Aula 5 e 6

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Conjuntos clássicos e 
conjuntos fuzzy
Faculdade Estácio de Sá
Curso de Engenharia de Produção
Professor: Tarcisio Costa Brum
Conjuntos Difusos
• Uma das formas de representação de conjuntos é por uma função 
característica ou função de pertinência:
• 𝜇𝐴 𝑥 =
1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ϵ 𝐴
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝐴
• 𝜇𝐴: U → {0,1}
• Relações de pertinência:
• 6 ϵ A ou 𝜇𝐴(6)=1
• -6  A ou 𝜇𝐴(-6)=0
Conjuntos Difusos
• Os conjuntos difusos são conjuntos cujos elementos possuem valores 
de pertinência que variam no intervalo [0,1]: 𝜇𝐴: U → {0,1}
• Elementos de pertinência=0 não pertencem ao conjunto difuso A
• Elementos com pertinência=1 são uma representação completa do conjunto 
difuso A
• Conjuntos difusos são uma generalização dos conjuntos Clássicos
• A principal diferença é a representação de elementos dado um intervalo de 
classificação
• A definição da função de pertinência depende:
• Do significado linguístico definido para o conjunto
• Da sua interpretação no contexto do universo utilizado
Conjuntos Difusos
• Considere um conjunto A formado por x elementos que indicam grau 
de febre alta.
• Definição analítica discreta 𝜇𝐴 (x)
• 𝜇𝐴 (35°C)=0
• 𝜇𝐴 (36°C)=0
• 𝜇𝐴 (37°C)=0
• 𝜇𝐴 (38°C)=0.10
• 𝜇𝐴 (39°C)=0.35 
• 𝜇𝐴 (40°C)=0.65 
• 𝜇𝐴 (41°C)=0.9
• 𝜇𝐴 (42°C)=1
• 𝜇𝐴 (43°C)=1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
36°C 37°C 37.5°C 38°C 38.5°C 39°C 39.5°C 40°C 41°C
Conjuntos Difusos
• Conjunto A “Projeto Longo”
• Definição analítica discreta 𝜇𝐴 (x)
• 𝜇𝐴 (2)=0.2
• 𝜇𝐴 (4)=0.3
• 𝜇𝐴 (6)=0.4
• 𝜇𝐴 (8)=0.5
• 𝜇𝐴 (10)=0.6 
• 𝜇𝐴 (12)=0.7 
• 𝜇𝐴 (14)=0.8
• 𝜇𝐴 (16)=1.9
• 𝜇𝐴 (18)=1.0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
2 4 6 8 10 12 14 16 18
Conjuntos Difusos
• Considere um exemplo de definição de três 
conjuntos fuzzy a partir de um conjunto universal 
finito de 7 níveis de educação ->>>
• As funções de pertinência dos três conjuntos fuzzy
tentam mensurar os conceitos de grau de instrução:
• Baixo grau de instrução;
• Médio grau de instrução;
• Alto grau de instrução.
• A tomada de decisão é, em muitos casos, incerta:
• Para uma pessoa ter graduação significa possuir alto grau de 
instrução e; 
• Para outra significa possuir grau médio, por exemplo.
0
Sem 
formação
1
Ensino 
fundamental
2 Ensino básico
3 Ensino médio
4 Graduação
5 Mestrado
6 Doutorado
Conjuntos Difusos
• O conjunto fuzzy (baixo)
• Contém indivíduos sem 
formação, com ensinos 
fundamental e básico
• O conjunto fuzzy (médio)
• Contém indivíduos de todos 
os graus de instrução
• O conjunto fuzzy (alto)
• Não contém ninguém que 
não tenha, no mínimo, 
ensino médio
1
0.8
0.5
0 0 0 00 0
0.2
0.6
0.8
1 1
0 0 0
0.1
0.5
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
Níveis de educação
Baixo Médio Alto
Conjuntos Difusos
• Exercício: Criar conjuntos fuzzy para classificar sua nota em 
determinadas disciplinas ou provas que você considera como fácil, 
média e difícil. 
• O universo é finito, e consiste nas notas possíveis de serem alcançadas
• Considerando o universo discreto
• As notas possíveis são: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 e 10
Conjuntos Difusos
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Funções de petinência para notas
Disciplina "fácil" Disciplina "Média"
Disciplina "Difícil" Disciplina "Muito Difícil"
Conjuntos Difusos
• Para um mesmo problema, podemos ter 
diferentes interpretações
• Conjunto fuzzy da disciplina fácil 
• F={6,7,8,9,10}
• Conjunto fuzzy da disciplina média 
• M={3,4,5,6,7,8,9}
• Conjunto fuzzy da disciplina difícil 
• D={0,1,2,3,4,5,6,7,8}
• Conjunto fuzzy da disciplina muito difícil 
• MD={0,1,2,3,4,5,6}
• Um conjunto fuzzy A é uma coleção 
de pares:
• A={(x, 𝜇𝐴(x)|x ϵ U}
• A={(6,0.1);(7,0.3);(8,0.6);(9,1);(10,1)}
• A={0.1/6, 0.3/7, 0.6/8, 1/9, 1/10}
Notas
Disciplina 
"fácil"
Disciplina 
"Média"
Disciplina 
"Difícil"
Disciplina 
"Muito Difícil"
0 0 0 0.9 1
1 0 0 0.9 1
2 0 0 1 1
3 0 0.3 1 1
4 0 0.6 0.7 0.9
5 0 1 0.5 0.8
6 0.1 1 0.8 0.3
7 0.3 1 0.3 0
8 0.6 0.7 0.1 0
9 1 0.4 0 0
10 1 0 0 0
Conjuntos clássicos x difusos
Conjuntos Difusos
• Operações básicas:
• Interseção: (A ꓵ B)= min (𝜇𝐴(x) , 𝜇𝐵(x))
• União: (A U B)= max (𝜇𝐴(x) , 𝜇𝐵(x))
• Complemento: 𝜇𝐴(x) =1-𝜇𝐴(x)
• Subconjunto: A  B, se 𝜇𝐵(x) ≥ 𝜇𝐴(x) para cada x ϵ U 
• Igualdade: A=B, se 𝜇𝐵(x) = 𝜇𝐴(x) para cada x ϵ U 
Propriedades conjuntos difusos
A ꓴ B =B ꓴ A A ꓵ B=B ꓵ A
(A ꓴ B) ꓴ C= A ꓴ (B ꓴ C)=(A U B) U C
=A U B U C
(A ꓵ B) ꓵ C= A ꓵ (B ꓵ C)=(A ꓵ B) ꓵ C
=A ꓵ B ꓵ C
A ꓵ (B ꓴ C) = (A ꓵ B) U (A ꓵ C) A U (B ꓵ C) = (A U B) ꓵ (A U C) 
A U A = A A ꓵ A = A
A U (A ꓵ B) = A A ꓵ (A U B) = A
A U = A ꓵ=
(A U B)’=A´ꓵ B´ (A ꓵ B)’=A´U B´
Representação das operações
Representação das operações
Propriedades conjuntos difusos
A U B ={(1,0.7);(2,1);(3,0.4);(4,0.5);(5,1)}
A ꓵ B ={(1,0.6);(2,1);(3,0.2);(4,0.5);(5,0.2)}
A´={(1,0.3);(3,0.6);(4,0.5)}
A U A´={(1,0.7);(2,1);(3,0.6);(4,0.5);(5,1)}
Propriedades conjuntos difusos
• Um conjunto fuzzy é dito normalizado se o valor máximo (supremo) é 1:
• 𝑠𝑢𝑝𝑥 ∈ 𝑈 𝜇𝐴(x)=1
• A altura do conjunto é o maior grau de pertinência:
• Alt(A)=sup (A(x))
• O suporte de A: É a parte de U sobre qual a função de petinência de A não é nula. 
Sua notação é supp(A) é:
• supp A = x ∈ U 𝜇𝐴(x) ≠ 0}
• O núcleo de A: Ele não é vazio na condição de que o conjunto fuzzy A seja 
normalizado. Sua notação é nuc(A) é:
• 𝑛𝑢𝑐 A = x ∈ U 𝜇𝐴(x) = 1}
Propriedades conjuntos difusos
• Um conjunto fuzzy é chamado de singleton se seu suporte é um único 
ponto em U e com grau de pertinência igual a 1:
Conjuntos 
Difusos
• Considere a temperatura de 
um cidade como variável fuzzy
definida no intervalo [𝑇1,
𝑇2]→[0,1]
• Os gráficos tem a forma de 
um trapézio (a)
• Utilização mais comum 
como função de 
pertinência, juntamente 
com a triangular;
• Os valores correspondentes 
em conjuntos clássicos são 
mostrados em (b).