Aula 20 Condições de Contorno JG

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CONDIÇÕES DE FRONTEIRA
OU DE CONTORNOOU DE CONTORNO
APLICADO EM MEIO HETEROGENEO
CAMPO ELÉTRICO
CONDIÇÕES CONSIDERADAS
�Dielétrico do meio 1 ɛr1
�Dielétrico do meio 2 ɛr2
�Condutor e dielétrico
�Condutor e espaço livre
Ainda que o campo elétrico possa ser contínuo em cada um dos dois meios diferentes, ele 
pode ser descontínuo na fronteira deles, se existir uma carga superficial ρs ao longo dessa 
fronteira.
CAMPO ELÉTRICO
Interface dielétrico-dielétrico
E é contínuo entre os dois meios.
D é descontínuo entre os dois meios.
Caso especial quando ρ = 0Caso especial quando ρs = 0
CAMPO ELÉTRICO
CAMPO ELÉTRICO
Interface condutor-dielétrico
Ɛ0 = 8,85 x 10
-12 F/m 
CAMPO ELÉTRICO
CAMPO ELÉTRICO
Interface condutor-espaço livre
CAMPO ELÉTRICO
CAMPO MAGNÉTICO
CAMPO MAGNÉTICO
A região y ≤ 0 consiste de uma condutor perfeito, enquanto a região y≥ 0 é um meio dielétrico 
(ɛ1r = 2), como mostra a figura abaixo. Se existe uma carga superficial de 2 nC/m
2 no condutor, 
determine E e D em:
a) A (3, -2, 2)
b) B (-4, 1, 5) 
y ≤ 0 y ≥ 0
A região y ≤ 0 consiste de uma condutor perfeito, enquanto a região y≥ 0 é um meio dielétrico 
(ɛ1r = 2), como mostra a figura abaixo. Se existe uma carga superficial de 2 nC/m
2 no condutor, 
determine E e D em:
a) A (3, -2, 2)
b) B (-4, 1, 5) 
Um campo elétrico com intensidade de 18 KV/m oriundo de um dielétrico com constante 
dielétrica igual a 6, meio 1, incide na fronteira com um dielétrico cuja constante dielétrica é 
igual a 1, meio 2, formando um ângulo de 12º com a normal à fronteira entre os dois meios. 
Determine o campo elétrico normal no meio 2.
EXERCÍCIO
Ɛr1 = 6
12º
Ɛr2 = 1
θ
E1 = 18 KV/m
E2 = ?
Um campo elétrico com intensidade de 18 kV/m oriundo de um dielétrico com constante 
dielétrica igual a 6, meio 1, incide na fronteira com um dielétrico cuja constante dielétrica é 
igual a 1, meio 2, formando um ângulo de 12º com a normal à fronteira entre os dois meios. 
Determine o campo elétrico normal no meio 2.
EXERCÍCIO
tg θ2 = (ɛ2 / ɛ1) x tg θ1
tg θ2 = (1 / 6) x tg 12º 
θ2 = 2,03º 
ɛ1 x E1 x cos 12º = ɛ2 x E2 x cos 2,03º 
E2 = (6 x 18 k x cos 12º) / (1 x cos 2,03º )
E2 = 105 k V/m
Um campo elétrico com intensidade de 18 KV/m oriundo de um dielétrico com constante 
dielétrica igual a 6, meio 1, incide na fronteira com um dielétrico cuja constante dielétrica é 
igual a 1, meio 2, formando um ângulo de 12º com a normal à fronteira entre os dois meios. 
Determine o campo elétrico normal no meio 2.
EXERCÍCIO
Um campo elétrico com intensidade de 27 KV/m oriundo de um dielétrico com constante 
dielétrica igual a 1, meio 1, incide na fronteira com um dielétrico cuja constante dielétrica é 
igual a 6, meio 2, formando um ângulo de 45º com a normal à fronteira entre os dois meios. 
Determine o campo elétrico normal no meio 2.
EXERCÍCIO
Ɛr1 = 1
45º
Ɛr2 = 6
45º
θ
E1 = 27 KV/m
E2 = ?
EXERCÍCIO
Um campo elétrico com intensidade de 27 KV/m oriundo de um dielétrico com constante 
dielétrica igual a 1, meio 1, incide na fronteira com um dielétrico cuja constante dielétrica é 
igual a 6, meio 2, formando um ângulo de 45º com a normal à fronteira entre os dois meios. 
Determine o campo elétrico normal no meio 2.
tg θ2 = (ɛ2 / ɛ1) x tg θ1
tg θ2 = (6 / 1) x tg 45º 
θ2 = 80,54º 
ɛ1 x E1 x cos 45º = ɛ2 x E2 x cos 80,54º 
E2 = (1 x 27 k x cos 45º) / (6 x cos 80,54º )
E2 = 19,35 k V/m
Um campo elétrico com intensidade de 27 KV/m oriundo de um dielétrico com constante 
dielétrica igual a 1, meio 1, incide na fronteira com um dielétrico cuja constante dielétrica é 
igual a 6, meio 2, formando um ângulo de 45º com a normal à fronteira entre os dois meios. 
Determine o campo elétrico normal no meio 2.
EXERCÍCIO
Utilizando a figura abaixo, determine E1 se E2 = x2 – y3 + z3 (V/m), ɛ1 = 2ɛ0 e ɛ2 = 8ɛ0.
Considere que a fronteira seja livre e cargas.
Utilizando a figura abaixo, determine E1 se E2 = x2 – y3 + z3 (V/m), ɛ1 = 2ɛ0 e ɛ2 = 8ɛ0.
Considere que a fronteira seja livre e cargas.
Repita o exercício anterior para uma fronteira com uma densidade superficial de carga 
ρs = 3,54 x 10
-11 (C/m2).
Repita o exercício anterior para uma fronteira com uma densidade superficial de carga 
ρs = 3,54 x 10
-11 (C/m2).
Dois dielétricos isotrópicos homogêneos muito extensos são justapostos de modo que sua 
interface se encontra no plano z = 0. Para z ≥ 0, e ɛr1 = 4 e para z ≤ 0, ɛr2 = 3. Um campo elétrico 
uniforme E1 = 5ax – 2ay + 3az kV/m existe para z ≥ 0. Determine:
a) E2 para z ≤ 0;
b) Os ângulos que E1 e E2 fazem com a interface;
c) As densidades de energia, em J/m3, em ambos os dielétricos;
d) A energia no interior de um cubo, de 2 m de aresta, centrado em (3, 4, -5).
Isotrópicos = mesmas propriedades físicas
Dois dielétricos isotrópicos homogêneos muito extensos são justapostos de modo que sua 
interface se encontra no plano z = 0. Para z ≥ 0, e ɛr1 = 4 e para z ≤ 0, ɛr2 = 3. Um campo elétrico 
uniforme E1 = 5ax – 2ay + 3az kV/m existe para z ≥ 0. Determine:
a) E2 para z ≤ 0;
b) Os ângulos que E1 e E2 fazem com a interface;
c) As densidades de energia, em J/m3, em ambos os dielétricos;
d) A energia no interior de um cubo, de 2 m de aresta, centrado em (3, 4, -5).
Dois dielétricos isotrópicos homogêneos muito extensos são justapostos de modo que sua 
interface se encontra no plano z = 0. Para z ≥ 0, e ɛr1 = 4 e para z ≤ 0, ɛr2 = 3. Um campo elétrico 
uniforme E1 = 5ax – 2ay + 3az kV/m existe para z ≥ 0. Determine:
a) E2 para z ≤ 0;
b) Os ângulos que E1 e E2 fazem com a interface;
c) As densidades de energia, em J/m3, em ambos os dielétricos;
d) A energia no interior de um cubo, de 2 m de aresta, centrado em (3, 4, -5).
Dois dielétricos isotrópicos homogêneos muito extensos são justapostos de modo que sua 
interface se encontra no plano z = 0. Para z ≥ 0, e ɛr1 = 4 e para z ≤ 0, ɛr2 = 3. Um campo elétrico 
uniforme E1 = 5ax – 2ay + 3az kV/m existe para z ≥ 0. Determine:
a) E2 para z ≤ 0;
b) Os ângulos que E1 e E2 fazem com a interface;
c) As densidades de energia, em J/m3, em ambos os dielétricos;
d) A energia no interior de um cubo, de 2 m de aresta, centrado em (3, 4, -5).
Dois dielétricos isotrópicos homogêneos muito extensos são justapostos de modo que sua 
interface se encontra no plano z = 0. Para z ≥ 0, e ɛr1 = 4 e para z ≤ 0, ɛr2 = 3. Um campo elétrico 
uniforme E1 = 5ax – 2ay + 3az kV/m existe para z ≥ 0. Determine:
a) E2 para z ≤ 0;
b) Os ângulos que E1 e E2 fazem com a interface;
c) As densidades de energia, em J/m3, em ambos os dielétricos;
d) A energia no interior de um cubo, de 2 m de aresta, centrado em (3, 4, -5).
Dois dielétricos isotrópicos homogêneos muito extensos são justapostos de modo que sua 
interface se encontra no plano z = 0. Para z ≥ 0, e ɛr1 = 4 e para z ≤ 0, ɛr2 = 3. Um campo elétrico 
uniforme E1 = 5ax – 2ay + 3az kV/m existe para z ≥ 0. Determine:
a) E2 para z ≤ 0;
b) Os ângulos que E1 e E2 fazem com a interface;
c) As densidades de energia, em J/m3, em ambos os dielétricos;
d) A energia no interior de um cubo, de 2 m de aresta, centrado em (3, 4, -5).
CAMPO MAGNÉTICO
Um campo magnético com intensidade de 45 mA/m oriundo de um meio (meio 1) cuja 
permeabilidade magnética relativa é igual a 1, incide na fronteira com outro meio (meio 2), cuja 
permeabilidade magnética relativa é igual a 40, formando um ângulo de 12º com a normal à 
fronteira entre os dois meios. Determine a magnetização no meio 1.
Um campo magnético com intensidade de 30 mA/m oriundo de um meio (meio 1) cuja 
permeabilidade magnética relativa é igual a 1200, incide na fronteira com outro meio (meio 2), 
cuja permeabilidade magnéticarelativa é igual a 1, formando um ângulo de 12º com a normal à 
fronteira entre os dois meios. Determine o ângulo que campo magnético resultante faz no meio 
2.
R. 376 mA/m
R. 0,01 graus
Um campo magnético com intensidade de 30 mA/m oriundo de um meio (meio 1) cuja 
permeabilidade magnética relativa é igual a 1200, incide na fronteira com outro meio (meio 2), 
cuja permeabilidade magnética relativa é igual a 1, formando um ângulo de 75º com a normal à 
fronteira entre os dois meios. Determine o ângulo que campo magnético resultante faz no meio 
2.
Um campo magnético com intensidade de 30 mA/m oriundo de um meio (meio 1) cuja 
permeabilidade magnética relativa é igual a 1200, incide na fronteira com outro meio (meio 2), 
cuja permeabilidade magnética relativa é igual a 1, formando um ângulo de 75º com a normal à 
fronteira entre os dois meios. Determine a densidade de fluxo magnético no meio 1.
R. 45,6 µT
R. 0,18 graus