Introdução à Mecânica dos Flúidos

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12.1 – Fluidos
12.2 – Equações do Movimento
Unidade VI – Introdução 
à Mecânica dos Fluidos
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 2Física Geral I
12.1 – Fluidos
12.1.1 – Definição de Fluido
12.1.2 – Massa Específica e Pressão
12.1.3 – Fluidos em Repouso 
12.1.4 – Princípio de Pascal
12.1.5 – Medindo Pressões
12.1.6 – Princípio de Arquimedes
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 3Física Geral I
12.1.1 – Definição de fluidos
Um fluido é uma coleção de moléculas que são
dispostas aleatoriamente e mantidas juntas por forças
fracas de coesão e forças exercidas pelas paredes de um
recipiente. Ambos os líquidos e os gases são fluidos.
Mecânica de um fluido em repouso  Estática dos
Fluidos  pressão exercida por um fluido em função de
sua densidade e profundidade.
Mecânica de um fluido em movimento  Dinâmica dos
Fluidos  equação de Bernoulli nos permite determinar
as relações entre a pressão, densidade e velocidade em
cada ponto em um fluido.
12.1 – Fluidos
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 4Física Geral I
12.1.2 – Massa específica e Pressão
Uma propriedade de qualquer substância é a sua
densidade ρ (letra grega rho), definida como a quantidade
de massa contida em uma unidade de volume, que
geralmente expressa como massa por unidade de volume:
12.1 – Fluidos
Usa-se densidade para representar a razão entre a
massa e o volume de objetos sólidos (ocos ou maciços), e
massa específica para líquidos e substâncias.
12.1 kg/m3 é a unidade de massa específica no S.I.
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 5Física Geral I
A força exercida por um fluido em um objeto submerso
é sempre perpendicular à superfície do objeto, como
mostrado na Fig. 12.1.
12.1 – Fluidos
Fig. 12.1 – Qualquer ponto sobre a superfície de um
objeto submerso, sofre ação de força uma exercida
pelo líquido perpendicular à superfície do objeto. A
força exercida pelo fluido nas paredes do recipiente é
também perpendicular em todos os pontos desta.
Tabela 12.1 – Massa
específica de algumas
substâncias comuns em
CNTP (Condições
Normais de Temperatura
e Pressão – 0o C e 1 atm).
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 6Física Geral I
A pressão P do fluido no nível em que o um
equipamento (Fig. 12.2) foi submerso é definido como a
relação entre a força e a área:
12.1 – Fluidos
12.2 Pascal (Pa) é a unidade de Pressão no S.I.1 Pa = 1 N/m2
Se o fluido exerce uma força dF sobre um elemento
infinitesimal de superfície (área dA) que contém o ponto
em questão, a pressão nesse ponto é:
12.3
Fig. 12.2 – Um aparato
simples para medir a
pressão exercida por um
fluido.
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 7Física Geral I
12.1 – Fluidos
Quick Quiz: O que acontece nas Figuras 12.4a e 12.4b?
Fig. 12.4a Fig. 12.4b
Figura 12.3 – Manômetro com escala interna
em psi (pound force per square inch – libra
por polegada quadrada) e externa em kPa.
Fig. 12.3
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EA12.1 – O colchão de uma cama de água possui 2,00 m
de comprimento por 2,00 m de largura e 30,0 cm de
profundidade. Encontre: (a) o peso da água no colchão e
(b) a pressão exercida pela água no chão quando a cama
repousa na sua posição normal. Suponha que todo a
superfície inferior da cama faz contato com o chão.
12.1 – Fluidos
Sol. EA12.1 (a).:
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 9Física Geral I
Sol. EA12.1 (b).:
12.1 – Fluidos
12.1.3 – Fluidos em Repouso
A pressão P, na profundidade h abaixo da superfície de
um líquido em repouso, exposto à atmosfera, é maior que
a pressão atmosférica em ρgh (princípio de Stevin).
Fig. 12.5 – Como a pressão varia com a
profundidade em um fluido. A força líquida
exercida sobre o volume de água dentro da
região destacada deve ser zero.
12.4
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 10Física Geral I
12.1.4 – Princípio de Pascal
Uma mudança na pressão aplicada a um fluido é
transmitida integralmente a cada ponto do fluido e às
paredes do recipiente.
12.1 – Fluidos
Fig. 12.6 – Vasos comunicantes demonstram que a pressão em um
líquido é a mesma em todos os pontos com a mesma elevação. Por
exemplo, a pressão é a mesma nos pontos A, B, C, D e E.
A B C D E
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 11Física Geral I
Aplicação da lei de Pascal: prensa hidráulica (Fig. 12.7).
Como a pressão deve ser a mesma em ambos os lados, a
força F2 é maior do que a força F1 por um fator A2/A1
(fator de multiplicação de força).
12.1 – Fluidos
Fig. 12.7 – Como o aumento
da pressão é o mesmo nos dois
lados, uma pequena força F1 à
esquerda produz uma força F2
muito maior à direita.
12.5
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 12Física Geral I
EA12.2 – Em um elevador de carro, o ar comprimido
exerce uma força em um pequeno pistão que possui seção
transversal circular de raio 5,0 cm. Esta pressão é
transmitida por um líquido a outro pistão de raio 15,0
cm. Que força e pressão deve o ar comprimido exercer
para levantar um carro que pesa 13300 N?
12.1 – Fluidos
Sol. EA12.2.:
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 13Física Geral I
EA12.3 – Estime a força exercida sobre o tímpano (área
de aproximadamente 1,0 cm2), devido à água quando você
está nadando no fundo de uma piscina que possui 5,0 m
de profundidade.
Como uma força dessa magnitude sobre o tímpano é
muito desconfortável, muitas vezes nadadores “estalam
suas ouvidos” quando sob a água, levando ar dos pulmões
para o ouvido médio, técnica que equaliza a pressão sobre
os dois lados do tímpano e alivia o desconforto.
12.1 – Fluidos
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 14Física Geral I
EA12.4 – O nível de água encontra-se uma altura H por
detrás de uma barragem de largura w (Fig. 12.8). Obter a
força resultante exercida pela água na barragem.
12.1 – Fluidos
Fig. 12.8 – A pressão em uma barragem varia com a profundidade.
12.6
Sol. EA12.2.:
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 15Física Geral I
EA12.5 – A barragem da UHE de Tucuruí possui cerca de
8,0 km de extensão e altura de 78 m. O desnível varia
com a estação do ano entre 58 e 72 m. O reservatório
possui 200 km de extensão e 2850 m2 de área alagada
quando cheio. Estime a força exercida pela na barragem.
12.1 – Fluidos
Fig. 12.9 – UHE de 
Tucuruí.
Sol. EA12.5.: Para o
menor nível (58 m) e
com o vertedouro
fechado, aplicando a
Eq. 12.6, temos:
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 16Física Geral I
12.1.5 – Medindo Pressões
A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido é
P – P0 = ρgh, daí, a pressão P é chamada de pressão
absoluta, e a diferença (P – P0) é chamada de pressão
calibrada (gauge), valor lido, por exemplo, ao inflar o
pneu de uma bicicleta.
12.1 – Fluidos
Fig. 12.10 – Dois
dispositivos para medir a
pressão: (a) um manômetro
de tubo aberto e (b) um
barômetro de mercúrio.
(a) (b)
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 17Física Geral I
Uma atmosfera (P0 = 1 atm) de pressão é definida como
a pressão que faz com que a coluna de mercúrio em um
tubo de barométrico seja exatamente 0,760 m de altura
em 0° C, com g = 9,80665 m/s2. A esta temperatura, o
mercúrio tem uma densidade de 13595 kg/m3, portanto:
12.1 – Fluidos
EA12.6 – Trocando o mercúrio por água, qual a altura da
coluna correspondente a 1 atm no barômetro?
Sol. EA12.6.:
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 18Física Geral I
Bombas d’água centrífuga tem a sua altura máxima de
sucção em média de 10 m. Geralmente poços semi-
artesianos possuem profundidade superior a 10 m, sendo
necessário o uso de bombas ejetoras (injetoras).
12.1 – Fluidos
Fig. 12.11 – (a) Bomba centrífuga com dois orifícios e (b) bomba 
ejetora com três orifícios.
(a) (b)
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 19Física Geral I12.1 – Fluidos
Fig. 12.12 – Instalação de (a) bomba centrífuga e (b) bomba ejetora.
(a) (b)
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 20Física Geral I
EA12.7 – Um tubo em U com área da seção transversal
uniforme e aberto à atmosfera é parcialmente preenchido
com mercúrio. Em seguida é derramado água em ambos
os braços. Se a configuração de equilíbrio do tubo é como
mostrado na Fig. 12.13, com h2 = 1,00 cm, determinar o
valor de h1.
12.2 – Equações do Movimento
Fig. 12.13
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 21Física Geral I
A B
h
Sol. EA12.7.: Os pontos A e B destacados a seguir estão
no mesmo líquido (Hg) e no mesmo nível e, portanto, sob
a mesma pressão PA = PB:
12.2 – Equações do Movimento
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 22Física Geral I
12.1.6 – Princípio de Arquimedes
Ao empurrar uma bola para o fundo de uma piscina
surge uma força oposta exercida pela água sobre a bola.
A força ascendente exercida pela água (ou outro fluido)
em qualquer objeto submerso é chamado de força de
empuxo (buoyant force).
O princípio de Arquimedes afirma que a intensidade da
força de empuxo (E) é sempre igual ao peso do fluido
deslocado pelo objeto. A força de empuxo agindo sobre o
cubo de aço é a mesma força de empuxo atuando em um
cubo de líquido com as mesmas dimensões.
12.1 – Fluidos
12
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 23Física Geral I
O princípio de Arquimedes pode ser equacionado por:
12.1 – Fluidos
12.7
EA12.8 – Um iceberg flutuando no mar é extremamente
perigoso (maior parte do gelo está abaixo do superfície).
Este gelo escondido pode prejudicar um navio mesmo
este estando a uma considerável distância do gelo visível.
Que fração f do iceberg fica abaixo do nível da água?
Dados a densidade da água do mar 1030 kg/m3 e a
densidade do gelo formado no mar 917 kg/m3.
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 24Física Geral I
12.1 – Fluidos
Fig. 12.14 – (a) Grande parte do
volume de um iceberg está
debaixo da água. (b) Um navio
pode ser danificado, mesmo
quando não se encontra
próximo ao gelo exposto.
Fig. 12.15 – Balões de ar
quente. Como o ar quente é
menos denso que o ar frio,
uma força de empuxo atua
sobre os mesmos fazendo-os
subir.
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 25Física Geral I
12.1 – Fluidos
Fig. 12.16 – (a) Mar morto (Jordânia/Israel) a 400 metros abaixo do
nível do mar e pressão atmosférica 80 cm Hg, possui profundidade
máxima de 377 m, sendo o maior lago hipersalino do mundo, com
33,7% de salinidade e densidade de 1,24 kg/l. (b) Uma pessoa
flutuando no mar morto devido à grande densidade da água desse lago.
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 26Física Geral I
12.2 – Equações do Movimento
12.2.1 – Introdução
12.2.2 – Fluidos Ideais em Movimento
12.2.3 – Equação da Continuidade 
12.2.4 – Equação de Bernoulli
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 27Física Geral I
12.2.1 – Introdução
Ao invés de tentar estudar o movimento de cada
partícula do fluido em função do tempo, descrevem-se as
propriedades de um fluido em movimento em cada ponto
como uma função do tempo.
12.2 – Equações do Movimento
O fluxo de um fluido é dito
estável (ou laminar) quando cada
partícula deste descreve um
caminho suave onde trajetórias
de partículas diferentes nunca se
cruzam e a velocidade do fluido
em qualquer ponto permanece
constante no tempo.
Fig. 12.17 – Fluxo laminar
em torno de um
automóvel em um teste no
túnel de vento.
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 28Física Geral I
12.2 – Equações do Movimento
Acima de certa velocidade crítica, o fluxo do fluido
torna-se turbulento, sendo irregular e caracterizado por
pequenas regiões semelhantes ao comportamento da água
em uma hidromassagem.
Viscosidade: grau de atrito interno do fluido, associado
à resistência entre duas camadas adjacentes de fluido ao
se deslocarem uma em relação à outra.
Fig. 12.18 – Gases quentes de um cigarro
tornados visíveis pela fumaça partículas. A
fumaça se move primeiro com fluxo laminar
na base e em seguida com fluxo turbulento
no topo.
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 29Física Geral I
12.2.2 – Fluidos Ideais em Movimento
Um fluido é definido como ideal quando cumpre as
quatro hipóteses seguintes:
1. O fluido não é viscoso (atrito interno é negligenciado).
Um objeto se movendo pelo fluido não sofre força viscosa.
2. O fluxo é constante. No fluxo (laminar) estacionário, a
velocidade do fluido em cada ponto permanece constante.
3. O fluido é incompressível (densidade constante).
4. O fluxo é irrotacional (não há momento angular algum
sobre qualquer ponto). Uma roda colocada em qualquer
local do fluido não gira em torno de seu centro de massa.
12.2 – Equações do Movimento
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 30Física Geral I
12.2.3 – Equação da continuidade.
O caminho percorrido por uma partícula de fluido em
fluxo contínuo é chamado de linha de fluxo. A velocidade
da partícula é sempre tangente a essa linha. Um conjunto
de linhas de fluxo (Fig. 12.19) forma um tubo de fluxo.
12.2 – Equações do Movimento
Fig. 12.19 – Uma partícula em fluxo
laminar segue uma linha de fluxo e em
cada ponto ao longo da trajetória da
partícula sua velocidade é tangente à
linha de fluxo.
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 31Física Geral I
12.2.3 – Equação da continuidade.
12.2 – Equações do Movimento
Fig. 12.20 – Um fluido movendo-se com
fluxo constante através de um tubo de
diferentes áreas transversais. O volume
de fluido que passa através da área A1
em um intervalo de tempo t deve ser
igual o volume que flui através da área
A2 no mesmo intervalo de tempo.
12.8
Quick Quiz: Como o fluxo de água de uma
torneira, como mostrado na Fig. 12.21, torna-
se mais estreito à medida que desce?
Fig. 12.21
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 32Física Geral I
EA12.9 – A cada segundo, 5525 m3 de água flui ao longo
dos 670 m de largura do precipício de uma parte das
cataratas do Niágara. A profundidade da água é de
aproximadamente 2 m quando atinge o penhasco. Qual é
sua velocidade nesse instante?
12.2 – Equações do Movimento
Fig. 12.22 – Cataratas do Niágara
entre os lagos Erie e Ontário, na
fronteira entre o estado americano
de Nova Iorque e da província
canadense de Ontário.
Sol. EA12.9.:
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 33Física Geral I
12.2.4 – Equação de Bernoulli
Ao pressionar o polegar sobre a extremidade de uma
mangueira de jardim para que a abertura torna-se uma
pequena fenda, a água sai em alta velocidade, como
mostrado na Fig. 12.23. Qual o motivo deste fato?
12.2 – Equações do Movimento
Fig. 12.23 – A velocidade de
pulverização de água a partir do
final de uma mangueira aumenta
conforme o tamanho da abertura é
reduzido com o polegar.
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 34Física Geral I
12.2 – Equações do Movimento
Fig. 12.24 – Um fluido em
escoamento laminar através de um
tubo de constrição. O volume da
seção sombreada à esquerda é igual
ao volume da secção sombreada à
direita.
Trabalho realizado: 12.9
Variação da Energia Cinética: 12.10
12.11Variação da Energia Potencial:
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 35Física Geral I
12.2 – Equações do Movimento
12.12
Substituindo 12.9, 12.10 e 12.11 em 12.12, vem:
O trabalho realizado é igual à variação de energia, logo:
(÷ V)
12.13Equação deBernoulli
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 36Física Geral I
12.2 – Equações do Movimento
Fig. 12.25 – Spray: em
alta velocidade, o fluxo de
ar cria uma região de
baixa pressão no tubo
vertical, assim, a pressão
atmosférica empurra o
inseticida tubo acima.
Fig. 12.26 – Um fluxo de
ar ao passar pela asa de
um avião adquire
velocidades diferentes
abaixoe acima da asa, o
que produz uma
diferença de pressão,
que produz sustentação.
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 37Física Geral I
12.2 – Equações do Movimento
Fig. 12.28 – Quando ocorre uma
ultrapassagem, o fluxo de ar
passando entre os veículos
atravessa um canal mais estreito
com maior velocidade (v2 > v1),
fazendo com que a pressão seja
menor nessa região (Pi < Po). A
diferença de pressão aproxima os
veículos.
Fig. 12.27 – A bola de golf sofre uma
força de elevação que permite a ela
se deslocar bem mais distante do
que ela iria sem rotação.
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 38Física Geral I
EA12.10 – O tubo horizontal de constrição ilustrado na
Fig. 12.29, conhecido como um tubo Venturi, pode ser
usado para medir o velocidade de um fluido
incompressível. Determine a velocidade no ponto 2, se a
diferença de pressão é conhecida.
12.2 – Equações do Movimento
Fig. 12.29 – (a) A pressão P1 é maior que P2 porque v1 < v2. Este
dispositivo pode ser usado para medir a velocidade de fluxo de um
fluido. (b) Um tubo de Venturi.
(a) (b)
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 39Física Geral I
Sol. EA12.10.: Como o tubo é horizontal, temos y1 = y2
na Equação de Bernouilli (12.19), logo:
12.2 – Equações do Movimento
A Equação da continuidade (12.8) permite escrever:
Combinando as duas equações anteriores, vem:
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 40Física Geral I
EA12.11 – Um tanque fechado com líquido de densidade ρ
tem um orifício no seu lado à distância y1 do fundo (Fig.
12.30) e aberto para a atmosfera, sendo seu diâmetro
muito menor que o diâmetro do tanque. O ar acima do
líquido é mantido a uma pressão P. Determine a
velocidade que o líquido deixa o orifício quando o nível do
líquido está distante h do orifício.
12.2 – Equações do Movimento
Fig. 12.30 – Líquido escoando através de um
orifício localizado na lateral de um grande
tanque.
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 41Física Geral I
Sol. EA12.11.: Como A2 >> A1 v2 ≅ 0, logo pela Equação
de Bernouilli, temos:
12.2 – Equações do Movimento
Como y1 – y2 = h, temos:
Se P >> P0 = h, temos:
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 42Física Geral I
EA12.12 – Um grande tanque é preenchido com líquido
até uma altura h0. O tanque é perfurado a uma altura h
acima de seu fundo (Fig. 12.31). Encontrar uma
expressão para a distância que o jato de líquido alcança
em relação ao tanque.
12.2 – Equações do Movimento
Fig. 12.31
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 43Física Geral I
Sol. EA12.12 – Como o tanque é aberto, temos P1 = P2. A
equação de Bernouilli fornece:
12.2 – Equações do Movimento
0
Lançamento horizontal = M.R.U. (x) + Queda livre (y).
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 44Física Geral I
Prob12.2 – Uma jangada flutua na água de densidade de
1,0 kg/l. A jangada é constituída por toras de madeira de
densidade 0,8 kg/l. Cada tora possui volume aproximado
de 100 litros. Três pessoas de 70 kg cada fazem com que
a jangada fique com 10% do seu volume emerso.
Determine quantas toras compõem a jangada. [resp. 3 toras]
12.2 – Equações do Movimento
Prob12.1 – Um sapo dentro de
uma tigela hemisférica flutua em
um lago de densidade 1,35 g/cm3
(Fig. 12.32). A tigela de raio 6,0
cm é leve. Qual a massa do sapo?
[resp. 611 g]
Fig. 12.32
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 45Física Geral I
Prob12.3 – Um balão com gás hélio é amarrado a um
barbante de 2,00 m e massa de 50 g uniformemente
distribuída. O balão é esférico de raio 0,4 m. Quando
libertado, o balão levanta um comprimento h de
barbante e depois permanece em equilíbrio (Fig. 12.33).
A película do balão tem massa 250 g. Obter h. [resp. 1,91 m]
12.2 – Equações do Movimento
Fig. 12.33
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 46Física Geral I
Prob12.4 – Um tubo em U aberto em ambas as
extremidades é parcialmente preenchido com água (Fig.
12.34a). No braço direito do tubo é despejado óleo de
densidade de 750 kg/m3 suficiente para formar uma
coluna de altura L = 5,00 cm (Fig. 12.34b). Obter o
desnível h entre as duas superfícies líquidas. [resp. 1,25 cm]
12.2 – Equações do Movimento
Fig. 12.34
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07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 47Física Geral I
Prob12.5 – O braço direito do tubo
em U da Fig. 12.34b é protegido
contra qualquer movimento do ar,
enquanto o ar é soprado através da
parte superior do braço esquerdo
até que as superfícies dos dois
líquidos permanecerem na mesma
altura (Fig. 12.35). Obter a
velocidade v do ar que está sendo
soprado no braço esquerdo. A
densidade do ar igual a 1,29 kg/m3.
12.2 – Equações do Movimento
Fig. 12.35
[resp. 13,8 m/s]
07/11/2013Prof. MSc. Edson S. C. Silva 48Física Geral I
Referências Bibliográficas
 Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J.
Fundamentals of Physics Extended, Wiley, 2008, 8th Ed.
www.walter-fendt.de/ph14br/