.
- Por que quando desligamos um motor ele ainda continua o seu movimento?
- O que e´ corrente ele´trica?
- Como funciona o termoˆmetro?
- Como funciona um sensor?
- Como e´ formado um campo magne´tico?
...
-Como as coisas funcionam?
Vire a pa´gina e comece a desvendar as respostas ao longo do segundo volume
deste livro.
Nesse volume iniciamos o estudo da ondulato´ria e termodinaˆmica.
ii
Cap´ıtulo 1
Equil´ıbrio e Elasticidade
Condic¸o˜es de equil´ıbrio: Para um corpo r´ıgido estar em equil´ıbrio, duas
condic¸o˜es devem ser obedecidas. ∑
~F = 0
∑
~τ = 0
Tensa˜o, deformac¸a˜o e lei de Hooke: A lei de Hooke afirma que em
deformac¸o˜es ela´sticas, a tensa˜o (forc¸a por unidade de a´rea) e´ proporcional a`
deformac¸a˜o (frac¸a˜o da deformac¸a˜o). A constante de proporcionalidade e´ deno-
minada mo´dulo de elasticidade.
Tensao
Deformacao
=Modulo de Elasticidade
Sua unidade de medida no SI e´ o Pascal, 1Pa = 1N/m2.
Tensa˜o de dilatac¸a˜o e de compressa˜o: O mo´dulo de elasticidade conhe-
cido como mo´dulo de Young e´ dado por
Y =
tensao de dilatacao
deformacao de dilatacao
=
F⊥/A
∆l/l0
Tensa˜o volume´trica: O mo´dulo de elasticidade conhecido como mo´dulo
de compressa˜o e´ dado por
B =
tensao volumetrica
deformacao volumetrica
=
F⊥/A
∆V/V0
O inverso do mo´dulo de compressa˜o denomina-se compressibilidade: k =
1/B
Tensa˜o de cisalhamento: Omo´dulo de elasticidade conhecido como mo´dulo
de cisalhamento e´ dado por
S =
tensao de cisalhamento
deformacao de cisalhamento
=
F⊥/A
x/h
Os limites da lei de Hooke: O limite de proporcionalidade corresponde a`
tensa˜o ma´xima para a qual a tensa˜o e a deformac¸a˜o sa˜o proporcionais. Acima
1
2 CAPI´TULO 1. EQUILI´BRIO E ELASTICIDADE
Material Y (Pa) B (Pa) S (Pa)
Alumı´nio 7,0×1010 7,5×1010 2,5×1010
Bronze 9,0×1010 6,0×1010 3,5×1010
Cobre 11×1010 14×1010 4,4×1010
Ferro 21×1010 16×1010 7,7×1010
Chumbo 1,6×1010 4,1×1010 0,6×1010
Ac¸o 20×1010 16×1010 7,5×1010
Tabela 1.1: Mo´dulos de elasticidade aproximados
disto a lei de Hooke na˜o e´ mais va´lida. O limite de elasticidade e´ a tensa˜o acima
da qual ocorre deformac¸a˜o irrevers´ıvel. A tensa˜o de fratura ou limite de rigidez
e´ a tensa˜o acima da qual ocorre fratura do material.
Material Tensa˜o de ruptura (Pa ou N/m2)
Alumı´nio 2,2×108
Bronze 4,7×108
Ferro 3,0×108
Ac¸o 5-20×108
Tabela 1.2: Tensa˜o de ruptura aproximada de alguns materiais
3
Exerc´ıcios Aplicados
1. Uma barra vertical esta´ presa a` uma dobradic¸a na extremidade inferior e
a um cabo na extremidade superior. Uma forc¸a horizontal ~Fa e´ aplicada
a` haste, como mostra a figura. Se o ponto de aplicac¸a˜o da forc¸a e´ deslo-
cado para cima ao longo da haste, a tensa˜o do cabo aumenta, diminui ou
permanece a mesma?
2. A distaˆncia entre os eixos dianteiro e traseiro de um automo´vel Saveiro e´
de 2,598 m. A massa do automo´vel e´ 1005 kg e seu centro de gravidade
esta´ situado 1,78 m a` frente do eixo traseiro. Com o automo´vel em terreno
plano, determine o mo´dulo da forc¸a exercida pelo solo:
(a) Sobre cada roda dianteira (supondo que a forc¸a exercida sobre as
rodas dianteiras sa˜o iguais).
(b) Sobre cada roda traseira (supondo que a forc¸a exercida sobre as rodas
traseiras sa˜o iguais).
3. Na figura abaixo o comprimento da viga e´ 8,00m e seu peso e´ de 1000N .
Um homem de 80, 0kg esta´ a uma distaˆncia de 2,00m da parede e o aˆngulo
do cabo com a viga e´ de 53,0◦.
(a) Determine a trac¸a˜o no cabo.
(b) Determine a forc¸a ~F da parede sobre a viga.
4 CAPI´TULO 1. EQUILI´BRIO E ELASTICIDADE
4. Na figura abaixo, para um peso P = 1000N atuando numa barra de 40kg
com 3m de comprimento:
(a) Determine a trac¸a˜o no tirante.
(b) Determine as forc¸as Fx e Fy de reac¸a˜o no apoio.
[Obs: Na˜o esquec¸a de considerar o peso da barra.]
5. Uma viga uniforme de peso 700 N e 5,0 m de comprimento esta´ suspensa
horizontalmente. No lado esquerdo esta´ presa a uma parede por uma
dobradic¸a; no lado direito e´ sustentada por um cabo fixado na parede a
uma distaˆncia D acima da viga. A tensa˜o de ruptura do cabo e´ 1200 N .
(a) Que valor de D corresponde a essa tensa˜o?
(b) Para que o cabo na˜o se rompa, D deve aumentar ou diminuir em
relac¸a˜o a esse valor?
6. Um eixo de ac¸o de 2,0m de comprimento possui um diaˆmetro de 0,62cm.
O eixo esta´ suspenso por uma das extremidades em uma estrutura de
suporte, e uma fresadora de 550kg e´ suspensa na extremidade inferior do
eixo. Determine:
(a) A tensa˜o.
(b) A deformac¸a˜o.
(c) A dilatac¸a˜o do eixo.
7. Um arame circular de ac¸o de comprimento igual a 2,0m na˜o pode se dilatar
mais do que 0,25cm quando uma tensa˜o de 400N e´ aplicada a cada uma
de suas extremidades. Qual e´ o diaˆmetro mı´nimo necessa´rio para esse
arame?
8. Uma prensa hidra´ulica conte´m 0,25m3 (250L) de o´leo. Calcule a di-
minuic¸a˜o de volume do o´leo quando ele e´ submetido a um aumento de
pressa˜o ∆p = 1,6×107Pa (cerca de 5,0×104atm) e sua compressibilidade
e´ k = 1/B = 20× 10−6atm−1.
5
9. Um rebite (pino cil´ındrico) de ac¸o possui 0,500cm de diaˆmetro.
(a) Ache a tensa˜o de cisalhamento resultante quando uma forc¸a de mo´dulo
9,0×105N e´ aplicada paralelamente a` duas chapas unidas pelo rebite.
(b) Ache o deslocamento x em cent´ımetros.
10. Um fio de bronze deve sustentar uma forc¸a de tensa˜o de 350N sem se
romper. Qual deveria ser seu diaˆmetro mı´nimo?
Cap´ıtulo 2
Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da Gravitac¸a˜o: Cada part´ıcula do universo atrai qual-
quer outra part´ıcula com uma forc¸a diretamente proporcional ao produto das
respectivas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distaˆncia entre
elas.
FG =
Gm1m2
r2
Onde a constante gravitacional G = 6,67× 10−11N ·m2/kg2
Velocidade de escape: E´ a velocidade na qual a energia cine´tica de um
corpo e´ igual em magnitude a` sua energia potencial em um campo gravitacional.
Na superf´ıcie da Terra, a velocidade de escape e´ cerca de 11,2km/s, o equiva-
lente a 40320Km/h, cerca de 111 vezes mais ra´pido do que um carro de fo´rmula
1 em reta livre, ou cerca de 30 vezes mais ra´pido do que a velocidade do som a
25◦C.
ve =
√
2Gm
R
=
√
2gR
Leis de Kepler: Sa˜o as treˆs leis do movimento planeta´rio:
1. Os planetas descrevem o´rbitas el´ıpticas, com o sol num dos focos.
2. O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve a´reas iguaisem tempos
iguais. (lei das a´reas)
3. Os quadrados dos per´ıodos de revoluca˜o (T ) sa˜o proporcionais aos cubos
das distaˆncias me´dias (a) do Sol aos planetas.
T 2 = ka3
Onde k e´ uma constante de proporcionalidade.
6
7
Exerc´ıcios Aplicados
1. Qual e´ a forc¸a gravitacional entre dois objetos de 100kg separados por
uma distaˆncia de 2m?
2. A que altitude acima da superf´ıcie da Terra voceˆ teria a metade de seu
peso? Ou seja, determine a altitude em que a acelerac¸a˜o da gravidade
seria de 5,0m/s2.
3. Calcule a forc¸a gravitacional entre a Terra e a Lua.
4. A que distaˆncia da Terra deve estar uma sonda espacial ao longo da reta
que liga nosso planeta a` Lua para que a atrac¸a˜o gravitacional da Lua seja
igual a` atrac¸a˜o da Terra?
Dados: Massa da Terra 5, 98× 1024 kg
Massa da Lua 7, 36× 1022 kg
Distaˆncia Terra-Lua 3, 82× 108 m
Constante gravitacional 6,673×10−11 Nm2/kg2
Cap´ıtulo 3
Fluidos
Fluido: e´ uma substaˆncia que se deforma continuamente quando submetida
a uma tensa˜o de cisalhamento, na˜o importando o qua˜o pequena possa ser essa
tensa˜o. Os fluidos incluem os l´ıquidos e os gases.
Hidrosta´tica: e´ a parte da f´ısica que estuda as forc¸as exercidas por e sobre
fluidos em repouso.
Pressa˜o: e´ a relac¸a˜o entre uma determinada forc¸a e sua a´rea de distribuic¸a˜o.
p =
F
A
Sua unidade no SI e´ o Pascal: 1Pa = 1N/m2. Outras unidades:
1atm = 1bar = 1,01× 105Pa = 760mmHg = 1kgf/cm2 = 14,7psi
Obs: 1psi = 1lbf/pol2
Pressa˜o atmosfe´rica: e´ a pressa˜o hidrosta´tica causada pelo peso do ar
acima do ponto de medic¸a˜o.
Pressa˜o hidrosta´tica: e´ a pressa˜o devida a` coluna de fluido.
p = ρgh
Onde ρ e´ a densidade do fluido, g a acelerac¸a˜o da gravidade e h a altura do
fluido.
Princ´ıpio de Arquimedes: Um corpo so´lido imerso num fluido sofre a
ac¸a˜o de uma forc¸a dirigida para cima igual ao peso do fluido deslocado.
Fempuxo = ρfluidoVdeslocadog
Princ´ıpio de Pascal: Uma variac¸a˜o de pressa˜o provocada num ponto de
um fluido em equil´ıbrio transmite-se a todos os pontos do fluido e a`s paredes
que o conteˆm.
Hidrodinaˆmica: e´ a parte da f´ısica que estuda as forc¸as exercidas por e
sobre fluidos em movimento.
Equac¸a˜o da continuidade: Para fluido incompress´ıvel:
A1v1 = A2v2
Para fluido compress´ıvel:
ρ1A1v1 = ρ2A2v2
8
9
Equac¸a˜o de Bernoulli: descreve o comportamento de um fluido movendo-
se ao longo de uma linha de corrente e traduz para os fluidos o princ´ıpio da
conservac¸a˜o da energia.
v2ρ
2
+ p+ ρgz = constante
Exerc´ıcios Aplicados
1. Numa prensa hidra´ulica o cilindro menor tem diaˆmetro de 6,0 cm e o
cilindro maior tem diaˆmetro de 30 cm.
(a) Determine a forc¸a necessa´ria no cilindro menor para elevar um carro
popular de 1000kg com velocidade constante.
(b) Se o deslocamento do cilindro menor e´ de 20 cm, determine o deslo-
camento do cilindro maior.
(c) Quantas “bombadas” devemos dar no cilindro menor para elevar o
carro em 1 m?
2. Um eˆmbolo com uma sec¸a˜o reta a e´ usado em uma prensa hidra´ulica para
exercer uma pequena forc¸a de mo´dulo f sobre um l´ıquido que esta´ em
contato, atrave´s de um tubo de ligac¸a˜o, com um eˆmbolo maior de sec¸a˜o
reta A.
(a) Qual e´ o mo´dulo F da forc¸a que deve ser aplicada ao eˆmbolo maior
para que o sistema fique em equil´ıbrio?
10 CAPI´TULO 3. FLUIDOS
(b) Se os diaˆmetros dos eˆmbolos sa˜o 3, 80cm e 53, 0cm, qual e´ o mo´dulo
da forc¸a que deve ser aplicada ao eˆmbolo menor para equilibrar uma
forc¸a de 10, 0kN aplicada ao eˆmbolo maior?
3. Um lingote de alumı´nio so´lido pesa 89N no ar. Dado: ρaluminio =
2700kg/m3.
(a) Qual e´ o seu volume?
(b) O lingote e´ suspenso por uma corda leve e totalmente imerso na a´gua.
Qual e´ a tensa˜o na corda (o peso aparente do lingote na a´gua)?
4. Uma rocha e´ suspensa por uma corda leve. Quando a rocha esta´ no ar,
a tensa˜o na corda e´ 39,2N . Quando a rocha esta´ totalmente imersa na
a´gua, a tensa˜o e´ 28,4N . Quando a rocha esta´ totalmente imersa em um
l´ıquido desconhecido, a tensa˜o e´ 18,6N . Qual e´ a densidade do l´ıquido
desconhecido?
5. Na figura a a´gua atravessa um cano horizontal e sai para a atmosfera com
uma velocidade v1 = 20 m/s. Os diaˆmetros dos segmentos esquerdo e
direito do cano sa˜o 5,0 cm e 3,0 cm.
(a) Que volume de a´gua escoa para a atmosfera em um per´ıodo de 10
min?
(b) Qual e´ a velocidade v2?
(c) Qual e´ a pressa˜o manome´trica no segmento esquerdo do tubo?
6. Como parte de um sistema de lubrificac¸a˜o para ma´quinas pesadas, um
o´leo de densidade igual a 850 kg/m3 e´ bombeado atrave´s de um tubo
cil´ındrico de 8,0 cm de diaˆmetro a uma vaza˜o de 9,5 litros/s.
(a) Qual e´ a velocidade do o´leo?
(b) Se o diaˆmetro do tubo for reduzido a 4,0 cm, qual sera´ o novo valor
para a velocidade?
7. A entrada da tubulac¸a˜o da figura abaixo tem uma sec¸a˜o reta de 0,74 m2 e
a velocidade da a´gua e´ 0,40m/s. Na sa´ıda, a uma distaˆncia de D = 180m
abaixo da entrada, a sec¸a˜o reta e´ menor que a da entrada e a velocidade
da a´gua e´ 9,5m/s.
11
(a) Qual e´ a diferenc¸a de pressa˜o entre a entrada e a sa´ıda?
8. Em um ponto de um encanamento a velocidade da a´gua e´ 3,0m/s e a
pressa˜o manome´trica e´ igual a 5,0×104Pa. Calcule a pressa˜o manome´trica
em um segundo ponto do encanamento, 11,0m abaixo do primeiro, sa-
bendo que o diaˆmetro do cano no segundo pontoe´ igual ao dobro do
diaˆmetro do primeiro.
Cap´ıtulo 4
Oscilac¸o˜es
Frequeˆncia: A f requeˆncia f de um movimento perio´dico, ou oscilato´rio, e´
o nu´mero de oscilac¸o˜es por tempo. No SI ela e´ medida em hertz:
1hertz = 1Hz = 1s−1
Per´ıodo: O per´ıodo T e´ o tempo necessa´rio para uma oscilac¸a˜o completa,
ou ciclo. Ele esta´ relacionado a` frequeˆncia atrave´s da equac¸a˜o:
T =
1
f
Movimento Harmoˆnico Simples: Nomovimento harmoˆnico simples (MHS)
o deslocamento x(t) de uma part´ıcula a partir da posic¸a˜o de equil´ıbrio e´ descrito
pela equac¸a˜o:
x = xm cos (ωt+ φ) (4.1)
onde xm e´ a amplitude do deslocamento, a grandeza (ωt+ φ) e´ a fase do movi-
mento e φ e´ a constante de fase. A frequeˆncia angular ω esta´ relacionada ao
per´ıodo e a` frequeˆncia do movimento atrave´s da equac¸a˜o:
ω =
2π
T
= 2πf
Derivando a equac¸a˜o (4.1) chega-se a`s equac¸o˜es da velocidade e acelerac¸a˜o
de uma part´ıcula em MHS em func¸a˜o do tempo:
v = −ωxmsen(ωt+ φ) (4.2)
a = ω2xm cos (ωt+ φ) (4.3)
Na equac¸a˜o (4.2) a grandeza ωxm e´ a amplitude da velocidade, vm. Na
equac¸a˜o (4.3) a grandeza ω2xm e´ a amplitude da acelerac¸a˜o, am.
O Oscilador Linear: Uma part´ıcula de massam que se move sob influeˆncia
de uma forc¸a restauradora dada pela Lei de Hooke F = −kx exibe um MHS
com frequeˆncia angular e per´ıodo dados por:
12
13
ω =
√
k
m
T = 2π
√
m
k
Um sistema desse tipo e´ chamada de oscilador harmoˆnico simples linear.
Energia: Uma part´ıcula em MHS possui, em qualquer instante, uma energia
cine´tica K = 1
2
mv2 e uma energia potencial U = 1
2
kx2. Se na˜o ha´ atrito, a
energia mecaˆnica E = K + U permanece constante mesmo que K e U variem.
Peˆndulos: Sa˜o exemplos de dispositivos que executam um MHS. Para pe-
quenas oscilac¸o˜es, os per´ıodos de oscilac¸a˜o do peˆndulo simples, do peˆndulo
f´ısico e do peˆndulo de torc¸a˜o sa˜o respectivamente:
T = 2π
√
L
g
T = 2π
√
I
mgh
T = 2π
√
I
κ
MHS e movimento circular uniforme: O MHS e´ a projec¸a˜o do movi-
mento circular uniforme.
Movimento Harmoˆnico Amortecido: A energia mecaˆnica E de sistemas
oscilato´rios reais diminui durante as oscilac¸o˜es porque forc¸as externas, como
as forc¸as de arrasto, inibem as oscilac¸o˜es e transferem energia mecaˆnica para
energia te´rmica. Nesse caso, dizemos que o oscilador real e o seu movimento
sa˜o amortecidos. Se a forc¸a de amortecimento e´ dadapor ~Fa = −b~v, onde ~v e´ a
velocidade do oscilador e b e´ uma constante de amortecimento, o deslocamento
do oscilador e´ dado por:
x(t) = xme
−bt/2m cos (ω′t+ φ)
onde ω′, a frequeˆncia angular do oscilador amortecido, e´ dada por:
ω′ =
√
k
m
− b
2
4m2
Se a constante de amortecimento e´ pequena (b ≪
√
km), ω′ ≈ ω, onde ω e´ a
frequeˆncia angular do oscilador angular na˜o-amortecido. Para pequenos valores
de b, a energia mecaˆnica E do oscilador e´ dada por:
E(t) ≈ 1
2
kx2me
−bt/m
Oscilac¸o˜es Forc¸adas e Ressonaˆncia: Se uma forc¸a externa de frequeˆncia
angular ωe age sobre um sistema oscilato´rio de frequeˆncia angular natural ω,
14 CAPI´TULO 4. OSCILAC¸O˜ES
o sistema oscila com frequeˆncia angular ωe. A amplitude da velocidade vm do
sistema e´ ma´xima para
ωe = ω
uma situac¸a˜o conhecida como ressonaˆncia. A amplitude xm do sistema e´
(aproximadamente) ma´xima na mesma situac¸a˜o.
Ondas Transversais e Longitudinais: As ondas mecaˆnicas podem existir
apenas em meios materiais, e sa˜o governadas pelas leis de Newton. As ondas
mecaˆnicas transversais, como as que existem em uma corda esticada, sa˜o on-
das nas quais as part´ıculas do meio oscilam perpendicularmente a` direc¸a˜o de
propagac¸a˜o da onda. As ondas em que as part´ıculas do meio oscilam na direc¸a˜o
de propagac¸a˜o da onda sa˜o chamadas de ondas longitudinais.
Ondas Senoidais: Uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo
de um eixo x pode ser representada pela func¸a˜o
y(x, t) = ym sen(kx− ωt)
onde ym e´ a amplitude da onda, k e´ o nu´mero de onda, ω e´ a frequeˆncia angular
e (kx− ωt) e´ a fase. O comprimento de onda λ esta´ relacionado a k atrave´s da
equac¸a˜o
k =
2π
λ
O per´ıodo T e a frequeˆncia f da onda esta˜o relacionados a ω atrave´s da equac¸a˜o
ω
2π
= f =
1
T
Finalmente, a velocidade v da onda esta´ relacionada a esses outros paraˆmetros
atrave´s das equac¸o˜es
v =
ω
k
=
λ
T
= λf
Equac¸a˜o de uma Onda Progressiva: Qualquer func¸a˜o da forma
y(x, t) = h(kx± ωt)
pode representar uma onda progressiva com uma forma matema´tica dada pela
func¸a˜o h. O sinal positivo mostra que a onda se propaga no sentido negativo
do eixo x, e o sinal negativo mostra que a onda se propaga no sentido positivo.
Velocidade de Onda em uma Corda Esticada: A velocidade de uma
onda em uma corda esticada e´ determinada pela propriedades da corda. A
velocidade em uma corda com tensa˜o τ e massa espec´ıfica linear µ e´ dada por
v =
√
τ
µ
Poteˆncia: A poteˆncia me´dia, ou taxa me´dia, com a qual a energia e´ trans-
mitida por uma onda senoidal em uma corda esticada e´ dada por
Pme´d =
1
2
µvω2y2m
15
Superposic¸a˜o de Ondas: Quando duas ou mais ondas se propagam no
mesmo meio o deslocamento de qualquer part´ıcula do meio e´ a soma dos deslo-
camentos que seriam provocados pelas ondas agindo separadamente.
Interfereˆncia de Ondas: Duas ondas senoidais em uma mesma corda
sofrem interfereˆncia, somando-se ou cancelando-se de acordo com o princ´ıpio
da superposic¸a˜o. Se as duas ondas se propagam no mesmo sentido e teˆm a
mesma amplitude ym e a mesma frequeˆncia angular ω (e, portanto, o mesmo
comprimento de onda λ), mas teˆm uma diferenc¸a de fase φ, o resultado e´ uma
u´nica onda com esta mesma frequeˆncia:
y′(x, t) =
[
2ym cos
1
2
φ
]
sen
(
kx− ωt+ 1
2
φ
)
Se φ = 0, as ondas teˆm fases iguais e a interfereˆncia e´ totalmente construtiva; se
φ = πrad, as ondas teˆm fases opostas e a interfereˆncia e´ totalmente destrutiva.
Fasores: Uma onda y(x, t) pode ser representada por um fasor, um vetor
de mo´dulo igual a` amplitude ym da onda que gira em torno da origem com uma
velocidade angular igual a` frequeˆncia angular ω da onda. A projec¸a˜o do fasor
em um eixo vertical fornece o deslocamento y de um ponto situado no trajeto
da onda.
Ondas Estaciona´rias: A interfereˆncia de duas ondas senoidais iguais que
se propagam em sentidos opostos produz ondas estaciona´rias. No caso de uma
corda com as extremidades fixas, a onda estaciona´ria e´ dada por
y′(x, t) = [2ymsen(kx)] cos (ωt)
As ondas estaciona´rias possuem pontos em que o deslocamento e´ nulo, chamados
no´s, e pontos em que o deslocamento e´ ma´ximo, chamados antino´s.
Ressonaˆncia: Ondas estaciona´rias podem ser produzidas em uma corda
atrave´s da reflexa˜o de ondas progressivas nas extremidades da corda. Se uma
extremidade e´ fixa, deve ser a posic¸a˜o de um no´. Isso limita as frequeˆncias
poss´ıveis para as ondas estaciona´rias em uma corda. Cada frequeˆncia poss´ıvel
e´ uma frequeˆncia de ressonaˆncia, e a onda estaciona´ria correspondente e´
um modo de oscilac¸a˜o. Para uma corda esticada de comprimento L com as
extremidades fixas as frequeˆncias de ressonaˆncia sa˜o dadas por
f =
v
λ
= n
v
2L
para n = 1, 2, 3 . . .
O modo de oscilac¸a˜o correspondente a n = 1 e´ chamado de modo fundamental
ou primeiro harmoˆnico; o modo correspondente a n = 2 e´ o segundo harmoˆnico
e assim por diante.
Ondas Sonoras: Ondas sonoras sa˜o ondas mecaˆnicas longitudinais que
podem se propagar em so´lidos, l´ıquidos e gases. A velocidade v de uma onda
sonora em um meio de mo´dulo de elasticidade volume´trico B e massa
espec´ıfica ρ e´
v =
√
B
ρ
No ar a 20◦C, a velocidade do som e´ igual a 343m/s.
16 CAPI´TULO 4. OSCILAC¸O˜ES
Uma onda sonora provoca um deslocamento longitudinal s de um elemento
de massa em um meio que e´ dado por
s = sm cos (kx− ωt)
onde sm e´ a amplitude do deslocamento (deslocamento ma´ximo) em relac¸a˜o
ao equil´ıbrio, k = 2π/λ e ω = 2πf , onde λ e f sa˜o o comprimento de onda e a
frequeˆncia da onda sonora. A onda sonora tambe´m provoca uma variac¸a˜o ∆p
da pressa˜o do meio em relac¸a˜o a` pressa˜o de equil´ıbrio:
∆p = ∆pmsen(kx− ωt) com ∆pm = (vρω)sm
Intensidade Sonora: A intensidade I de uma onda sonora em uma su-
perf´ıcie e´ a taxa me´dia por unidade de a´rea com a qual a energia contida na
onda atravessa a superf´ıcie ou e´ absorvida por ela:
I =
P
A
onde P e´ a poteˆncia da onda sonora e A e´ a a´rea da superf´ıcie que intercepta
o som. A intensidade I esta´ relacionada a` amplitude sm do deslocamento da
onda sonora atrave´s da equac¸a˜o
I =
1
2
ρvω2s2m
A intensidade a uma distaˆncia r da fonte pontual que emite ondas sonoras de
poteˆncia Ps e´
I =
Ps
4πr2
Nı´vel Sonoro em Decibe´is: O n´ıvel sonoro β em decibe´is (dB) e´ definido
como
β = (10dB) log
I
I0
onde I0 = 10
−12W/m2 e´ um n´ıvel de intensidade de refereˆncia com o qual todas
as intensidades sa˜o comparadas e corresponde aproximadamente ao limiar da
audic¸a˜o humana.
O Efeito Doppler: O efeito Doppler e´ a mudanc¸a da frequeˆncia observada
de uma onda quando a fonte ou o seu detector esta´ se movendo em relac¸a˜o ao
meio onde a onda esta´ se propagando. No caso do som, a frequeˆncia observada
f ′ esta´ relacionada a` frequeˆncia f da fonte atrave´s da equac¸a˜o
f ′ = f
v ± vD
v ± vS
onde vD e´ a velocidade do detector, vS e´ a velocidade da fonte e v e´ a velocidade
do som no meio. Os sinais sa˜o escolhidos para que f ′ tenda a ser maior para
os movimentos de aproximac¸a˜o e menor para os movimentos de afastamento.
Ondas de Choque: Se a velocidade de uma fonte em relac¸a˜o ao meio e´
maior que a velocidade do som no meio, a equac¸a˜o para o efeito Doppler deixa
de ser va´lida. Nesse caso, surgem ondas de choque. O semi-aˆngulo θ do cone
de Mach e´ dado por
senθ =
v
vs
17
Exerc´ıcios Aplicados
1. Um transdutor ultrasoˆnico (uma espe´cie de alto-falante), usado para di-
agno´stico me´dico, oscila com uma frequeˆncia igual a 6,7MHz.
(a) Quanto dura uma oscilac¸a˜o?
(b) Qual e´ a frequeˆncia angular?
2. Os amortecedores de um carro velho de 1000kg esta˜o completamente gas-
tos. Quando uma pessoa de 100kg sobe lentamente no centrode gravidade
do carro, ele se abaixa 2,8cm. Quando essa pessoa esta´ dentro do carro
durante uma colisa˜o com um obsta´culo, o carro oscila verticalmente com
MHS. Considerando o carro e a pessoa uma u´nica massa apoiada sobre
uma u´nica mola, calcule:
(a) O per´ıodo.
(b) A frequeˆncia da oscilac¸a˜o.
3. Ondas sonoras sa˜o ondas longitudinais que se propagam no ar. A veloci-
dade do som depende da temperatura e a 20◦C e´ 343m/s.
(a) Qual e´ o comprimento de onda de uma onda sonora no ar a 20◦C
sabendo que a frequeˆncia e´ f = 262Hz (uma frequeˆncia aproxima-
damente igual a` nota Do´)?
(b) Ao projetar uma sirene de alarme com esta frequeˆncia qual deve ser
a poteˆncia mı´nima para que uma pessoa ainda possa ouvir a` 100m
de distaˆncia?
4. Um navio usa um sistema de sonar para detectar objetos submersos. O
sistema emite ondas sonoras embaixo da a´gua e mede o intervalo de tempo
que a onda refletida (eco) leva para retornar ao detector.
(a) Determine a velocidade das ondas sonoras na a´gua.
(b) Ache o comprimento de onda na a´gua de uma onda com frequeˆncia
igual a 262Hz
[Ba´gua = 2,2× 109kg/(m · s2)]
18 CAPI´TULO 4. OSCILAC¸O˜ES
Alguns roboˆs usam este tipo de sonar para localizar obsta´culos e evitar coliso˜es quando
se locomovem.
5. Todos os animais que caminham, inclusive roboˆs, possuem um ritmo na-
tural de caminhada, ou seja, um nu´mero de passos por minuto mais con-
forta´vel do que um ritmo mais lento ou veloz. Suponha que esse ritmo
natural seja igual ao per´ıodo da perna, encarada como um peˆndulo em
forma de barra com um pivoˆ na junta do quadril.
(a) Como o ritmo de uma caminhada natural depende do comprimento
L da perna, medido desde o quadril ate´ o pe´?
[Ao projetar um roboˆ ele deve ter essa frequeˆncia de passos para ter
maior estabilidade.]
(b) Evideˆncias de fo´sseis mostram que o Tyrannosaurus rex, um dinos-
sauro com duas pernas que viveu ha´ 65 milho˜es de anos no final do
per´ıodo creta´ceo, tinha pernas de comprimento L = 3,1m e uma pas-
sada (distaˆncia entre uma pegada e a pegada seguinte do mesmo pe´)
S = 4,0m. Estime a velocidade da caminhada do Tyrannosaurus rex.
A velocidade da caminhada do Tyrannosaurus rex pode ser estimada a partir do com-
primento de sua perna L e do comprimento de sua passada S.
[Sugesta˜o: Considere a perna um peˆndulo f´ısico.]
[Momento de ine´rcia do centro de massa de uma barra uniforme: ICM =
1
12
ML2]
[Teorema dos eixos paralelos para o momento de ine´rcia: I = ICM +Mh
2]
6. Um bloco de 0,10kg oscila em linha reta em uma superf´ıcie horizontal com
atrito desprez´ıvel. O deslocamento em relac¸a˜o a` origem e´ dado por
x = (10cm) cos[(10rad/s)t+ π/2rad]
(a) Qual e´ a frequeˆncia de oscilac¸a˜o?
(b) Qual e´ a velocidade ma´xima do bloco?
19
(c) Para que valor de x a velocidade e´ ma´xima?
(d) Que forc¸a, aplicada ao bloco pela mola, produz uma oscilac¸a˜o como
esta?
7. Uma bola de demolic¸a˜o de 2500kg balanc¸a na ponta de um guindaste.
O comprimento do segmento de cabo que se move com a bola e´ 17m.
Determine o per´ıodo do balanc¸o, supondo que o sistema pode ser tratado
como um peˆndulo simples.
8. Use a equac¸a˜o de onda para determinar a velocidade de uma onda dada
por
y(x, t) = (3,00mm) sen[(4,00m−1)x− (7,00s−1)t]
9. A velocidade no va´cuo das ondas eletromagne´ticas (como as ondas de luz
vis´ıvel, as ondas de ra´dio e os raios X) e´ 3,0× 108m/s.
(a) Os comprimentos de onda da luz vis´ıvel va˜o de aproximadamente
400nm no violeta a 700nm no vermelho. Qual e´ o intervalo de
frequeˆncias dessas ondas?
(b) O intervalo de frequeˆncias das ondas curtas de ra´dio (como as ondas
de ra´dio FM e de VHF da televisa˜o) e´ de 1,5 a 300MHz. Qual e´ o
intervalo de comprimentos de onda correspondente?
(c) Os comprimento de onda dos raios X va˜o de aproximadamente 5,0nm
a 1,0× 10−2nm. Qual e´ o intervalo de frequeˆncias dos raios X?
10. Suponha que um altofalante esfe´rico emite sons isotropicamente com uma
poteˆncia de 10W .
(a) Qual e´ a intensidade do som a uma distaˆncia d = 3,0m da fonte?
(b) Determine este n´ıvel sonoro em decibe´is.
11. Um detector de movimento estaciona´rio envia ondas de 0, 150MHz em
direc¸a˜o a um caminha˜o que se aproxima com uma velocidade de 45,0m/s.
Qual e´ a frequeˆncia das ondas refletidas de volta para o detector?
12. Um dispositivo executa um MHS linear com uma frequeˆncia de 0,25Hz
em torno do ponto de equil´ıbrio x = 0. Em t = 0 ele tem um deslocamento
x = 0, 37cm e velocidade nula. Determine os seguintes paraˆmetros:
20 CAPI´TULO 4. OSCILAC¸O˜ES
(a) Per´ıodo.
(b) Frequeˆncia angular.
(c) Amplitude.
(d) Deslocamento x(t).
(e) Velocidade v(t).
(f) Velocidade ma´xima.
(g) Deslocamento em t = 3, 0s.
(h) Velocidade em t = 3, 0s.
13. Para simular um relo´gio ou cronoˆmetro voceˆ pode construir um peˆndulo
que tenha o per´ıodo de 1, 0s. Calcule qual deve ser o comprimento de um
peˆndulo simples para que ele tenha um per´ıodo de 1, 0s.
14. Uma onda que se propaga em uma corda e´ descrita pela equac¸a˜o
y(x, t) = 0, 00654 sen(144, 2 x− 5, 44 t)
onde as constantes nume´ricas esta˜o em unidades do SI (0,00654m, 144,2rad/m
e 5,44rad/s).
Determine:
(a) A amplitude da onda.
(b) O comprimento de onda.
(c) O per´ıodo.
(d) A frequeˆncia da onda.
(e) A velocidade da onda.
(f) O deslocamento y para x = 45, 0cm e t = 37, 8s.
15. Duas ondas senoidais de mesma frequeˆncia se propagam no mesmo sentido
em uma corda. Se ym1 = 6, 0cm, ym2 = 8, 0cm, φ1 = π/6 rad e φ2 =
π/3 rad, qual e´ a amplitude da onda resultante?
16. A fonte de uma onda sonora, por exemplo um alto-falante, tem uma
poteˆncia de 1, 00 µW .
(a) Qual e´ a intensidade a 3, 00m de distaˆcia?
(b) Qual e´ o n´ıvel sonoro em decibe´is a essa distaˆncia?
17. Uma ambulaˆncia cuja sirene emite um som com uma frequeˆncia de 1600
Hz se aproxima de um ciclista que esta´ a 10 km/h no mesmo sentido.
Antes de ser ultrapassado, o ciclista escuta uma frequeˆncia de 1700 Hz.
Qual e´ a velocidade da ambulaˆncia?
21
18. Um oscilador harmoˆnico simples e´ formado por um bloco de 1,00kg preso
a uma mola. O bloco oscila em linha reta, de um lado para o outro, em
uma superf´ıcie de atrito desprez´ıvel, com o ponto de equil´ıbrio em x = 0.
Em t = 0, o bloco esta´ em x = 0 e se move no sentido positivo de x.
A figura mostra o mo´dulo da forc¸a ~F aplicada em func¸a˜o da posic¸a˜o do
bloco. A escala vertical e´ definida por Fs = 100N . Quais sa˜o:
(a) A amplitude do movimento.
(b) O per´ıodo do movimento.
(c) O mo´dulo da acelerac¸a˜o ma´xima.
(d) A energia cine´tica ma´xima.
19. Duas ondas senoidais de mesmo comprimento de onda se propagam no
mesmo sentido em uma corda esticada. Para a onda 1, ym = 3, 0mm e
φ = 0; para a onda 2, ym = 5, 0mm e φ = 70
◦. Quais sa˜o:
(a) A amplitude da onda resultante.
(b) A constante de fase da onda resultante.
20. Suponha que um alto-falante esfe´rico emite sons isotropicamente com uma
poteˆncia de 10 W em uma sala com paredes, piso e teto cobertos de
material absorvente (uma caˆmara aneco´ica). Uma caˆmara anecoica (an-
echoic, sem eco) e´ uma sala projetada para conter reflexo˜es, tanto de ondas
sonoras quanto eletromagne´ticas.
(a) Qual e´ a intensidade do som a uma distaˆncia d = 3, 0m da fonte?
22 CAPI´TULO 4. OSCILAC¸O˜ES
(b) Qual e´ a raza˜o entre as amplitudes da onda em d = 4, 0m e em
d = 3, 0m?
21. Um homem em repouso (em relac¸a˜o ao ar e ao cha˜o) ouve um sinal de
frequeˆncia f1 produzido por uma fonte que se move em sua direc¸a˜o com
velocidade de 10m/s. Se o homem se move em direc¸a˜o a` fonte com uma
velocidade de 20m/s, ouve uma frequaˆncia f2 que difere de f1 por 30Hz.
Qual e´ a frequeˆncia da fonte?
22. O movimento do pista˜o no interior do motor de um carro e´ aproximada-
mente um MHS.
(a) Sabendo que o percurso (o dobroda amplitude) e´ igual a 0,100 m e
que o motor gira com 3500 rev/min, calcule a acelerac¸a˜o do pista˜o
no ponto final do percurso.
(b) Sabendo que a massa do pista˜o e´ igual a 0,450 kg, qual e´ a forc¸a
resultante exercida sobre ele nesse ponto?
(c) Calcule a velocidade e a energia cine´tica do pista˜o no ponto me´dio
do percurso.
(d) Qual e´ a poteˆncia me´dia necessa´ria para acelerar o pista˜o do repouso
ate´ a velocidade calculada no item anterior?
(e) Se o motor girar a 7000 rev/min (o dobro da anterior), quais sera˜o
as novas respostas?
23. Duas ondas se propagam com as seguintes equac¸o˜es:
y1(x, t) = (4, 50mm) sen(2πx− 400πt)
y2(x, t) = (5, 50mm) sen(2πx− 400πt+ 1, 30π rad)
Quais sa˜o a amplitude e o aˆngulo de fase da onda resultante?
24. A extremidade esquerda de uma mola horizontal e´ mantida fixa. Ligamos
um dinamoˆmetro na extremidade livre da mola e puxamos para a direita.
Verificamos que a forc¸a que estica a mola e´ proporcional ao deslocamento e
que uma forc¸a de 6,0 N produz um deslocamento igual a 0,030m. A seguir
removemos o dinamoˆmetro e amarramos a extremidade livre a um corpo
de 0,50 kg, puxamos o corpo ate´ uma distaˆncia de 0,020 m, o libertamos
e observamos o MHS resultante.
(a) Calcule a constante da mola.
(b) Calcule a frequeˆncia, a frequeˆncia angular e o per´ıodo da oscilac¸a˜o.
(c) Escreva as equac¸o˜es para o deslocamento, a velocidade e a acelerac¸a˜o
em func¸a˜o do tempo.
(d) Ache a velocidade ma´xima.
(e) Ache a acelerac¸a˜o ma´xima.
(f) Calcule a velocidade e a acelerac¸a˜o quando o corpo esta´ na metade
da distaˆncia entre o ponto de equil´ıbrio e seu afastamento ma´ximo.
(g) Ache a energia mecaˆnica total, a energia potencial e a energia cine´tica
nesse ponto.
23
25. Duas ondas senoidais de mesma frequeˆncia se propagam no mesmo sentido.
Uma onda tem amplitude ym = 3,0 mm e constante de fase φ = 0; a outra
tem ym = 5,0 mm e φ = 70
◦. Quais sa˜o:
(a) A amplitude da onda resultante.
(b) A constante de fase da onda resultante.
26. Uma fonte emite ondas sonoras cuja intensidade e´ de 60 decibe´is a 5,0 m
da fonte. Determine a poteˆncia da fonte.
27. Suponha que um altofalante esfe´rico emite sons isotropicamente com uma
poteˆncia de 2W .
(a) Qual e´ a intensidade do som a uma distaˆncia d = 5,0m da fonte?
(b) Determine este n´ıvel sonoro em decibe´is.
(c) Ao projetar uma sirene de alarme com uma frequeˆncia de 500Hz qual
deve ser a poteˆncia mı´nima para que uma pessoa ainda possa ouvir
a` 100m de distaˆncia?
28. Um detector de movimento estaciona´rio envia ondas de 0, 150MHz em
direc¸a˜o a um caminha˜o que se aproxima com uma velocidade de 45,0m/s.
Qual e´ a frequeˆncia das ondas refletidas de volta para o detector?
29. Pisto˜es de automo´vel executam movimento harmoˆnico simples, pois sa˜o
movidos por bielas que transformam movimento circular em movimento
linear. O pista˜o de um automo´vel tem um curso (dobro da amplitude)
de 0,20m. Quando a sua frequeˆncia angular for de 180rpm, qual e´ a
velocidade ma´xima do pista˜o?
30. Como vimos no exerc´ıcio anterior o movimento do pista˜o no interior do
motor de um carro e´ um MHS. Sabendo que o pista˜o tem 450g, seu curso
(o dobro da amplitude) e´ igual a 0,100m e que o motor gira com 3500rpm.
Em relac¸a˜o ao ponto me´dio do percurso calcule:
(a) A energia cine´tica do pista˜o.
(b) A poteˆncia me´dia necessa´ria para acelerar o pista˜o do repouso ate´ a
velocidade neste ponto?
(c) Se o motor girar a 7000rpm (o dobro da anterior), quais sera˜o as
novas respostas?
31. Uma certa onda transversal e´ descrita por
y(x, t) = (6,50mm) cos
(
x
28,0cm
− t
0,0360s
)
Determine para esta onda:
(a) A amplitude.
(b) O comprimento de onda.
(c) A frequeˆncia.
(d) A velocidade de propagac¸a˜o.
24 CAPI´TULO 4. OSCILAC¸O˜ES
32. Quando um cilindro de ac¸o de 10kg e´ pendurado na extremidade inferior
de uma mola vertical ela sofre uma distensa˜o de 10cm.
(a) Qual e´ a constante ela´stica da mola?
(b) A mesma mola e´ colocada horizontalmente em uma mesa com atrito
desprez´ıvel. Uma das extremidades e´ mantida fixa e a outra e´ presa a
um bloco de 0,5kg. O bloco e´ deslocado, esticando a mola, e liberado
a partir do repouso. Qual e´ o per´ıodo da oscilac¸a˜o produzida?
33. Para cadenciar o funcionamento de um dispositivo mecaˆnico um enge-
nheiro precisa projetar um peˆndulo que tenha um per´ıodo de 1, 000s para
pequenas oscilac¸o˜es num local onde g = 9, 800m/s2. Ele dispo˜e de um
disco de lata˜o de raio r = 5,0cm e massa 500g. Qual deve ser o compri-
mento L de uma haste fina e massa desprez´ıvel para obter este per´ıodo?
34. Uma sirene de alarme de tornado instalada sobre um alto poste irradia
ondas sonoras uniformemente em todas as direc¸o˜es. A uma distaˆncia de
15,0m a intensidade do som e´ 0,250W/m2. A que distaˆncia da sirene a
intensidade e´ 0,010W/m2?
35. A figura mostra treˆs ondas que sa˜o produzidas separadamente em uma
corda que esta´ esticada ao longo de um eixo x e submetida a uma certa
tensa˜o.
Ordene em ordem crescente as ondas de acordo com:
(a) O comprimento de onda.
(b) A velocidade.
(c) A frequeˆncia.
Cap´ıtulo 5
Temperatura e Calor
Temperatura: e´ uma grandeza f´ısica que mensura a energia cine´tica me´dia
das part´ıculas de um sistema em equil´ıbrio te´rmico. A rigor, a temperatura e´
definida apenas para sistemas em equil´ıbrio te´rmico.
Escalas de temperatura: Abaixo, algumas fo´rmulas de conversa˜o das
diferentes escalas de temperatura utilizadas entre Kelvin, Celsius e Fahrenheit:
TK = TC + 273,15
TC =
5
9
(TF − 32)
TF =
9
5
TC + 32
Dilatac¸a˜o te´rmica: e´ o nome que se da´ ao aumento do volume de um corpo
ocasionado pelo aumento de sua temperatura, o que causa o aumento no grau
de agitac¸a˜o de suas mole´culas e consequente aumento na distaˆncia me´dia entre
as mesmas. A dilatac¸a˜o ocorre de forma mais significativa nos gases, de forma
intermedia´ria nos l´ıquidos e de forma menos expl´ıcita nos so´lidos, podendo-se
afirmar que: Dilatac¸a˜o nos gases > Dilatac¸a˜o nos l´ıquidos > Dilatac¸a˜o nos
so´lidos.
Nos materiais isotro´picos pode-se calcular a variac¸a˜o de comprimento, e
consequentemente de a´rea e volume, em func¸a˜o da variac¸a˜o de temperatura:
∆L = α · L0 ·∆T
onde ∆L, variac¸a˜o do comprimento; α, coeficiente de dilatac¸a˜o linear; L0, com-
primento inicial; ∆T = T − T0, variac¸a˜o de temperatura.
Nota: Visto que se utiliza uma variac¸a˜o, uma diferenc¸a, e´ indiferente que a
unidade de medida da temperatura seja graus Celsius ou Kelvin pois ambas sa˜o
cent´ıgradas. Se o coeficiente de dilatac¸a˜o for dado em Fahrenheit, a temperatura
do ca´lculo deve ser tambe´m Fahrenheit.
Para dilatac¸a˜o volume´trica:
∆V = γ · V0 ·∆T
onde γ = 3α.
25
26 CAPI´TULO 5. TEMPERATURA E CALOR
Calor: e´ o termo associado a` transfereˆncia de energia te´rmica de um sistema
a outro - ou entre partes de um mesmo sistema - exclusivamente em virtude da
diferenc¸a de temperaturas entre eles.
Quantidade de calor sens´ıvel: A quantidade de calor sens´ıvel Q pode
ser calculada a partir da massa da substaˆncia que sofre variac¸a˜o te´rmica m, do
calor espec´ıfico dela c e da variac¸a˜o te´rmica que o corpo sofre ∆T .
Q = m · c ·∆T
Quantidade de calor latente: E´ a quantidade de calor que causa mudanc¸a
de estado f´ısico, mas na˜o de temperatura.
A quantidade de calor latente Q pode ser calculada pelo calor latente L e
pela massa da substaˆncia.
Q = L ·m
Temos o calor latente de fusa˜o Lf e o de vaporizac¸a˜o Lv.
Coeficientes de Dilatac¸a˜o Linear
Material α
ac¸o 11 ×10−6 K−1
ferro fundido 11 ×10−6 K−1
alumı´nio 23 ×10−6 K−1
vidro 4,0 ×10−6
lata˜o 19 ×10−6
mercu´rio 180 ×10−6
Calor Espec´ıfico
Substaˆncia calg·K
J
kg·K
a´gua 1,00 4180
alumı´nio 0,215 900
sil´ıcio 705
Calores LatentesSubstaˆncia Fusa˜o (K) Lf (kJ/kg) Ebulic¸a˜o (K) Lv (kJ/kg)
a´gua 273 333 373 2256
chumbo 601 23,2 2017 858
prata 1235 105 2323 2326
cobre 1356 207 2868 4730
27
Exerc´ıcios Aplicados
1. Um torneiro mecaˆnico faz um furo com um diaˆmetro de 15,50 mm em
uma placa de ac¸o a uma temperatura de 25◦C. Qual sera´ o diaˆmetro do
furo a` 175◦C?
2. O comprimento de um fio a 20◦C e´ 1,50 m. A 420◦C seu comprimento
aumenta em 1,7 cm. Calcule o coeficiente de dilatac¸a˜o linear me´dio nesse
intervalo de temperatura.
3. Um agrimensor usa uma fita de ac¸o de 50,000 m de comprimento a uma
temperatura de 20◦C.
(a) Qual e´ o comprimento da fita em um dia de vera˜o quando a tempe-
ratura e´ igual a 35◦C?
(b) O agrimensor usa a fita para medir uma distaˆncia quando a tempe-
ratura e´ igual a 35◦C; o valor lido na fita e´ igual a 35,794 m. Qual
e´ a sua distaˆncia real? Suponha que a fita foi calibrada para uso a
20◦C.
4. Um frasco de vidro com volume igual a 200 cm3 a 20◦C esta´ cheio de
mercu´rio ate´ a borda. Qual e´ a quantidade de mercu´rio que transborda
quando a temperatura do sistema se eleva ate´ 100◦C?
5. Na temperatura de uma sala de metrologia, 20◦C, um conjunto mecaˆnico
eixo-furo composto de um eixo de ferro fundido retificado de 9,97mm e
uma bucha de alumı´nio de 10,00mm teˆm um ajuste deslizante com uma
folga de 0,03mm. Dentro da ma´quina, nas condic¸o˜es de trabalho a tem-
peratura chega a 90◦C. Determine a folga do conjunto em operac¸a˜o.
6. Em um motor de um Gol 1.8 o diaˆmetro dos cilindros de ferro fundido
mede 81,00 mm e os pisto˜es medem 80,97 mm a` 20◦C. Se os pisto˜es
fossem feitos de alumı´nio, ate´ que temperatura o motor pode aquecer?
7. Em determinado ajuste para conseguir introduzir um eixo de ac¸o em um
rolamento de ac¸o o mecaˆnico de manutenc¸a˜o precisa resfriar o eixo com
nitrogeˆnio l´ıquido. Sabendo-se que a temperatura do nitrogeˆnio l´ıquido e´
−196,0◦C e o eixo tem um diaˆmetro de 10,00mm e esta´ a` 20,00◦C. Qual
deve ser o diaˆmetro mı´nimo do furo do rolamento para que ele consiga a
montagem?
28 CAPI´TULO 5. TEMPERATURA E CALOR
8. Para obter uma junta firme, os rebites de alumı´nio usados na construc¸a˜o de
avio˜es sa˜o feitos com um diaˆmetro ligeiramente maior do que o diaˆmetro do
buraco, e resfriados com ‘gelo seco’ (CO2 so´lido) antes de serem colocados
nos respectivos buracos. Sabendo que o diaˆmetro de um buraco e´ 4,5 mm,
qual deve ser o diaˆmetro de um rebite a 23◦C para que seu diaˆmetro fique
igual ao do buraco quando o rebite for esfriado ate´ −78◦C, a temperatura
do gelo que sera´ usado?
9. Voceˆ e´ o novo engenheiro mecaˆnico da Motores Inc., e foi incubido de
projetar pisto˜es de lata˜o para deslizarem dentro de cilindros de ac¸o. Os
motores em que estes pisto˜es sera˜o usados ira˜o funcionar entre 20◦C e
150◦C. Se os pisto˜es cil´ındricos teˆm 25,0 cm de diaˆmetro a 20◦C, qual
deveria ser o diaˆmetro mı´nimo dos cilindros nessa temperatura para que
os pisto˜es funcionassem a 150◦C?
10. Um eixo feito de uma liga meta´lica desconhecida tem um comprimento de
10,000 mm a 20,000 ◦C e um comprimento de 10,025 mm no ponto de
ebulic¸a˜o da a´gua.
(a) Qual e´ o coeficiente de dilatac¸a˜o linear dessa liga meta´lica?
(b) Qual e´ o comprimento da barra no ponto de congelamento da a´gua?
(c) Qual e´ a temperatura para a qual o comprimento da barra e´ 10,010
mm?
11. Um pequeno aquecedor ele´trico de imersa˜o e´ usado para esquentar 200g de
a´gua, com o objetivo de preparar cafe´ solu´vel. Trata-se de um aquecedor
de 200watts (esta e´ a taxa de conversa˜o de energia ele´trica em energia
te´rmica). Calcule o tempo necessa´rio para aquecer a a´gua de 25,0◦C para
100◦C, desprezando as perdas de calor.
29
12. Em um episo´dio de gripe, um homem de 80 kg tem 39◦C de febre (cerca de
2◦C acima da temperatura normal de 37◦C). Considerando que o corpo
humano e´ constitu´ıdo essencialmente de a´gua, qual seria o calor necessa´rio
para produzir essa variac¸a˜o de temperatura?
13. Uma chaleira de alumı´nio com massa igual a 1,50 kg e contendo 1,80 kg
de a´gua e´ colocada para esquentar em um foga˜o. Supondo que na˜o haja
nenhuma perda de calor para o ambiente, qual e´ a quantidade de calor
que deve ser adicionada para elevar a temperatura de 20◦C ate´ 85◦C?
14. Voceˆ esta´ projetando um elemento para um circuito eletroˆnico constitu´ıdo
por 27mg de sil´ıcio. A corrente ele´trica transfere energia para o elemento
a uma taxa igual a 7,5mW . Se o seu projeto na˜o permite nenhuma trans-
fereˆncia de calor a partir do elemento, qual e´ a taxa de aumento da tem-
peratura do elemento?
15. Certa substaˆncia, cuja massa e´ 200g, inicialmente so´lida a` temperatura de
−10◦C, passa pelas transformac¸o˜es de fase mostradas no gra´fico abaixo.
Determine:
(a) O calor espec´ıfico na fase so´lida.
(b) O calor latente de fusa˜o.
(c) A temperatura de vaporizac¸a˜o.
16. Uma quantidade de a´gua l´ıquida de massa 200g, a uma temperatura de
30◦C, e´ colocada em uma calor´ımetro junto a 50g de gelo a 0◦C. Apo´s
atingir o equil´ıbrio, dado que o calor espec´ıfico da a´gua e´ c = 1cal/(g ·K)
e o calor latente de fusa˜o do gelo e´ L = 80cal/g, calcule a temperatura
final da mistura gelo + a´gua.
Cap´ıtulo 6
Teoria Cine´tica dos Gases
Ga´s: e´ um dos estados da mate´ria, na˜o tem forma e volume definidos, e
consiste em uma colec¸a˜o de part´ıculas (mole´culas, a´tomos, ı´ons, ele´trons, etc.)
cujos movimentos sa˜o aproximadamente aleato´rios.
Ga´s ideal: e´ um modelo idealizado, para o comportamento de um ga´s.
E´ um ga´s teo´rico composto de um conjunto de part´ıculas pontuais movendo-
se aleatoriamente e na˜o interagindo. O conceito de ga´s ideal e´ u´til porque
obedece a lei dos gases ideais, uma equac¸a˜o de estado simplificada, e e´ pass´ıvel
de ana´lise pela mecaˆnica estat´ıstica. Em condic¸o˜es ambientais normais tais
como as temperatura e pressa˜o padra˜o, a maioria dos gases reais comportam-se
qualitativamente como um ga´s ideal.
Lei dos gases ideais: e´ a equac¸a˜o de estado do ga´s ideal, um ga´s hipote´tico
formado por part´ıculas pontuais, sem atracc¸a˜o nem repulsa˜o entre elas e cu-
jos choques sa˜o perfeitamente ela´sticos (conservac¸a˜o do momento e da energia
cine´tica).
A equac¸a˜o que descreve normalmente a relac¸a˜o entre a pressa˜o, e volume, a
temperatura e a quantidade (em mols) de um ga´s ideal e´:
P · V = n ·R · T
onde:
P = Pressa˜o
V = Volume
n= Mols de ga´s.
R= Constante universal dos gases perfeitos
T = Temperatura em Kelvin.
A constante R, determinada experimentalmente vale:
R = 8,314472
J
K ·mol = 0,08205746
L · atm
K ·mol
Para uma mesma massa gasosa (portanto, o nu´mero de moles (n) e´ constante;
n = cte), podemos afirmar que existe uma constante directamente proporcional
a` pressa˜o e volume do ga´s, e inversamente proporcional a` sua temperatura.
p1 · V1
T1 · n1
=
p2 · V2
T2 · n2
30
31
Devem ser observados os casos especiais onde algumas desta grandezas sa˜o
constantes como em processos isote´rmicos, isovolume´tricos, isoba´ricos, etc.
Uma variac¸a˜o da lei dos gases ideais pode ser obtida usando-se o nu´mero de
part´ıculas N e a constante de Boltzmann k = 1,3806503 · 10−23 J/K:
P · V = N · k · T
32 CAPI´TULO 6. TEORIA CINE´TICA DOS GASES
Exerc´ıcios Aplicados
1. Um pneu de automo´vel tem um volume de 1,66 × 10−2m3 e conte´m ar a`
pressa˜o manome´trica (pressa˜o acima da pressa˜o atmosfe´rica) de 165kPa
quando a temperatura e´ 20,0◦C. Qual e´ a pressa˜o manome´trica do ar no
pneu quando a temperatura aumenta para 50,0◦C e o volume aumenta
para 1,70× 10−2m3? Suponha que a pressa˜o atmosfe´rica e´ 1,01× 105Pa.
2. No motor de um automo´vel, uma mistura de ar e gasolina e´ comprimida no
interior do cilindro antes da ignic¸a˜o. Um motor t´ıpico possui uma raza˜o de
compressa˜o de 9 para 1; isso significa que o ga´sno cilindro e´ comprimido
ate´ um volume igual a 1/9 do seu volume original. A pressa˜o inicial e´ 1,0
atm e a temperatura inicial e´ 27◦C. Se a pressa˜o depois da compressa˜o
for 21,7 atm, calcule a temperatura do ga´s comprimido.
3. Uma certa quantidade de um ga´s ideal a 20,0 ◦C e 100 kPa ocupa um
volume de 1,00 m3. Suponha que na˜o ha´ vazamentos.
(a) Quantos mols do ga´s esta˜o presentes?
(b) Se o volume e´ mantido constante e a pressa˜o e´ aumentada para 300
kPa, qual e´ a temperatura do ga´s?
4. Em um cilindro vedado com um pista˜o, voceˆ comprime rapidamente 3,0L
de ga´s N2 inicialmente a 1,0atm de pressa˜o e a 0
◦C ate´ a metade de seu
volume original. Suponha que o N2 se comporte como um ga´s ideal.
(a) Calcule a temperatura final e a pressa˜o final do ga´s.
Resposta: e
(b) Se voceˆ agora resfriar o ga´s de volta a 0◦C sem variar a pressa˜o qual
sera´ o volume final?
Resposta:
Cap´ıtulo 7
Leis da Termodinaˆmica
Trabalho em processos termodinaˆmicos:
A 1a lei da termodinaˆmica:
Processos termodinaˆmicos:
Ciclos termodinaˆmicos:
Ma´quinas Te´rmicas:
33
34 CAPI´TULO 7. LEIS DA TERMODINAˆMICA
Exerc´ıcios Aplicados
1. Um grama de a´gua (1cm3) se transforma em 1671cm3 quando ocorre o
processo de ebulic¸a˜o a uma pressa˜o constante de 1atm (1,01×105Pa) con-
forme figura. O calor de vaporizac¸a˜o para essa pressa˜o e´ LV = 2,256 ×
106J/kg.
(a) Qual e´ o trabalho realizado pelo sistema durante esse processo?
(b) Qual e´ a variac¸a˜o da energia interna do sistema durante o processo?
2. Num dado recipiente contendo um l´ıquido, e´ imerso um cilindro contendo
ga´s ideal, confinado por um eˆmbolo mo´vel, conforme as figuras abaixo:
O recipiente esta´ sobre uma fonte te´rmica e a base do recipiente e´ diate´rmica,
isto e´, permite trocas de calor entre a fonte e o recipiente. As demais pa-
redes do recipiente sa˜o adiaba´ticas. E as paredes do cilindro que conte´m
o ga´s sa˜o diate´rmicas.
A fonte fornece 2000J para o sistema formado pelo l´ıquido e o ga´s, con-
forme figura (I). Devido ao calor fornecido pela fonte te´rmica a tempera-
tura do l´ıquido aumenta 3◦C, consumindo 1500J , fornecendo os 500J de
energia restantes para o ga´s. Por outro lado o ga´s realiza uma expansa˜o
com um aumento de volume de 8m3, a uma pressa˜o constante de 50N/m2,
como representado na figura (II).
(a) Calcule o trabalho realizado pelo ga´s.
(b) Calcule a variac¸a˜o da energia interna do ga´s.
3. Um condicionador de ar e´ usado para resfriar uma sala. A temperatura
externa e´ 32,0◦C e a temperatura no interior da sala deve ser mantida
em 22,0◦C. O condicionador retira 10000Btu/h do edif´ıcio em forma de
35
calor. Se o condicionador de ar e´ uma ma´quina de Carnot trabalhando no
sentido inverso, qual deve ser a poteˆncia de operac¸a˜o do condicionador?
[Dado: 1Btu = 1055J ]
4. O motor a gasolina de um carro de grande porte consome 10000J de calor
e realiza 2000J de trabalho mecaˆnico em cada ciclo. O calor e´ obtido pela
queima de gasolina cujo calor de combusta˜o e´ de 5,0× 104J/g.
(a) Qual e´ a eficieˆncia te´rmica dessa ma´quina?
(b) Qual e´ a quantidade de calor rejeitada em cada ciclo?
(c) Qual e´ a quantidade de gasolina queimada a cada ciclo?
(d) Se o motor completa 25 ciclos por segundo, qual e´ a poteˆncia forne-
cida em watts?
(e) Qual e´ a quantidade de gasolina queimada por segundo? E por hora?
5. A eficieˆncia de um certo motor de automo´vel e´ de 25% quando o motor
realiza um trabalho de 12,0kJ por ciclo. Suponha que o processo seja
revers´ıvel. Quais sa˜o:
36 CAPI´TULO 7. LEIS DA TERMODINAˆMICA
(a) A energia Qganho em forma de calor que o motor ganha por ciclo
grac¸as a` queima do combust´ıvel?
(b) A energia Qperdido em forma de calor que o motor perde por ciclo
por causa do atrito?
6. Uma unidade de condicionador de ar em uma janela absorve 9,80 ×104J
de calor por minuto de uma sala que esta´ sendo resfriada e, no mesmo
intervalo de tempo, despeja 2,74 ×105J de calor no ar externo.
(a) Calcule o trabalho realizado pelo condicionador de ar.
(b) Qual e´ o consumo de poteˆncia dessa unidade em W e em Btu/h?
(c) Qual e´ a eficieˆncia energe´tica (coeficiente de desempenho) dessa uni-
dade?
7. O gra´fico abaixo ilustra uma transformac¸a˜o onde 100mols de ga´s ideal mo-
noatoˆmico recebem do meio exterior uma quantidade de calor 1,8×106J .
Dado: R = 8, 3J/(mol ·K).
37
Determine:
(a) O trabalho realizado pelo ga´s;
(b) A variac¸a˜o da energia interna do ga´s;
(c) A temperatura do ga´s no estado A.
8. Em uma ma´quina te´rmica sa˜o fornecidos 3kJ de calor pela fonte quente
para o in´ıcio do ciclo e 780J passam para a fonte fria.
(a) Qual o trabalho realizado pela ma´quina, se considerarmos que toda
a energia que na˜o e´ transformada em calor passa a realizar trabalho?
(b) Qual o rendimento da ma´quina te´rmica?
(c) Uma ma´quina que opera em ciclo de Carnot tem a temperatura de sua
fonte quente igual a 330◦C e fonte fria a` 10◦C. Qual e´ o rendimento
dessa ma´quina?
9. Uma usina ele´trica experimental no Laborato´rio de Energia Natural no
Hava´ı gera energia ele´trica a partir do gradiente de temperatura do oceano.
A a´gua da superf´ıcie esta´ a 27◦C e a a´gua em profundidades elevadas esta´
a 6,0◦C.
(a) Qual e´ a eficieˆncia teo´rica ma´xima dessa usina?
(b) Se a usina deve produzir 210kW de poteˆncia, com que taxa o calor
deve ser extra´ıdo da a´gua quente? Com que taxa o calor deve ser
absorvido da a´gua fria? Suponha a eficieˆncia ma´xima teo´rica.
(c) A a´gua fria que sai da usina possui temperatura igual a 10◦C. Qual
deve ser a vaza˜o da a´gua fria atrave´s do sistema? Deˆ a sua resposta
em kg/h e em L/h.
10. A eficieˆncia de um certo motor de automo´vel e´ de 25% quando o motor
realiza um trabalho de 12,0kJ por ciclo. Suponha que o processo seja
irrevers´ıvel. Quais sa˜o:
(a) A energia Qganho em forma de calor que o motor ganha por ciclo
grac¸as a` queima do combust´ıvel?
(b) A energia Qperdido em forma de calor que o motor perde por ciclo
por causa do atrito?