Função Quadrática: Conceitos e Exemplos

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CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Aula 9: Funções 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Função Quadrática 
AULA 9: Funções 
Toda função do tipo y = ax2 + bx + c, com {a, b, c} ∊ R e a  0, é chamada de função quadrática 
ou função do 2o grau. 
 
Exemplos: 
 
(a) y = 3x2 - x – 2 
 
(b) f (x) = 4x2 – 2 
 
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GRÁFICO: uma função do tipo f (x) = ax2 + bx + c, com {a, b, c} ∊ R e a  0, é uma parábola. 
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GRÁFICO 
 
Considerando a parábola de equação f (x) = ax2 + bx + c, 
 
• Se a > 0, a parábola possui concavidade para cima. 
 
• Se a < 0, a parábola possui concavidade para baixo. 
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PONTOS NOTÁVEIS DA PARÁBOLA 
 
Construção do gráfico da função do 2o grau 
 
Interseção com o eixo Ox 
 
Para y = ax2 + bx + c, basta atribuirmos o valor zero à variável y e resolver a equação: 
 
ax2 + bx + c = 0 (I) 
 
 
Utilizamos a fórmula de Bhaskara, x = onde 
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Se a equação f (x) = ax2 + bx + c tiver  > 0 
 
• Duas raízes reais e distintas: x1 e x2. 
• Pontos de interseção da parábola com o eixo Ox: (x1, 0) e (x2, 0). 
 
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Se a equação f (x) = ax2 + bx + c tiver  = 0 
 
• Duas raízes reais e iguais: x1 = x2. 
• Parábola será tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2. 
 
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Se a equação f (x) = ax2 + bx + c tiver  < 0 
 
• Não terá raízes reais. 
• Parábola não terá ponto em comum com o eixo Ox. 
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Exemplo: y = 2x2 - x – 1 
 
• pontos de interseção de seu gráfico com o eixo Ox: 2x2 - x - 1= 0. 
  = b2 - 4ac 
 = (-1)2 - 4 . 2. (-1) = 9. 
 
Como  > 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos: (x 1, 0) e (x 2, 0) 
 
• Determinando x1 e x 2, temos: 
x = 
 
x1 = 1 
x2 = -1/2 
Sabemos ainda que a > 0  Parábola tem concavidade voltada para cima: 
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Exemplo: f (x) = - 4x2 - 12x – 9 
 
• - 4x2 - 12x - 9 = 0 
• raízes de f: 
 b2 -4ac = (-12)2 - 4(-4)(-9) = 0. 
•  = 0, temos duas raízes reais e iguais (x1 = x2). 
• Parábola tangencia o eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2. 
• Determinando essas raízes, temos: x = 
 
x1 = x2 = -3/2 
 
Sabemos ainda que a < 0  parábola tem concavidade voltada para baixo. 
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Resumindo: 
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O ponto de interseção da parábola com o eixo Oy 
 
Para obtê-lo a partir de y = ax2 + bx + c: 
• Assumir x = 0 
• O ponto de interseção da parábola com o eixo Oy é (0, c). 
 
Exemplo: Função y = x2 - 6x + 5 
 
• Interseção com os eixos Ox 
 Fazendo y = 0, temos x2 - 6x + 5 = 0. 
 = b2 - 4ac = (-6)2 -4 . 1. 5 = 16. 
 Logo, x = então x1 = 5, x2 = 1 
 
Parábola intercepta o eixo Ox nos pontos (5, 0) e (1, 0). 
 
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Exemplo: Função y = x2 - 6x + 5, vamos obter os pontos de: 
 
• Fazendo x = 0, temos y = 02 - 6 . 0 + 5 então y = 5. 
 
Parábola intercepta o eixo Oy no ponto (0, 5). 
O esboço do gráfico é: 
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O vértice da parábola 
 
• Vértice V é o ponto de interseção da parábola com seu eixo de simetria. 
 
O vértice V(x v, y v) da parábola de equação y = ax
2 + bx + c, com {a, b, c} ∊ R e a  0, 
é o ponto V, onde  = b2 - 4ac. 
 
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Exemplo: Função y = x2 - 6x + 5. 
 
Abscissa de V é o ponto médio do segmento de extremos (1, 0) e (5, 0), ou seja, x = 3. 
 
Substituindo x por 3, obtemos a ordenada do vértice: 
 
 y = 32- 6. 3 + 5 então, y = - 4. 
 
Portanto, o vértice da parábola é o ponto V = (3, -4). 
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Variação de Sinal 
 
F (x) = ax2 + bx + c, recairá sempre em um dos seguintes casos: 
 
Exemplo: 
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Estudo do Sinal 
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Função 
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Máximo e Mínimo de uma Função 
 
Seja f uma função real de variável real. 
 
 A função f admite valor máximo se, e somente se: 
• existe x max, 
• x max ∊ D ( f ), 
• f (x max)  f (x), ∀x, x ∊D ( f ). 
 
O número f (x max) é chamado de valor máximo da função f. 
O número x max é chamado de ponto de máximo da função f. 
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Função 
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Máximo e Mínimo de uma Função 
 
Seja f uma função real de variável real. 
 
 A função f admite valor mínimo se, e somente se: 
• existe x min, 
• x min ∊ D ( f ), 
• f (x min)  f (x), ∀x, x ∊D ( f ). 
 
O número f (x max) é chamado de valor mínimo da função f. 
O número x max é chamado de ponto de mínimo da função f. 
Máximo e Mínimo de uma Função do 2º Grau 
 
Seja f : R  R tal que f (x) = ax2 + bx + c, com {a, b, c} R e a  0. 
 
- f admite valor de máximo se, e somente se, a < 0. 
- Seu valor de máximo é yv = 
- máximo é 
 
 
- f admite valor de mínimo se, e somente se, a > 0. 
- Seu valor de mínimo é yv = 
- mínimo é 
 
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Máximo e Mínimo de uma Função do 2º Grau 
 
Exemplo: Determine o valor mínimo e o ponto de mínimo da função y = 2x2 + 2x + 1. 
 
O valor mínimo é yv = , com  = b
2 - 4ac. Para a função temos, a = 2, b = 2 e c = 1 
Então  = - 4 . Logo yv = 1/2. O ponto de mínimo x v = -1/2. 
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Exemplo: Dada a função y = 2x2 - x - 1 
 
• pontos de interseção de seu gráfico com o eixo Ox: 
 2x2 - x - 1 = 0. 
 
= b2 - 4ac = (-1)2 - 4 . 2. (-1) = 9. 
 
•  > 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos: (x 1, 0) e (x 2, 0), 
Determinando x1 e x 2, temos: x1 = 1, x2 = -1/2 
 
Sabemos a > 0  parábola tem concavidade voltada para cima. 
 
O valor da função será negativo para o intervalo do domínio ] -1/2, 1[ 
O valor da função será positivo, para o intervalo do domínio ] -  , - 1/2[ U ] 1, + [. 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos 
 
1- Calcular os zeros das seguintes funções: 
 
a)f(x) = x2 - 3x – 10 
 
b) f(x) = -x2 - x + 12 
Exercícios Propostos 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos 
 
 a) f(x) = x2 - 3x – 10 
Exercícios Propostos 
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Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos 
 
 b) f(x) = -x2 - x + 12 
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2- Calcular m para que: 
 
a) Função f(x) = (m - 3)x2 + 4x - 7 seja côncava para cima. 
Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos 
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2- Calcular m para que: 
 
a) a função f(x) = (m - 3)x2 + 4x - 7 sejacôncava para cima. 
 
Resolução: 
 
m - 3 > 0 então m > 3. 
Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos 
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3- (UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 - 15x + 21. Se a venda de 
x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) - C(x) seja máximo, devem ser vendidas: 
Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos 
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3- (UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 - 15x + 21. Se a venda de 
x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) - C(x) seja máximo, devem ser vendidas: 
 
Solução: 
 
L(x) = 2x2 + x - (3x2 -15x + 21) = 2x2 + x - 3x2 + 15x - 21 = -x2 + 16x - 21. 
 
x v = 8 
Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos 
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Exercícios Propostos 
4- Verifique a concavidade, se a função possui máximo ou mínimo e esboce o gráfico da função 
y = x² - 2x +1. 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos 
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Exercícios Propostos 
4- Verifique a concavidade, se a função possui máximo ou mínimo e esboce o gráfico da função 
y = x² - 2x +1. 
 
 
• Temos que a = 1, b = -2 e c = 1. 
• a > 0, então a parábola possui concavidade voltada para cima 
• Possui ponto mínimo. 
• Vamos calcular as coordenadas do vértice da parábola. 
• Yv = 0 xv = 1 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
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Indicação de Leitura Específica 
 
• Recomendamos a leitura do capítulo referente Teoria de Conjuntos no material didático. 
• Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de 
Conjuntos disponíveis. 
 
Recomendação de leitura no material didático: 
Matemática Discreta - Juliano Minelli - 1ª edição, SESES – Rio de Janeiro 2015 – Estácio, p: 40 – 59 
 
Sugestão de material: 
http://www.brasilescola.com/matematica/grafico-funcao.htm 
 
software free: graphmatica ou mesmo utilizar o excel. 
 
 
 
Indicação de Leitura 
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Indicação de Leitura Específica 
 
Abaixo uma indicação de sites: 
 
http://www.somatematica.com.br/softOnline.php 
 
http://tecciencia.ufba.br/funcao-do-1o-grau 
 
http://www.calculo.iq.unesp.br/Calculo1/funcoes-inversas.html 
 
 
 
 
 
Sugestão de leitura: 
 
http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1.php 
 
Indicação de Leitura 
VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
Unidade 5 – Cálculo Proposicional 
 
5.1. O Raciocínio e a Lógica; 
5.2. Linguagem Natural e Linguagem Simbólica; 
5.3. Proposições Simples; 
5.4. Proposições Compostas. Conectivo; 
5.5. Tabelas Verdade. Interpretação. 
 Ordem de Precedência dos Conectivos.