matematica aplicada

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CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Aula 1: Teoria dos Conjuntos 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Estrutura do conteúdo 
AULA 1: Apresentação do Plano de Aula. Teoria dos Conjuntos 
Unidade 1 – Teoria dos Conjuntos 
1.1. Introdução, Notação e Propriedades; 
1.2. Tipos especiais de Conjuntos. Subconjuntos; 
1.3. Operações Elementares em Conjuntos; 
1.4. Conjuntos Numéricos; 
1.5. Princípio da Inclusão e da Exclusão; 
1.6. Intervalos numéricos; 
1.7. Valor absoluto de um número e Propriedades. 
 
Unidade 2 – Contagem 
2.1. Princípio da Casa de Pombo; 
2.2. Princípio da Multiplicação; 
2.3. Princípio da Adição; 
2.4. Arranjo, Permutação e Combinação. 
 
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AULA 1: Apresentação do Plano de Aula. Teoria dos Conjuntos 
Unidade 3 – Relações 
3.1. Pares Ordenados; 
3.2. Relações Binárias. Propriedades e Fechos; 
3.3. Ordens Parciais; 
3.4. Relações de Equivalência. 
 
Unidade 4 – Funções 
4.1. Definição; 
4.2. Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras; 
4.3. Composição de Funções; 
4.4. Função Inversa; 
4.5. Funções do Primeiro e do Segundo Grau e seus Gráficos. 
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Estrutura do conteúdo 
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Unidade 5 – Cálculo Proposicional 
 
5.1. O Raciocínio e a Lógica; 
5.2. Linguagem Natural e Linguagem Simbólica; 
5.3. Proposições Simples; 
5.4. Proposições Compostas. Conectivo; 
5.5. Tabelas Verdade. Interpretação. Ordem de Precedência dos Conectivos; 
5.6. Álgebra de Boole aplicada à construção de tabelas verdade; 
5.7. Tautologia, Contradição e Contingência; 
5.8. Implicação Lógica; 
5.9. Equivalência Lógica; 
5.10. Formas Normais. Problema de Post; 
5.11. Conjuntos Adequados de Conectivos; 
5.12. Argumento e Regras de Inferência. 
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Unidade 6 – Cálculo dos Predicados 
6.1. Predicados. Conjunto Universo. Conjunto Verdade; 
6.2. Quantificadores; 
6.3. Variáveis Livres e Ligadas. Alcance do Quantificador; 
6.4. Negação de Fórmulas Quantificadas; 
6.5. Relações Lógicas; 
6.6. Argumento e Regras de Inferência Adicionais. 
 
Unidade 7 – Métodos de Demonstração 
7.1. Vacuidade. Trivial. Direta. Indireta; 
7.2. Contradição ou Redução ao Absurdo; 
7.3. Técnicas Adicionais, envolvendo quantificadores; 
7.4. Construção dos Números Naturais como 
 Função: Princípio da Indução. 
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Procedimentos de avaliação 
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O processo de avaliação oficial será composto de três etapas: 
 
• Avaliação 1 (AV1); 
• Avaliação 2 (AV2); 
• Avaliação 3 (AV3). 
AV2 e AV3 são unificadas, a partir de um banco de questões propostas pelos professores da Estácio de 
todo o Brasil. 
As avaliações poderão ser realizadas por meio de provas teóricas, provas práticas, e realização de projetos 
ou outros trabalhos, representando atividades acadêmicas de ensino, de acordo com as especificidades 
de cada disciplina. A soma de todas as atividades que possam vir a compor o grau final de cada avaliação 
não poderá ultrapassar o grau máximo de 10, sendo permitido atribuir valor decimal às avaliações. Caso a 
disciplina, atendendo ao projeto pedagógico de cada curso, além de provas teóricas e/ou práticas 
contemple outras atividades acadêmicas de ensino, estas não poderão ultrapassar 20% da composição do 
grau final. 
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Procedimentos de avaliação 
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A AV1 contemplará o conteúdo da disciplina até sua realização, incluindo o das atividades estruturadas. 
As AV2 e AV3 abrangerão todo o conteúdo da disciplina, incluindo o das atividades estruturadas. 
Para aprovação na disciplina, o aluno deverá: 
 
1. Atingir resultado igual ou superior a 6,0, calculado a partir da média aritmética entre os graus das 
avaliações, sendo consideradas apenas as duas maiores notas obtidas dentre as três etapas de avaliação 
(AV1, AV2 e AV3). A média aritmética obtida será o grau final do aluno na disciplina; 
2. Obter grau igual ou superior a 4,0 em, pelo menos duas das três avaliações; 
3. Frequentar, no mínimo, 75% das aulas ministradas. 
 
As disciplinas oferecidas na modalidade Educação a Distância (EAD) seguirão o mesmo critério de avaliação das 
disciplinas presenciais. 
Para a avaliação do Trabalho de Conclusão de Curso (TCC), ou trabalhos de mesma natureza, será atribuído grau 
único para a disciplina que, para aprovação do aluno, deverá ser igual ou maior do que 6,0. 
Mais detalhes: Portaria D. E.nº02, de 18 de novembro de 2009. 
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Bibliografia 
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Bibliografia Básica 
 
1. MINELLI, J. Matemática discreta. Rio de Janeiro: 
Universidade Estácio de Sá, 2014. 112 p. 
 
2. SOUZA, J. Lógica para Ciência Da Computação. São 
Paulo: Elsevier Editora, 2008. 
 
3. BISPO, C. A.; CASTANHEIRA, L. B.; FILHO, O. M. S. 
Introdução à Lógica Matemática. 2. ed. São Paulo: 
Cengage Learning, 2011. 
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Bibliografia 
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Bibliografia Complementar 
 
1. GERSTING, J. Fundamentos Matemáticos para 
Ciência da Computação. São Paulo: LTC, 2004. 
 
2. FÁVARO, S.; KMETEUK FILHO, O. Noções de Lógica e 
Matemática Básica. 1. ed. Rio de Janeiro: Ciência 
Moderna, 2005. 224p. 
 
3. MENEZES, P. B. Matemática discreta para 
computação e informática. 4. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2013. 370p. 
 
4. ALENCAR FILHO, E. Iniciação à lógica matemática. 
18. ed. São Paulo: Nobel, 2002. 
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Teoria dos Conjuntos 
AULA 1: Apresentação do Plano de Aula. Teoria dos Conjuntos 
Introdução / Motivação 
Todos os ramos da matemática utilizam a noção de conjuntos de diversas maneiras diferentes. 
Sendo assim, a noção de conjunto ganha um lugar de destaque no ensino da matemática. 
 
Noções básicas da teoria dos conjuntos (noções intuitivas) são: 
• conjunto, 
• elemento e 
• pertinência. 
 
1. Conceitos Primitivos (não definidos) – Conjunto e Elemento: Ideia de conjunto é a mesma de coleção. 
 
Exemplos: 
(a) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto; cada aluno é um elemento desse conjunto. 
(b) Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento desse conjunto. 
 
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2. Representação de um Conjunto 
 
2.1. Representação tabular 
 Notação: Podemos representar um conjunto sob forma de tabela, escrevendo seus elementos 
entre chaves {} e separados por vírgula. 
 
• É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ... 
• É usual representarmos os elementos por letra minúsculas a,b,c,d, ... 
 Exemplo: A = {a, e, i, o, u} 
 Exemplo: B = {1, 2, 3, 4} 
 
2.2. Representação por meio de diagramas de Venn-Euler 
 Os elementos de um conjunto são representados por: 
 - pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que não 
se entrelaça. 
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Exemplos: Representação por meio de diagramas de Venn-Euler 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 . Representação através de uma propriedade 
 
 A = {x | x tem a propriedade p}. 
 
Lê-se: "A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p“. 
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Exemplos: A = {x | x é par} – o conjunto A é formado por todos os pares. 
 
3. Relação de Pertinência 
Nos exemplos: 
1. A = {a, e, i, o, u} 
2. B = {1, 2, 3, 4} 
 
Observe: u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B. Representaremos como: 
 
• u  A (lê-se "u pertence a A") 
• u  B (lê-se "u não pertence a B") 
 
Observação: De modo geral, para relacionar elemento e conjunto, devemos utilizar os símbolos: 
(pertence) e  (não pertence). 
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4. Tipos de Conjunto 
4.1. Conjunto unitário – Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento. 
Exemplos: C = {5} 
4.2. Conjunto vazio – Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. 
Representa-se o vazio por Ø ou { }. 
Exemplos: E = {x | x é computador sem memória} = { } 
4.3.Conjunto finito – Conjunto finito é aquele em que conseguimos contar do início ao fim todos os 
elementos. 
Exemplos: B = {1, 2, 3, 4} 
4.4. Conjunto infinito – é aquele que não é possível contar do inicio até o fim todos os elementos. 
Exemplos: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
5. Conjuntos Iguais 
Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. 
Exemplo: "arte": A = {a, r, t, e} e "reta": B = {r, e, t, a}, temos A = B, pois os conjuntos possuem os 
mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos. 
Se A não é igual a B, escrevemos A B (lê-se "A é diferente de B"). 
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6. Conjunto Universo (U) 
 
 É o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar. 
Exemplo: Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo 
considerado. 
 
• Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, teremos como resposta o 
conjunto solução: 
 S = {0, 1, 2, 3, 4}. 
• Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares, teremos como conjunto 
solução: 
 S = {0, 2, 4}. 
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7 – Subconjunto 
 
 Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de 
A pertence a B. 
 
Notação: A é subconjunto de B por: A  B (lê-se "A está contido em B"), ou ainda, B  A por (lê-se "B 
contém A"). 
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Exemplos: 
 
 (a) {2, 5, 3}  {2, 5, 3, 8, 9} 
 (b) {6, 9, 6, 5}  {9, 6} 
 
Propriedades: 
 
1 - O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: 
 Simbolicamente: A  B  [ ∀ x  A, x  B] 
 
 Exemplos: 
 (a)   { 1,2,3} 
 (b)    
 
2 - Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. 
 Simbolicamente: A A, ∀ A 
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Exemplos 
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Conjunto das Partes de um Conjunto 
 
 Podemos ter um conjunto cujos elementos podem também ser conjuntos. 
 Exemplo: Considere o conjunto A = {a, b}. Vamos determinar os subconjuntos de A, pensando em 
termos de número de elementos. 
• Subconjuntos com nenhum elemento: Ø 
• Subconjuntos com um elemento: {a}, {b} 
• Subconjuntos com dois elementos: {a,b} 
 
Chamamos conjunto das partes de um conjunto A ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos 
de A. 
 Notação: P(A) (lê-se P de A) 
 Exemplo: Determinando o conjunto das partes do conjunto A = {a, b}. P(A) = {Ø , {a}, {b}, {a,b}} 
 Exemplo: Determinando o conjunto das partes do conjunto B = {a, b, c} 
Vamos determinar primeiramente os subconjuntos de A, pensando em termos de número de elementos. 
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• Subconjuntos com nenhum elemento: Ø 
• Subconjuntos com um elemento: {x}, {y}, {z} 
• Subconjuntos com dois elementos: {x,y}, {x,z}, {y,z} 
• Subconjuntos com três elementos: {x,y,z} 
 
 P(B) = {Ø, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}} 
 
Número de Elementos do Conjunto das Partes de um Conjunto 
 
Observando os exemplos anterior, o conjunto A tem dois elementos e o conjunto das partes de A, 
ou seja P(A), possui 4 elementos. Podemos observar que 4 = 2² elementos. 
 
No segundo exemplo, o conjunto B tem três elementos e o conjunto das partes de B possui 8 subconjuntos. 
Podemos observar que 8 = 23 elementos. 
De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, os números de elementos de P(A) é 𝟐𝒏. 
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Observação: O procedimento de definir 
os subconjuntos e mais ainda, sabendo 
quantos elementos um conjunto possui, 
podemos saber quantos subconjuntos o 
conjunto partes deste terá, nos lembra 
que esta é uma importante definição no 
momento de programar, pois 
precisaremos definir o espaço de uma 
tabela, espaço de um vetor, eficiência 
de um procedimento etc. 
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Exercícios 
 
1. Um certo número de alunos de uma escola de ensino médio foi consultado sobre a preferência em relação a 
jogar futebol ou jogar vôlei. O resultado obtido foi o seguinte: 180 alunos jogam futebol, 160 jogam vôlei, 60 
jogam futebol e vôlei e 40 não jogam nem futebol nem vôlei. 
 
 
(a) Quantos alunos foram consultados? R: 120 + 60 + 100 + 40 = 320 
(b) Quantos alunos jogam apenas futebol? R: 180 - 60 = 120 
(c) Quantos alunos não jogam futebol? R: 60 + 100 + 40 = 200 
(d) Quantos alunos jogam futebol ou jogam vôlei? R: 120 + 60 + 100 = 280 
V F 
x 180 - x 
160 - x 
40 
X = 60 
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2. Foram consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente assistem. Obteve-se o 
 seguinte resultado: 300 pessoas assistem ao canal Z, 270 assistem ao canal W e 80 assistem a outros 
 canais distintos de Z e W. 
 
300 - x + x + 270 - x + 80 = 500 
- x = - 650 + 500 
x = 150 
 
(a) Quantas pessoas assistem aos dois canais? R: (300 -150) + 150 + (270 - 150) = 420 
(b) Quantas pessoas assistem somente ao canal W? R: 270 - 150 = 120 
(c) Quantas pessoas não assistem ao canal Z? R: 150 + 120 + 80 = 350 
z W 
D 
x 300 - x 270 - x 
80 
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Exercício 1: (PUC-RIO 2010) Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. 
Então, podemos afirmar que: 
Solução: X = 0 e y = 7 
 
Exercício 2: (PUC-RIO 2009) Em um colégio de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam 
de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos não gostam de nenhum dos dois sabores? 
Solução: 10 
 
Exercício 3: Seja A = { 1, {2}, {1,2} }. Considere as afirmações: 
(I) 1 ∊ A 
(II) 2 ∊ A 
(III)   A 
(IV) {1,2}  A 
Quais a(s) afirmação(ões) estão corretas ? 
Solução: I e III 
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Solução: I e III 
 
(I) Veja que 1 é elemento de A e o símbolo usado (pertence) para relacionar está correto, então o item I é 
verdadeiro. 
 
(II) Repare que 2 não é elemento do conjunto A, entãoele não pertence a A, logo o item II não está correto. 
Observe que {2} é elemento de A. Nesse ponto, chamamos a atenção para o fato de que {2} é um conjunto, já 
que está entre chaves, que é um elemento de A. Há uma diferença entre 2 e {2}. O item IV é semelhante. 
 
(III) Uma das propriedades de inclusão (por definição de subconjunto) diz o seguinte: o (vazio) está contido 
em qualquer conjunto. Portanto, o item III está correto. 
 
(IV) Mais uma vez temos que {1,2} é um elemento de A e não um subconjunto, logo a afirmação não está 
correta, pois deveria ser usado o símbolo de pertence. Neste caso, o símbolo estaria correto se ao invés de 
{1,2} tivéssemos {{1,2}} (subconjunto 1,2). 
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Teoria dos Conjuntos 
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Indicação de Leitura Específica 
 
Recomendamos a leitura do capítulo referente à Teoria de Conjuntos no material didático. 
Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de Conjuntos 
disponíveis. 
 
Recomendação de leitura no material didático: 
MINELLI, J. Matemática Discreta. 1. ed. Rio de Janeiro: Estácio, 2015, p. 11-19. 
 
Sugestão de material: 
http://www.otricolor.com/images/noticias/1278/Inicia%E7%E3o%20a%20L%F3gica%20Matem%E1tica.%
20Edegard%20Filho.%20Editota%20Nobel%20(1).pdf 
 
Sugestão de leitura: Conjuntos 
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/matematica-basica/conjuntos.html 
http://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos.php 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm 
 
VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
1.3. Operações Elementares em Conjunto. 
 
• Interseção e União de conjuntos; 
• Diferença e conjunto complementar; 
• Propriedades das Operações entre 
Conjuntos; 
• Principio da Inclusão e Exclusão. 
 
1.4. Conjuntos Numéricos. 
 
1.5. Intervalos Numéricos. 
 
1.6. Valor absoluto de um número e 
propriedades.