Matemática Aplicada Unidade III

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MateMática aplicada
Unidade III
Ajustes de CurvAs
5 Ajuste de CurvAs 
É um método que consiste em encontrar uma curva que se ajuste a uma série de pontos. Existem 
vários métodos para realizar esse ajuste, como o método dos mínimos quadrados, o método da máxima 
verossimilhança e o método do máximo coeficiente de correlação linear. 
A escolha do método deve levar em consideração o modelo matemático de ajuste de curvas, 
tais como: ajuste linear simples, ajuste linear múltiplo, ajuste exponencial, ajuste geométrico, ajuste 
hiperbólico, entre outros.
Consideremos n pontos do ℝ², não todos situados na mesma vertical, e cujas coordenadas são: (x1, 
y1), (x2, y2), (x3, y3) ... (xn, yn) conforme a figura a seguir. O problema consiste em encontrar uma reta 
que se ajuste a esses pontos.
 
Volume de produção de venda
y
0 x
(xn,yn)
dn
d4
d2
d1
d3
dn
(x4,y4)
(x3,y3)
(x2,y2)
(x1,y1)
Figura 59
Essa nuvem de pontos é conhecida como gráfico de dispersão. Há inúmeras maneiras de se encontrar 
a reta que mais se aproxima, inclusive usando uma régua, por exemplo. Contudo, uma maneira simples 
e de qualidade é o método dos mínimos quadrados.
 
A ideia básica desse método consiste em considerar o modelo mais simples de relacionar duas 
variáveis x e y, que é a equação de uma reta dada pela sentença y = Ax + B, e que tornará mínima a 
soma dos quadrados dos desvios ((d1)² + (d2)² + (d3)² + (d4)² + ... + (dn)²), onde di = yi – (Axi + B). Tal 
reta é chamada de reta de mínimos quadrados, cuja equação iremos determinar.
 
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Os dados a serem ajustados são os (xi, yi), de forma tal que a distância vertical di seja a menor 
possível. 
 
A partir dessas distâncias, define-se que D é igual a somatória do quadrado dessas diferenças, isto é, 
D(A, B) = ∑ (di)² = ∑(yi – (Axi + B))². Portanto, temos que:
D(A, B) = ∑(yi – Axi – B)².
Os pontos críticos de D são obtidos resolvendo-se o sistema:
 D(A) = 2∑(yi – Axi – B)(-xi) = 0
D(B) = 2∑(yi – Axi – B)(-1) = 0
 
Ou seja: 
 ∑(xiyi – (Axi)² - Bxi) = 0 ⇔ ∑xiyi - A∑(xi)² - B∑
∑(yi – Axi – B) = 0 ∑yi - A∑xi – nB = 0
A solução do sistema é:
A
xy
x y
n
x
x
n
e B
yi
n
A
xi
n
=
∑ − ∑ ∑
∑ − ∑
=
∑
−
∑
( )( )
( )2
2 
O método dos mínimos quadrados, basicamente, consiste em obter-se a curva, dentro de uma família 
de curvas pré-estabelecidas, que minimiza esse desvio. 
 Lembrete
Quando usamos funções do primeiro grau para representar essas curvas, 
temos as retas, e no caso das funções quadráticas teremos as parábolas. 
Exemplo:
1) Um comerciante deseja obter uma equação de demanda para o seu produto. Ele admite que a 
quantidade média demandada (y) se relaciona com o seu preço unitário (x) por meio de uma função 
do 1º grau y = ax + b. Para estimar essa reta, fixou os preços em vários níveis e observou a quantidade 
demandada, obtendo os dados a seguir:
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MateMática aplicada
Tabela 3
preço unitário (x) 1 2 3 4
quantidade demandada (y) 10 8 5 3
Qual a equação da reta de mínimos quadrados?
Solução:
Inicialmente, vamos escrever a seguinte tabela de dados:
Tabela 4
x y x•y x²
1 10 (1)(10) = 10 1² = 1
2 8 (2)(8) = 16 2² = 4
3 5 (3)(5) =15 3² = 9
4 3 (4)(3) = 12 4² = 16
∑x = 10 ∑y = 26 ∑xy = 53 ∑x² = 30
Temos que n = 4 (quantidade de dados fornecidos).
a
xy
x y
n
x
x
n
b
y
n
a
=
∑ − ∑ ∑
∑ − ∑
−
−
= −
=
∑
−
( )( )
( )
( )( )
( )
,
2
2 2
53
10 26
4
30
10
4
2 4
 
∑
= − − =
x
n
26
4
2 4
10
4
12 5( , ) ,
Logo, a equação da reta procurada é y = 12,5 – 2,4x
5.1 tipos de ajustes de curvas
O tipo de ajuste mais simples é o ajuste linear ou regressão linear, que relaciona duas variáveis 
x e y, e o modelo matemático usado é a equação de uma reta: 
y = A + Bx, onde A e B são os parâmetros do modelo.
No caso em que precisamos relacionar uma variável dependente y com p variáveis independentes, o 
tipo de ajuste é chamado de ajuste linear múltiplo, representado por:
 y = β0 + β1.x1 + β2.x2 + ... + βp.xp onde β0 , β1 , ..., βp são os parâmetros do modelo.
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Quando o modelo usado para o ajuste da curva não é uma reta, e sim uma parábola, o tipo de ajuste 
que usamos é a regressão quadrática dada por:
y = Ax² + Bx + C onde A, B e C são os parâmetros do modelo.
 
Qualquer que seja o tipo de ajuste, precisamos de métodos para calcular esses parâmetros e encontrar 
a solução. Dependendo do caso, da quantidade de variáveis e parâmetros, o cálculo não é tão simples e 
precisamos de recursos computacionais para resolver o problema. 
 
 Observação
Existem diversos softwares com as fórmulas programadas, com os quais 
só precisamos fornecer os dados para obter os resultados. Entre eles, o mais 
popular é o Excel, da Microsoft.
5.2 regressão linear
Em análise estatística, a metodologia que estuda a relação entre diversas variáveis quantitativas ou 
qualitativas, de modo que uma variável pode ser predita a partir de outra variável (ou outras variáveis), 
é conhecida como análise de regressão.
 
Em outras palavras, não estamos querendo apenas analisar a associação existente entre duas variáveis 
quantitativas (ou qualitativas), mas queremos justificar a nossa hipótese a respeito da provável relação 
de causa e efeito entre essas variáveis, ou seja, queremos saber se a variável X depende da variável Y. 
 
A análise de regressão é usada com a finalidade de previsão. Nesse caso, queremos prever o valor da 
variável X em função da variável Y. Outra finalidade é o de estimar o quanto a variável Y influencia ou 
modifica a variável X.
O caso mais simples de regressão é quando temos duas variáveis e a relação entre elas pode ser 
representada por uma linha reta, que chamamos de regressão linear simples ou ajuste linear simples.
b1 = 
y
0 x + 1x
yi = b0 + b1xi
b0
∆x=1
∆v
∆y
∆x
Figura 60
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b0 é o coeficiente linear, também chamado intercepto, é o valor que y assume quando x for zero.
Quando a região experimental inclui x = 0, então b0 é o valor da média da distribuição de y em 
x = 0. 
b1 é o coeficiente angular, expressa a taxa de mudança em y, isto é, é a mudança em y quando 
ocorre a mudança de uma unidade em x. Ele indica a mudança na média da distribuição de probabilidade 
de y por unidade de acréscimo em x.
O ajuste linear múltiplo aplica-se nos casos em que y é uma função linear de duas ou mais 
variáveis lineares. Nesse caso, procura-se calcular os valores de b0, b1, b2 ,b3, ... , bn tais que a relação 
entre eles seja aproximada por uma expressão do tipo: y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + ... + bnxn. 
No caso do ajuste linear múltiplo, resolver o sistema de equações normais é resolver o sistema:
p x x x xn
x x x x x x x x xn
x
Σ Σ Σ Σ
Σ Σ Σ Σ Σ
Σ Σ
1 2 3
1 1 1 1 2 1 3 1
2
�
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
(xx x x x x x x xn
x x x x x
2 1 2 2 2 3 2
3 3 1 3 2
)( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) (
Σ Σ Σ
Σ Σ Σ Σ xx x x xn
xn xn x xn x xn x xn
3 3 3
1 2 3
)( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
Σ
Σ Σ Σ Σ Σ
� � � � � �(( )
(
xn
b
b
b
b
bn
y
y












=
0
1
2
3
�
Σ
Σ ))( )
( )( )
( )( )
( )( )
x
y x
y x
y xn
1
2
3
Σ
Σ
Σ
�






Exemplo:
1) Determinar a equação do tipo y = b0 + b1x1 + b2x2 que melhor se ajusta à tabela a seguir: 
Tabela 5
x1 -1 0 1 2 4 5 5 6
x2 -2 -1 0 1 1 2 3 4
y2 13 11 9 4 11 9 1 -1
Solução:
8 22 8
22 108 57
8 57 36
0
1
2
57
92
5












=
−






b
b
b 
Portanto, temos que: 
b
b
b
0
1
2
4 2
3 4
6 5






=
−






,
,
,
 e a função de ajuste é y = 4,2 + 3,4x1 – 6,5x2.
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 Lembrete
O caso do ajuste polinomial consiste em determinar um polinômio (que 
pode ser de qualquer grau). Quando se trata de um polinômio do 2º grau, 
dizemos que o ajuste é uma regressão quadrática.
y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + ... + bnxn
Para resolver o ajuste polinomial, usamos o método do ajuste linear múltiplo, com a seguinte 
adaptação: 
x1 = x1, x2 = x2, x3 = x3, ... , xn = xn
Portanto o sistema fica assim:
p x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
n
n
n
Σ Σ Σ Σ
Σ Σ Σ Σ Σ
Σ Σ Σ Σ Σ
Σ Σ Σ Σ
1 2 3
1 2 3 4 1
2 3 4 5 2
3 4 5
�
+
+
xx x
x x x x x
n
n n n n n
6 3
1 2 3 2
Σ
Σ Σ Σ Σ Σ
+
+ + +






� � � � � �
bb
b
b
b
bn
y
y x
y x
y x
0
1
2
3
1
2
3
� �






=
Σ
Σ
Σ
Σ
( )( )
( )( )
( )( )
ΣΣ( )( )y xn






Exemplo:
1) Ajustar os pontos da tabela a uma expressão do tipo y = b0 + b1x + b2 x².
Tabela 6
x -2.0 -1.5 0 1 2.2 3.1
y -30.5 -20.2 -3.3 8.9 16.8 21.4
Solução:
6 2 8 217
2 8 21 7 30 064
21 7 30 064 137 841
0
1
2
, ,
. . .
. . .









b
b
b



=
−





6 9
203 5
128 416
.
.
.
A solução é: 
b
b
b
0
1
2
2 018
11 332
1 222






=
−
−






.
.
.
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5.3 Qualidade do ajuste na regressão
A qualidade de um ajuste linear pode ser verificada em função do coeficiente de determinação R², 
dado por:
R
yi a bxi
yi
n
yi
Onde R2
2
2 2
21
1
0 1= −
− −
−
≤ ≤
Σ
Σ Σ
( )
( ) ( )
:
 R² = proporção da variabilidade de y que é explicada pelo modelo (reta de regressão).
 Se R² = 0,90 significa que 90% da variação em y pode ser explicada pela equação obtida. Quanto 
mais próximo o coeficiente de determinação estiver de 1, melhor será o ajuste. 
 Lembrete
A regressão padrão é o instrumento mais poderoso quando a variável 
independente, X, é numérica. Já a análise da variância é adequada quando 
a variável independente é um conjunto de categorias não ordenadas.
6 MedidAs de dispersãO
Medidas de dispersão são medidas usadas para nos dizer o quanto os valores analisados estão 
distantes (dispersos) do valor real. A mais comum é a média. Na realidade, a média é uma medida de 
tendência central, e o seu valor é calculado por meio da soma dos valores dados, dividida pelo número 
de dados. 
Em determinadas análises, ela não é suficiente, pois podemos ter dois grupos distintos com uma 
dispersão diferente e mesmo assim o valor da média ser igual. Por exemplo, os dados observados do 
grupo A = 3,3,3 e os dados do grupo B = 1,3,5. A média nos dois grupos é a mesma e igual a 3, mas a 
variação dos dados observados no grupo A é diferente da variação observada no grupo B.
Nesse caso, além de usar a medida de tendência, é aconselhável usar medidas de dispersão para uma 
análise mais completa. As mais usadas são a variância e o desvio padrão.
A variância é a soma dos quadrados dividida pelo número de observações do grupo menos 1. E o 
desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
Variância = ∑ (xi – Média)2 / (n – 1)
Quanto menor for o valor da variância, mais próximo da média estarão os dados observados, em 
contrapartida, quanto mais variação existir entre os dados observados, maior será o desvio padrão. 
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Propriedades do desvio padrão:
a) somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a todos os valores de uma variável, o desvio padrão 
não se altera;
b) multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (diferente 
de zero), o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante.
 saiba mais
Software com linguagem matemática e simulação: <http://www.
mathworks.com/academia/student_version/>. Acesso em: 11 abr. 2012.
6.1 Coeficiente de variação
O coeficiente de variação é usado para analisar e caracterizar a dispersão dos dados observados com 
relação ao seu valor médio, isto é, o coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média 
dos dados observados.
Coeficiente de variação = (desvio padrão / média) x 100
Exemplo:
Tomemos os resultados das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos:
 
Tabela 7
Discriminação Média Desvio padrão
Estaturas 175 cm 5,0 cm
Pesos 68 Kg 2,0 Kg
Qual das medidas (estatura ou peso) possui maior homogeneidade?
Solução:
Teremos que calcular o coeficiente de variação da estatura e o do peso. O resultado menor será o de 
maior homogeneidade (menor dispersão ou variabilidade).
• Coeficiente de Variação da estatura = (5 / 175 ) x 100 = 2,85 %
• Coeficiente de Variação do peso = (2 / 68 ) x 100 = 2,94 %.
Logo, nesse grupo de indivíduos, as estaturas apresentam menor grau de dispersão que os pesos.
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6.2 Correlação entre variáveis
 Para analisar como os valores entre duas variáveis estão relacionados, podemos observar um 
diagrama de dispersão ou analisar os resultados por meio de uma equação. A partir da análise do 
diagrama de dispersão, podemos verificar se a correlação entre as duas variáveis é: 
• linear positiva, isto é, os pontos do diagrama têm como imagem uma reta ascendente; 
• linear negativa, isto é, os pontos têm como imagem uma reta descendente; 
• não linear, isto é, os pontos têm como imagem uma curva; 
• não há relação, isto é, os pontos não dão ideia de uma imagem definida.
6.3 Coeficiente de correlação linear
Proposto por Karl Pearson, o coeficiente de correlação (ou “r de Pearson’) é usado para obter a 
medida da correlação linear. Ele indica o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e o 
sentido dessa correlação, isto é, se a correlação é positiva ou negativa.
r
n xy x y
n x x n y y
=
−
− −
Σ Σ Σ
Σ Σ Σ Σ2 2 2 2( ) ( )
Onde: n = número de observações. 
Os valores limites de r são -1 e +1.
 Observação
• r = -1 (correlação linear negativa);
• r = 0 (Os pontos não estão correlacionados);
• r = +1 (correlação linear positiva).
Exemplos de coeficiente de correlação:
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* *
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Correlação linear 
perfeitae negativa
r = -1
Correlação linear 
perfeita e positiva
r = 1
Variáveis não 
correlacionadas
r = 0
Figura 61
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 saiba mais
A disciplina Estatística é muito extensa e fascinante, com diversas 
aplicações. No filme O homem que mudou o jogo – título original Moneyball, 
o gerente geral de um time de basebol quer montar um time competitivo 
e esbarra nas dificuldades financeiras. Para contratar jogadores, ele usa a 
estatística para analisar cada um deles.
 resumo
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de realizar algumas 
análises sobre dados coletados, tais como, calcular a média, a variância e o 
desvio padrão, criar diagramas de dispersão e fazer ajustes de curvas. 
Para uma boa gestão, você fará uso dessas técnicas para tomar decisões 
precisas e calculadas. A partir dos conceitos de regressão linear, é possível 
tirar conclusões sobre a análise das informações, por exemplo, sobre a 
variação dos custos de um projeto de TI.
 exercícios
Questão 1. Em um estudo da relação entre a resistência (y) de um determinado tipo de plástico e 
o tempo [x (em horas)] decorrido a partir da conclusão do processo de modelagem até o momento de 
medição da resistência do plástico, obteve-se a tabela a seguir:
Tabela 8
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
xi 32 48 72 64 48 16 40 48 48 24 80 56
yi 230 262 323 298 255 199 248 279 267 214 359 305
A reta de regressão linear obtida pelo método de mínimos quadrados que melhor representa a 
relação entre x e y é:
A y x
B y x
C y x
D
) , ,
) , ,
) , ,
= +
= +
= −
153 917 2 417
2 417 153 917
153 917 2 417
)) , ,
) ,
y x
E y x
= −
=
2 417 153 917
2 417
ℝesposta correta: alternativa A.
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Análise das alternativas:
Para resolvermos a questão, consideremos o modelo de regressão linear simples: y xi i i= + +β β ε0 1 , 
com { , , ..., }εi i n=1 , com E i[ ] ,ε = 0 Var ii[ ] ,ε σ= ∀
2 . Denotemos por β β0 1
^ ^
( )a estimativa dos mínimos 
quadrados do coeficiente β β0 1( ) . 
Dado que:
x y x y
x y
i
i
i
i
i
i
i
i
= =
= =
∑ ∑
∑
= = = =
=
1
12
1
12
2
1
12
2
576 3239 48 269 917
31488
,
11
12
1
12
897639 164752∑ ∑= =
=
x yi i
i
vem que: 
β^ ,1 1
12
2
1
12
2
12
12
164752 12 48 269 917
3148
=
−
−
=
− × ×
=
=
∑
∑
x y xy
x x
i i
i
i
i
88 12 48
2 417
269 917 2 417 48 153 917
2
0 1
− ×
=
= − = − × =
,
, , ,
^ ^β βy x
Logo, 
y E y x x x y x
^ ^ ^ ^ ^
[ / ] , , , ,= = + = + ⇒ = +β β0 1 153 917 2 417 153 917 2 417
Sendo assim,
A) Alternativa correta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
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Questão 2. Existe uma correlação entre duas variáveis quando uma delas está de alguma forma 
relacionada com a outra. Considerando-se correlações lineares entre duas variáveis x e y, os gráficos I, 
II, III, IV, V, VI, VII e VIII referem-se respectivamente a:
y
x
(I)
y
x
(II)
y
x
(III)
x
y
(IV)
x
y
(V)
y
x
(VI)
x
y
(VII)
x
y
(VIII)
A) Fraca correlação positiva entre x e y, forte correlação positiva entre x e y, correlação positiva 
perfeita entre x e y, fraca correlação positiva entre x e y, forte correlação negativa entre x e y, correlação 
negativa perfeita entre x e y, não-correlação entre x e y e correlação não-linear entre x e y.
B) Fraca correlação negativa entre x e y, forte correlação negativa entre x e y, correlação negativa 
perfeita entre x e y, fraca correlação positiva entre x e y, forte correlação positiva entre x e y, correlação 
positiva perfeita entre x e y, não-correlação entre x e y e correlação não-linear entre x e y.
C) Fraca correlação positiva entre x e y, forte correlação positiva entre x e y, correlação positiva 
perfeita entre x e y, fraca correlação negativa entre x e y, forte correlação negativa entre x e y, correlação 
negativa perfeita entre x e y, correlação não-linear entre x e y e não-correlação entre x e y.
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MateMática aplicada
D) Fraca correlação negativa entre x e y, forte correlação negativa entre x e y, correlação negativa 
perfeita entre x e y, fraca correlação positiva entre x e y, forte correlação positiva entre x e y, correlação 
positiva perfeita entre x e y, correlação não-linear entre x e y e não-correlação entre x e y.
E) Fraca correlação positiva entre x e y, forte correlação positiva entre x e y, correlação positiva 
perfeita entre x e y, fraca correlação negativa entre x e y, forte correlação negativa entre x e y, correlação 
negativa perfeita entre x e y, não-correlação entre x e y e correlação não-linear entre x e y.
Resolução deste exercício na plataforma.